北師大版2019選擇性必修第一冊專題3.2空間向量基本定理(4類必考點)(原卷版+解析)

專題3.2空間向量基本定理TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考點1：空間向量基本定理解決幾何問題】 1【考點2：空間向量基本定理中的參數(shù)問題】 2【考點3：基底的判斷】 4【考點4：基底的應(yīng)用】 6【考點1：空間向量基本定理解決幾何問題】【知識點：空間向量基本定理】如果三個向量、、不共面，那么對空間任一向量，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}使得＝x＋y＋z.1．（2021秋?石家莊期末）如圖所示，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，點M是A1D1的中點，點N是A．12a→+b→+c→ B．2．（2022春?廣東月考）在三棱錐A﹣BCD中，P為△BCD內(nèi)一點，若S△PBC＝1，S△PCD＝2，S△PBD＝3，則AP→=（）A．13AB→+16C．13AB→+13．（2022春?河南月考）如圖，在四面體OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，點M、N分別在線段OA、A．13a→+23C．13a→+24．（2022春?安徽月考）在空間四邊形ABCD中，AB→=a→，AC→=b→，AD→=c→，點M在AC上，且A．12a→?34C．?12a→?345．（2021秋?三元區(qū)校級月考）如圖所示，M是四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN上，且AP＝3PN，ON→=23OM→，設(shè)OA→=a→，OB【考點2：空間向量基本定理中的參數(shù)問題】【知識點：空間向量基本定理】如果三個向量、、不共面，那么對空間任一向量，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}使得＝x＋y＋z.1．（2022春?淮安區(qū)期中）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點F是側(cè)面CDD1C1的中心，若AF→=xAD→+yAB→+zAA1A．1 B．32 C．2 D．522．（2021秋?麗水期末）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P是線段BD1中點，若AP→=xAB→+y則x+y+z＝（）A．18 B．1 C．32 D．33．（2021秋?慈溪市期末）已知空間A、B、C、D四點共面，且其中任意三點均不共線，設(shè)P為空間中任意一點，若BD→=6PA→?4PB→+λPC→A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣14．（2021秋?衡陽月考）如圖四棱錐O﹣ABCD中，四邊形ABCD為菱形，OD→=xOA→+yOB→+zOC→，則x+5．（2021秋?孝感期中）如圖所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分別是A1B和B1C1上的點，且BM＝3A1M，C1N＝2B1N．設(shè)MN→=xAA→1+yAB→+zAC→(x，y，z∈R)，則6．（2021秋?嘉定區(qū)校級月考）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是BB1中點，若A1M→=λCA→+μCB→+υC7．（2021秋?廣東期中）如圖，在正方體OABC﹣O1A1B1C1中，點G為△ACO1的重心，若OA→=a→，OC→=b→，OO1→=c→，【考點3：基底的判斷】【知識點：基底】如果三個向量、、不共面，那么對空間任一向量，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}使得＝x＋y＋z，我們把{，，}叫做空間的一個基底.1．（2022春?涪城區(qū)校級期中）已知O，A，B，C為空間四點，且向量OA→，OB→，OC→A．OA→，OB→，OC→共線B．O，A，B，C中至少有三點共線 C．OA→+OB→與OCD．O，A，B，C四點共面2．（2021秋?朝陽區(qū)校級期末）已知空間向量a→，b→，c→①若a→與b→共線，b→與c→共線，則a→②若a→，b→，c→③若a→，b→，c→不共面，那么對任意一個空間向量p→，存在唯一有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使得④若a→，b→不共線，向量c→=λa→+μb→（λ，A．0 B．1 C．2 D．33．（2021秋?揭西縣期末）若{a→，A．b→+c→，b→，b→?c→ B．a(chǎn)→+b→，a→?b→，4．（2021秋?荔灣區(qū)期末）若{a→，b→，c→A．b→+c→，b→，b→?c→ B．a(chǎn)→，a→+b→，a→5．（2021秋?重慶月考）已知{a→，b→，cA．a(chǎn)→?c→ B．a(chǎn)→+c6．（2021秋?貴池區(qū)校級期中）已知{a→，b→，c→}是空間的一個基底，若p→=2a→?b→，qA．a(chǎn)→，p→，q→ B．b→，p→，q→ C．r→，p→，q7．（2021秋?黑龍江期中）已知{a→，b→，c→}是空間一個基底，p→=a→+bA．a(chǎn)→ B．b→ C．c→ D．138．（2021秋?河北月考）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC1與B1C相交于點O，則下列向量能組成一組基底的為（）A．AA1→，ABC．AA1→，A9．（2021秋?朝陽區(qū)校級月考）已知{a→，b→A．a(chǎn)→，p→B．b→，p→C．c→，p→D．p→，q→與【考點4：基底的應(yīng)用】【知識點：基底】如果三個向量、、不共面，那么對空間任一向量，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}使得＝x＋y＋z，我們把{，，}叫做空間的一個基底.1．（2021秋?皇姑區(qū)校級期中）已知向量a→，b→，c→可作為空間的一組基底{a→，b→，c→}，若d→=3a→+4b→+c→，且d→在基底{（a→+2b→），（b→+3c→），（c→+a2．（2021秋?石景山區(qū)期中）已知單位正方體ABCD﹣A1B1C1D1，點E為B1D1中點．設(shè)AD1→=a→，AB1→=b（1）AE→=；（2）AC1→=3．（2021秋?珠海期末）四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，AC與BD交于點O，點G為BD上一點，BG＝2GD，PA→=a→，PB→=b→，PC→=c→專題3.2空間向量基本定理TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考點1：空間向量基本定理解決幾何問題】 1【考點2：空間向量基本定理中的參數(shù)問題】 4【考點3：基底的判斷】 8【考點4：基底的應(yīng)用】 14【考點1：空間向量基本定理解決幾何問題】【知識點：空間向量基本定理】如果三個向量、、不共面，那么對空間任一向量，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}使得＝x＋y＋z.1．（2021秋?石家莊期末）如圖所示，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，點M是A1DA．12a→+b→+c→【分析】根據(jù)空間向量加法和減法的運算法則，以及向量的數(shù)乘運算即可求解．【解答】解：因為在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB→=a→，點M是A1D1的中點，點N是CA1上的點，且CN：CA1＝1：4，所以MN→=?12AD故選：D．2．（2022春?廣東月考）在三棱錐A﹣BCD中，P為△BCD內(nèi)一點，若S△PBC＝1，S△PCD＝2，S△PBD＝3，則AP→A．13AB→+C．13AB→【分析】延長PB至B1，使得PB1＝2PB，延長PC至C1，使得PC1＝3PC，連接DB1，B1C1，C1D，由題意得出S△PB1C1=S△PC1D=S△PB1D，P為△B【解答】解：三棱錐A﹣BCD中，P為△BCD內(nèi)一點，如圖所示：延長PB至B1，使得PB1＝2PB，延長PC至C1，使得PC1＝3PC，連接DB1，B1C1，C1D，因為S△PBC＝1，S△PCD＝2，S△PBD＝3，所以S△PB1C1所以P為△B1C1D的重心，所以PD→+PB1→即PD→+2PB→+3PC→所以（AD→?AP→）+2（AB→?AP→）+3（所以AP→=13AB故選：C．3．（2022春?河南月考）如圖，在四面體OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，點M、A．13a→+C．13a→【分析】利用空間向量的線性運算，空間向量基本定理求解即可．【解答】解：∵點M、N分別在線段OA、BC上，且2OM＝MA，CN＝2NB，∴OM→=13OA→，CN→∴ON→=OC→+CN→=OC∴MN→=ON→?故選：D．4．（2022春?安徽月考）在空間四邊形ABCD中，AB→=a→，AC→=b→，AD→=c→，點A．12a→?C．?12a【分析】根據(jù)題意用向量AB→、AC→和AD→作基底，表示向量MN→即可．【解答】解：空間四邊形ABCD中，AB→=a→，AC→=b因為AC→=4MC→，N為BD=14AC→+（AB→?AC→=12AB=12a→?故選：A．5．（2021秋?三元區(qū)校級月考）如圖所示，M是四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN上，且AP＝3PN，ON→=23OM→，設(shè)OA→=a→【分析】利用空間向量基本定理結(jié)合空間向量的加法、加法以及數(shù)乘運算求解即可．【解答】解：因為M是四面體OABC的棱BC的中點，所以O(shè)M→=12b因為ON→=23OM所以AN→=AO→+ON→=AO因為AP＝3PN，所以AP→=34AN所以O(shè)P→=OA→+故答案為：14a→+1【考點2：空間向量基本定理中的參數(shù)問題】【知識點：空間向量基本定理】如果三個向量、、不共面，那么對空間任一向量，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}使得＝x＋y＋z.1．（2022春?淮安區(qū)期中）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點F是側(cè)面CDD1C1的中心，若AF→=xAD→+yAB→A．1 B．32 C．2 D．【分析】利用空間向量的加減法運算用AD→，AB→，AA【解答】解：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點F是側(cè)面CDD1C1的中心，AF→=AD→+∵AF→=xAD→+yAB→+zAA1→∴x+y+z＝2．故選：C．2．（2021秋?麗水期末）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P是線段BD1中點，若AP→則x+y+z＝（）A．18 B．1 C．32【分析】利用向量運算法則直接求解．【解答】解：在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P是線段BD1中點，AP→=AB=AB→+∵AP→=xAB→+yAD→+zAA1→則x+y+z=32．故選：C．3．（2021秋?慈溪市期末）已知空間A、B、C、D四點共面，且其中任意三點均不共線，設(shè)P為空間中任意一點，若BD→=6PA→?4PB→A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【分析】根據(jù)空間四點共面的充要條件代入即可解決．【解答】解：BD→=6PA→?4即PD→?PB→=6整理得PD→=6PA→?3由A、B、C、D四點共面，且其中任意三點均不共線，可得6﹣3+λ＝1，解得λ＝﹣2，故選：B．4．（2021秋?衡陽月考）如圖四棱錐O﹣ABCD中，四邊形ABCD為菱形，OD→=xOA→+yOB→+zOC【分析】利用向量運算法則直接求解．【解答】解：如圖四棱錐O﹣ABCD中，四邊形ABCD為菱形，則OD→=OA→+∵OD→=xOA→+y∴x+y+z＝1﹣1+1＝1．故答案為：1．5．（2021秋?孝感期中）如圖所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分別是A1B和B1C1上的點，且BM＝3A1M，C1N＝2B1N．設(shè)MN→=xAA→1+yAB→+z【分析】把三個向量AB→，AA1→，【解答】解：由題意三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M、N分別是A1B、B1C1上的點，且BM＝3A1M，C1N＝2B1N，則MN→==14B=?14AB=512AB∵MN→=xAA→1∴x+y+z=512+14故答案為：1．6．（2021秋?嘉定區(qū)校級月考）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是BB1中點，若A1M→=λCA→+μCB→【分析】由題意畫出圖形，把A1M→用CA→、CB→、CC1【解答】解：如圖，∵M是BB1中點，∴A1M=?CA→?又A1M→=λCA→+μCB→+υCC則λ+μ+υ=?12．故答案為：?12．7．（2021秋?廣東期中）如圖，在正方體OABC﹣O1A1B1C1中，點G為△ACO1的重心，若OA→=a→，OC→=b→，OO1→【分析】由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知ACO1為正三角形，設(shè)AC，BO相交于點M，連接O1M，可得點G在線段O1M上，且滿足O1G→=2GM→，利用向量的線性運算求得OG【解答】解：易知ACO1為正三角形，設(shè)AC，BO相交于點M，連接O1M，如圖所示，顯然點G在線段O1M上，且滿足O1G→=2GM→有OG→?OO1→=2（OM有OG→=23×12（OA可得x+y+z＝1．故答案為：1．【考點3：基底的判斷】【知識點：基底】如果三個向量、、不共面，那么對空間任一向量，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}使得＝x＋y＋z，我們把{，，}叫做空間的一個基底.1．（2022春?涪城區(qū)校級期中）已知O，A，B，C為空間四點，且向量OA→，OB→，A．OA→，OB→，OCB．O，A，B，C中至少有三點共線 C．OA→+OB→D．O，A，B，C四點共面【分析】根據(jù)空間向量基本定理即可判斷．【解答】解：由于向量OA→，OB→，所以O(shè)，A，B，C四點共面，故選：D．2．（2021秋?朝陽區(qū)校級期末）已知空間向量a→，b→，①若a→與b→共線，b→與c→共線，則②若a→，b→，③若a→，b→，c→不共面，那么對任意一個空間向量p→，存在唯一有序?qū)崝?shù)組（x，y，④若a→，b→不共線，向量c→=λa→+μb→（A．0 B．1 C．2 D．3【分析】舉反例，判斷①；根據(jù)共面向量的定義判斷②；利用空間向量基本定理判斷③④．【解答】解：對于①，若a→與b→共線，b→與c→共線，則當b→=0→時，對于②，共面向量的定義是平行于同一平面的向量，∴a→，b→，c→非零且共面，則表示這些向量的有向線段所在的直線不一定共面，故②對于③，由空間向量基本定理可知：若a→，b→，c→不共面，那么對任意一個空間向量p→，存在唯一有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使得p=xa④若a→，b→不共線，向量c→則c→，a→，b→故選：B．3．（2021秋?揭西縣期末）若{aA．b→+c→，b→，b→?c→ B．a(chǎn)→+b→，a→?b【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量共面的定理，即可求解．【解答】解：對于A，若向量b→+c→，b→則b→+c→=λ(b→?c故向量b→+c→，b→，b對于B，若向量a→+b→，a→則a→+b→=λ(a→故向量a→+b→，a→?b對于C，若向量a→，a→+b→則a→+b→=λa→+μ(a故向量a→，a→+b→，a對于D，若向量a→+b→，a→則a→+b→+c→故向量a→+b→，a→+b故選：B．4．（2021秋?荔灣區(qū)期末）若{a→，b→，A．b→+c→，b→，b→?c→ B．a(chǎn)→，a→+b→，a【分析】由平面向量基本定理判斷．【解答】解：由平面向量基本定理得：對于A選項，b→=12（b→+c→）+12（對于B選項，同理：a→，a→+b→對于D選項，a→+b故選：C．5．（2021秋?重慶月考）已知{a→，b→A．a(chǎn)→?c→ B．a(chǎn)→+【分析】根據(jù)空間向量的一組基底是：任意兩個不共線，且不為零向量，三個向量不共面，即可判斷出結(jié)論．【解答】解：由m→=a→?b→，n→=b→所以得a→?c→與m→故a→?c→不能與m→故選：A．6．（2021秋?貴池區(qū)校級期中）已知{a→，b→，c→}是空間的一個基底，若p→=2a→?b→A．a(chǎn)→，p→，q→ B．b→，p→，q→ C．r→，p→，【分析】利用共面向量定理以及空間向量的線性運算，判斷三個向量是否是共面向量，即可判斷得到答案．【解答】解：對于A，由題意可得2p→+所以a→=2故a→，p故選項A錯誤；對于B，由題意可得，p→+2q所以b→=1故b→，p故選項B錯誤；對于C，由題意可得，p→+q故r→，p故選項C錯誤；對于D，假設(shè)s→，p→，q→共面，則存在實數(shù)λ即a→+b所以c→=(2λ?μ?1)a故a→，b→，c→共面，這與{a所以假設(shè)不成立，則s→，p故選項D正確．故選：D．7．（2021秋?黑龍江期中）已知{a→，b→，c→}是空間一個基底，p→=a→A．a(chǎn)→ B．b→ C．c→ D．【分析】根據(jù)空間向量的一組基底是：任意兩個不共線，且不為零向量，三個向量不共面，即可判斷出結(jié)論．【解答】解：由題意和空間向量的共面定理，結(jié)合向量p→+q→=（a→+得a→與p→，同理b→與p→，所以a→與b→不能與p→、q又c→與a→和b→所以c→與p→、q→故選：C．8．（2021秋?河北月考）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC1與B1C相交于點O，則下列向量能組成一組基底的為（）A．AA1→，C．AA1→【分析】不共面的向量才能組成一組基底，由此能求出結(jié)果．【解答】解：對于A，∵AA1→，AB→，對于B，∵AB→，AO→，AC1→共面于平面對于C，∵AA1→，A1C1→，AC→對于D，∵AB1→，AO→，AC→共面于平面AB故選：A．9．（2021秋?朝陽區(qū)校級月考）已知{a→，A．a(chǎn)→，B．b→，C．c→，D．p→，q【分析】根據(jù)空間向量的共線定理、共面定理，對選項中的