人教版2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三專題13.7與軸對(duì)稱圖形有關(guān)的最值問(wèn)題【八大題型】(學(xué)生版+解析)

專題13.7與軸對(duì)稱圖形有關(guān)的最值問(wèn)題【八大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1垂線段最短】 1【題型2兩點(diǎn)之間線段最短】 2【題型3平行線之間的距離】 4【題型4兩動(dòng)一定】 6【題型5兩定一動(dòng)(將軍飲馬)】 7【題型6兩定兩動(dòng)型】 9【題型7兩定一動(dòng)(三點(diǎn)共線)】 10【題型8兩動(dòng)+定長(zhǎng)】 11知識(shí)點(diǎn)1：垂線段最短【模型分析】如圖，點(diǎn)P在直線l外，過(guò)點(diǎn)P作l的垂線PH，則點(diǎn)P到直線l的距離為PH，即“垂線段最短”．【溫馨提示】解決最值問(wèn)題常遵循：一找、二證、三計(jì)算．【方法解讀】若所求線段不能直接利用“垂線段最短求最值”，需將其轉(zhuǎn)化到定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)之間的線段，可借助矩形的對(duì)角線相等或全等三角形的性質(zhì)．【題型1垂線段最短】【例1】（23-24八年級(jí)·江蘇鹽城·期末）如圖，線段BC=10，A是線段BC外一點(diǎn)，連接AB、AC，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，連接BE、CD交于點(diǎn)F．當(dāng)四邊形ADFE的面積為10時(shí)，線段AB的最小值為．【變式1-1】（23-24八年級(jí)·湖南婁底·階段練習(xí)）如圖，OD平分∠AOB，DE⊥AO于點(diǎn)E，F(xiàn)是射線OB上的任一點(diǎn)，DE=4.2，則DF的長(zhǎng)度不可能是（

）A．4.2 B．5.15 C．3.69 D．8【變式1-2】（23-24八年級(jí)·吉林·期中）如圖，AB是一條河流，要鋪設(shè)管道將河水引到兩個(gè)用水點(diǎn)C和D，現(xiàn)有兩種鋪設(shè)管道的方案，若鋪設(shè)管道單位長(zhǎng)度的造價(jià)均相同，則下列說(shuō)法正確的是（

）方案一：分別過(guò)C，D作AB的垂線，垂足為E，F(xiàn)，沿CE，DF鋪設(shè)管道；方案二：連接CD交AB于點(diǎn)P，沿PC，PD鋪設(shè)管道．A．方案一與方案二一樣省錢，因?yàn)楣艿篱L(zhǎng)度一樣B．方案二比方案一省錢，因?yàn)閮牲c(diǎn)之間，線段最短C．方案一比方案二省錢，因?yàn)榇咕€段最短D．方案一與方案二無(wú)法比較【變式1-3】（23-24八年級(jí)·江西南昌·期末）如圖，鈍角△ABC的面積為12，最長(zhǎng)邊AB=8，BD平分∠ABC，點(diǎn)M、N分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是【題型2兩點(diǎn)之間線段最短】【例2】（23-24八年級(jí)·湖南郴州·期末）利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解決路程之和最短的問(wèn)題，如圖所示，河岸的同側(cè)有A、B兩個(gè)村莊，兩村委會(huì)決定在小河邊建一座自來(lái)水加工廠向兩村莊輸送自來(lái)水，為了節(jié)約開(kāi)支，加工廠建在何處所需鋪設(shè)的管道最短？為什么？【變式2-1】（23-24八年級(jí)·廣東佛山·期末）如圖所示，平原上有A，B，C，D四個(gè)村莊，為解決當(dāng)?shù)厝彼畣?wèn)題，政府準(zhǔn)備投資建一個(gè)蓄水池，不考慮其他因素，請(qǐng)畫(huà)圖確定蓄水池H點(diǎn)位置，使它與四個(gè)村莊的距離之和最小．【變式2-2】（23-24八年級(jí)·陜西西安·期中）（1）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為?1,0,3,0，現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A、B分別向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，分別得到點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C,D，連接AC，BD,CD，直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)______，D的坐標(biāo)______及四邊形（2）如圖2，A，B兩單位分別位于一條封閉街道的兩旁（直線l1,l2是街道兩邊沿），現(xiàn)準(zhǔn)備修建一座過(guò)街人行天橋．天橋應(yīng)建在何處才能使由A經(jīng)過(guò)天橋走到【變式2-3】（23-24六年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）如圖，在同一平面內(nèi)，點(diǎn)D、E是三角形ABC外的兩點(diǎn)，請(qǐng)按要求完成下列問(wèn)題．(1)請(qǐng)你判斷線段BC+AC與AB的大小關(guān)系是；理由是；(2)①按要求將圖形補(bǔ)充完整：連接線段BE，畫(huà)射線ED、直線CD；②若在四邊形BCDE的邊BC、CD、DE、EB上任取一點(diǎn)，分別為點(diǎn)K、L、M、N，并順次連接它們，則四邊形KLMN的周長(zhǎng)四邊形BCDE的周長(zhǎng)．（大于、小于或等于）(3)在四邊形BCDE內(nèi)找一點(diǎn)O，使它到四邊形BCDE四個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小．（保留作圖痕跡，找到點(diǎn)即可）【題型3平行線之間的距離】【例3】（23-24八年級(jí)·安徽合肥·期末）如圖，l1//l2//l3，且相鄰兩條直線間的距離都是2，A，B，C分別為l1，l2，l3上的動(dòng)點(diǎn)，連接AB、AC、BC，AC與A．2 B．3 C．4 D．5【變式3-1】（23-24八年級(jí)·北京海淀·期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BD為△ABC的角平分線，過(guò)點(diǎn)D作直線l∥AB，點(diǎn)P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若△BCD的面積為16，BC＝8，則AP最小值為．【變式3-2】（23-24八年級(jí)·廣東深圳·期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，AB=AC，BC=6，△DBC面積為18，AB的垂直平分線MN分別交AB，AC于點(diǎn)M，N，若點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別是線段MN和BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則PB+PQ的最小值為【變式3-3】（23-24八年級(jí)·福建龍巖·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠CAB=30°，∠ACB=90°，AC=6，D為AB的中點(diǎn)，E為線段AC上任意一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），當(dāng)E點(diǎn)在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則DE+12CE

知識(shí)點(diǎn)2：兩動(dòng)一定【模型分析】問(wèn)題：如圖，直線AB、AC相交于點(diǎn)A，點(diǎn)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P，點(diǎn)N分別是AC，AB上一動(dòng)點(diǎn)，求MP＋PN的最小值．解題思路：一找：第一步：作點(diǎn)M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)M′；第二步：過(guò)點(diǎn)M′作M′N⊥AB于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)P；二證：證明MP＋PN的最小值為M′N：三計(jì)算．【題型4兩動(dòng)一定】【例4】（23-24八年級(jí)·廣東珠?！て谀┮阎螦OB=30°，在∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，點(diǎn)M，N分別是OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，若△PMN的周長(zhǎng)最小值為3，則OP的長(zhǎng)為（）A．1.5 B．3 C．33 D．【變式4-1】（23-24八年級(jí)·安徽淮北·期末）如圖，在△ABC中，∠ACB>90°，△ABC的面積為18，AB=9，BD平分∠ABC，E，F(xiàn)分別是BD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+EF的最小值為（）A．4 B．6 C．7 D．9【變式4-2】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、AB，AC上，則線段DE+DF的最小值是（）A．BC邊上高的長(zhǎng) B．線段EF的長(zhǎng)度C．BC邊的長(zhǎng)度 D．以上都不對(duì)【變式4-3】（23-24八年級(jí)·湖南株洲·期中）如圖，在等腰△ABC中，在AB、AC上分別截取AP、AQ，使AP=AQ．再分別以點(diǎn)P，Q為圓心，以大于PQ的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠BAC內(nèi)交于點(diǎn)R，作射線AR，交BC于點(diǎn)D．已知AB=AC=5，AD=4，BC=6．若點(diǎn)M、N分別是線段AD和線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值為（

）A．5 B．6.4 C．4.8 D．6知識(shí)點(diǎn)3：兩定一動(dòng)已知：在l上求作一點(diǎn)M，使得AM＋BM最?。绢}型5兩定一動(dòng)(將軍飲馬)】【例5】（23-24八年級(jí)·寧夏銀川·期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，EF垂直平分BC，點(diǎn)P為直線EF上任意一點(diǎn)，則AP+BP的最小值是．【變式5-1】（23-24八年級(jí)·廣東揭陽(yáng)·期末）如圖，在長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C在小正方形的頂點(diǎn)上．

(1)在圖中畫(huà)出與△ABC關(guān)于直線l成軸對(duì)稱的△AB'C'．(2)在直線l上找一點(diǎn)P，使PB+PC的長(zhǎng)最短．【變式5-2】（23-24八年級(jí)·江西宜春·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AB邊的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，若AE=3，(1)求BC的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)P是直線DE上的動(dòng)點(diǎn)，直接寫(xiě)出PA+PC的最小值為_(kāi)________．【變式5-3】（23-24八年級(jí)·河南周口·階段練習(xí)）已知點(diǎn)P在∠MON內(nèi)．

(1)如圖①，點(diǎn)P關(guān)于射線OM、ON的對(duì)稱點(diǎn)分別是G、H，連接①若∠MON=30°，則△OGH是什么特殊三角形？為什么？②若∠MON=90°，試判斷GH與OP的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖②，若∠MON=30°，A、B分別是射線OM、ON上的點(diǎn)，AB⊥ON于點(diǎn)B，點(diǎn)P、Q分別為OA、AB上的兩個(gè)定點(diǎn)，且QB=1.5，OP=AQ=2，在OB上有一動(dòng)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)4：兩定兩動(dòng)已知：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（2，3），Q（3，2），請(qǐng)?jiān)趚軸和y軸上分別找到M點(diǎn)和N點(diǎn)，使四邊形PQMN周長(zhǎng)最小．作出M點(diǎn)和N點(diǎn)．【題型6兩定兩動(dòng)型】【例6】（23-24·福建莆田·中考模擬）如圖，CA=CM=CN=CB，∠ACM=∠MCN=∠NCB=30°，AB=4，P、Q分別為CN、CM上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則MP+PQ+QN的最小值為_(kāi)_____．【變式6-1】（23-24八年級(jí)·江蘇南京·期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD中點(diǎn)，M是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N是邊CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AM＋MN＋EN的最小值是．【變式6-2】（23-24八年級(jí)·河南安陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC上有兩動(dòng)點(diǎn)E和F，連接BE和BF，若AE=CF，AC?AB=4,AC?BC=2，則BE+BF的最小值是（

）

A．4 B．10 C．6 D．20【變式6-3】（23-24八年級(jí)·廣東江門·階段練習(xí)）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=203，D，E分別為射線BC與射線AC【題型7兩定一動(dòng)(三點(diǎn)共線)】【例7】（23-24八年級(jí)·浙江寧波·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AB=CB，∠B=100°．延長(zhǎng)線段BC至點(diǎn)D，使CD=BC，過(guò)點(diǎn)D作射線DP∥AB，點(diǎn)E為射線DP上的動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A，D作直線EC的垂線AM，DN．當(dāng)AM?DN的值最大時(shí)，∠ACE的度數(shù)為．【變式7-1】（23-24八年級(jí)·福建福州·期中）如圖，在等邊△ABC中，E是AC邊的中點(diǎn)，P是△ABC的中線AD上的動(dòng)點(diǎn)，且AB=6，則BP?PE的最大值是．【變式7-2】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·期末）如圖，AB=AC=4，在直線AB上方作等腰ΔBCD，∠DBC=120°，BD=BC，連接AD，當(dāng)AD最大時(shí)，∠ACD=．【變式7-3】（23-24八年級(jí)·河北張家口·期末）如圖，方格圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A、B、C、M、N都在格點(diǎn)上．

(1)畫(huà)出△ABC關(guān)于直線MN對(duì)稱的△A(2)在直線MN上找點(diǎn)P使PB+PC最小，在圖形上畫(huà)出點(diǎn)P的位置；(3)在直線MN上找點(diǎn)Q使QB?QA最大，直接寫(xiě)出這個(gè)最大值．【題型8兩動(dòng)+定長(zhǎng)】【例8】（23-24八年級(jí)·浙江紹興·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A0,4，B8,0，C8,2，M，N是線段OB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MN=2，則△AOM與△NCB【變式8-1】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4,BC=2，線段EF在邊AB上左右滑動(dòng)，若EF=1，則DE+CF的最小值為．【變式8-2】（23-24八年級(jí)·湖北恩施·階段練習(xí)）已知，如圖，線段CD長(zhǎng)為8，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，AC=4，BD=3，EF為線段CD上兩動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)在E右側(cè)且EF=1，則由A到B的路徑：AE+EF+FB的最小值為．【變式8-3】（23-24八年級(jí)·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（2，0），點(diǎn)C，D是y軸上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)C下方）且CD=2，連接AC，BD，則AC+BD的最小值為專題13.7與軸對(duì)稱圖形有關(guān)的最值問(wèn)題【八大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1垂線段最短】 2【題型2兩點(diǎn)之間線段最短】 5【題型3平行線之間的距離】 9【題型4兩動(dòng)一定】 13【題型5兩定一動(dòng)(將軍飲馬)】 17【題型6兩定兩動(dòng)型】 23【題型7兩定一動(dòng)(三點(diǎn)共線)】 29【題型8兩動(dòng)+定長(zhǎng)】 34知識(shí)點(diǎn)1：垂線段最短【模型分析】如圖，點(diǎn)P在直線l外，過(guò)點(diǎn)P作l的垂線PH，則點(diǎn)P到直線l的距離為PH，即“垂線段最短”．【溫馨提示】解決最值問(wèn)題常遵循：一找、二證、三計(jì)算．【方法解讀】若所求線段不能直接利用“垂線段最短求最值”，需將其轉(zhuǎn)化到定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)之間的線段，可借助矩形的對(duì)角線相等或全等三角形的性質(zhì)．【題型1垂線段最短】【例1】（23-24八年級(jí)·江蘇鹽城·期末）如圖，線段BC=10，A是線段BC外一點(diǎn)，連接AB、AC，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，連接BE、CD交于點(diǎn)F．當(dāng)四邊形ADFE的面積為10時(shí)，線段AB的最小值為．【答案】6【分析】本題考查了三角形中線等分面積，垂線段最短，關(guān)鍵是由三角形面積公式求出△ABC的面積．【詳解】解：過(guò)A作AH⊥BC于H，連接AF，延長(zhǎng)AF交BC于M，∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴△ABE的面積=△ABC面積的一半，△BCD的面積=ABC面積的一半，∴△ABE的面積=△BCD的面積，∴△BCF的面積=四邊形ADFE的面積=10，∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴△BDF的面積=△ADF的面積，△CEF的面積=△AEF的面積．∴△BDF的面積+△CEF的面積=△ADF的面積+△AEF的面積=四邊形ADFE的面積=10，∴△ABC的面積=10×3=30，∴△ABC的面積=1∵BC=10，∴AH=6，∵AB≥AH，∴線段AB的最小值是6．故答案為：6．【變式1-1】（23-24八年級(jí)·湖南婁底·階段練習(xí)）如圖，OD平分∠AOB，DE⊥AO于點(diǎn)E，F(xiàn)是射線OB上的任一點(diǎn)，DE=4.2，則DF的長(zhǎng)度不可能是（

）A．4.2 B．5.15 C．3.69 D．8【答案】C【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，垂線段最短等，過(guò)D點(diǎn)作DH⊥OB于點(diǎn)H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DH=DE=4.2，再根據(jù)垂線段最短進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：過(guò)D點(diǎn)作DH⊥OB于點(diǎn)H，如圖所示：∵OD平分∠AOB，DE⊥AO∴DH=DE=4.2，∵F是射線OB上的任一點(diǎn)，∴DF≥4.2，∵3.69<4.2，∴DF的長(zhǎng)不能為3.69．故選：C．【變式1-2】（23-24八年級(jí)·吉林·期中）如圖，AB是一條河流，要鋪設(shè)管道將河水引到兩個(gè)用水點(diǎn)C和D，現(xiàn)有兩種鋪設(shè)管道的方案，若鋪設(shè)管道單位長(zhǎng)度的造價(jià)均相同，則下列說(shuō)法正確的是（

）方案一：分別過(guò)C，D作AB的垂線，垂足為E，F(xiàn)，沿CE，DF鋪設(shè)管道；方案二：連接CD交AB于點(diǎn)P，沿PC，PD鋪設(shè)管道．A．方案一與方案二一樣省錢，因?yàn)楣艿篱L(zhǎng)度一樣B．方案二比方案一省錢，因?yàn)閮牲c(diǎn)之間，線段最短C．方案一比方案二省錢，因?yàn)榇咕€段最短D．方案一與方案二無(wú)法比較【答案】C【分析】本題考查垂線段的性質(zhì)，即垂線段最短．根據(jù)垂線段最短可得CE<CP，DF<DP，進(jìn)而得出結(jié)論．解題的關(guān)鍵是掌握：垂線段最短指的是從直線外一點(diǎn)到這條直線所作的垂線段最短．實(shí)際問(wèn)題中涉及線路最短問(wèn)題時(shí)，其理論依據(jù)應(yīng)從“兩點(diǎn)之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個(gè)中去選擇．【詳解】解：∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴CE<CP，DF<DP，∴CE+DF<CP+DP，∴按照方案一鋪設(shè)管道的長(zhǎng)度比按照方案二鋪設(shè)管道的長(zhǎng)度更短，∵鋪設(shè)管道單位長(zhǎng)度的造價(jià)均相同，∴方案一比方案二省錢．故選：C．【變式1-3】（23-24八年級(jí)·江西南昌·期末）如圖，鈍角△ABC的面積為12，最長(zhǎng)邊AB=8，BD平分∠ABC，點(diǎn)M、N分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是【答案】3【分析】本題考查了軸對(duì)稱—最短路線問(wèn)題，關(guān)鍵是畫(huà)出符合條件的圖形，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥BC于N，則當(dāng)點(diǎn)C，M，N三點(diǎn)重合時(shí)，CM+MN取得最小值，最小值為CE的長(zhǎng)．再根據(jù)三角形的面積公式求出CE的長(zhǎng)，即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥BC于N，∵BD平分∠ABC，CE⊥AB，MN⊥BC，∴MN=ME，∴CM+MN=CM+ME≥CE，即當(dāng)點(diǎn)C，M，N三點(diǎn)重合時(shí)，CM+MN取得最小值，最小值為CE的長(zhǎng)．∵△ABC的面積為12，最長(zhǎng)邊AB=8，∴12CE×AB=12，即∴CE=3即CM+MN的最小值為3．故答案為：3．【題型2兩點(diǎn)之間線段最短】【例2】（23-24八年級(jí)·湖南郴州·期末）利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解決路程之和最短的問(wèn)題，如圖所示，河岸的同側(cè)有A、B兩個(gè)村莊，兩村委會(huì)決定在小河邊建一座自來(lái)水加工廠向兩村莊輸送自來(lái)水，為了節(jié)約開(kāi)支，加工廠建在何處所需鋪設(shè)的管道最短？為什么？【答案】見(jiàn)解析【分析】此題主要考查了軸對(duì)稱作圖與應(yīng)用設(shè)計(jì)，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A1，連接A1B，交直線l于點(diǎn)C，點(diǎn)C【詳解】解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A1，連接A1B，交直線l由作圖可知：CA=CA∴CA+CB=C要使的從點(diǎn)A1到點(diǎn)B的路程最短，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，連接A1B，交直線l于點(diǎn)C故加工廠應(yīng)該建在C處．【變式2-1】（23-24八年級(jí)·廣東佛山·期末）如圖所示，平原上有A，B，C，D四個(gè)村莊，為解決當(dāng)?shù)厝彼畣?wèn)題，政府準(zhǔn)備投資建一個(gè)蓄水池，不考慮其他因素，請(qǐng)畫(huà)圖確定蓄水池H點(diǎn)位置，使它與四個(gè)村莊的距離之和最小．【答案】答案見(jiàn)解析【分析】本題屬于最短路線問(wèn)題，解決此類題目的關(guān)鍵是掌握最有關(guān)短路徑的知識(shí)點(diǎn)．依據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”直接連接線段AD和BC，其交點(diǎn)H即為所求的點(diǎn)．【詳解】解：如下圖所示，連接線段AD和BC，應(yīng)把蓄水池建在交點(diǎn)上，因?yàn)檫@樣H點(diǎn)既在線段AD上，又在線段BC上，由“兩點(diǎn)之間，線段最短"可知，此時(shí)蓄水池與四個(gè)村莊的距離之和最?。咀兪?-2】（23-24八年級(jí)·陜西西安·期中）（1）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為?1,0,3,0，現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A、B分別向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，分別得到點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C,D，連接AC，BD,CD，直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)______，D的坐標(biāo)______及四邊形（2）如圖2，A，B兩單位分別位于一條封閉街道的兩旁（直線l1,l2是街道兩邊沿），現(xiàn)準(zhǔn)備修建一座過(guò)街人行天橋．天橋應(yīng)建在何處才能使由A經(jīng)過(guò)天橋走到【答案】（1）0，【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；點(diǎn)的平移和三角形的面積,解答的關(guān)鍵得到四邊形ACDB是平行四邊形，（1）根據(jù)點(diǎn)的平移規(guī)律即可得點(diǎn)C，D的坐標(biāo)；由S四邊形ABDC=AB?CO（2）沿豎直方向向下平移點(diǎn)A，使得平移的距離等于橋長(zhǎng)，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，確定橋的位置即可；【詳解】解：（1）依題意，得C0∴S四邊形（2）如圖，將點(diǎn)A沿豎直向下的方向平移，平移距離等于橋長(zhǎng)，到達(dá)點(diǎn)A1，連接A1B，與街道l2交于點(diǎn)P，過(guò)【變式2-3】（23-24六年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）如圖，在同一平面內(nèi)，點(diǎn)D、E是三角形ABC外的兩點(diǎn)，請(qǐng)按要求完成下列問(wèn)題．(1)請(qǐng)你判斷線段BC+AC與AB的大小關(guān)系是；理由是；(2)①按要求將圖形補(bǔ)充完整：連接線段BE，畫(huà)射線ED、直線CD；②若在四邊形BCDE的邊BC、CD、DE、EB上任取一點(diǎn)，分別為點(diǎn)K、L、M、N，并順次連接它們，則四邊形KLMN的周長(zhǎng)四邊形BCDE的周長(zhǎng)．（大于、小于或等于）(3)在四邊形BCDE內(nèi)找一點(diǎn)O，使它到四邊形BCDE四個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最?。ūＡ糇鲌D痕跡，找到點(diǎn)即可）【答案】(1)BC+AC>AB；兩點(diǎn)之間線段最短(2)①見(jiàn)解析；②小于(3)見(jiàn)解析【分析】本題考查直線、射線、線段等的作圖以及兩點(diǎn)之間、線段最短：（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短判斷即可；（2）根據(jù)直線，射線，線段的定義以及題目要求作出圖形即可；（3）連接BD、CE，交于點(diǎn)O，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可判斷點(diǎn)即為所求．解題的關(guān)鍵是理解直線，射線，線段的定義，靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得：BC+AC>AB，故答案為：BC+AC>AB；兩點(diǎn)之間線段最短．（2）①如圖所示，線段BE，射線ED、直線CD即為所求；②如圖：∵KN<BK+BN，KL<CK+CL，ML<DL+DM，MN<EM+EN，∴KN+KL+ML+MN<BE+BC+DE+DC，即：四邊形KLMN的周長(zhǎng)小于四邊形BCDE的周長(zhǎng)，故答案為：小于．（3）連接BD、CE，交于點(diǎn)O，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，OB+OE+OC+OD=BD+CE，即：此時(shí)點(diǎn)O四邊形BCDE四個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，如圖所示，點(diǎn)O即為所求．【題型3平行線之間的距離】【例3】（23-24八年級(jí)·安徽合肥·期末）如圖，l1//l2//l3，且相鄰兩條直線間的距離都是2，A，B，C分別為l1，l2，l3上的動(dòng)點(diǎn)，連接AB、AC、BC，AC與A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】求BD的最小值可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)B到直線AC的距離，當(dāng)BD⊥AC時(shí)，BD有最小值，根據(jù)題意求解即可．【詳解】解：由題意可知當(dāng)BD⊥AC時(shí)，BD有最小值，此時(shí)，AD=CD，∠ABC=90°，∴BD=AD=BD=12AC∴BD的最小值為2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，需結(jié)合圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出相關(guān)角的關(guān)系從而進(jìn)行求解．【變式3-1】（23-24八年級(jí)·北京海淀·期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BD為△ABC的角平分線，過(guò)點(diǎn)D作直線l∥AB，點(diǎn)P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若△BCD的面積為16，BC＝8，則AP最小值為．【答案】4【分析】根據(jù)三角形的面積公式求得CD，再根據(jù)角平分的性質(zhì)求得DE，根據(jù)平行線之間的距離可得AP的最小值．【詳解】解：∵∠C＝90°，△BCD的面積為16，BC＝8，∴12BC?CD=16,即作DE⊥AB，∵BD為△ABC的角平分線，∴DE=CD=4,∵直線l∥AB，∴AP最小值與DE相等為4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，平行線之間的距離，理解平行線之間距離的定義和點(diǎn)到直線的距離垂線段最短是解題關(guān)鍵．【變式3-2】（23-24八年級(jí)·廣東深圳·期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，AB=AC，BC=6，△DBC面積為18，AB的垂直平分線MN分別交AB，AC于點(diǎn)M，N，若點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別是線段MN和BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則PB+PQ的最小值為【答案】6【分析】連接AQ，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H．利用三角形的面積公式求出DH，由題意得：PB+PQ=AP+PQ≥AQ，求出AQ的最小值，AQ最小值是與DH相等，也就是AQ⊥BC時(shí)，根據(jù)面積公式求出DH的長(zhǎng)度即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接AQ，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H．∵△DBC面積為18，BC=6，∴12∴DH=6，∵M(jìn)N垂直平分線段AB，∴PA=PB，∴PB+PQ=AP+PQ≥AQ，∴當(dāng)AQ的值最小時(shí)，PB+PQ的值最小，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)AQ⊥BC時(shí)，AQ的值最小，∵AD//∴AQ=DH=6，∴PB+PQ的最小值為6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱最短問(wèn)題，平行線的性質(zhì)，三角形的面積，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，把最短問(wèn)題轉(zhuǎn)化為垂線段最短是解題關(guān)鍵．【變式3-3】（23-24八年級(jí)·福建龍巖·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠CAB=30°，∠ACB=90°，AC=6，D為AB的中點(diǎn)，E為線段AC上任意一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），當(dāng)E點(diǎn)在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則DE+12CE

【答案】3【分析】過(guò)C作CG∥AB，過(guò)C作CH⊥AB，過(guò)D作CG的垂線交CG于點(diǎn)F交AC于點(diǎn)E，即可得到答案；【詳解】解：過(guò)C作CG∥AB，過(guò)D作CG的垂線交CG于點(diǎn)F，∵CG∥AB，∠CAB=30°，DF⊥CG，∴EF=1∴DF即為DE+1∵CH⊥AB，DF⊥CG，CG∥AB，∴DF=CH，∠AHC=90°，∵∠CAB=30°，AC=6，∴CH=1故答案為：3；

【點(diǎn)睛】本題考查30°角所對(duì)直角邊等于斜邊一半及平行線間距離處處相等且最短．知識(shí)點(diǎn)2：兩動(dòng)一定【模型分析】問(wèn)題：如圖，直線AB、AC相交于點(diǎn)A，點(diǎn)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P，點(diǎn)N分別是AC，AB上一動(dòng)點(diǎn)，求MP＋PN的最小值．解題思路：一找：第一步：作點(diǎn)M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)M′；第二步：過(guò)點(diǎn)M′作M′N⊥AB于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)P；二證：證明MP＋PN的最小值為M′N：三計(jì)算．【題型4兩動(dòng)一定】【例4】（23-24八年級(jí)·廣東珠?！て谀┮阎螦OB=30°，在∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，點(diǎn)M，N分別是OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，若△PMN的周長(zhǎng)最小值為3，則OP的長(zhǎng)為（）A．1.5 B．3 C．33 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意畫(huà)出符合條件的圖形，求出OD=OE=OP，∠DOE=60°，得出等邊三角形DOE，求出DE=3，求出△PMN的周長(zhǎng)【詳解】解：作P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)D，作P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)E，連接DE交OA于M，交OB于N，連接PM，PN，則此時(shí)連接OD，∵P、D關(guān)于OA對(duì)稱，∴OD=OP，同理OE=OP，∴OD=OE=OP，∵P、D關(guān)于OA對(duì)稱，∴OA⊥PD，∵OD=OP，∴∠DOA=∠POA，同理∠POB=∠EOB，∴∠DOE=2∠AOB=2×30°=60°，∵OD=OE，∴△DOE是等邊三角形，∴DE=OD=OP，∵△PMN的周長(zhǎng)是PM+MN+PN=DM+MN+EN=DE=3，∴OP=3故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，等邊三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是畫(huà)出符合條件的圖形．【變式4-1】（23-24八年級(jí)·安徽淮北·期末）如圖，在△ABC中，∠ACB>90°，△ABC的面積為18，AB=9，BD平分∠ABC，E，F(xiàn)分別是BD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+EF的最小值為（）A．4 B．6 C．7 D．9【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AB于點(diǎn)P，交BD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于F，則CP即為CE+EF的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式求出CP的長(zhǎng)，即為CE+EF的最小值．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AB于點(diǎn)P，交BD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于F，∵BD平分∠ABC，PE⊥AB，EF⊥BC，∴PE=EF，∴CP=CE+PE=CE+EF的最小值．∵△ABC的面積為18，AB=9，∴12∴CP=4．即CE+EF的最小值為4，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，關(guān)鍵是將CE+EF的最小值為轉(zhuǎn)化為CP，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．【變式4-2】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、AB，AC上，則線段DE+DF的最小值是（）A．BC邊上高的長(zhǎng) B．線段EF的長(zhǎng)度C．BC邊的長(zhǎng)度 D．以上都不對(duì)【答案】A【分析】作AD⊥BC于點(diǎn)D，當(dāng)DE⊥AB、DF⊥AC時(shí)，線段DE+DF有最小值，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得DE+DF=AD，進(jìn)而得結(jié)論．【詳解】解：如圖，作AD⊥BC于點(diǎn)D，當(dāng)DE⊥AB、DF⊥AC時(shí)，線段DE+DF有最小值，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=60°，∵AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD=30°，∴.DE=1∴DE+DF=AD，∴線段DE+DF的最小值是BC邊上高的長(zhǎng)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題、等邊三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的性質(zhì)．【變式4-3】（23-24八年級(jí)·湖南株洲·期中）如圖，在等腰△ABC中，在AB、AC上分別截取AP、AQ，使AP=AQ．再分別以點(diǎn)P，Q為圓心，以大于PQ的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠BAC內(nèi)交于點(diǎn)R，作射線AR，交BC于點(diǎn)D．已知AB=AC=5，AD=4，BC=6．若點(diǎn)M、N分別是線段AD和線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值為（

）A．5 B．6.4 C．4.8 D．6【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂線段最短；過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)M'，根據(jù)等面積法，可得BH=4.8．作點(diǎn)H關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)交AB于點(diǎn)N，連接M'N【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)M'由作圖可知，AD平分∠BAC，∵AB=AC，∴AD⊥BC，∵S△ABC∴4×6=5BH，∴BH=4.8．∵AB=AC，AD⊥BC，作點(diǎn)H關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)交AB于點(diǎn)N，連接M'∴M'∴BH=BM則BM+MN的最小值為4.8．故選C．知識(shí)點(diǎn)3：兩定一動(dòng)已知：在l上求作一點(diǎn)M，使得AM＋BM最小．【題型5兩定一動(dòng)(將軍飲馬)】【例5】（23-24八年級(jí)·寧夏銀川·期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，EF垂直平分BC，點(diǎn)P為直線EF上任意一點(diǎn)，則AP+BP的最小值是．【答案】4【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)可得BP=PC，可得當(dāng)點(diǎn)A，P，C在一條直線上時(shí)，PA+BP有最小值，最小值為AC的長(zhǎng)．【詳解】解：連接PC．∵EF是BC的垂直平分線，∴BP=PC，∴PA+BP=AP+PC，∴當(dāng)點(diǎn)A，P，C在一條直線上時(shí)，PA+BP有最小值，最小值為AC=4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，明確線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（23-24八年級(jí)·廣東揭陽(yáng)·期末）如圖，在長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C在小正方形的頂點(diǎn)上．

(1)在圖中畫(huà)出與△ABC關(guān)于直線l成軸對(duì)稱的△AB'C'．(2)在直線l上找一點(diǎn)P，使PB+PC的長(zhǎng)最短．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【詳解】（1）解：如圖，△AB'C'即為所求．

（2）如圖，點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查作圖?軸對(duì)稱變換、軸對(duì)稱?最短路線問(wèn)題，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式5-2】（23-24八年級(jí)·江西宜春·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AB邊的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，若AE=3，(1)求BC的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)P是直線DE上的動(dòng)點(diǎn)，直接寫(xiě)出PA+PC的最小值為_(kāi)________．【答案】(1)9(2)9【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可證△ABE為等腰三角形，由角度可證△ACE為30°直角三角形，再由線段之間的關(guān)系即可求出BC的長(zhǎng)；（2）根據(jù)將軍飲馬原理即可得出PA+PC的最小值為BC的長(zhǎng)度．【詳解】（1）解：∵AB=AC，∠BAC=120°∴∠B=∠C=∵AB邊的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，∴BE=AE=3，∴∠BAE=∠B=30°∴∠CAE=∠BAC?∠BAE=120°?30°=90°在Rt△CAE中，∠C=30°∴CE=2AE=6∴BC=BE+CE=3+6=9（2）解：如圖，取點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)，即點(diǎn)B；連接B,C兩點(diǎn)，與直線DE交于點(diǎn)P(E)，∵PA=PB∴PA+PC=PB+PC根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短則BC即為PA+PC的最小值，最小值為9【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的軸對(duì)稱，相關(guān)知識(shí)點(diǎn)有：垂直平分線的性質(zhì)、將軍飲馬等，軸對(duì)稱性質(zhì)的充分利用是解題關(guān)鍵．【變式5-3】（23-24八年級(jí)·河南周口·階段練習(xí)）已知點(diǎn)P在∠MON內(nèi)．

(1)如圖①，點(diǎn)P關(guān)于射線OM、ON的對(duì)稱點(diǎn)分別是G、H，連接①若∠MON=30°，則△OGH是什么特殊三角形？為什么？②若∠MON=90°，試判斷GH與OP的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖②，若∠MON=30°，A、B分別是射線OM、ON上的點(diǎn)，AB⊥ON于點(diǎn)B，點(diǎn)P、Q分別為OA、AB上的兩個(gè)定點(diǎn)，且QB=1.5，OP=AQ=2，在OB上有一動(dòng)點(diǎn)【答案】(1)①△OGH是等邊三角形，理由見(jiàn)解析；②GH=2OP，理由見(jiàn)解析(2)PE+QE的最小值為5．【分析】（1）①由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得OP=OG=OH，∠POM=∠GOM，∠PON=∠HON．根據(jù)“有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形”即可得出△OGH是等邊三角形；②當(dāng)∠MON=90°時(shí)，∠GOH=180°，G、O、H在同一直線上，由此可得GH與OP的數(shù)量關(guān)系；（2）過(guò)Q作ON的對(duì)稱點(diǎn)Q'，連接PQ'，交ON于點(diǎn)E，連接QE，則PE+QE的最小值為PQ'，由已知條件可得∠OAB=60°，易得AP=5，AQ'【詳解】（1）解：①△OGH是等邊三角形，∵點(diǎn)P關(guān)于OM對(duì)稱的點(diǎn)為G，∴OP=OG，∠POM=∠GOM，同理OP=OH，∠PON=∠HON，∴OG=OH，∵∠MON=30°，∴∠GOH=60°，∴△OGH是等邊三角形．②GH=2OP，當(dāng)∠MON=90°時(shí)，∠GOH=180°，∴G、O、H在同一直線上，OP=OG=OH．∵GH=OG+OH=2OC，∴GH=2OP；（2）解：過(guò)Q作ON的對(duì)稱點(diǎn)Q'，連接PQ'，交ON于點(diǎn)E

∴PE+QE最小值為PQ∵∠MON=30°，∠ABO=90°，∴∠OAB=60°．∵AQ=OP=2，QB=1.5，∴AB=3.5，∴OA=2AB=7，∴AP=5．∵點(diǎn)Q與Q'關(guān)于ON∴QB=Q∴AQ∴△APQ∴PQ即PE+QE的最小值為5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱--最短路線問(wèn)題，軸對(duì)稱的性質(zhì)和等邊三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)及等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟悉“將軍飲馬”模型是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)4：兩定兩動(dòng)已知：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（2，3），Q（3，2），請(qǐng)?jiān)趚軸和y軸上分別找到M點(diǎn)和N點(diǎn)，使四邊形PQMN周長(zhǎng)最?。鞒鯩點(diǎn)和N點(diǎn)．【題型6兩定兩動(dòng)型】【例6】（23-24·福建莆田·中考模擬）如圖，CA=CM=CN=CB，∠ACM=∠MCN=∠NCB=30°，AB=4，P、Q分別為CN、CM上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則MP+PQ+QN的最小值為_(kāi)_____．【答案】4

【解析】解：如圖，連接AQ，BP，

∵CA=CN，∠ACM=∠MCN=30°，CQ=CQ，

∴△ACQ≌△NCQ(SAS)，

∴AQ=QN，

同理可得：BP=PM，

∴MP+PQ+QN=BP+PQ+AQ，

∴當(dāng)點(diǎn)B，點(diǎn)P，點(diǎn)Q，點(diǎn)A共線時(shí)，BP+PQ+AQ有最小值，即BP+PQ+AQ最小值為AB的長(zhǎng)度，

∴MP+PQ+QN有最小值為4，

故答案為：4．

由“SAS”可證△ACQ≌△NCQ，可得AQ=QN，BP=PM，由MP+PQ+QN=BP+PQ+AQ，可得當(dāng)點(diǎn)B，點(diǎn)P，點(diǎn)Q，點(diǎn)A共線時(shí)，BP+PQ+AQ有最小值，即可求解．

本題考查了軸對(duì)稱?最短路線問(wèn)題，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明AQ=NQ，BP=PM是本題的關(guān)鍵．【變式6-1】（23-24八年級(jí)·江蘇南京·期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD中點(diǎn)，M是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N是邊CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AM＋MN＋EN的最小值是．【答案】10【分析】作A點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A1，連接A1M，作E點(diǎn)關(guān)于DC的對(duì)稱點(diǎn)E1，連接E1N，因此AM＋MN＋【詳解】解：如圖，作A點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A1，連接A1M，作E點(diǎn)關(guān)于DC的對(duì)稱點(diǎn)E1，連接E1N，∵∠B＝∠D＝90°，點(diǎn)A和點(diǎn)A1關(guān)于BC對(duì)稱，點(diǎn)E和點(diǎn)E1關(guān)于DC對(duì)稱，∴AM=A1M∴AM＋∴AM＋MN＋EN的最小值是A1∵AD＝AB＝4，E是AD中點(diǎn)，∴AB=A1B=4∴AA1=8∵∠BAD＝90°，∴A1故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了線段和的最值問(wèn)題，勾股定理、軸對(duì)稱性質(zhì)，作出輔助線是本題的關(guān)鍵．【變式6-2】（23-24八年級(jí)·河南安陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC上有兩動(dòng)點(diǎn)E和F，連接BE和BF，若AE=CF，AC?AB=4,AC?BC=2，則BE+BF的最小值是（

）

A．4 B．10 C．6 D．20【答案】B【分析】如圖，連接DF，BD，由全等三角形判定SAS可以證得△ABE≌△CDF，得到DF=BE，進(jìn)而得到BE+BF≥BD，再根據(jù)題意及勾股定理求出AC的值，即可得出答案．【詳解】解：如圖，連接DF，BD，

∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠BAE=∠DCF，∵AE=CF，∴△ABE≌△CDFSAS∴BE=DF，∵BF+DF≥BD，∴BE+BF≥BD，又∵AC，BD為矩形的對(duì)角線，∴AC=BD∴BE+BF≥AC，∵△ABC是直角三角形，AC?AB=4,AC?BC=2，∴AB∴解得AC=10，或AC=2∵AC?BC=2，則AC=2不符合題意，∴AC=10，∴BE+BF≥10，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，勾股定理的應(yīng)用及解一元二次方程，熟知相關(guān)的判定與性質(zhì)及解一元二次方程的方法是解題關(guān)鍵．【變式6-3】（23-24八年級(jí)·廣東江門·階段練習(xí)）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=203，D，E分別為射線BC與射線【答案】3【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定以及勾股定理；過(guò)點(diǎn)B作FG⊥BC，使得BF=AB=5，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥GF于點(diǎn)G，連接DF，證明△ABE≌△BFD得出BF=BEAD+BE=AD+DF≥AF，則當(dāng)D在線段AF上時(shí)，AD+BE取的最小值，最小值為AF的長(zhǎng)，【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作FG⊥BC，使得BF=AB=5，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥GF于點(diǎn)G，連接DF，在△ABE,△BFD中，AE=BD∠EAB=∠DBF∴△ABE≌△BFDSAS∴DF=BE，∴AD+BE=AD+DF≥AF，則當(dāng)D在線段AF上時(shí)，AD+BE取的最小值，最小值為AF的長(zhǎng)，∵∠BAC=90°，AB=5，AC=20∴BC=∵S△ABC∴BG=AB×AC在Rt△ABG中，AG=∴FG=GB+BG=4+5=9，∴AF=A故答案為：310【題型7兩定一動(dòng)(三點(diǎn)共線)】【例7】（23-24八年級(jí)·浙江寧波·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AB=CB，∠B=100°．延長(zhǎng)線段BC至點(diǎn)D，使CD=BC，過(guò)點(diǎn)D作射線DP∥AB，點(diǎn)E為射線DP上的動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A，D作直線EC的垂線AM，DN．當(dāng)AM?DN的值最大時(shí)，∠ACE的度數(shù)為．【答案】130°/130度【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)．如圖，過(guò)點(diǎn)B作BH直線l于點(diǎn)H．證明DN=BH，推出AM與AB重合時(shí)，AM?DN的值最大，此時(shí)|AM?DN|=AB，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，根據(jù)條件，利用三角形的內(nèi)角和、鄰補(bǔ)角的意義，求出結(jié)果．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BH直線l于點(diǎn)H．∵DN⊥直線l，BH⊥直線l，∴∠DNC=∠BHC，∵∠DCN=∠BCH，BC=CD，∴△CDN≌△CBHASA∴BH=DN，∴AM?DN∵AM與AB重合時(shí)，|AM?BM|的值最大，∴當(dāng)DN與DP重合，AM與AB重合時(shí)，AM?DN=AM?BH的值最大，此時(shí)∵∠ABC=100°，∴∠CBM=180°?100°=80°，∵AM⊥CE，∴∠AMC=90°，∴∠BCM=90°?80°=10°，又∵AB=BC，∴∠ACB=(180°?100°)÷2=40°，∴∠ACE=180°?∠ACB?∠BCM=180°?40°?10°=130°，故答案為：130°．【變式7-1】（23-24八年級(jí)·福建福州·期中）如圖，在等邊△ABC中，E是AC邊的中點(diǎn)，P是△ABC的中線AD上的動(dòng)點(diǎn)，且AB=6，則BP?PE的最大值是．【答案】3【分析】連接PC，則BP=CP，BP?PE=CP-PE，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，CP-PE=CE，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：連接PC，∵在等邊△ABC中，AB=6，P是△ABC的中線AD上的動(dòng)點(diǎn)，∴AD是BC的中垂線，∴BP=CP，∴BP?PE=CP-PE，∵在△CPE中，CP-PE＜CE，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，CP-PE=CE，∵E是AC邊的中點(diǎn)，∴BP?PE的最大值=6÷2=3．故答案是：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形三邊長(zhǎng)關(guān)系，連接CP，得到BP?PE=CP-PE，是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·期末）如圖，AB=AC=4，在直線AB上方作等腰ΔBCD，∠DBC=120°，BD=BC，連接AD，當(dāng)AD最大時(shí)，∠ACD=．【答案】45°【分析】構(gòu)造等腰ΔABK，如圖1，使AB=BK，∠ABK=∠DBC，則ΔABD≌ΔKBCSAS，AD=KC≤AC+AK，當(dāng)C、A、K三點(diǎn)共線時(shí)，AD【詳解】解：如圖1，構(gòu)造等腰ΔABK，使AB=BK，∠ABK=∠DBC，則ΔABD≌ΔKBCSAS，AD=KC≤AC+AK∴當(dāng)C、A、K共線時(shí)，AD最大，此時(shí)，如圖2所示，AC=AB=BK，∠ABK=120°，則∠BAK=30°，∴∠ACB=15°，∵BC=BD，∠DBC=120°，∴∠BCD=30°，∴∠ACD=∠BCD+∠ACB=15°+30°=45°．故答案為：45°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，找出當(dāng)AD最大時(shí)的圖形．【變式7-3】（23-24八年級(jí)·河北張家口·期末）如圖，方格圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A、B、C、M、N都在格點(diǎn)上．

(1)畫(huà)出△ABC關(guān)于直線MN對(duì)稱的△A(2)在直線MN上找點(diǎn)P使PB+PC最小，在圖形上畫(huà)出點(diǎn)P的位置；(3)在直線MN上找點(diǎn)Q使QB?QA最大，直接寫(xiě)出這個(gè)最大值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)作圖見(jiàn)解析；QB?QA最大值為3【分析】（1）利用網(wǎng)格特點(diǎn)，先畫(huà)出A、B、C關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A1、B1、（2）作點(diǎn)C關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)D，連接BD交MN于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)P；（3）由于QA=QA1，則|QB?QA=QB?QA1|，而由三角形的三邊關(guān)系可得