人教B版高中數(shù)學(xué)必修5同步章節(jié)訓(xùn)練題及答案全冊(cè)匯編3

高中數(shù)學(xué)人教B版必修5同步練習(xí)

目錄

4-1.1.1《正弦定理》測(cè)試題

4-1.1.2《余弦定理》測(cè)試題

上1.2《正余弦定理的應(yīng)用》測(cè)試

上2.1《數(shù)列》同步練習(xí)

4-2.2.1《等差數(shù)列》例題解析

*2.2.2《等差數(shù)列前n項(xiàng)和》例題解析

4-2.3.1《等比數(shù)列》例題解析

土2.3.1《等比數(shù)列》測(cè)試

4-3.1.1《不等關(guān)系與不等式》測(cè)試題

4-3.1.2《不等式的性質(zhì)》測(cè)試題

4-3.2《均值不等式》測(cè)試題

工3.2《均值不等式》測(cè)試題

4-3.3《一元二次不等式的解法》測(cè)試題

4-3.3《一元二次不等式的解法》測(cè)試題

4-3.4《不等式的實(shí)際應(yīng)用》測(cè)試題

*3.4《不等式的實(shí)際應(yīng)用》測(cè)試題（人教B版必修5）

43.5.1《二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域》測(cè)試

題

4-3.5.2《簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃》測(cè)試題

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L1.1正弦定理測(cè)試題

【能力達(dá)標(biāo)】

一、選擇題

1.不解三角形，下列判斷正確的是()

A.a=7,b=14,A=30",有兩解.一B.a=30,b=25,A=150",有一-解.

C.a=6,b=9,A=45°,有兩解.D.a=9,b=10,A=60",無(wú)解.

2.在AA3C中acosA=bcosB,則△48。是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等邊三角形.D.等腰或直角三角形

3.在A43C中，已知@=5后，c=10,NA=30"，則NB等于()

A.105°B.60。C.15°D.L05°或15。

4.在AABC中,a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)的值是()

A.-,B.OC.1D.71

2

5.在AA8C中下列等式總成立的是()

A.acosC=ccosAB.bsinC=cs.inA

C.absinC=bcsinBD.asinC=csinA

6.在△ABC中，ZA=45°,ZB=60°,a=2.,WJb=()

A.&B.2娓C.376D.476

7.在AABC中，/A=45°,a=2,b=72,則NB=()

A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°

二、填空題

8.在AABC中，a=8,B=105°,C=15°,則此三角形的最大邊的長(zhǎng)為。

9.在△ABC中，acosB=bcosA,則該三角形是_____三角形。

10.北京在A48C中，AB=J5,NA=45。，NC=75。,則BC的長(zhǎng)度是

11.(江蘇)在AABC中，已知BC=12,A=60°,B=45.°,貝ijAC=。

三、解答題：

,..,abc

12.在AABC中，已知---=-----=------；

cosAcosBcosC

求證：這個(gè)三角形為等邊三角形。

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13.在A48c中，S是它的面積，a,b是它的兩條邊的長(zhǎng)度，S=-(a2+b2),求這個(gè)三角

4

形的各內(nèi).角。

14.在aABC中，已知tan8=Ji,cosC=；,AC=3J%,求aABC的面積。

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參考答案：

一、選擇題

1.B

2OD

3。D

4oB

5.D

6.A

7.A

二、填空題

、12V2+V6

o.-------------

3

9.等二

10.3-73

11.4A/6

三、解答題

12.」一=—^—由正弦定理得空△=絲巨即sinAcosB=cosAsinB,即

cosAcosBcosAcosB

sin(A-5)=0,所以A—8=0,得A=B,同理得B=C,

13.解：VS=—absinC,?*.—absinC=—(a2+b2),

224

貝lja2+b2—2absinC=0.

(a+b)2+2ab(l—sinC)=0

V(a>0,2ab(l-sinC)20

a-b=0[a=b

l-sinC=0[ZC=90°

：.ZA=ZB=45°,ZC0=90°.

14.解：設(shè)AB、BC、CA的長(zhǎng)分別為c、a、b,

J31

由tan8二后,得B=60sinB=——,cosB=—.

22

又sinC=-cos?C=迪，應(yīng)用正弦定理得c=姐吆=⑶屈義產(chǎn)=8.

3sin573

T

人.，n-D「D.?V31125/3V3V2

sinA-sin(5+C)-sinBcosC+cosBsinC=——x—+—x-----=------F——.

232363

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故所求面積SMBC=gbcsinA=642+8Ji

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1.1.2余弦定理測(cè)試題

一、選擇題

1.在AA8C中，若(a-ccosB)sinB=(b-ccosA)sinA,則這個(gè)三角形是()

A.等腰三角形.B.直角三角形

C.等邊三角形D.等腰或直角三角形

2.設(shè)a,a+1,a+2為銳角三角形的三邊長(zhǎng)，則a的取值范圍是()

A.4<a<6B.3<a<4C.l<a<3D.0<a<3

3.在AABC中，已知a2=b2+bc+c2,則角A為(.)

7t71-2萬(wàn)%j2萬(wàn)

A—B—C—D一或一

36333

4.若鈍角三角形三內(nèi)角的.度數(shù)成等差數(shù)列，且最大邊長(zhǎng)與最小邊長(zhǎng)的比值為m,則m的范

圍是()

A.(1,2)B.(2,+8)C.[3,+8)D.(3,+<?)

TT

5.A4BC中，A=—,BC=3,則A4BC的周長(zhǎng)為..()

3

A.4V3sin(J3+yj+3B.4A/3sinfB+-^-j+3

C.6sin^B+1j+3D.6sin(8+?J+3

.6.在AABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知A=2,a=JJ,b=l,則c=

3

(A)l(B)20V3-1(D)V3

二、填空題

a2+b2-c2

7.已知A4BC的三邊分別為a,b,c,且SMBC=——-——，那么角C=.

8.在AA8C中，若A=120°,AB=5,BC=7,則AC=.

三、解一答題

9o已知AABC的頂點(diǎn)為A(2,3),B(3,-2)和C(0,0)。求(1)ZACB；(2)AB；(3)

ZCAB；(4)ZABCo

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10.在A4BC中，已知“+〃=--..'---，且cos(A—B)+cosC=l—cos2c.

asin5-sinA

試確定A4BC的形狀.

11.在aABC中，A最大，C最小，且A=2C，a+c=2b,求此三角形的三邊之比。

12.在AA6C中，NA、NB、NC所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c,設(shè)a、b、c滿(mǎn)足條件

匕2+,2一/^=。2和￡=』+JJ,求NA和tanB的值

h2

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參考答案：

一選擇題

1.D

2oD

3.C

4.B

5.D

6.B

二、填空題

7.45°

8.3

三、解答題

9.(1)90°,(2)區(qū),(3)45°,(4)45%

10.—=———，由正弦定理得/一/二?！?；

asin8-sinA

os(A—B)+cosC=1—cos2C.sinAsinB=sin2c,由正弦定理得ab=cl

綜上得/所以AA8C是直角三角形

11.解：由A=2C,.得sinA=2sinCcosC,由余弦定理得

2.122

a=2c——且-又a+c=2。，.?.〃26=。[/+2以。一。)],整理得

2a2-Sac+3c2=0,得。=?；?。=3?！阌謅+c=2b,

因A>C,a:c=3:2,二。：〃：c=6:5:4

12.解：由余弦定理cosA=1+c因此NA=60°.

2bc2

在A48c中，NC=180°—NA—N8=12(T-/B.由已知條件，應(yīng)用正弦定理

1r-csinCsin(1200-B)sin120°cosS-cos1200sinB百n1

2bsinBsinBsinB22

解得cotB=2,從而tanB=-.

2

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1.2應(yīng)用舉例測(cè)試題

一、選擇題

1.如圖,在山底測(cè)得山頂仰角NCAB=45°,沿傾斜角為30°的斜坡走1000m至S點(diǎn)，又測(cè)得山

頂仰角/DSB=75°,則山高BC=()

A.1000V2mB.1000m

C.100V2mD.100m

2.甲船在島B的正南A處，AB=10千米。甲船以每小時(shí)4千米的速度向正北航行，同時(shí),

乙船自B出發(fā)以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60"的方向駛?cè)?。?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí),

它們所航行的時(shí)間是()

A.旦分鐘B.”?小時(shí)C.21.5分鐘D.2.15分鐘

77

3.如圖，在河岸AC測(cè)量河寬BC時(shí)，測(cè)量下列四組數(shù)據(jù)較適宜的是()

A.c和aB.c和bC.c和PD.b和a

二、解答題：

4.甲船在A處觀(guān)察到，乙船在它的北偏東60”方向的B處，兩船相距a里，乙船正向北行

駛。若甲船速度是乙船速度的百倍.問(wèn)甲船應(yīng)取什么方向前進(jìn)才能在最短時(shí)間內(nèi)追上乙船,

此時(shí)，乙船已行駛了多少里？

5.海島0上有一座海拔1000m的山，山頂上設(shè)有一個(gè)觀(guān)察站A,上午11時(shí)測(cè)得一輪船在島

北偏東60°的C處,俯角為30°,11時(shí)10分又測(cè)得該船在島北偏西60°的B處,俯角為60",

如圖所示，求：

(1)該船的速度為每小時(shí)多少千米？

(2)若此船以勻速度繼續(xù)航行，則它何時(shí)到達(dá)島的正西方向？此時(shí)，船所在點(diǎn)E離開(kāi)海島

多少千米？

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6.半圓0的直徑為2,A為直徑延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，且0A=2,B為半圓上任意一點(diǎn)，以AB

為邊向外作等邊三角形（如圖），問(wèn)B點(diǎn)在什么位置時(shí)，四邊形OACB的面積最大，并求出這

個(gè)最大面積.

7.

如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高時(shí)，可以選與塔底3在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)側(cè)點(diǎn)C與。.現(xiàn)

測(cè)得N8CO=a,ZBDC=（3,CD=s,并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為氏求塔高AB.

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參考答案：

一、選擇題

1.B2.A3.D

二、解答題：

4.解：如圖，假設(shè)甲船取北偏東。角去追乙船，在點(diǎn)C處追上，若乙船行駛的速度是v,

則甲船行駛的速度為JIv,由于甲乙兩船到c的時(shí)間相等，都為t,則BC=vt,AC=V3vt,

ZABC=1200由余弦定理可得，

3v2t2=a2+v2t2+vat

解得t尸q，tz=2(舍去)；.BC=a,ZCAB=30°.

v2v

...甲船應(yīng)取北偏東30"的方向去追趕乙船，在乙船行駛a里處相遇。

5.解：(1)由A0_L平面B0C,在RtZ\A0B中，

求得0B=0Atan30(----(km).

3

在RtAAOC中，將0C=0atan600=V3(km).

在△BOC中，由余弦定理得，

BC=yJOB2+OC2-20B-OC-cosZBOC

=J-+3-2---COS1200=—(km).

V933

...船速=2A/^(km/h).

6

(2)在△OBC中，由余弦定理得，

U+L

5713

cosZ0BC=33

2x叵M26

33

從而sin/EBO=sin(180"—/OBC)=sinZ0BC

L,59、23739

=Jl-(------)=--------

V2626

sinZBE0=sin[1800-(ZBE0+300)]

1

sin(ZBE0+30")

O^BsinZEBO3

由正弦定理在ABEO中，0E=(km)

sinZBEO2

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OBsinZBOEV39八、

BE=------------------=------(km)

sinNBEO6

V39

RF久

因此，從B到E所需時(shí)間1=肚=7==—(h)

v2V3912

所以再經(jīng)過(guò)-!-h,即5min輪船到達(dá)島的正西方向，此時(shí)E點(diǎn)離海島1.5km.

12

6.設(shè)NAOB=0,AB=x.

由余弦定理得，X=12+22-4COS6?=5-4COS6）.

四邊形OACB的面積為

S=—OA-OBsin^+-^-x2=sin^—Gcos0+^^-=2sin(^——)+.

24434

?：0e（o,JI）,工〈6一工〈也

333

..哈時(shí),sw且

?喂即T4

7.解：在△3CO中,4CBD=兀一ex—/3.

BCCD

由正弦定理得

sinNBDCsinZCBD

日2ncCDsmZBDC.vsinB

所以BC=-----------------=-------------

sinZCBDsin(a+/3)

在RtaABC中，A8=BCtanNACB=一0s1nB

sin(a+0)

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數(shù)列測(cè)試題

一.選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）

1.某數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則這個(gè)數(shù)列為（）

A常數(shù)列B公差為零的等差數(shù)列C公比為1的等比數(shù)列D這樣的數(shù)列不存在

2.在數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,x,34,55,…中，x的值是（）

A.19B.20C.21D.22

3.等差數(shù)列-6,-1,4,9,……中的第20項(xiàng)為（）

A、89B、-101C、101D、-89

4.已知數(shù)列四、在、回、后、3&……那么7&是這個(gè)數(shù)列的第（）

項(xiàng)

A.23B.24C.19D.25

5.在等差數(shù)列｛aj中，d=l,S98=137,則az+a-aj?…+ag8等于（）

A.91B.92C.93D.94

6.設(shè)4,=—!?+10n+ll,則數(shù)列｛aj從首項(xiàng)到第幾項(xiàng)的和最大（）

A.第10項(xiàng)B.第11項(xiàng)C.第10項(xiàng)或11項(xiàng)D.第12項(xiàng)

7.已知等差數(shù)列｛aj的公差為正數(shù)，且a3?27=—12由|+史=一4,則$2。為（）

A.180B.-180C.90D.-90

8.現(xiàn)有200根相同的鋼管，把它們堆放成正三角形垛，要使剩余的鋼管盡可能

的少，那么剩余鋼管的根數(shù)為（）

A.9B.10C.19D.29

9.數(shù)列｛aj前n項(xiàng)和是S“，如果S0=3+2a“（nCN*）,則這個(gè)數(shù)列是（）

A.等比數(shù)列B.等差數(shù)列

C.除去第一項(xiàng)是等比D.除去最后一項(xiàng)為等差

10.a、b、c成等比數(shù)列，則f（x）nax'+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是

（）

A.0B.1C.2D.不確定

11.某種細(xì)菌在培養(yǎng)過(guò)程中，每20分鐘分裂??次（一個(gè)分裂為兩個(gè)），經(jīng)過(guò)3

小時(shí)，這種細(xì)菌由1個(gè)可繁殖成（）

A.511個(gè)B.512個(gè)C.1023個(gè)D.1024個(gè)

12.已知數(shù)歹!J｛aj的前n項(xiàng)和Sn=2n,-3n,而a”a3,a5,a7,..組成一新數(shù)列

（CJ,其通項(xiàng)公式為（）

A、C“=4n-3B、Cn=8n-1C、C?=4n-5D、C?=8n-9

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二.填空題(本大題共5小題，每小題6分，共30分)

13.寫(xiě)出下列各數(shù)列的通項(xiàng)公式：

(1)3,5,3,5,3,???a?=.

…46810

期，9-25149*前，八--------1

14.一個(gè)五邊形的五個(gè)內(nèi)角成等差數(shù)列，且最小角為46°,則最大角為.

15.在一9和3之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)組成和為一21的等差數(shù)列，則

n=.

16.已知f(n+1)=f(n)-4(neN*)且f(2)=2,則

f(101)=.

2%,2

17.在數(shù)列｛aj中，a.=l,4+產(chǎn)4+2(nCN*),則5是這個(gè)數(shù)列的第一

項(xiàng).

三、解答題(本大題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演

算步驟)

18.

已加財(cái)中，ai=L=擊!，

(1)寫(xiě)出數(shù)列的前5項(xiàng)；

(2)猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式.

19.在等差數(shù)列｛aj中，a,=-60,a17=-12.

(1)求通項(xiàng)a”，(2)求此數(shù)列前30項(xiàng)的絕對(duì)值的和.

20.若每月初存入200元，月利率為0.3%,求到12個(gè)月末整取時(shí)的本利和是多

少？

21、有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)

與第四個(gè)數(shù)的和為37,第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為36,求這四個(gè)數(shù)。

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22.甲、乙兩物體分別從相距70m的兩處同時(shí)相向運(yùn)動(dòng)，甲第一分鐘走2m,

以后每分鐘比前1分鐘多走1m,乙每分鐘走5m.

(1)甲、乙開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后，兒分鐘相遇？

(2)如果甲、乙到達(dá)對(duì)方起點(diǎn)后立即折返，甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走

1m,乙繼續(xù)每分鐘走5m,那么開(kāi)始運(yùn)動(dòng)兒分鐘后第二次相遇？

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數(shù)列參考答案

—.1A2C34D5C6D7A8B9A10A11B12D

91

二.13(1)4+(-1?(2)———14.17015.516,-T17.6

(2/7-I)2

16.由于%=1,=

⑵歸物陽(yáng)財(cái)?shù)闹?公式為'=-

n

19【解】(1)ai7=ai+16d,即-12=-60+16d,1d=3,

???須=-60+3(n-l)=3n-63.

=>:==

(2)由an<0,則3n—63^0n^21,|ai|+|a2|+,?,+|a30|—(ai+a2+***

+a2i)+

(3+60)

(a22+a23+-+a3o)=(3+6+9+…+60)+(3+6+…+27)=~~X20

(3+27)

+-2-X9=765.

(a+d)2

21、解：由題意，設(shè)立四個(gè)數(shù)為a-d,a,a+d,a

(ad)

a-d+-^-^37(l)

ja

則［a+a+d=36(2)由⑵d=36-2a(3)

把(3)代入(1)得4a-73a+36X36=0即(4a-81)(a-16)=0

99816349

二所求四數(shù)為4'4'4'4或⑵16,20,25。

n（n-1）

22.【解】（1）設(shè)n分鐘后第1次相遇，依題意得2n+2+5n=70

整理得：n+13n-140=0,解得：n=7,n=-20（舍去）.?.第1次相遇在

開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后7分鐘.

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n(n-1)

(2)設(shè)n分鐘后第2次相遇，依題意有：2n+2+5n=3X70整理得：n2

+13n-6X70=0,解得：n=15或n=-28(舍去)第2次相遇在開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后

15分鐘.

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等差數(shù)列-例題解析

【例1】在100以?xún)?nèi)有多少個(gè)能被7個(gè)整除的自然數(shù)？

解V100以?xún)?nèi)能被7整除的自然數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，其中a「7,d=7,

an=98.

代入an=a［+(n—l)d中，有

98=7+(n—l)?7

解得n=14

答100以?xún)?nèi)有14個(gè)能被7整除，的自然數(shù).

【例2】在一1與7之間順次插入三個(gè)數(shù)a,b,b使這五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，

求此數(shù)列.

解設(shè)這五個(gè)數(shù)組成的.等差數(shù)列為伊d

由已知:a］=-1,a§=7

.??7=-l+(5-l)d解出d=2

所求數(shù)列為：一1,1,3,5,7.

【例3】在等差數(shù)列一5,一3；,—2,一；,…的相鄰兩項(xiàng)之間

插入一個(gè)數(shù)，使之組成一個(gè)新的等差數(shù)列，求新數(shù)列的通項(xiàng).

解原數(shù)列的公差d=-3,1-(-5)-13,所以新數(shù)列的公差d'

-1d=^3,期通項(xiàng)為

3323

an=-5+-(n-l)=-n--

323

即an=4n-T

［例4］在［1000,2000］內(nèi)能被3整除且被4除余1的整數(shù)共有多少個(gè)？

解設(shè)an=3n,bm=4m—3,n,m￡N

4m—3

令an=bm，則3n=4m—3=>n=---為使n為整數(shù)，令m=3k,

得n=4k-l(kdN),得｛a4,｛bg｝中相同的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)％=12n

-3(nSN).

則在［1000,2000］內(nèi)｛%｝的項(xiàng)為84?12—3,85?12-3,…，166?12~3

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An=166-84+1=83,共有83個(gè)數(shù).

【例5】三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為15,其平方和為83,求此三個(gè)數(shù).

解設(shè)三個(gè)數(shù)分別為x—d,x,x+d.

(x—d)+x+(x+d)=15

W'J［(x-d)2+x2+(x+d)2=83

解得x=5,d=±2

???所求三個(gè)數(shù)為3、5、7或7、5、3

說(shuō)明注意學(xué)習(xí)本題對(duì)三個(gè)成等差數(shù)列的數(shù)的設(shè)法.

【例6】已知a、b、c成籌差數(shù)列，求證：b+c,c+a,a+b也成等差數(shù)歹U.

證Ta、b、c成等差數(shù)列

:.2b=a+c

A(b+c)+(a+b)—a+2b+c

=a+(a+c)+c

=2(a+c)

/.b+c>c+a>a+b成等差數(shù)列.

說(shuō)明如果a、b、c成等差數(shù)列，?；?b=a+c的形式去運(yùn)用；反之，如

果求證a、b、c成等差數(shù)列，常改證2b=a+c.本例的意圖即在讓讀者體會(huì)這一點(diǎn).

【例7】若,、］、，成等差數(shù)列，且aWb,求證：a、b、c、不

abc

可能是等差數(shù)列.

分析直接證明a、b、c不可能是等差數(shù)列，有關(guān)等差數(shù)列的知識(shí)較難運(yùn)用,

這時(shí)往往用反證法.

證假設(shè)a、b、c是等差數(shù)列，則2b=a+c

又］、工成等差數(shù)列，

abc

211

.?.「=一+一,即2ac=b(a+c).

bac

2ac=b(a+c)=2b2,b2=ac.

又■:a、b、c不為0,

.??a、b、c為等比數(shù)列,

又a、b、c為等差數(shù)列，

a^b、c為常數(shù)列，與a#b矛盾，

二假設(shè)是錯(cuò)誤的.

二a、b、c不可能成等差數(shù)列.

［例8］解答下列各題：

⑴已知等差數(shù)列｛aj，an^0,公差dW已求證：

①對(duì)任意kGN,關(guān)于x的方程

akx2+2ak+ix+ak+2=0有一公共根；

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②若方程的另一根為XQ求證數(shù)列｛五\｝是等差數(shù)列；

A

(2)在aABC中，已知三邊a、b、c成等差數(shù)列，求證：cot,、

cotpcot晟也成等差數(shù)列.

分析與解答

2

(l)akx+2ak+1x+ak+2=0

;｛a。｝為等差數(shù)列，；.2ak+i=ak+ak+2

2

，akx+(ak+ak+2)x+ak+2=0

.?.(akx+ak+2)(x+1)=0,

X=-1或Xk=一

[=]=ak=ak

1+Xk]_ak+2ak-ak+2-2d

ak

?.?忸才為等差數(shù)列，d為不等于零的常數(shù)

...方程有一公共根一1,數(shù)列｛J-｝是等差數(shù)列

l+xk

(2)由條件得2b=a+c

4RsinB=2RsinA+2RsinC,2sinB=sinA+sinC

BBA+CA-C,

/.4sin—cos—=2sin---cos--—VA+B+C="

2222

..A+CB

?.sin---=cos—

22

BA-C

2sin—=cos---

22

分析至此，變形目標(biāo)需明確，即要證

cBA,C

2cot一=cot----Vcot—

222

由于目標(biāo)是半角的余切形式，一般把切向弦轉(zhuǎn)化，故有

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ACA+C

Arcos-cos—sin—1

.A.,C2.22

cot，+cot5=r+—^=.A.C

sin<sin二sin--sin二

2222

,A+C

sin

=1A+CA-C(將條件代入)

--(cos----COS---)

222

B

2cos-

2c,nB

ABC

cot—cot5、cot5成等差數(shù)列.

【例9】若正數(shù)a「a2，a?,…a/1成等差數(shù)列，求證:

證明設(shè)該數(shù)列的公差為d,則

ai-a2=a2_a3="'=an_an+l=_d

.\aj-an-|.|=一nd

n

V^~i-+Van+1=右式

???原等式成立.

【例10】設(shè)xWy,且兩數(shù)列x,a],a2,@3,y和b1,x,

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b-b

b2,b3,y,b,均為等差數(shù)列，求且上

a?-a1

a—a

分析可采用d=」一

m-n

解5由,=a7-a=,y3-x⑴

21=二(2)

6-45-2i7

(2)+(1),得生±=g

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等差數(shù)列的前II項(xiàng)和?例題解析

【例1】等差數(shù)列前10項(xiàng)的和為140,其中，項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的各項(xiàng)的和為125,求其第6

項(xiàng).

解依題意，得

,10(10-1)

10a.H---------d=140

<12

a,+a+a+a+a=5a)+20d=125

3579■

解得ai=113,d=-22./.其通項(xiàng)公式為

an=L13+(n-l)?(-22)=-22n+135

.,.a6=-22X6+135=3

說(shuō)明本題上邊給出.的解法是先求出基本元素d,再求其他的.這種先求出基本元素，

再用它們?nèi)?gòu)成其他元素的方法，是經(jīng)常用到的一種方法.在本課中如果注意到a6=a]+5d,也

可以不必求出an而

2a,+9d=28

直接去求a6,所列方程組化簡(jiǎn)后可得：《相減即得為+5d=3,

E+4d=25

即a6=3.可見(jiàn)，在做題的時(shí)候，要注意運(yùn)算的合理性.當(dāng)然要做到這一點(diǎn)，必須以對(duì)知

識(shí)的熟練掌握為前提.

[例4]在1和2之間插入2n個(gè)數(shù)，組成首項(xiàng)為1、末項(xiàng)為2的等差數(shù)列，若這個(gè)數(shù)列

的前半部分的和同后半部分的和之比為9：13,求插入的數(shù)的個(gè)數(shù).

解依題意2=l+(2n+2T)d①

前半部分的和Sn+|=(n+l)+S；)nd②

后半部分的和S'"=(n+1)?2+”里?(-d)③

(n+l)(l+-)

由已知，有中s」=---------39

13

(n+l)(2-y)

nd

1+—9

化簡(jiǎn),得

2-T

解之，得nd=石④

由①，有Qn+l)d=l⑤

由④，⑤，解得d=(,n=5

:.共插入10個(gè)數(shù).

【例5】在等差數(shù)列｛a/中，設(shè)前m項(xiàng),和為Sm，前n項(xiàng)和為Sn，且Sm=Sn，mWn,

求Sm+ir

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s

解m+n=(m+n)a1+1(m+n)(m+n—1)d

=(m+n)[a1+^(m+n—l)d]

且Sm=Sn，mWn

/.maj+；m(m-1)(1=叫+^n(n—l)d

整理得(m—11間+g(m—n)(m+n—1)=0

即(m—n)[a]+^-(m+n-l)d]=0

由mNn,知a1+g(m+n—l)d=O

,,Sm+n=0

【例6】已知等差數(shù)列｛a「｝中，$3=21,S6=64,求數(shù)列｛|an|)的前n項(xiàng)和T1

分析等差數(shù)列前n項(xiàng)和SnMnai+^Fd,含有兩個(gè)未知數(shù)外,

d,已知S3和S6的值，解方程組可得a1與d,再對(duì)數(shù)列的前若干項(xiàng)的正負(fù)性進(jìn)行判斷,

則可求出%來(lái).

解設(shè)公差為d,由公式Sn=naI+*=Dd

[3a,+3d=21

得,

ba,+15d=24

解方程組得：d=-2,ai=9

.*.an=9+(n-l)(n-2)=-2n+11

由an=-2n+ll>0得nV”=5.5,故數(shù)列｛a,,｝的前5項(xiàng)為正，

其余各項(xiàng)為負(fù).數(shù)列｛a/的前n項(xiàng)和為：

,n(n-1),,、

2

Sn=9nH-----------(-2)=—rr+10n.?.當(dāng)nX5時(shí)，Tn=-n+i0n

當(dāng)n>6時(shí)，Tn=S5+|Sn—S5尸S5—(Sn—S5)=2S5—SF

22

.,.Tn=2(-25+50)-(-n+10n)=n-10n+50

T=-n2+10nnW5

即《nnGN*

n2-10n+50n>6

說(shuō)明根據(jù)數(shù)歹m％｝中項(xiàng)的符號(hào)，運(yùn)用分類(lèi)討論思想可求｛la-｝的前n項(xiàng)和.

【例7】在等差數(shù)列｛、｝中，已知a6+ag+a[2+a]5=34,求前20項(xiàng)之和.

解法一由a6+a9+a12+a15=34得4al+38d=34

20X19

又$20=20a?+―;—d

2

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=20a1+190d=5(4a1+38d)=5X34=170

(aJ,+ain)X20

解法二S20=l—券一=10(a,+a20)

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a6+ai5=a9+a|2=a|+a2o.,.a|+a2o=17

S2O=17O

【例8】已知等差數(shù)列｛aj的公差是正數(shù)，且23?a7=-12,a4+a6=-4,求它的前20

項(xiàng)的和S20的值.

解法一設(shè)等差數(shù)列｛a.的公差為d,則d>0,由已知可得

(a,+2d)(a1+bd)=-12①

a1+3d+a,+5d=-4②

由②，有a[=-2—4d,代入①，有<12=4

再由d>0,得d=2Aaj-10

最后由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，可求得S20=180

解法二由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a4+a6=a3+a7即a3+a7=-4

又a3?a7=-12,由韋達(dá)定理可知：a3>a7是方程x?+4x-12=0的二根

解方程可得x『一6,X2=2Vd>0...｛%｝是遞增數(shù)列

??=-6,3J=2

a?-a?

d=；§=2,,=-10.S=180

a20

【例9】等差數(shù)列同｝、｛1｝的前n項(xiàng)和分別為Sn和％，若

sn_2n則警等于1

]

Tn-3n+1^100

2

A.1B.

3

199200

cD.

-麗301

分析該題是將浮與拿=并發(fā)生聯(lián)系，可用等差數(shù)列的前n項(xiàng)

Eoo13n+l

和公式Sn=唯；4)把前n項(xiàng)和的值與項(xiàng)的值進(jìn)行聯(lián)系.

Fdn(a.+a)n(b,+b)

解法一[nn

..Sn_a,+an.a,+an_2n

-

"Tnb,+bn??瓦+b”_3n+l

V2a|0()=a1+a199，2b100=b|+b199

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