中考數(shù)學(xué)講解

中考數(shù)學(xué)專題1動(dòng)態(tài)幾何問題

第一部分真題精講

【例1】如圖，在梯形，火<。中，ADBC,"）=3,7XSffF=10,梯形的高為4.動(dòng)點(diǎn)V從

。點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒2個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)「運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)',同時(shí)從「點(diǎn)出發(fā)沿線段（。以每

秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)/）運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，（秒）.

（1）當(dāng)\<\時(shí),求，的值；

（2）試探究：，為何值時(shí)，.為等腰三角形.

【思路分析1】本題作為密云卷壓軸題，自然有一定難度，題目中出現(xiàn)了兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，很多同學(xué)看到可能

就會(huì)無從下手。但是解決動(dòng)點(diǎn)問題，首先就是要找誰在動(dòng)，誰沒在動(dòng)，通過分析動(dòng)態(tài)條件和靜態(tài)條件之

間的關(guān)系求解。對(duì)于大多數(shù)題目來說，都有一個(gè)由動(dòng)轉(zhuǎn)靜的瞬間，就本題而言，M,N是在動(dòng)，意味

著BM,MC以及DN,NC都是變化的。但是我們發(fā)現(xiàn)，和這些動(dòng)態(tài)的條件密切相關(guān)的條件DC,BC長度都是

給定的，而且動(dòng)態(tài)條件之間也是有關(guān)系的。所以當(dāng)題中設(shè)定MN〃AB時(shí)，就變成了一個(gè)靜止問題。由

此，從這些條件出發(fā)，列出方程，自然得出結(jié)果。

【解析】

解：（1）由題意知，當(dāng)"、''運(yùn)動(dòng)到，秒時(shí)，如圖①，過門作/>/交團(tuán)于點(diǎn),則四邊形

JW是平行四邊形.

villDI：,HiVV.

??./"（根據(jù)第一講我們說梯形內(nèi)輔助線的常用做法，成功將MN放在三角形內(nèi)，將動(dòng)態(tài)問題

轉(zhuǎn)化成平行時(shí)候的靜態(tài)問題）

（這個(gè)比例關(guān)系就是將靜態(tài)與動(dòng)態(tài)聯(lián)系起來的關(guān)鍵）

10-2/t50

.?.III—，、.解得‘I7.

【思路分析2】第二問失分也是最嚴(yán)重的，很多同學(xué)看到等腰三角形，理所當(dāng)然以為是MN=NC即可,

于是就漏掉了MN=MC,MC=CN這兩種情況。在中考中如果在動(dòng)態(tài)問題當(dāng)中碰見等腰三角形，一定不要

忘記分類討論的思想，兩腰一底一個(gè)都不能少。具體分類以后，就成;為了較為簡單的解三角形問題，于

是可以輕松求解

【解析】

（2）分三種情況討論：

①當(dāng)"時(shí)，如圖②作."1此交”于作則有做2/（即.（利用等腰三角形底邊高也

是底邊中線的性質(zhì)）

蹴卷9鬻攙

V雪幕,

靜，

25

解得'x.

AD

/二

BMFC

②當(dāng)1八城時(shí)，如圖③，過”作!///1（。于H.

則t'、n”,

60

t=一

??17.

AD

/\JV

H

BMC

③當(dāng)：'，時(shí),

則||>>，?.

IQ

_256010

綜上所述，當(dāng)'X、1或；時(shí)，為等腰三角形.

【例2】在△ABC中，ZACB=455.點(diǎn)D(與點(diǎn)B、C不重合)為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD,以

AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.

(1)如果AB=AC.如圖，且點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng).試判斷線段CF與BD之間的位置關(guān)系，并證

明你的結(jié)論.

(2)如果ABWAC,如圖，，且點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng).(1)中結(jié)論是否成立，為什么？

(3)若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點(diǎn)P,設(shè)AC=4&,仇一3,

CD=J求線段CP的長.(用含，的式子表示)

【思路分析1】本題和上題有所不同，上一題會(huì)給出一個(gè)條件使得動(dòng)點(diǎn)靜止，而本題并未給出那個(gè)“靜

止點(diǎn)”，所以需要我們?nèi)シ治鲇蒁運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的變化圖形當(dāng)中，什么條件是不動(dòng)的。由題我們發(fā)現(xiàn)，正方

形中四條邊的垂直關(guān)系是不動(dòng)的，于是利用角度的互余關(guān)系進(jìn)行傳遞，就可以得解。

【解析】：

(1)結(jié)論：CF與BD位置關(guān)系是垂直；

證明如下：,:AB=AC,ZACB=45°,.?.NABC=45之

由正方形ADEF得AD=AF,vzDAF=ZBAC=90°,

AZDAB=ZFAC,??.△DAB=AFAC,AZACF=Z.ABD.

.-.ZBCF=ZACB+ZACF=90Q.BPCF±BD.

A

【思路分析2］這一問是典型的從特殊到一般的問法，那么思路很簡單，就是

從一般中構(gòu)筑一個(gè)特殊的條件就行，于是我們和上題一樣找AC的垂線，就可以變成第一問的條件，然

后一樣求解。

(2)CF±BD.⑴中結(jié)論成立.

理由是：過點(diǎn)A作AGLAC交BC于點(diǎn)G,??.AC=AG

可證：△GAD2ACAF??ZACF=ZAGD=45。

ZBCF=ZACB+ZACF=90.即CF_LBD

【思路分析3］這一問有點(diǎn)棘手，D在BC之間運(yùn)動(dòng)和它在BC延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)的位置是不一樣的，所

以已給的線段長度就需要分情況去考慮到底是4+X還是4-Xo分類討論之后利用相似三角形的比例關(guān)

系即可求出CP.

(3)過點(diǎn)A作AQ，BC交CB的延長線于點(diǎn)Q,

①點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

力

6BDC?zBCA=45。，可求出AQ=CQ=4.DQ=4-x,

CPCDCPX

易證△AQDDCP,.?.預(yù)X。，4-x4,

/.CP=--+x

4

②點(diǎn)D在線段BC延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

vzBCA=45。，可求出AQ=CQ=4,DQ=4+x.

過A作4G1“交CB延長線于點(diǎn)G,則MGDzMCF.CFXBD,

烏?出4J焉帝

△AQDDCP,%,A4+x4,P

：.CP^—+x

4

【例3】已知如圖，在梯形中，AD〃BC,AD=2,BC=4,點(diǎn)”是，4。的中點(diǎn)，△M8C是等

邊三角形.

(1)求證：梯形是等腰梯形；

(2)動(dòng)點(diǎn)P、。分別在線段8c和上運(yùn)動(dòng)，且/凡?。=60。保持不變.設(shè)PC=x,MQ尸求

，與K的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在(2)中，當(dāng)>'取最小值時(shí)，判斷△尸。。的形狀，并說明理由.

【思路分析1】本題有一點(diǎn)綜合題的意味，但是對(duì)二次函數(shù)要求不算太高，重點(diǎn)還是在考察幾何方面。

第一問純靜態(tài)問題，自不必說，只要證兩邊的三角形全等就可以了。第二問和例1一樣是雙動(dòng)點(diǎn)問題，

所以就需要研究在P,Q運(yùn)動(dòng)過程中什么東西是不變的。題目給定乙MPQ=60。，這個(gè)度數(shù)的意義在哪里?

其實(shí)就是將靜態(tài)的那個(gè)等邊三角形與動(dòng)態(tài)條件聯(lián)系了起來.因?yàn)樽罱K求兩條線段的關(guān)系，所以我們很自

然想到要通過相似三角形找比例關(guān)系.怎么證相似三角形呢？當(dāng)然是利用角度咯.于是就有了思路.

【解析】

(1)證明：???是等邊三角形

...MB=MC,NMBC=NMCB=60°

???M是4D中點(diǎn)

AM=MD

AD〃BC

...ZJJWB=Z.W8C=60°,

ZDMC=Z.WCB=60°

:.AAMB烏ADMC

...AB=DC

梯形/BCO是等腰梯形.

(2)解：在等邊△MBC中，MB=MC=BC=4,NMBC=NMCB=60。,

NMP0=6O。

/8MP+/BPM=N8PM+/QPC=120。(這個(gè)角度傳遞非常重要，大家要仔細(xì)揣摩)

...NBMP=/QPC

...

PCCQ

~BM-~BP

...PC=x,MQ=y...BP-4-QC=4-y

-=------y=-x-x+4

??.44-x4（設(shè)元以后得出比例關(guān)系，輕松化成二次函數(shù)的樣子）

【思路分析2】第三問的條件又回歸了當(dāng)動(dòng)點(diǎn)靜止時(shí)的問題。由第二問所得的二次函數(shù)，很輕易就可以

求出當(dāng)X取對(duì)稱軸的值時(shí)Y有最小值。接下來就變成了“給定PC=2,求^PQC形狀”的問題了。由已知

的BC=4,自然看出P是中點(diǎn)，于是問題輕松求解。

（3）解：△尸。。為直角三角形

'+3

4

???當(dāng)I取最小值時(shí)，》=PC=2

P是的中點(diǎn)，MP18C,而/=60。，

...NCPQ=30。，

4PQC=90°

以上三類題目都是動(dòng)點(diǎn)問題，這一類問題的關(guān)鍵就在于當(dāng)動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)中出現(xiàn)特殊條件，例如某邊相等，某

角固定時(shí)，將動(dòng)態(tài)問題化為靜態(tài)問題去求解。如果沒有特殊條件，那么就需要研究在動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)中哪些條

件是保持不變的。當(dāng)動(dòng)的不是點(diǎn)，而是一些具體的圖形時(shí)，思路是不是一樣呢？接下來我們看另外兩道

題.

【例4】已知正方形小"中，”為對(duì)角線上一點(diǎn)，過廣點(diǎn)作匚；初交/“.于“，連接”，

/為"中點(diǎn),連接八，（（；.

（1）直接寫出線段入，與㈠，的數(shù)量關(guān)系；

（2）將圖1中\(zhòng)斯丁繞H點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)：',如圖2所示，取//中點(diǎn)（，，連接

你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明.

（3）將圖1中\(zhòng)切下繞"點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖3所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否

仍然成立？（不要求證明）

【思路分析1】這一題是一道典型的從特殊到一般的圖形旋轉(zhuǎn)題。從旋轉(zhuǎn)45。到旋轉(zhuǎn)任意角度，要求考

生討論其中的不動(dòng)關(guān)系。第一問自不必說，兩個(gè)共斜邊的直角三角形的斜邊中線自然相等。第二問將4

BEF旋轉(zhuǎn)45。之后，很多考生就想不到思路了。事實(shí)上，本題的核心條件就是G是中點(diǎn)，中點(diǎn)往往意味

著一大票的全等關(guān)系，如何構(gòu)建一對(duì)我們想要的全等三角形就成為了分析的關(guān)鍵所在。連接AG之后，

拋開其他條件，單看G點(diǎn)所在的四邊形ADFE,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)梯形，于是根據(jù)我們在第一講專題

中所討論的方法，自然想到過G點(diǎn)做AD,EF的垂線。于是兩個(gè)全等的三角形出現(xiàn)了。

(1)((；/：(；

(2)(1)中結(jié)論沒有發(fā)生變化，即(o

證明：連接《，過(，點(diǎn)作I八'f〃于"，與/的延長線交于''點(diǎn).

在與UN匕中,

ADCD.^AIX,優(yōu)二兇,

th(3.

在SI"；與中,

?.一/)(；”A./-(；/>(...\fix>ZV/-G',

\/)”(，XI\(i.

X!(iX(t

在矩形\v中，I\t?■?.

在Ri\11"；與Hi中，

?.-iif小nmNG,

CCMX(i.

f(1-/.().

【思路分析2】第三問純粹送分，不要求證明的話幾乎所有人都會(huì)答出仍然成立。但是我們不應(yīng)該止步

于此。將這道題放在動(dòng)態(tài)問題專題中也是出于此原因，如果△BEF任意旋轉(zhuǎn)，哪些量在變化，哪些量

不變呢？如果題目要求證明，應(yīng)該如何思考。建議有余力的同學(xué)自己研究一下，筆者在這里提供一個(gè)思

路供參考：在^BEF的旋轉(zhuǎn)過程中，始終不變的依然是G點(diǎn)是FD的中點(diǎn)?？梢匝娱L一倍EG到H,從

而構(gòu)造一個(gè)和EFG全等的三角形，利用BE=EF這一條件將全等過渡。要想辦法證明三角形ECH是一個(gè)

等腰直角三角形，就需要證明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度變換關(guān)系就可以得證了。

(3)(1)中的結(jié)論仍然成立.

圖3

【例5】已知正方形ABCD的邊長為6cm,點(diǎn)E是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE交射線DC于點(diǎn)F,

將△ABE沿直線AE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處.

HE

(1)當(dāng)C:-1時(shí)，CF=cm,

BE

(2)當(dāng)Ci=2時(shí)，求sinZDAB'的值;

BE

(3)當(dāng)l，=x時(shí)(點(diǎn)C與點(diǎn)E不重合)，請寫出△ABE翻折后與正方形ABCD

公共部分的面積y與x的關(guān)系式，(只要寫出結(jié)論，不要解題過程).

【思路分析】動(dòng)態(tài)問題未必只有點(diǎn)的平移，圖形的旋轉(zhuǎn)，翻折(就是軸對(duì)稱)也是一大熱點(diǎn)。這一題是

朝陽卷的壓軸題，第一問給出比例為1,第二問比例為2,第三問比例任意，所以也是一道很明顯的從

一般到特殊的遞進(jìn)式題目。同學(xué)們需要仔細(xì)把握翻折過程中哪些條件發(fā)生了變化，哪些條件沒有發(fā)生變

化。一般說來，翻折中，角，邊都是不變的，所以軸對(duì)稱圖形也意味著大量全等或者相似關(guān)系，所以要

利用這些來獲得線段之間的比例關(guān)系。尤其注意的是，本題中給定的比例都是有兩重情況的，E在BC

上和E在延長線上都是可能的，所以需要大家分類討論，不要遺漏。

【解析】

(1)CF=6cm；(延長之后一眼看出，EAZY)

(2)①如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，延長AB'交DC于點(diǎn)M,

RE

?.t：=2,CF=3.

VAB||CF,.-.zBAE=ZF.

又2BAE=ZB'AE,NB'AE=zF.MA=MF.

設(shè)MA=MF=k,則MC=k-3,DM=9-k.

在RtAADM中，由勾股定理得：

②如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在BC延長線上時(shí)，延長AD交B'E于點(diǎn)N,

同①可得NA=NE.

設(shè)NA=NE=m,則B'N=12-m.

在Rt^AB'N中，由勾股定理，得

15Q

m22+62,解得m=AN=:.B，N=2.

BN3

sinNDAB'=；\5.

IXx

（3）①當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，y=、

（所求△AB'E的面積即為△ABE的面積，再由相似表示出邊長）

②當(dāng)點(diǎn)E在BC延長線上時(shí)，y=■，.

【總結(jié)】通過以上五道例題，我們研究了動(dòng)態(tài)幾何問題當(dāng)中點(diǎn)動(dòng)，線動(dòng)，乃至整體圖形動(dòng)這么幾種可

能的方式。動(dòng)態(tài)幾何問題往往作為壓軸題來出，所以難度不言而喻，但是希望考生拿到題以后不要慌張，

因?yàn)闊o論是題目以哪種形態(tài)出現(xiàn)，始終把握的都是在變化過程中那些不變的量。只要條分縷析，一個(gè)個(gè)

將條件抽出來，將大問題化成若干個(gè)小問題去解決，就很輕松了.為更好的幫助考生，筆者總結(jié)這種問題

的一般思路如下：

第一、仔細(xì)讀題，分析給定條件中那些量是運(yùn)動(dòng)的，哪些量是不動(dòng)的。針對(duì)運(yùn)動(dòng)的量，要分析它是如何

運(yùn)動(dòng)的，運(yùn)動(dòng)過程是否需要分段考慮，分類討論。針對(duì)不動(dòng)的量，要分析它們和動(dòng)量之間可能有什么關(guān)

系，如何建立這種關(guān)系。

第二、畫出圖形，進(jìn)行分析，尤其在于找準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)過程中靜止的那一瞬間題目間各個(gè)變量的關(guān)系。如果沒

有靜止?fàn)顟B(tài)，通過比例，相等等關(guān)系建立變量間的函數(shù)關(guān)系來研究。

第三、做題過程中時(shí)刻注意分類討論，不同的情況下題目是否有不同的表現(xiàn)，很多同學(xué)丟分就丟在沒有

討論，只是想當(dāng)然看出了題目所給的那一種圖示方式，沒有想到另外的方式，如本講例5當(dāng)中的比例關(guān)

系意味著兩種不一樣的狀況，是否能想到就成了關(guān)鍵。

第二部分發(fā)散思考

【思考1】已知：如圖（1）,射線射線階,"，是它們的公垂線，點(diǎn)”、C分別在M

，八’上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)八與點(diǎn)」不重合、點(diǎn)（與點(diǎn)〃不重合）,，.是I"邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)八與」、〃不重

合），在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持瀛，且徵密嬲口畿

（1）求證：

（2）如圖（2）,當(dāng)點(diǎn)“為邊的中點(diǎn)時(shí)，求證：避^酶口蠹；

（3）設(shè)請?zhí)骄浚旱闹荛L是否與，〃值有關(guān)？若有關(guān)，請用含有，”的代數(shù)式表示

\陰（的周長；若無關(guān)，請說明理由.

ADMADM

BCNBCN

第25題(D第25題(2)

【思路分析】本題動(dòng)點(diǎn)較多，并且是以和的形式給出長度。思考較為不易，但是圖中有多個(gè)直角三角形,

所以很自然想到利用直角三角形的線段、角關(guān)系去分析。第三問計(jì)算周長，要將周長的三條線段分別轉(zhuǎn)

化在一類關(guān)系當(dāng)中，看是否為定值，如果是關(guān)于M的函數(shù)，那么就是有關(guān)，如果是一個(gè)定值，那么就

無關(guān)，于是就可以得出結(jié)論了。

【思考2】AABC是等邊三角形，P為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BP=BA,若“YNPBC<180。，

且ZPBC平分線上的一點(diǎn)D滿足DB=DA,

(1)當(dāng)BP與BA重合時(shí)(如圖1),ZBPD=°；

(2)當(dāng)BP在ZABC的內(nèi)部時(shí)(如圖2),求ZBPD的度數(shù)；

(3)當(dāng)BP在乙ABC的外部時(shí)，請你直接寫出ZBPD的度數(shù)，并畫出相應(yīng)的圖形.

【思路分析】本題中，和動(dòng)點(diǎn)P相關(guān)的動(dòng)量有NPBC,以及D點(diǎn)的位置，但是不動(dòng)的量就是BD是平分

線并且DB=DA,從這幾條出發(fā)，可以利用角度相等來找出相似、全等三角形。事實(shí)上，P點(diǎn)的軌跡就

是以B為圓心，BA為半徑的一個(gè)圓，那D點(diǎn)是什么呢？留給大家思考一下?

【思考3】如圖：已知，四邊形ABCD中，AD//BC,DC±BC,已知AB=5,BC=6,cosB=.

點(diǎn)0為BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)0D,以。為圓心，B0為半徑的。0分別交邊AB于點(diǎn)P,交線段

0D于點(diǎn)M,交射線BC于點(diǎn)N,連結(jié)MN.

(1)當(dāng)BO=AD時(shí)，求BP的長；

(2)點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在BP=MN的情況？若存在，請求出當(dāng)B0為多長時(shí)BP=MN；若不

存在，請說明理由；

心，CN為半徑作OC,請直接寫出當(dāng)OC存在時(shí)，。0與OC的位置關(guān)系，以及相應(yīng)的OC半徑

CN的取值范圍。

【思路分析】這道題和其他題目不同點(diǎn)在于本題牽扯到了有關(guān)圓的動(dòng)點(diǎn)問題。在和圓有關(guān)的問題當(dāng)中，

時(shí)刻不要忘記的就是圓的半徑始終相等這一個(gè)隱藏的靜態(tài)條件。本題第一問比較簡單，等腰梯形中的計(jì)

算問題。第二問則需要用設(shè)元的方法表示出MN和BP,從而討論他們的數(shù)量關(guān)系。第三問的猜想一定

要記得分類分情況討論。

【思考4】在nABCD中，過點(diǎn)c作CE，CD交AD于點(diǎn)E,將線段EC繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)9()得到線段

EF(如圖1)

(1)在圖1中畫圖探究：

①當(dāng)P為射線CD上任意一點(diǎn)(P1不與C重合)時(shí)，連結(jié)EP1繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段EC1

判斷直線FC1與直線CD的位置關(guān)系，并加以證明；

②當(dāng)P2為線段DC的延長線上任意一點(diǎn)時(shí)，連結(jié)EP2,將線段EP2繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)伏)'得到線段

EC2.判斷直線C1C2與直線CD的位置關(guān)系，畫出圖形并直接寫出你的結(jié)論.

4

(2)若AD=6,tanB=5,AE=1,在①的條件下，設(shè)CPl=x,s°卜(；=)',求)'與x之間的函數(shù)關(guān)系

式，并寫出自變量x的取值范圍.

【思路分析】本題是去年中考原題，雖不是壓軸，但動(dòng)點(diǎn)動(dòng)線一起考出來，難倒了不少同學(xué)。事實(shí)上就

在于如何把握這個(gè)旋轉(zhuǎn)90。的條件。旋轉(zhuǎn)90。自然就是垂直關(guān)系，于是又出現(xiàn)了一堆直角三角形，于是

證角，證線就手到擒來了。第二問一樣是利用平行關(guān)系建立函數(shù)式，但是實(shí)際過程中很多同學(xué)依然忘記

分類討論的思想，漏掉了很多種情況，失分非?？上А＝ㄗh大家仔細(xì)研究這道中考原題，按照上面總結(jié)

的一般思路去拆分條件，步步為營的去解答。

第三部分思考題解析

【思考1解析】

(1)證明：:躡AM,”.

又?:蜃口幽口爵，=90=.

AHEC=Z.EDA...MDE?.

AD

第25也(2)證明:如圖，過點(diǎn)/?:作〃”交")于點(diǎn)”,

/：/-1(I/)HC\

!是的中點(diǎn)，容易證明

在融嬲解中.???/)“(.”，嚴(yán)W翻

由（1）知A/MC,

A1/比?的周K\1）翻s_"+，〃

:.ABl-ClF'jM；t</?/,.go?12u.

A/MC的周長at切w:的周長-2a,

??.(的周長與"/值無關(guān).

【思考2答案】

解：(1)ZBPD=30°；

(2)如圖8,連結(jié)CD.

解一：???點(diǎn)D在ZPBC的平分線上，

：?z1=z2.

???△ABC是等邊三角形,

限S.?.BA=BC=AC,ZACB=60°.

??BP=BA,

??BP=BC.

??BD=BD,

?.△PBD=ACBD.

??ZBPD=Z3.--------------------------3分

??DB=DA,BC=AC,CD=CD,

??△BCD=△ACD.

Z3=Z4=-ZJCa=30<,

???ZBPD=30°.

解二：???△ABC是等邊三角形，

???BA=BC=AC.

???DB=DA,

???CD垂直平分AB.

???

???BP=BA,

??.BP=BC.

???點(diǎn)D在NPBC的平分線上，

??.△PBD與△CBD關(guān)于BD所在直線對(duì)稱.

:.ZBPD=Z3.

???ZBPD=30°.

(3)乙BPD=30。或150°.

圖形見圖9、圖10.

【思考3解析】

解：(1)過點(diǎn)A作AE，BC,在RtAABE中，由AB=5,cosB=、得BE=3.

CD±BC,AD//BC,BC=6,

：.AD=EC=BC-BE=3.

當(dāng)BO=AD=3時(shí)，在OO中，過點(diǎn)0作OH，AB,則BH=HP

BP=v.

(2)不存在BP=MN的情況-

假設(shè)BP=MN成立，

???BP和MN為O0的弦，則必有ZBOP=zDOC.

過P作PQ，BC,過點(diǎn)。作OH，AB,

???CDXBC,則有△PQO八DOC-

-x

設(shè)BO=x,則PO=x，由齷S,得BH=5,

6

—X

???BP=2BH=5.

1824

—x——x

:.BQ=BPxcosB=、,PQ=、.

??0

_29629

當(dāng)‘八時(shí)，BP='=、＞5=AB,與點(diǎn)P應(yīng)在邊AB上不符,

不存在BP=MN的情況.

（3）情況一：00與0（：相外切，此時(shí)，0VCNV6；---7分

情況二：00與。C相內(nèi)切，此時(shí)，OVCNV、——8分

【思考4解析】

解：（1）①直線與直線CO的位置關(guān)系為互相垂直.

證明：如圖1,設(shè)直線/6與直線的交點(diǎn)為〃.

...線段EC、分別繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。依次得到線段EF、EG、,

.NREG=NCEF=90°,EG,=3，EF=EC

..NG、EF=90°-2REFZPyEC=90。-ZF\EF

.NGFF=NREC

.△〃￡1(7

.NG"=NRCE

ECLCD,

.N[CE=90°

.ZG,FE=90°

:.AEFH=90°.

...ZFWC=90°.

.FG,±CD

②按題目要求所畫圖形見圖1,直線GQ?與直線CO的位置關(guān)系為互相垂直.

(2)?四邊形4BCD是平行四邊形，

4B=ZADC.

4

力。=6,AE=Ltan/?=—

"3,

4

DE=5.tanZ.EBC=tan=—

3.

可得C￡=4.

由(1)可得四邊形EEC”為正方形.

①如圖2,當(dāng)4點(diǎn)在線段CH的延長線上時(shí),

..FCJ}=CPX=x,PXH=x-4

c]"nuX(X-4)

S&RFG、-QXFGtxPtH--

y=—x2-2x(x>4)

②如圖3,當(dāng)《點(diǎn)在線段。，上(不與。、，兩點(diǎn)重合)時(shí),

vFGt=CP,=x,I]H=x-4

力百弓股x[〃=若立

y=—x2+2x(0<x<4)

2?

③當(dāng)6點(diǎn)與〃點(diǎn)重合時(shí)，即》=4時(shí)，△[6"不存在.

y=—x2-2x(x>4)

綜上所述，y與％之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍是’2或

y=+2x(0<x<4)

中考數(shù)學(xué)專題2多種函數(shù)交叉綜合問題

【例1】將直線’沿『軸向下平移后，得到的直線與「軸交于點(diǎn)與雙曲線眄軸%

于點(diǎn)H.

⑴求直線小的解析式；

⑵若點(diǎn)仃的縱標(biāo)為，“，求人的值(用含有"，的式子表示).

【思路分析】這種平移一個(gè)一次函數(shù)與反比例函數(shù)交與某一點(diǎn)的題目非常常見，一模中有多套題都是

這樣考法。題目一般不難，設(shè)元以后計(jì)算就可以了。本題先設(shè)平移后的直線，然后聯(lián)立即可。比較簡

單，看看就行.

【解析】將直線「卜沿，軸向下平移后經(jīng)過x軸上點(diǎn)A(4°),

設(shè)直線AB的解析式為14x?b

則感

解得b9.

???直線AB的解析式為I八

圖3

(2)設(shè)點(diǎn)白的坐標(biāo)為一一”,

???直線M經(jīng)過點(diǎn)〃，

...，…49.

二”點(diǎn)的坐標(biāo)為k翻』，

A

???點(diǎn)〃在雙曲線‘一tC'川上,

【例2】如圖，一次函數(shù)1,一’的圖象與反比例函數(shù)’，的圖象相交于A、B兩點(diǎn).

(1)求出這兩個(gè)函數(shù)的解析式;

(2)結(jié)合函數(shù)的圖象回答：當(dāng)自變量x的取值范圍滿足什么條件時(shí)，:一

【思路分析】第一問直接看圖寫出A,B點(diǎn)的坐標(biāo)(-6,-2)(4,3),直接代入反比例函數(shù)中求m,建

立二元一次方程組求k,b。繼而求出解析式。第二問通過圖像可以直接得出結(jié)論。本題雖然簡單，但是

事實(shí)上卻有很多變化。比如不給圖像，直接給出解析式求'的區(qū)間，考生是否依然能反映到用圖像

來看區(qū)間。數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)當(dāng)中非常重要的一個(gè)思想，希望大家要活用這方面的意識(shí)去解題。

【解析】

m

解：(1)由圖象知反比例函數(shù)」，的圖象經(jīng)過點(diǎn)B(4,3),

3=-

????m=12.-

???反比例函數(shù)解析式為..

由圖象知一次函數(shù),卜,’的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-6,—2),B[4,3),

Ja+〃=-2.

...'解得II...

_I

一次函數(shù)解析式為‘二'.

(2)當(dāng)Ovx<4或xv—6時(shí)，

【例3】已知：如圖，正比例函數(shù)「小的圖象與反比例函數(shù)"，的圖象交于點(diǎn)1日」

MD

(1)試確定上述正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)根據(jù)圖象回答，在第一象限內(nèi)，當(dāng)丫取何值時(shí)，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值？

(3)，，，是反比例函數(shù)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，其中一”，：，過點(diǎn)u作直線”3，軸，交「軸于點(diǎn)

N；過點(diǎn)i作直線-f!，軸交：軸于點(diǎn)「，交直線I傳于點(diǎn)I).當(dāng)四邊形的面積為6時(shí)，請判

斷線段0”與?！钡拇笮￡P(guān)系，并說明理由.

【思路分析】第一問由于給出了一個(gè)定點(diǎn)，所以直接代點(diǎn)即可求出表達(dá)式。第二問則是利用圖像去分

析兩個(gè)函數(shù)的大小關(guān)系，考生需要對(duì)坐標(biāo)系有直觀的認(rèn)識(shí)。第三問略有難度，一方面需要分析給出四

邊形0ADM的面積是何用意，另一方面也要去看BM,DM和圖中圖形面積有何關(guān)系.視野放開就發(fā)現(xiàn)四

邊形其實(shí)就是整個(gè)矩形減去兩個(gè)三角形的剩余部分，直接求出矩形面積即可.部分同學(xué)會(huì)太在意四邊形

的面積如何求解而沒能拉出來看，從而沒有想到思路，失分可惜.

【解析】

k

解：(1)將"二吩別代入，中；一

2」

得2"~3

???反比例函數(shù)的表達(dá)式為:

正比例函數(shù)的表達(dá)式為

(2)觀察圖象得，在第一象限內(nèi)，當(dāng)H一；時(shí),

反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值.

3)A'U

理由：???,

VAC10(',

嘲嬲穗崛.(很巧妙的利用了和的關(guān)系求出矩形面積)

【例4】已知：tQ與」，兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)為“孫”I,且州-，加一，是關(guān)于：的一元二次

方程崎曲海岸>&理赧的兩個(gè)不等實(shí)根，其中r為非負(fù)整數(shù).

(1)求人的值；

(2)求.」「的值；

(3)如果「小訓(xùn)與函數(shù);工和、交于」」>兩點(diǎn)(點(diǎn)；在點(diǎn)打的左側(cè))，線段’2,

求，的值.

【思路分析】本題看似有一個(gè)一元二次方程，但是本質(zhì)上依然是正反比例函數(shù)交點(diǎn)的問題。第一問直

接用判別式求出k的范圍，加上非負(fù)整數(shù)這一條件得出k的具體取值。代入方程即可求出m,n,繼

而求得解析式。注意題中已經(jīng)給定m<n,否則仍然注意要分類討論。第三問聯(lián)立方程代入以后將A,B表

示出來，然后利用:構(gòu)建方程即可。

【解析】(1)A(式7>'

49

*<--

4。

???￡為非負(fù)整數(shù)，

...葡曲翹力^愿題為一元二次方程

卜I

(2)把；.代入方程得、、一4U,解得<Ll4

,:n

???陽I?〃J

hI3

把m=L〃=4代入；心與

可得u—I.A—I

(3)把?，代入‘“.與'，

(c\J4134(-3

可得Z"I由L可得，42

解得，、■'J經(jīng)檢驗(yàn)，''為方程的根。

...I；2,1.8

曲v1

【例5】已知：如圖，一次函數(shù)尸量配鐲與反比例函數(shù)’、的圖象在第一象限的交點(diǎn)為彳山卬).

(1)求，”與n的值；

(2)設(shè)一次函數(shù)的圖像與：軸交于點(diǎn)H,連接(U,求，「，」的度數(shù).

【思路分析】如果一道題單純考正反比例函數(shù)是不會(huì)太難的，所以在中考中經(jīng)常會(huì)綜合一些其他方面

的知識(shí)點(diǎn)。比如本題求角度就牽扯到了勾股定理和特定角的三角函數(shù)方面，需要考生思維轉(zhuǎn)換要迅速。

第一問比較簡單，不說了。第二問先求出A,B具體點(diǎn)以后本題就變化成了一道三角形內(nèi)線段角的計(jì)算問

題，利用勾股定理發(fā)現(xiàn)OB=OA,從而NBAO=zABO,然后求出乙BAO即可。

解：(1)???點(diǎn)"I㈤在雙曲線'x上,

又???”一在直線護(hù)期班上,

E

(2)過點(diǎn)A作AM_Lx軸于點(diǎn)M.

???直線/仁萼與:軸交于點(diǎn)

解得、

.,?點(diǎn)!(的坐標(biāo)為':

二""

,?,點(diǎn)；的坐標(biāo)為3；”,

在RtA中，期幽姿潮

AMl

Z40W、'3

AIan()M

由勾股定理，得"I

OAOil.

￡BA()-ZJ0.W-3<r

【總結(jié)】中考中有關(guān)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的問題一般都是成對(duì)出現(xiàn)的。無非也就一下這么幾個(gè)考點(diǎn)：

1、給交點(diǎn)求解析式；2,y的比較，3,夾雜進(jìn)其他幾何問題。除了注意計(jì)算方面的問題以外，還需

要考生對(duì)數(shù)形結(jié)合，分類討論的思想掌握熟練。例如y的比較這種問題，純用代數(shù)方式通常需要去解一

個(gè)一元二次不等式，但是如果用圖像去做就會(huì)比較簡單了。總體來說這類問題不難，做好細(xì)節(jié)就可以取

得全分。

第二部分發(fā)散思考

y=—(x>0)

【思考1］如圖，A、B兩點(diǎn)在函數(shù).x的圖象上.

(1)求的值及直線AB的解析式；

(2)如果一個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么我們稱這個(gè)點(diǎn)是格點(diǎn).請直接寫出圖中陰影部分(不包

括邊界)所含格點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

【思路分析】由于已經(jīng)給出了點(diǎn)，第一問沒有難度。第二問在于要分析有哪些格點(diǎn)在雙曲線的邊界上,

哪些格點(diǎn)在其中。保險(xiǎn)起見直接用1-6的整數(shù)挨個(gè)去試，由于數(shù)量較少，所以可以很明顯看出。

m

一次函數(shù)I-4?>的圖象與反比例函數(shù)■X的圖象交

蜃翻5蟬幽于兩點(diǎn)，直線.46分別交」軸、，軸于兒(.兩點(diǎn).

(1)求上述反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;

AI)

(2)求(”的值.

【思路分析】第一問一樣是用代點(diǎn)以及列二元一次方程組去求解析式。第二問看到比例關(guān)系，考生需

要第一時(shí)間想到是否可以用相似三角形去分析。但是圖中并未直接給出可能的三角形，所以需要從A

引一條垂線來構(gòu)成一對(duì)相似三角形，從而求解。

【思考3】已知：關(guān)于x的一元二次方程kx2+(2k-3)x+k—3=0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根(k<0).

(1)用含k的式子表示方程的兩實(shí)數(shù)根；

。：)設(shè)方程的兩實(shí)數(shù)根分別是工，X2(其中1:工)，若一次函數(shù)y=(3k—l)x+b與反比例函數(shù)y

b

=『的圖像都經(jīng)過點(diǎn)(xl,kx2),求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式.

【思路分析】本題是一道多種函數(shù)交叉的典型例題，一方面要解方程，另一方面還要求函數(shù)解析式。

第一問求根，直接求根公式去做。第二問通過代點(diǎn)可以建立一個(gè)比較繁瑣的二元一次方程組，認(rèn)真計(jì)算

就可以。

【思考4］如圖，反比例函數(shù),t的圖象過矩形OABC的頂點(diǎn)B,OA、0C分別在x軸、y軸的正

半軸上，0A：0C=2：1.

(1)設(shè)矩形OABC的對(duì)角線交于點(diǎn)E,求出E點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)若直線)-+用平分矩形OABC面積，求用的值

【思路分析】本題看似麻煩，夾雜了一次函數(shù)與反比例函數(shù)以及圖形問題。但是實(shí)際上畫出圖，通過

比例可以很輕易發(fā)現(xiàn)B點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)關(guān)系，巧妙設(shè)點(diǎn)就可以輕松求解。第二問更不是難題，平分面積

意味著一定過B點(diǎn)，代入即可。

第三部分思考題解析

【思考1解析】

(1)由圖象可知，函數(shù)(-r>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)4L6),

可得"7=6.

設(shè)直線AB的解析式為.V:K+b.

...4(1,6),5(6,1)兩點(diǎn)在函數(shù).y=H+6的圖象上,

k+b=6,[Zr=L

?*

6k+b=l.解得[b=7.

???直線4?的解析式為.”-x+7.

(2)圖中陰影部分(不包括邊界)所含格點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3.

【思考2解析】

(1)把.i-3,J7代入3K,得：，“一-工

3

把i-工(-1；A2,――二分別代入

-34+6=1

,k2k?h°

「心+人得2,(第16題答圖)

『■T1

3

I酶―廠I《I

解得片喝，一次函數(shù)的解析式為'2'2.

(2)過點(diǎn)4作(￡1)軸于點(diǎn)E.

??T點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,球I.

v-1|0.

由一次函數(shù)的解析式為’22得(點(diǎn)的坐標(biāo)為?，

/.0(=-

2.

在和哪豳幽嬲中./((〃)/.1//)15,.(IX)-.ADE,

ADAE

CDCO

【思考3解析】

解：(】),kx2+(2k—3)x+k—3=0是關(guān)于x的一元二次方程.

,

&A?(2i-3)-4*(*-3)=9

由求根公式，得

??一次函數(shù)的解析式為「l6r8,反比例函數(shù)的解析式為'-r

【思考4解析】

(1)由題意，設(shè)貝!J

???B在第一象限，

u2.B(4,2)

??.矩形OABC對(duì)角線的交點(diǎn)E為!"-?>

(2)?.?直線-2,x+州平分矩形OABC必過點(diǎn)S3

???l=2x2+m

m=-3

專題3.歸納與猜想

一、知識(shí)綜述

歸納是一種重要的推理方法，是根據(jù)具體事實(shí)和特殊現(xiàn)象，通過實(shí)驗(yàn)、觀察、比較、概括出一般的原理

和結(jié)論。猜想是一種直覺思維，它是通過對(duì)研究對(duì)象的實(shí)驗(yàn)、觀察和歸納、猜想它的規(guī)律和結(jié)論的一

種思維方法。

猜想往往依據(jù)直覺來獲得，而恰當(dāng)?shù)臍w納可以使猜想更準(zhǔn)確。我們在進(jìn)行歸納和猜想時(shí)，要善于從變化

的特殊性中尋找出不變的本質(zhì)和規(guī)律。

二、理解掌握

例1、用等號(hào)或不等號(hào)填空：

(1)比較2x與x2+1的大小

①當(dāng)x=2時(shí)，2xx2+1；

②當(dāng)x=l時(shí)，2xx2+1；

③當(dāng)x=ll時(shí)，2xx2+1.

(2)可以推測：當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，2xx2+1.

分析：本題是通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)和猜想一般規(guī)律題，正確計(jì)算和發(fā)現(xiàn)規(guī)律是關(guān)鍵。

解：(1)V,=,V；(2)<0

例2、觀察下列分母有理化的計(jì)算：

分析：解本題時(shí)，要抓住分每有理化后的結(jié)果都是兩數(shù)之差，且可以錯(cuò)位相消。還要注意相消后所剩下

的是什么。

(-=—B4—=——+—=—-=+…+廣—^^?XV2002+1)

解：s'+V2、4+、2<2002+<2001

_-<1+-T2+、4-、、+…+2002—<2001乂、'2002+1)

=IH\'0(1??1)

=2002—1

=2001。

例3、觀察下列數(shù)表：

1234...第一行

2345...第二行

3456...第二行

4567...第四行

第一列第二列第三列第四列

根據(jù)數(shù)表所反映的規(guī)律，猜想第6行與第6列的交叉點(diǎn)上的數(shù)應(yīng)為,第n行與第n列交叉點(diǎn)上

的數(shù)應(yīng)為o（用含正整數(shù)n的式子表示）

分析：本題要求的是同行同列交叉點(diǎn)上的數(shù)，因此，必須先研究同行同列交叉點(diǎn)上的數(shù)有什么規(guī)律，然

后利用此規(guī)律解題。

解：11,2n—1.

例4、將一個(gè)邊長為1的正方形紙，剪成四個(gè)大小一樣的正方形，然后將其中的一個(gè)按同樣的方法剪成

四個(gè)正方形，如此循環(huán)下去，觀察下列圖形和所給表格中的數(shù)據(jù)后填空格。

操作的123...10…n……

次數(shù)

正方形4710……

個(gè)數(shù)

分析：解本題的關(guān)鍵是：先歸納總結(jié)操作的次數(shù)與正方形個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，再猜想空格中的結(jié)果。

解：操作的次數(shù)是10時(shí)，正方形個(gè)數(shù)為31；操作的次數(shù)是n時(shí)，正方形個(gè)數(shù)為l+3n.

例5、下面三個(gè)圖是由若干盆花組成形如三角形的圖案，每條邊（包括頂點(diǎn)）有n（n>l）盆花，每個(gè)圖

案花盆總數(shù)為S,按此規(guī)律推斷，S與n的關(guān)系式是o

n=2n=3n=4

S=3S=6S=9

分析：題目給出了“每條邊(包括頂點(diǎn))有n(n>l)盆花”，而三角形有三條邊，因此，三條邊上的的花

盆數(shù)量為3n,但每個(gè)頂點(diǎn)上的花盆用了兩次，必須減去。所以S=3n—3。

解：S=3n—3o

三、拓寬應(yīng)用

例6、⑴如下表：方程1,方程2,方程3,......,是按照一定規(guī)律排列的一列方程，解方程1,并將

它的解填在表中的空白處：

序號(hào)方程方程的解

1"」一=|.V―X,-

xx-2

2再-4、、6

3雪旦戰(zhàn)田=5-8

⑵若方程腐斯榭刈"的解是t3L。，求a,b的值，該方程是不是⑴中所給出的一

列方程中的一個(gè)方程？如果是，它是第幾個(gè)方程？

⑶請寫出這列方程中的第n個(gè)方程和它的解，并驗(yàn)證所寫出的解適合第n個(gè)方程。

分析：通過解方程不難求出：xl=3,x2=4,將t847°代入方程易求a=12,b=5。

本題較難的是寫出第n個(gè)方程和它的解，解決難點(diǎn)的關(guān)鍵是觀察表格中方程和它們的解的排列規(guī)律，特

別是每個(gè)變化的數(shù)與序號(hào)的關(guān)系。

L-i

解：(1)解方程XX2得，X1=3,x2=4；

(2)將th,r'”代入方程靄蛔嗎易求得a=12,b=5；

一.一豳趣L,它的解是：微勇雌隰雕觀

（3）第n個(gè)方程是:

例7、圖形的操作過程（本題中四個(gè)矩形的水平方向的邊長均為a,豎直放行上的邊長均為b）：

?在圖1中，將線段?1；向右平移1個(gè)單位到“/」，得到封閉圖形41從〃（即陰影部分）

?在圖2中，將折線匕I1向右平移1個(gè)單位到層"也,得到封閉圖形LiI，"從〃（即陰影部分）

AlB1AlB1

BO9E

A2B2A3B3

（圖1）（圖2）（圖3）

⑴在圖3中，請你類似地畫一條有兩個(gè)折點(diǎn)的折線，同樣向右平移1個(gè)單位，從而得到一個(gè)封閉的圖形,

并用斜線畫出陰影；

⑵請你分別寫出上述三個(gè)圖形中除去陰影部分后剩余部分的面積：

⑶聯(lián)想與探索：

如圖4,在一塊矩形草地上，有一條彎曲的柏油小路（小路任何地方的水平寬度都是1個(gè)單位），請你

猜想空白部分表示的草地面積是多少？并說明你的猜想是正確的。

分析：本題考查的內(nèi)容較多，有動(dòng)手操作、有計(jì)算、有歸納猜想，還有想象。（1）和

（2）兩問并不困難，第（3）問可想象將中間的小路從中抽去，再拼起來后仍然是一個(gè)矩形，這時(shí)它

的兩邊長分別是a—l,b,這樣面積就不難求了。

解：（1）

(2)'=ab--b；=ab-b；'=ab-b;

（3）空白部分表示的草地面積是ab—b。（可想象將中間的小路從中抽去，再拼起來后仍然是一個(gè)矩形,

這時(shí)它的兩邊長分別是a—l,b）

例8、閱讀下列材料，按要求解答問題。

⑴觀察下面兩塊三角尺它們有一個(gè)共同的性質(zhì)：zA=2zBo我們由此出發(fā)來進(jìn)行思考。在圖a中，作

b_h

斜邊上的高CD,由于ZB=3O。，可知c=2b,zACD=30°,于是AD=2,BD=2,由△CDB

aBD

ACB，可知?！埃?，/一(?/")，同理力’-(.41),于是

a'-h=c(HD-ADf=c(c—)—二c(c-h)=alb-b)=hc

圖a圖b圖c

對(duì)于圖b由勾股定理有u：=&+<,，由于b=c,故也有J-3‘二板；這兩塊三角尺都具有性質(zhì)

a-A,在^ABC中，如果有一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，我們稱這種三角形為倍角三角形。

兩塊三角尺就都是特殊的倍角三角形，上面的性質(zhì)仍然成立嗎？暫時(shí)把我們的設(shè)想作為一個(gè)猜測：

如圖c,在AABC中，若NCAB=2/ABC,則j-匯-慶，在上述由三角尺的性質(zhì)至廣猜測”這一認(rèn)識(shí)

過程中，用到了下列四種數(shù)學(xué)思想方法中的哪一種？選出一個(gè)正確的將其序號(hào)填在括號(hào)內(nèi)（）

1分類的思想方法；②轉(zhuǎn)化的思想方法；③由特殊到一