人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三專題21.6期末復(fù)習(xí)之填空壓軸題十五大題型總結(jié)(學(xué)生版+解析)(八年級(jí)下冊(cè))

專題21.6期末復(fù)習(xí)之填空壓軸題十五大題型總結(jié)【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)】 1【題型2二次根式的運(yùn)算】 1【題型3利用勾股定理構(gòu)造直角三角形】 2【題型4勾股定理與分類討論思想結(jié)合】 3【題型5勾股定理及其逆定理與網(wǎng)格作圖】 4【題型6由平行四邊形的性質(zhì)求值】 5【題型7確定組成平行四邊形點(diǎn)的個(gè)數(shù)】 6【題型8平行四邊形的應(yīng)用】 7【題型9矩形、菱形、正方形與勾股定理的綜合運(yùn)用】 8【題型10矩形、菱形、正方形與全等三角形的綜合運(yùn)用】 9【題型11與一次函數(shù)有關(guān)的面積問(wèn)題】 10【題型12由一次函數(shù)的性質(zhì)求取值范圍】 11【題型13一次函數(shù)的應(yīng)用】 12【題型14數(shù)式或圖形中規(guī)律問(wèn)題】 14【題型15數(shù)式或圖形中新定義問(wèn)題】 15【題型1二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)】【例1】（2024八年級(jí)·浙江·期末）已知a+b+c+3=2a+4b?1+2c?2，則a+b+c【變式1-1】（2024八年級(jí)·浙江溫州·期末）已知x?11?7?x+x?92=3y?2，則2x【變式1-2】（2024八年級(jí)·浙江杭州·期末）已知m?2m?3≤0，若整數(shù)a滿足m+a=52，則【變式1-3】（2024八年級(jí)·四川成都·期末）若m＝20152016?1，則m3﹣m2﹣2017m+2015＝【題型2二次根式的運(yùn)算】【例2】（2024八年級(jí)·江蘇常州·期末）若2+32+m的積是有理數(shù)，則無(wú)理數(shù)m的值為【變式2-1】（2024八年級(jí)·安徽合肥·期末）化簡(jiǎn)并計(jì)算：1x(【變式2-2】（2024八年級(jí)·吉林·單元測(cè)試）已知16?x2?4?【變式2-3】（2024八年級(jí)·浙江寧波·期末）已知x+1x=3，且0<x<1【題型3利用勾股定理構(gòu)造直角三角形】【例3】（2024八年級(jí)·山東日照·期末）已知52+122=13，從勾股定理的學(xué)習(xí)中可以將該式看成直角三角形的兩直角邊分別為5、12，計(jì)算結(jié)果為斜邊13，同理計(jì)算a2+82a>0可以看成直角邊分別為【變式3-1】（2024八年級(jí)·廣東深圳·期末）如圖，∠BAC=90度，AB=AC，AE⊥AD，且AE=AD，AF平分∠DAE交BC于F

【變式3-2】（2024·天津?yàn)I海新·八年級(jí)期末）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，A，B為小正方形邊的中點(diǎn)，C，D為格點(diǎn)，E為BA，CD的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)．（Ⅰ）CD的長(zhǎng)等于；（Ⅱ）若點(diǎn)N在線段BE上，點(diǎn)M在線段CE上，且滿足AN=NM=MC，請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺，畫(huà)出線段MN，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)M，N的位置是如何找到的（不要求證明）．．【變式3-3】（2024八年級(jí)·湖北恩施·期末）如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體紙箱，長(zhǎng)是6，寬和高都是4，一只螞蟻從頂點(diǎn)A沿紙箱表面爬到頂點(diǎn)B，它所走的最短路線的長(zhǎng)是．【題型4勾股定理與分類討論思想結(jié)合】【例4】（2024·河南·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=3，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE，將△BDE沿DE翻折得到△B'DE，線段B'D交邊BC于點(diǎn)F．當(dāng)【變式4-1】（2024八年級(jí)·遼寧沈陽(yáng)·期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線l，點(diǎn)P是直線l上異于點(diǎn)C的動(dòng)點(diǎn)，連接AP，過(guò)點(diǎn)P作AP的垂線交直線BC于點(diǎn)D．若AC=72，AP=25，則線段BD的長(zhǎng)為【變式4-2】（2024八年級(jí)·遼寧大連·期末）如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AB=8，點(diǎn)D是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CD，使CE=CD，連接DE，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接CF并延長(zhǎng)，交AB邊所在直線于點(diǎn)G，若BG=2，則【變式4-3】（2024八年級(jí)·上海閔行·期末）在△ABC中，AB=AC，BC=4，如果將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，且折痕交邊AB于點(diǎn)M，交邊BC于點(diǎn)N，如果△CAN是直角三角形，那么△ABC的面積是．【題型5勾股定理及其逆定理與網(wǎng)格作圖】【例5】（2024·天津河?xùn)|·八年級(jí)期末）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A，B，C均落在格點(diǎn)上．①線段AC的長(zhǎng)等于；②在射線BC上有兩點(diǎn)P，Q，滿足AP⊥BC且∠AQC=∠BAP，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫(huà)出點(diǎn)P，點(diǎn)Q，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)P，點(diǎn)Q的位置是如何找到的（不要求證明）．【變式5-1】（2024八年級(jí)·北京朝陽(yáng)·期末）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格線的交點(diǎn)，則∠ABC與∠BCD的大小關(guān)系為：∠ABC∠BCD．（填“＞”，“＝”或“＜”）【變式5-2】（2024八年級(jí)·浙江·期末）如圖，在由6個(gè)大小相同的小正方形組成的方格中：連結(jié)三格和兩格的對(duì)角線，∠a+∠B的度數(shù)是【變式5-3】（2024·山西呂梁·八年級(jí)期末））如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格圖，線段AB，BC，BD，DE的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，線段AB和DE交于點(diǎn)F，則DF的長(zhǎng)度為．【題型6由平行四邊形的性質(zhì)求值】【例6】（2024·陜西西安·八年級(jí)期末）如圖，?ABCD中，AB=3，AD=2，∠DAB=60°，DF⊥AB，BE⊥CD；垂足分別為點(diǎn)F和E．點(diǎn)G和H分別是DF和BE上的動(dòng)點(diǎn)，GH∥AB，那么AG+GH+CH的最小值為．

【變式6-1】（2024八年級(jí)·海南省直轄縣級(jí)單位·期末）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以點(diǎn)B為圓心，BC的長(zhǎng)為半徑作弧交AD于點(diǎn)E，分別以點(diǎn)C，E為圓心，大于12CE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線BP交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∠CBE=60°，BC=4，則BF的長(zhǎng)為

【變式6-2】（2024八年級(jí)·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在?ABCD中，E、F在AD,BC邊上，DE=2BF，連接BE交AC于G．∠AGB=2∠CAF，若BE=5，AF=4，則線段AC的長(zhǎng)為

【變式6-3】（2024八年級(jí)·浙江杭州·期末）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是邊AD、AB上的點(diǎn)，連接OE、OF、EF.若AB=7，BC=52，∠DAB=45°①點(diǎn)C到直線AB的距離是．②△OEF周長(zhǎng)的最小值是【題型7確定組成平行四邊形點(diǎn)的個(gè)數(shù)】【例7】（2024八年級(jí)·福建泉州·期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=10cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度向B運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動(dòng)。若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t=時(shí)，在A

【變式7-1】（2024八年級(jí)·山東煙臺(tái)·期末）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，點(diǎn)P在AD邊上以每秒1cm的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在BC邊上，以每秒3cm的速度從點(diǎn)C出發(fā)，在CB間往返運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止（同時(shí)點(diǎn)Q也停止），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．在運(yùn)動(dòng)以后，當(dāng)t=秒時(shí)，以P，D，Q，B四點(diǎn)恰好組成平行四邊形．【變式7-2】（2024八年級(jí)·河北·課后作業(yè)）在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，若以A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)組成一個(gè)平行四邊形，則這個(gè)平行四邊形的周長(zhǎng)為．【變式7-3】（2024·廣東·八年級(jí)期末）如圖，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，按折線D﹣C﹣B﹣A﹣D方向以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，按折線D﹣A﹣B﹣C﹣D方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．若動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)E在線段BC上，且BE=3cm，經(jīng)過(guò)秒鐘，點(diǎn)A、E、M、N組成平行四邊形．【題型8平行四邊形的應(yīng)用】【例8】（2024八年級(jí)·浙江金華·期末）圖1是四連桿開(kāi)平窗鉸鏈，其示意圖如圖2所示，MN為滑軌，AB、CE、PC、PD為固定長(zhǎng)度的連桿．支點(diǎn)A固定在MN上，支點(diǎn)B固定在連桿CE上，支點(diǎn)D固定在連桿AB上．支點(diǎn)P可以在MN上滑動(dòng)，點(diǎn)P的滑動(dòng)帶動(dòng)點(diǎn)B、C、D、E的運(yùn)動(dòng)．已知MN=30cm，AM=1cm，AD=15cm，PC=BD=5（1）若∠ABC=90°，則支點(diǎn)P與支點(diǎn)A的距離為cm；（2）窗戶從關(guān)閉狀態(tài)到開(kāi)到最大的過(guò)程中，支點(diǎn)P移動(dòng)的距離為cm．

【變式8-1】（2024八年級(jí)·四川成都·期末）如圖，某景區(qū)湖中有一段“九曲橋”連接湖岸A，B兩點(diǎn)，“九曲橋”的每一段與AC平行或BD平行，若AB＝100m，∠A＝∠B＝60°，則此“九曲橋”的總長(zhǎng)度為．【變式8-2】（2024八年級(jí)·四川成都·期末）如圖是由邊長(zhǎng)為1的小等邊三角形構(gòu)成的“草莓”狀網(wǎng)格，每個(gè)小等邊三角形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)．線段AB的端點(diǎn)在格點(diǎn)上，要求以AB為邊畫(huà)一個(gè)平行四邊形，且另外兩個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，則最多可畫(huà)個(gè)平行四邊形．【變式8-3】（2024·浙江溫州·八年級(jí)期末）如圖1木工師傅將三塊不全等的的平行四邊形木板拼成了一個(gè)鄰邊長(zhǎng)為5和12的大的平行四邊形木板，然后通過(guò)裁剪又拼成了一個(gè)不重疊，無(wú)縫隙的大正方形木板如(圖2)，數(shù)據(jù)如圖所示，記圖1中三個(gè)小平行四邊形的中心分別為A，B，C，點(diǎn)A，C的圖2中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為A1,C1,連結(jié)A1B和C【題型9矩形、菱形、正方形與勾股定理的綜合運(yùn)用】【例9】（2024八年級(jí)·天津西青·期末）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，連接BE，點(diǎn)P是BE的中點(diǎn)，連接AP，若AB=2，∠ADC=60°，則AP的長(zhǎng)等于．

【變式9-1】（2024八年級(jí)·重慶北碚·期末）如圖，將矩形紙片ABCD沿EF對(duì)折，使點(diǎn)B落在AD上點(diǎn)H處，再次沿HG對(duì)折，對(duì)折后點(diǎn)D恰好與點(diǎn)F重合．若四邊形EFGH是菱形，則ABAD=

【變式9-2】（2024八年級(jí)·貴州貴陽(yáng)·期末）閱讀理解：平面內(nèi)任意兩點(diǎn)x1,y1，x2,y2的距離可以表示為x1?x22+y1?y22，反之，x1?x22+y1?

【變式9-3】（2024八年級(jí)·湖北·期末）如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AD=CD，E點(diǎn)是B點(diǎn)關(guān)于CD所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，連AE、CE、DE，若AB=4，BC=3，則AE的長(zhǎng)為．

【題型10矩形、菱形、正方形與全等三角形的綜合運(yùn)用】【例10】（2024八年級(jí)·河南漯河·期末）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別時(shí)邊AB，BC的中點(diǎn)，連接EC，F(xiàn)D，點(diǎn)G，H分別時(shí)EC，F(xiàn)D的中點(diǎn)，這接GH，苦AB=4，BC=6，則GH的長(zhǎng)度為．

【變式10-1】（2024八年級(jí)·重慶九龍坡·期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是BC的中點(diǎn)，將△ECD沿直線ED翻折至矩形ABCD所在平面內(nèi)，得到△EC'D，連接BC'，并延長(zhǎng)BC'交

【變式10-2】（2024·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD的延長(zhǎng)線上，且BE=DF，連接EF交邊AD于點(diǎn)G．過(guò)點(diǎn)A作AN⊥EF，垂足為點(diǎn)M，交邊CD于點(diǎn)N．若BE=5，CN=8，則線段AB的長(zhǎng)為．【變式10-3】（2024八年級(jí)·遼寧丹東·期末）如圖，正方形ABCD，點(diǎn)E是射線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥DB，交直線AD于點(diǎn)F，連接DE，取DE中點(diǎn)G，連接FG并延長(zhǎng)交直線DB于點(diǎn)H，若AB=4，EB=3，則FH的長(zhǎng)為．

【題型11與一次函數(shù)有關(guān)的面積問(wèn)題】【例11】（2024八年級(jí)·浙江麗水·期末）已知直線l1:y=kx+2+kk≠0和直線l2:y=x+3．若直線l（1）當(dāng)k=?1時(shí)，S的值是；（2）當(dāng)2≤S≤3時(shí)，k的取值范圍是．【變式11-1】（2024八年級(jí)·安徽蕪湖·期末）八個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形如圖擺放在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線l將這八個(gè)正方形分成面積相等的兩部分，設(shè)直線l和八個(gè)正方形的最上面交點(diǎn)為A，則直線l的解析式是.【變式11-2】（2024八年級(jí)·遼寧沈陽(yáng)·期末）如圖：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有長(zhǎng)方形OABC，點(diǎn)A，C分別在y軸，x軸上，點(diǎn)D4，3在AB上，點(diǎn)E在OC上，沿DE折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，點(diǎn)C與點(diǎn)C1重合．若點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，且△APC【變式11-3】（2024八年級(jí)·江蘇泰州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABCD點(diǎn)A的坐標(biāo)（3，2），點(diǎn)C的坐標(biāo)（7，4），直線y＝－x以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右平移，經(jīng)過(guò)秒該直線可將平行四邊形ABCD的面積平分．【題型12由一次函數(shù)的性質(zhì)求取值范圍】【例12】（2024八年級(jí)·甘肅張掖·期末）一次函數(shù)y?=kx?1k≠0與y?=?x+2的圖象如圖所示，當(dāng)x<1時(shí)，y1<y2【變式12-1】（2024八年級(jí)·福建寧德·期末）一次函數(shù)y=kx?3的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為x0,0，且2≤x0≤3【變式12-2】（2024八年級(jí)·安徽合肥·期末）已知一次函數(shù)y=kx?4?k(k≠0)．（1）無(wú)論k取何非零的值，一次函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是；（2）在平面直角坐標(biāo)系中有一條線段AB，其中A(?1,2)，B(4,1)，若這個(gè)一次函數(shù)的圖象與線段AB相交，則k的取值范圍是．【變式12-3】（2024八年級(jí)·安徽合肥·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)．已知一次函數(shù)y1=?x+2（1）若k=1，則y1、y2的圖象與x軸圍成的區(qū)域內(nèi)(包括邊界)有（2）若y1、y2的圖象與x軸圍成的區(qū)域內(nèi)恰有6個(gè)整點(diǎn)，則k的的取值范圍是【題型13一次函數(shù)的應(yīng)用】【例13】（2024八年級(jí)·重慶璧山·期末）2019年春，在一次長(zhǎng)跑拉力賽中，小明和小趙運(yùn)動(dòng)的路程S（千米）隨時(shí)間t（分）變化的圖象（全程）如圖所示．當(dāng)兩人行駛到離出發(fā)點(diǎn)4.5千米時(shí)第一次相遇，請(qǐng)問(wèn)兩人比賽開(kāi)始后分鐘時(shí)第二次相遇．【變式13-1】（2024八年級(jí)·安徽合肥·期末）甲、乙兩車從A地出發(fā)，勻速駛往B地．乙車出發(fā)1h后，甲車才沿相同的路線開(kāi)始行駛．甲車先到達(dá)B地并停留30分鐘后，又以原速按原路線返回，直至與乙相遇．圖中的折線段表示從開(kāi)始到相遇止，兩車之間的距離y（km）與甲車行駛的時(shí)間x（h）的函數(shù)關(guān)系的圖象，則（1）a=．（2）d=．【變式13-2】（2024八年級(jí)·重慶·期末）在一次趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)中，“搶種搶收”的比賽規(guī)則如下：全程50米的直線跑道，在起點(diǎn)和終點(diǎn)之間，每隔10米放置一個(gè)小桶，共四個(gè)，參賽者用手托著放有4個(gè)乒乓球的盤(pán)子，在從起點(diǎn)跑到終點(diǎn)的過(guò)程中，將四個(gè)乒乓球依次放入4個(gè)小桶中（放入時(shí)間忽略不計(jì)），如果中途乒乓球掉出小桶，則需要返回將乒乓球放回桶中，率先到達(dá)終點(diǎn)者獲勝．小明和小亮同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā)，以各自的速度勻速跑步前進(jìn)，小明在放入第二個(gè)乒乓球后，乒乓球跳出了小桶，落在了第二個(gè)桶的旁邊，且落地后不再移動(dòng)，但他并未發(fā)現(xiàn)，繼續(xù)向前跑了一段距離，被裁判員提醒后立即原速返回?fù)烨?，并迅速放回桶中（撿球時(shí)間忽略不計(jì)），為了趕超小亮，小明將速度提高了1米/秒，小明和小亮之間的距離y（米）和出發(fā)時(shí)間x（秒）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則小明在掉出乒乓球后又繼續(xù)跑了米后開(kāi)始返回．【變式13-3】（2024八年級(jí)·重慶巴南·期末）甲、乙兩車分別從A，B兩地同時(shí)相向勻速行駛．當(dāng)乙車到達(dá)A地后，繼續(xù)保持原速向遠(yuǎn)離B的方向行駛，而甲車到達(dá)B地后立即掉頭，并保持原速與乙車同向行駛，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后兩車同時(shí)到達(dá)C地．設(shè)兩車行駛的時(shí)間為x（小時(shí)），兩車之間的距離為y（千米），y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖中的折線DE?EF?FG所示，其中點(diǎn)D的坐標(biāo)為0,300，點(diǎn)E的坐標(biāo)為3,0，則△EFG的面積為．【題型14數(shù)式或圖形中規(guī)律問(wèn)題】【例14】（2024·廣西北海·八年級(jí)期末）如圖，直線y=?x+1與兩坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)，將線段OA分成n等份，分點(diǎn)分別為P1,P2,P3,…,Pn?1，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線分別交直線【變式14-1】（2024八年級(jí)·湖南常德·期末）觀察下列分母有理化1114從計(jì)算結(jié)果中找出規(guī)律12+1【變式14-2】（2024八年級(jí)·廣東云浮·期末）如圖，ΔABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，取BC邊中點(diǎn)E，作ED//AB，EF//AC，得到四邊形EDAF，它的周長(zhǎng)記作C1；取BE中點(diǎn)E1，作E1D1//FB，E1F【變式14-3】（2024八年級(jí)·湖南永州·期末）如圖，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，且AC邊在直線a上，將△ABC繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置①可得到點(diǎn)P1，此時(shí)AP1＝22；將位置①的三角形繞點(diǎn)P1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置②，可得到點(diǎn)P2，此時(shí)AP2＝2+22；將位置②的三角形繞點(diǎn)P2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置③，可得到點(diǎn)P3，此時(shí)AP3＝4+22；…按此規(guī)律繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，直至得到點(diǎn)P2020為止，則AP2020＝．【題型15數(shù)式或圖形中新定義問(wèn)題】【例15】（2024八年級(jí)·北京海淀·期末）定義：對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)x“四舍五入”到個(gè)位的值記為fz即：當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時(shí)，如果n?12≤x<n+如：fz0=fz0.48試解決下列問(wèn)題：①fz3=；②③1fz【變式15-1】（2024八年級(jí)·安徽合肥·期末）定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P1a,b，P2c,b，P3c,d，這三個(gè)點(diǎn)中任意兩點(diǎn)間的距離的最小值稱為點(diǎn)P1，P2，（1）點(diǎn)Q12,1，Q25,1，（2）當(dāng)點(diǎn)O0,0，Em,0，Pm,?2m+1的“最佳間距”為13時(shí)，點(diǎn)【變式15-2】（2024·四川樂(lè)山·八年級(jí)期末）定義：我們把一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)與正比例函數(shù)y=x的交點(diǎn)稱為一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的“不動(dòng)點(diǎn)”．例如求y=2x?1的“不動(dòng)點(diǎn)”：聯(lián)立方程y=2x?1y=x，解得x=1y=1，則y=2x?1的“不動(dòng)點(diǎn)”為（1）由定義可知，一次函數(shù)y=3x+2的“不動(dòng)點(diǎn)”為；（2）若直線y=kx?3(k≠0)與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，且直線y=kx?3上沒(méi)有“不動(dòng)點(diǎn)”，若P點(diǎn)為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使得S△ABP=3S△ABO【變式15-3】（2024八年級(jí)·江西南昌·周測(cè)）定義：如果一個(gè)凸四邊形的一條對(duì)角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形，那么稱這個(gè)凸四邊形為“等腰四邊形”，把這條對(duì)角線稱為“界線”．已知在“等腰四邊形”ABCD中，AB=BC=AD,?∠BAD=90°，且AC專題21.6期末復(fù)習(xí)之填空壓軸題十五大題型總結(jié)【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)】 1【題型2二次根式的運(yùn)算】 3【題型3利用勾股定理構(gòu)造直角三角形】 5【題型4勾股定理與分類討論思想結(jié)合】 10【題型5勾股定理及其逆定理與網(wǎng)格作圖】 18【題型6由平行四邊形的性質(zhì)求值】 22【題型7確定組成平行四邊形點(diǎn)的個(gè)數(shù)】 29【題型8平行四邊形的應(yīng)用】 33【題型9矩形、菱形、正方形與勾股定理的綜合運(yùn)用】 37【題型10矩形、菱形、正方形與全等三角形的綜合運(yùn)用】 43【題型11與一次函數(shù)有關(guān)的面積問(wèn)題】 50【題型12由一次函數(shù)的性質(zhì)求取值范圍】 56【題型13一次函數(shù)的應(yīng)用】 60【題型14數(shù)式或圖形中規(guī)律問(wèn)題】 64【題型15數(shù)式或圖形中新定義問(wèn)題】 67【題型1二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)】【例1】（2024八年級(jí)·浙江·期末）已知a+b+c+3=2a+4b?1+2c?2【答案】9【分析】先將原等式變形為(a?1)2+(b?1?2)2+(c?2?1)2【優(yōu)尖升-詳解】解：∵a+b+c+3=2a∴a?2a∴(a∴a?1=0，b?1?2=0，∴a=1，b?1=2，∴a=1，b=5，c=3，∴a+b+c=1+5+3=9，故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)和靈活應(yīng)用完全平方公式是解決此題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2024八年級(jí)·浙江溫州·期末）已知x?11?7?x+x?92=3y?2，則2x【答案】22【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)將已知化簡(jiǎn)，再將原式變形求出答案．【優(yōu)尖升-詳解】解：∵x?11一定有意義，∴x≥11，∴x?11﹣|7﹣x|+(x?9)2＝3y﹣2x?11﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，整理得：x?11＝3y，∴x﹣11＝9y2，則2x﹣18y2＝2x﹣2（x﹣11）＝22．故答案為：22．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式有意義的應(yīng)用，以及二次根式的性質(zhì)應(yīng)用，屬于提高題．【變式1-2】（2024八年級(jí)·浙江杭州·期末）已知m?2m?3≤0，若整數(shù)a滿足m+a=52，則【答案】5【分析】先根據(jù)m?2m?3≤0確定m的取值范圍，再根據(jù)m+a=52，推出5【優(yōu)尖升-詳解】解：∵∴2≤m≤3∵m+a=5∴a=5∴5∵7<5∴4<a<6∵a為整數(shù)∴a為5故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次根式以及估算無(wú)理數(shù)的大小，利用“逼近法”得出52【變式1-3】（2024八年級(jí)·四川成都·期末）若m＝20152016?1，則m3﹣m2﹣2017m+2015＝【答案】4030【分析】利用平方差公式化簡(jiǎn)m，整理要求的式子，將m的值代入要求的式子計(jì)算即可.【優(yōu)尖升-詳解】m=20152016?1=m=2015（2016∴m3-m2-2017m+2015=m2（m﹣1）﹣2017m+2015=（2016+1）2×2016﹣2017（2016+1）+2015=（2024+22016）×2016﹣20172016﹣2017+2015=20172016+2×2016﹣20172016﹣2=4030.故答案為4030.【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的化簡(jiǎn)以及二次根式的混合運(yùn)算.【題型2二次根式的運(yùn)算】【例2】（2024八年級(jí)·江蘇常州·期末）若2+32+m的積是有理數(shù)，則無(wú)理數(shù)m的值為【答案】?3【分析】對(duì)2+32+m進(jìn)行化簡(jiǎn)，由題意令23【優(yōu)尖升-詳解】解：2+=4+22+32+m的積是有理數(shù)，∴23令23+2m+3解得：m=a?2當(dāng)2a+6=0即a=?3，時(shí)m=?3故答案為：?3【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式混合運(yùn)算，有理數(shù)的性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算法則即有理數(shù)的性質(zhì)．【變式2-1】（2024八年級(jí)·安徽合肥·期末）化簡(jiǎn)并計(jì)算：1x(【答案】400【分析】根據(jù)1x(x【優(yōu)尖升-詳解】解：原式=1x?1故答案為400x【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是將原式進(jìn)行拆分，有一定的技巧性，注意仔細(xì)觀察．【變式2-2】（2024八年級(jí)·吉林·單元測(cè)試）已知16?x2?4?【答案】32【優(yōu)尖升-詳解】設(shè)4?x2=a，則16?∴12+a=2兩邊同時(shí)平方得：12+a=8+a+42a，即：4=4∴32a=16，解得：a=1∴16?x故答案為32點(diǎn)睛：本題的解題要點(diǎn)是：設(shè)原式中的4?x2=a【變式2-3】（2024八年級(jí)·浙江寧波·期末）已知x+1x=3，且0<x<1【答案】5+1【分析】利用題目給的x+1x求出x?1【優(yōu)尖升-詳解】∵x+∴x+∴x+1∴x?∵0<x<1，∴x?∴x+∴原式===5故答案是：5+1【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的運(yùn)算和乘法公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用乘法公式對(duì)式子進(jìn)行巧妙運(yùn)算．【題型3利用勾股定理構(gòu)造直角三角形】【例3】（2024八年級(jí)·山東日照·期末）已知52+122=13，從勾股定理的學(xué)習(xí)中可以將該式看成直角三角形的兩直角邊分別為5、12，計(jì)算結(jié)果為斜邊13，同理計(jì)算a2+82a>0可以看成直角邊分別為【答案】17【分析】在一條長(zhǎng)為15的線段上取一點(diǎn)，將線段分為兩條線段，以這個(gè)點(diǎn)為銳角頂點(diǎn)，這兩條線段為直角邊，在線段的兩旁建立兩個(gè)直角三角形，這兩個(gè)直角三角形的另一條直角邊分別為3和5，利用兩點(diǎn)之間線段最短和勾股定理求出這兩個(gè)直角三角形另一個(gè)銳角頂點(diǎn)連線的長(zhǎng)度即為所求的最小值．【優(yōu)尖升-詳解】構(gòu)造兩直角三角形如圖，

∠CAE=∠DBE=90°，AB=15，AC=3，BD=5，點(diǎn)E為AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AE=a，BE=b，則：CE=AC2+AE由圖可知：a2∴a2+9+過(guò)點(diǎn)D作DF⊥CA交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則四邊形ABDF是矩形，∴DF=AB=15，AF=BD=5，∴CF=CA+AF=3+5=8，在Rt△CDF中，由勾股定理得：CD=∴a2+9+故答案為：17．【點(diǎn)睛】此題考查了最短路線問(wèn)題，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短，解題的關(guān)鍵是用數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)造出圖形．【變式3-1】（2024八年級(jí)·廣東深圳·期末）如圖，∠BAC=90度，AB=AC，AE⊥AD，且AE=AD，AF平分∠DAE交BC于F

【答案】6【分析】由“SAS”可證△ABD≌△ACE，△DAF≌△EAF可得BD=CE，∠4=∠B，DF【優(yōu)尖升-詳解】解：如圖，連接EF，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)

∵AE∴∠DAE又∵∠BAC∴∠1=∠2，在△ABD和△AB=AC∠1=∠2∴△ABD≌△∴BD=∵∠BAC=90∴∠∴∠4=∠B∴∠ECF∴CE∴BD∵AF平分∠∴∠DAF在△DAF和△AD=AE∠DAF=∠EAF∴△DAF≌△∴DF∴BD∴DF∴DF∴BC∵AB=AC∴BG∴DG∴AD故答案為6【點(diǎn)睛】考查等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．【變式3-2】（2024·天津?yàn)I海新·八年級(jí)期末）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，A，B為小正方形邊的中點(diǎn)，C，D為格點(diǎn)，E為BA，CD的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)．（Ⅰ）CD的長(zhǎng)等于；（Ⅱ）若點(diǎn)N在線段BE上，點(diǎn)M在線段CE上，且滿足AN=NM=MC，請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺，畫(huà)出線段MN，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)M，N的位置是如何找到的（不要求證明）．．【答案】25CE與網(wǎng)格線相交，得點(diǎn)M，取格點(diǎn)F，連結(jié)CF并延長(zhǎng)與BE交于N，連接MN，則線段MN即為所求．【分析】（Ⅰ）根據(jù)勾股定理可求CD的長(zhǎng)；（Ⅱ）找到特殊點(diǎn)，M為小正方形邊的中點(diǎn)，N為小正方形邊的中心，得到M、N的水平距離32，垂直距離3，即可得AN=CM=MN=【優(yōu)尖升-詳解】解：（Ⅰ）CD=4（Ⅱ）如圖，CE與網(wǎng)格線相交，得點(diǎn)M，取格點(diǎn)F，連結(jié)CF并延長(zhǎng)與BE交于N，連接MN，則線段MN即為所求．證明：由作法可知，M為小正方形邊的中點(diǎn)，N為小正方形邊的中心；∴AN=CM=MN=3【點(diǎn)睛】本題考查了作圖?應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，勾股定理，根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)找出小正方形中心點(diǎn)N構(gòu)成32【變式3-3】（2024八年級(jí)·湖北恩施·期末）如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體紙箱，長(zhǎng)是6，寬和高都是4，一只螞蟻從頂點(diǎn)A沿紙箱表面爬到頂點(diǎn)B，它所走的最短路線的長(zhǎng)是．【答案】10【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，求出AC、BC的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出AB即可.【優(yōu)尖升-詳解】有兩種情況，如圖所示：（1）如圖1，由題意知AC=4，BC=6+4=10由勾股定理得：AB=A（2）如圖2，由題意知：AC=4+4=8，BC=6由勾股定理得：AB=（3）如圖3，由題意知：AC=4+4=8，BC=6由勾股定理得：AB=∵116∴最短是10故答案為10【點(diǎn)睛】本題考查利用勾股定理解決最短路徑問(wèn)題，畫(huà)出平面展開(kāi)圖，分類討論是解題關(guān)鍵.【題型4勾股定理與分類討論思想結(jié)合】【例4】（2024·河南·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=3，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE，將△BDE沿DE翻折得到△B'DE，線段B'D交邊BC于點(diǎn)F．當(dāng)【答案】334【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，∠EDF≠90°，分兩種情況：∠DEF=90°，∠DFE=90°，分別畫(huà)出圖形，進(jìn)行解答即可求解，運(yùn)用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．【優(yōu)尖升-詳解】解：∵AB=AC=3，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，∴BD=1依題意得：∠EDF≠90°，如圖，當(dāng)∠DEF=90°時(shí)，點(diǎn)B'∵∠BAC=120°，AB=AC=3，∴∠B=∠C=180°?120°∵∠DEB=90°，∴DE=1∴BE=B如圖，當(dāng)∠DFE=90°時(shí)，∵∠DFE=90°，∠B=30°∴DF=12BD=∴BF=B又由折疊可得，BE=B'設(shè)BE=B'E=x∵∠B'FE=90°∴B'即x=23解得x=3∴BE=3綜上，BE的長(zhǎng)為為334或故答案為：334或【變式4-1】（2024八年級(jí)·遼寧沈陽(yáng)·期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線l，點(diǎn)P是直線l上異于點(diǎn)C的動(dòng)點(diǎn)，連接AP，過(guò)點(diǎn)P作AP的垂線交直線BC于點(diǎn)D．若AC=72，AP=25，則線段BD的長(zhǎng)為【答案】172或【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理．分兩種情況：當(dāng)P在C右側(cè)時(shí)，過(guò)P作PE⊥l，交CD于E，推出△ECP是等腰直角三角形，證明△ACP≌△DEPASA，得PA=PD；再過(guò)A作AH⊥l于H；當(dāng)P在C左側(cè)時(shí)，過(guò)P作PF⊥l交BD的延長(zhǎng)線于F【優(yōu)尖升-詳解】解：當(dāng)P在C右側(cè)時(shí)，過(guò)P作PE⊥l，交CD于E，如圖所示，

∵∠ACB=90°，∴∠ABC=45°，∵AB∥l，∴∠ECP=∠ABC=45°，∴∠ACP=∠ACB+∠ECP=135°，△ECP是等腰直角三角形，∴CP=EP，∵∠APD=90°=∠EPC，∴∠APC=∠EPD，∴△ACP≌△DEPASA∴PA=PD；∴AC=DE，∵CD=DE+CE，∴CD=AC+2過(guò)A作AH⊥l于H，如圖所示，

∵∠ABC=∠BCP=45°，∠ACB=90°，∴∠ACH=45°，∴△ACH是等腰直角三角形，∵AC=72∴AH=CH=7，在Rt△APH中，HP=∴CP=HP?CH=24?7=17，∴CD=AC+2∴BD=CD?BC=CD?AC=242當(dāng)P在C左側(cè)時(shí)，過(guò)P作PF⊥l交BD的延長(zhǎng)線于F，如圖所示，

∵AB∥l，∴∠PCF=∠B=45°，∴△PCF是等腰直角三角形，∴CP=PF，∵∠APD=90°=∠CPF，∴∠APC=∠DPF，∴△ACP≌△DFPASA∴AC=DF=72∵∠ABC=∠BCP=45°，∠ACB=90°，∴∠ACH=45°，∴△ACH是等腰直角三角形，∵AC=72∴AH=CH=7，在Rt△APH中，HP=∴CP=HP+CH=24+7=31，∴CF=2∴CD=CF?DF=312∴BD=CD+BC=CD+AC=242綜上所述，線段BD的長(zhǎng)為：172或31故答案為：172或31【變式4-2】（2024八年級(jí)·遼寧大連·期末）如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AB=8，點(diǎn)D是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CD，使CE=CD，連接DE，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接CF并延長(zhǎng)，交AB邊所在直線于點(diǎn)G，若BG=2，則【答案】83或【分析】分點(diǎn)G在AB上，和在AB延長(zhǎng)線上，兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)G在AB上，連接BE,GE，證明△ACD≌△BCE，可得BE=AD，再由等腰三角形的性質(zhì)可得∠DFG=∠DBE=90°，設(shè)AD=BE=x，則DG=EG=6?x，由勾股定理可得4+x2=6?x2，即可求解；當(dāng)點(diǎn)G在AB延長(zhǎng)線上，連接BE,EG，同理可證△ACD≌△BCE，得BE=AD，∠DBE=90°，由△CDE是等腰直角三角形，F(xiàn)點(diǎn)是DE的中點(diǎn)，得到CG是DE的垂直平分線，推出DG=EG，設(shè)AD=y【優(yōu)尖升-詳解】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)G在AB上，連接BE,GE，

∵CE⊥CD，∴∠DCE=∠ACB=90°，∴∠DCA=∠ECB，∵AC=BC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE，∠A=∠ABC=45°，∴BE=AD，∴∠DBE=90°，∵點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，∴CF⊥DE，即∠DFG=∠DBE=90°，∵△CDE是等腰直角三角形，F(xiàn)點(diǎn)是DE的中點(diǎn)，∴CG是DE的垂直平分線，∴DG=EG，設(shè)AD=BE=x，∵AB=8，BG=2，∴DG=EG=6?x，∵BG∴4+x解得：x=8即AD=8如圖，當(dāng)點(diǎn)G在AB延長(zhǎng)線上，連接BE,EG，同理可得：△ACD≌△BCE，∠A=∠ABC=45°，∴BE=AD，∴∠DBE=90°，∵△CDE是等腰直角三角形，F(xiàn)點(diǎn)是DE的中點(diǎn)，∴CG是DE的垂直平分線，∴DG=EG，設(shè)AD=y，則BD=8?y，BE=AD=y，∵BG=2，∴DG=EG=2+8?y=10?y，∵BG∴4+y2=解得：y=24∴AD=24綜上，AD的長(zhǎng)為83或故答案為：83或24【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，證明△ACD≌△BCE，△DFG∽【變式4-3】（2024八年級(jí)·上海閔行·期末）在△ABC中，AB=AC，BC=4，如果將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，且折痕交邊AB于點(diǎn)M，交邊BC于點(diǎn)N，如果△CAN是直角三角形，那么△ABC的面積是．【答案】4或4【分析】分兩種情況：當(dāng)∠ANC=90°時(shí)，根據(jù)AB=AC，BC=4，∠ANC=90°及將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，可得BN=AN=2，可得到△ABC的面積；當(dāng)∠NAC=90°時(shí)，過(guò)A作AH⊥BC于H，設(shè)BN=x，則NH=2?x，可得AH2=4x?4，AC2=4x，又AN2+A【優(yōu)尖升-詳解】解：當(dāng)∠ANC=90°時(shí)，如圖：∵AB=AC，BC=4，∠ANC=90°，∴BN=CN=1∵將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，∴AN=BN=2，∴△ABC的面積是：12

當(dāng)∠NAC=90°時(shí)，如圖，過(guò)A作AH⊥BC于H，

設(shè)BN=x，∵AB=AC，BC=4，∴BH=CH=1∴NH=2?x，∵將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，∴AN=BN=x，CN=BC?BN=4?x，在Rt△ANH中，A在Rt△ACH中，A在Rt△NAC中，A∴x2解得：x=4∴BN=AN=43，∴AH=4x?4∴△ABC的面積是：12綜上所述，如果△CAN是直角三角形，那么△ABC的面積是4或43故答案為：4或43【點(diǎn)睛】本題是等腰三角形的折疊問(wèn)題，考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形三線合一性質(zhì)，勾股定理，三角形面積等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是分類畫(huà)出圖形，求出BC邊上的高．【題型5勾股定理及其逆定理與網(wǎng)格作圖】【例5】（2024·天津河?xùn)|·八年級(jí)期末）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A，B，C均落在格點(diǎn)上．①線段AC的長(zhǎng)等于；②在射線BC上有兩點(diǎn)P，Q，滿足AP⊥BC且∠AQC=∠BAP，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫(huà)出點(diǎn)P，點(diǎn)Q，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)P，點(diǎn)Q的位置是如何找到的（不要求證明）．【答案】10圖見(jiàn)解析，延長(zhǎng)BC過(guò)格點(diǎn)P，則點(diǎn)P滿足AP⊥BC，取格點(diǎn)D，連接AD交射線BC于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q即滿足∠AQC=∠BAP，為所求【分析】①根據(jù)勾股定理求解即可；②，延長(zhǎng)BC過(guò)格點(diǎn)P，則點(diǎn)P滿足AP⊥BC，取格點(diǎn)D，連接AD交射線BC于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q即滿足∠AQC=∠BAP，為所求【優(yōu)尖升-詳解】①AC=故答案為：10②如圖，點(diǎn)P，點(diǎn)Q即為所求．如圖，延長(zhǎng)BC過(guò)格點(diǎn)P，則點(diǎn)P滿足AP⊥BC，則∠B+∠BAP=90°,取格點(diǎn)D，使得AD⊥AB，連接AD交射線BC于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q即滿足∠AQC=∠BAP，為所求．故答案為：延長(zhǎng)BC過(guò)格點(diǎn)P，則點(diǎn)P滿足AP⊥BC，取格點(diǎn)D，連接AD交射線BC于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q即滿足∠AQC=∠BAP，為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格作圖，等角的余角相等，掌握勾股定理以及逆定理是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2024八年級(jí)·北京朝陽(yáng)·期末）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格線的交點(diǎn)，則∠ABC與∠BCD的大小關(guān)系為：∠ABC∠BCD．（填“＞”，“＝”或“＜”）【答案】=【分析】連接AC，BD，根據(jù)勾股定理得到AC2＝BC2＝BD2＝22+12＝5，AB2＝CD2＝32+12＝10，求得AC2+BC2＝AB2，BD2+BC2＝CD2，于是得到∠ABC＝∠BCD＝45°，進(jìn)而得到結(jié)論．【優(yōu)尖升-詳解】解：連接AC，BD，根據(jù)勾股定理得到AC2＝BC2＝BD2＝22+12＝5，AB2＝CD2＝32+12＝10，∴AC2+BC2＝AB2，BD2+BC2＝CD2，∴△ABC和△BCD都是等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠BCD＝45°．故答案為：＝．【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格中對(duì)幾何圖形的理解與分析的問(wèn)題，涉及到了勾股定理及其逆定理和等腰直角三角形的相關(guān)知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是牢記相關(guān)性質(zhì)與公式，以及熟練運(yùn)用即可．【變式5-2】（2024八年級(jí)·浙江·期末）如圖，在由6個(gè)大小相同的小正方形組成的方格中：連結(jié)三格和兩格的對(duì)角線，∠a+∠B的度數(shù)是【答案】45【分析】如圖，連接AE，EC，則AE//DB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EAB=β．計(jì)算出AE2=5，CE2【優(yōu)尖升-詳解】如圖，連接AE，EC，則AE//DB，∴∠EAB=β．∵AE2=12+22=5，CE2故答案為45°【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2024·山西呂梁·八年級(jí)期末））如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格圖，線段AB，BC，BD，DE的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，線段AB和DE交于點(diǎn)F，則DF的長(zhǎng)度為．【答案】2【分析】連接AD、CD，由勾股定理得：AB=DE=42+32=5，【優(yōu)尖升-詳解】連接AD、CD，如圖所示：由勾股定理可得，AB=DE=42+32∵BE=BC=5，∴AB=DE＝AB＝BC，BD∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，同理可得：△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°，∴∠ADC＝180°，∴點(diǎn)A、D、C三點(diǎn)共線，∴AC=2AD=25在△ABC和△DEB中，AB=DEBC＝EB∵∠EDB+∠ADF＝90°，∴∠BAD+∠ADF＝90°，∴∠BFD＝90°，∴DF⊥AB，∵AB=BC，BD⊥AC，∴BD平分∠ABC，∵DG⊥BC，∴DF＝DG＝2.【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定以及勾股定理的相關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理和過(guò)股定理的逆定理.【題型6由平行四邊形的性質(zhì)求值】【例6】（2024·陜西西安·八年級(jí)期末）如圖，?ABCD中，AB=3，AD=2，∠DAB=60°，DF⊥AB，BE⊥CD；垂足分別為點(diǎn)F和E．點(diǎn)G和H分別是DF和BE上的動(dòng)點(diǎn)，GH∥AB，那么AG+GH+CH的最小值為．

【答案】7+2/【分析】過(guò)點(diǎn)E作EI∥AD交AB于點(diǎn)I，連接HI．易求出AF=1，DF=3，DE=GH=BF=2．易證四邊形AGHI為平行四邊形，得出AG=HI，即說(shuō)明當(dāng)HI+CH最小時(shí)，AG+GH+CH最小．由當(dāng)點(diǎn)I，H，C三點(diǎn)共線時(shí)，HI+CH最?。Y(jié)合平行四邊形的判定和性質(zhì)和勾股定理求出HI=72【優(yōu)尖升-詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EI∥AD交AB于點(diǎn)I，連接HI．

∵?ABCD中，∠DAB=60°，DF⊥AB，∴∠ADF=30°，∴AF=1∴BF=AB?AF=2，DF=A∵DF⊥AB，BE⊥CD，∴GF∥BH．∵GH∥AB，∴四邊形GHBF為平行四邊形，∴GH=BF=2．同理可得出BF=DE=2．∵AB∥DE，AD∥EI，∴四邊形ADEI為平行四邊形，∴AI=DE=2=GH，∴四邊形AGHI為平行四邊形，

∴AG=HI，∴AG+GH+CH=HI+2+CH，∴當(dāng)HI+CH最小時(shí)，AG+GH+CH最?。弋?dāng)點(diǎn)I，H，C三點(diǎn)共線時(shí)，HI+CH最小，∴此時(shí)AG+GH+CH最小，如圖，

∵AD∥EI，∴BC∥EI．∵CE∥BI，∴四邊形BCEI為平行四邊形，∴BH=12BE=∵AB=3，AI=2，∴BI=1，∴HI=B∴CI=7∴AG+GH+CH的最小值為CI+GH=7故答案為：7+2【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形，勾股定理，平行線的判定，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)．正確作出輔助線，理解當(dāng)點(diǎn)I，H，C三點(diǎn)共線時(shí)，HI+CH最小，即此時(shí)AG+GH+CH最小是解題關(guān)鍵．【變式6-1】（2024八年級(jí)·海南省直轄縣級(jí)單位·期末）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以點(diǎn)B為圓心，BC的長(zhǎng)為半徑作弧交AD于點(diǎn)E，分別以點(diǎn)C，E為圓心，大于12CE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線BP交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∠CBE=60°，BC=4，則BF的長(zhǎng)為

【答案】4【分析】連接CE交BF于G，連接CF．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)確定∠EFB=∠CBF，根據(jù)題目中作圖過(guò)程確定BP是∠CBE的平分線，根據(jù)等角對(duì)等邊和等價(jià)代換思想確定BC=BE，根據(jù)菱形的判定定理和性質(zhì)確定BF⊥CE，BF=2BG，根據(jù)角平分線的定義，30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，勾股定理求出BG的長(zhǎng)度，進(jìn)而即可求出BF的長(zhǎng)度．【優(yōu)尖升-詳解】解：如圖所示，連接CE交BF于G，連接CF．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，即∴∠EFB=∠CBF．∵以點(diǎn)B為圓心，BC的長(zhǎng)為半徑作弧交AD于點(diǎn)E，∴BC=BE．根據(jù)作圖過(guò)程可知BP是∠CBE的平分線．∴∠CBF=∠EBF．∴∠EBF=∠EFB．∴BE=EF．∴BC=EF．∴四邊形BCFE是平行四邊形．∴平行四邊形BCFE是菱形．∴BF⊥CE，BF=2BG．∵∠CBE=60°，∴∠CBF=30°．∵BC=4，∴CG=1∴BG=B∴BF=2BG=43故答案為：43【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定定理和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線作圖，等角對(duì)等邊，菱形的判定定理和性質(zhì)，30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，勾股定理，綜合應(yīng)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．【變式6-2】（2024八年級(jí)·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在?ABCD中，E、F在AD,BC邊上，DE=2BF，連接BE交AC于G．∠AGB=2∠CAF，若BE=5，AF=4，則線段AC的長(zhǎng)為

【答案】39【分析】取DE的中點(diǎn)P，連接PF、PC，過(guò)點(diǎn)C作CQ∥BE交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，作QR⊥AC于點(diǎn)R，在AR上截取RH=CR，連接QH、FH，證明四邊形BEPF、APCF、FPCQ都是平行四邊形，得到AF=QF=4，HQ=CQ=5，利用面積法求得【優(yōu)尖升-詳解】解：取DE的中點(diǎn)P，連接PF、PC，過(guò)點(diǎn)C作CQ∥BE交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴EP∥∵DE=2BF，∴EP=BF，∴四邊形BEPF是平行四邊形，∴PF=BE=5，PF∥∵DP=BF，∴AP=CF，∴四邊形APCF是平行四邊形，∴PC=AF=4，CP∥∵CQ∥BE，∴PF∥∴四邊形FPCQ是平行四邊形，∴PC=QF=4，PF=CQ=5，作QR⊥AC于點(diǎn)R，在AR上截取RH=CR，連接QH、FH，∴HQ=CQ=5，∴∠AGB=∠AOF=∠ACQ=∠QHC，∵∠AGB=2∠CAF，∴∠QHC=2∠CAF，∵∠QHC=∠CAF+∠HQA，∴∠HQA=∠CAF，∴AH=HQ=CQ=5，∵AF=QF=4，∴FH⊥AQ，∴FH=Q∵S△AHQ=1∴QR=24∴HR=CR=C∴AC=AH+2CR=39故答案為：395【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，利用面積法求得QR=24【變式6-3】（2024八年級(jí)·浙江杭州·期末）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是邊AD、AB上的點(diǎn)，連接OE、OF、EF.若AB=7，BC=52，∠DAB=45°①點(diǎn)C到直線AB的距離是．②△OEF周長(zhǎng)的最小值是【答案】51322【分析】①過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，在等腰直角三角形BCM中求CM即可；②作點(diǎn)O關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)G，點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)H，連接GH，AG，AH；則GH長(zhǎng)為△OEF周長(zhǎng)的最小值；在等腰直角三角形AGH中求GH，即可.【優(yōu)尖升-詳解】解：①如圖：過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∵∠DAB=45°，∴∠CBM=∠DAB=45°，∴∠BCM=45°=∠CBM∵BC=52∴CM=5，∴點(diǎn)C到直線AB的距離是5；故答案為5；②如圖，作點(diǎn)O關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)G，點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)H，連接GH，AG，AH，則GH長(zhǎng)為△OEF周長(zhǎng)的最小值；由①知，在Rt△ACM中，AM=7+5=12，CM=5∴AC=13，∴OA=1由對(duì)稱性可知，AH=OA=AG，∠DAG=∠DAO，∴△AHG是等腰三角形，又∵∠DAB=45°，∴∠GAH=90°，∴GH=2∴△OEF周長(zhǎng)的最小值=OE+OF+EF=GE+EF+FH=13故答案為：132【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，最短路徑問(wèn)題；掌握平行四邊形的性質(zhì)，用勾股定理求邊，利用對(duì)稱性求最短距離是解題的關(guān)鍵．【題型7確定組成平行四邊形點(diǎn)的個(gè)數(shù)】【例7】（2024八年級(jí)·福建泉州·期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=10cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度向B運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動(dòng)。若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t=時(shí)，在A

【答案】103【分析】如圖，由題意可得：AP=tcm，CQ=2tcm，則PD=6?tcm，BQ=10?2tcm，再分六種情況討論①當(dāng)10?2t=t時(shí)，②當(dāng)10?2t=6?t，③當(dāng)10?2t=6時(shí)，解得：t=2，④當(dāng)【優(yōu)尖升-詳解】解：由題意可得：AP=tcm，CQ=2t∵AD=6cm，BC=10∴PD=6?tcm，

當(dāng)四邊形ABQP是平行四邊形時(shí)，則AP=BQ，∴10?2t=t，解得t=10當(dāng)四邊形BQDP是平行四邊形時(shí)，則BQ=DP，∴10?2t=6?t，解得：t=4；當(dāng)四邊形ABQD是平行四邊形時(shí)，則AD=BQ，∴10?2t=6，解得：t=2；當(dāng)四邊形APCQ是平行四邊形時(shí)，則AP=CQ，∴2t=t時(shí)，解得t=0，不合題意，舍去；當(dāng)四邊形CDPQ是平行四邊形時(shí)，則DP=CQ，∴2t=6?t時(shí)，解得：t=2；當(dāng)四邊形ADCQ是平行四邊形時(shí)，則AD=CQ，∴2t=6，解得：t=3，綜上所述．當(dāng)t的值為103或4或2或3時(shí)，在A、B、C、D、P、Q故答案為：103【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，利用分類討論的思想求解是解本題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2024八年級(jí)·山東煙臺(tái)·期末）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，點(diǎn)P在AD邊上以每秒1cm的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在BC邊上，以每秒3cm的速度從點(diǎn)C出發(fā)，在CB間往返運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止（同時(shí)點(diǎn)Q也停止），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．在運(yùn)動(dòng)以后，當(dāng)t=秒時(shí)，以P，D，Q，B四點(diǎn)恰好組成平行四邊形．【答案】4.5【分析】先求出點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D的時(shí)間，即可得出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)距離，可得點(diǎn)Q在BC邊上運(yùn)動(dòng)的次數(shù)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得PD=BQ，分情況列方程求出t值，進(jìn)而可得答案．【優(yōu)尖升-詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=6cm，AD=9cm，∴BC=AD=9，AD∥BC，∵四邊形PDQB是平行四邊形，∴PD=BQ，∵點(diǎn)P的速度是每秒1cm，∴兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為9÷1=9s，∵點(diǎn)Q的速度是每秒3cm∴點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為9×3=27cm，∴在BC上運(yùn)動(dòng)的次數(shù)為27÷9=3（次），第一次PD=QB時(shí)，9?t=9-3t，解得：t=0，不合題意，舍去，第二次PD=QB時(shí)，Q從B到C的過(guò)程中，9?t=3t?9，解得：t=4.5，第三次PD=QB時(shí)，Q運(yùn)動(dòng)一個(gè)來(lái)回后從C到B，9?t=27?3t，解得：t=9；此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合，不能構(gòu)成平行四邊形，∴t=9不符合題意，舍去，故答案為：4.5【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，能求出符合條件的所有情況是解此題的關(guān)鍵，注意掌握分類討論思想的應(yīng)用．【變式7-2】（2024八年級(jí)·河北·課后作業(yè)）在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，若以A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)組成一個(gè)平行四邊形，則這個(gè)平行四邊形的周長(zhǎng)為．【答案】14、16或18【分析】先利用勾股定理求出BC的長(zhǎng)，然后分類討論即可確定答案，本題考查了，勾股定理，拼接平行四邊形問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是：分情況討論．【優(yōu)尖升-詳解】解：在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，BC=A當(dāng)以AB為對(duì)角線時(shí)，此時(shí)?ACBP的周長(zhǎng)為3+4×2=14當(dāng)以AC為對(duì)角線時(shí)，此時(shí)?APCB的周長(zhǎng)為5+4×2=18當(dāng)以BC為對(duì)角線時(shí)，此時(shí)?ACPB的周長(zhǎng)為5+3×2=16故答案為：14或16或18．【變式7-3】（2024·廣東·八年級(jí)期末）如圖，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，按折線D﹣C﹣B﹣A﹣D方向以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，按折線D﹣A﹣B﹣C﹣D方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．若動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)E在線段BC上，且BE=3cm，經(jīng)過(guò)秒鐘，點(diǎn)A、E、M、N組成平行四邊形．【答案】17【分析】根據(jù)t的值討論M、N的位置，根據(jù)平行四邊形的判定定理即可求解．【優(yōu)尖升-詳解】如圖，在直角△ABE中，AE=AB設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒．當(dāng)0＜t＜2時(shí)，M在CD上，N在DA上，若平行四邊形是AEMN，則AE∥MN且AE=MN，而AE=MN不可能成立；當(dāng)t=2時(shí)，M在C點(diǎn)，DN=4cm，此時(shí)，AN≠EC，則不能構(gòu)成平行四邊形；當(dāng)2＜t＜4.5時(shí)，M在BC上，則EM=BC+CD-BE-2t=9-2t，AN=8-t，當(dāng)9-2t=8-t時(shí)，解得：t=1（舍去），當(dāng)4.5＜t＜6時(shí)，M在BC上，則EM=2t-（BC+CD-BE）=2t-9，AN=8-t，當(dāng)2t-9=8-t時(shí)，解得：t=173此時(shí)四邊形AMEN是平行四邊形；當(dāng)6＜t＜8時(shí)，M在AB上，N在AD上，不能構(gòu)成平行四邊形；當(dāng)t=8時(shí)，Q與A重合，不能構(gòu)成平行四邊形形．綜上所述：經(jīng)過(guò)173故答案為173【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定定理；熟練掌握平行四邊形的判定方法，正確對(duì)t的范圍進(jìn)行討論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【題型8平行四邊形的應(yīng)用】【例8】（2024八年級(jí)·浙江金華·期末）圖1是四連桿開(kāi)平窗鉸鏈，其示意圖如圖2所示，MN為滑軌，AB、CE、PC、PD為固定長(zhǎng)度的連桿．支點(diǎn)A固定在MN上，支點(diǎn)B固定在連桿CE上，支點(diǎn)D固定在連桿AB上．支點(diǎn)P可以在MN上滑動(dòng)，點(diǎn)P的滑動(dòng)帶動(dòng)點(diǎn)B、C、D、E的運(yùn)動(dòng)．已知MN=30cm，AM=1cm，AD=15cm，PC=BD=5（1）若∠ABC=90°，則支點(diǎn)P與支點(diǎn)A的距離為cm；（2）窗戶從關(guān)閉狀態(tài)到開(kāi)到最大的過(guò)程中，支點(diǎn)P移動(dòng)的距離為cm．

【答案】334【分析】（1）先證四邊形CBDP是平行四邊形，推出∠ADP=∠ABC=90°，再根據(jù)勾股定理解Rt△ADP（2）當(dāng)窗戶開(kāi)到最大時(shí)，DP⊥MN，根據(jù)勾股定理解Rt△ADP求出AP；當(dāng)關(guān)閉狀態(tài)下，PA=PD+AD=9+15=24【優(yōu)尖升-詳解】解：（1）∵PC=BD=5cm，PD=BC=9∴四邊形CBDP是平行四邊形，∴BC∥∴∠ADP=∠ABC=90°，∵AD=15cm，PD=9∴PA=A故答案為：334（2）∵當(dāng)窗戶開(kāi)到最大時(shí)，BC⊥MN，BC∥∴DP⊥MN，∴∠DPA=90°，∵AD=15cm，PD=9∴PA=A當(dāng)關(guān)閉狀態(tài)下，PA=PD+AD=9+15=24cm∴窗戶從關(guān)閉狀態(tài)到開(kāi)到最大的過(guò)程中，支點(diǎn)P移動(dòng)的距離為24?12=12cm故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的實(shí)際應(yīng)用、勾股定理等，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)，從根據(jù)實(shí)際情況構(gòu)建數(shù)學(xué)模型．【變式8-1】（2024八年級(jí)·四川成都·期末）如圖，某景區(qū)湖中有一段“九曲橋”連接湖岸A，B兩點(diǎn)，“九曲橋”的每一段與AC平行或BD平行，若AB＝100m，∠A＝∠B＝60°，則此“九曲橋”的總長(zhǎng)度為．【答案】200m【分析】如圖，延長(zhǎng)AC、BD交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)HK交AE于F，延長(zhǎng)NJ交FH于M，則四邊形EDHF，四邊形MNCF，四邊形MKGJ是平行四邊形，△ABC是等邊三角形，由此即可解決問(wèn)題．【優(yōu)尖升-詳解】如圖，延長(zhǎng)AC、BD交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)HK交AE于F，延長(zhǎng)NJ交FH于M由題意可知，四邊形EDHF，四邊形MNCF，四邊形MKGJ是平行四邊形∵∠A＝∠B＝60°∴∠E=180∴△ABC是等邊三角形∴ED＝FM+MK+KH＝CN+JG+HK，EC＝EF+FC＝JN+KG+DH∴“九曲橋”的總長(zhǎng)度是AE+EB＝2AB＝200m故答案為：200m．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形、等邊三角形、三角形內(nèi)角和的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形、等邊三角形、三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，從而完成求解．【變式8-2】（2024八年級(jí)·四川成都·期末）如圖是由邊長(zhǎng)為1的小等邊三角形構(gòu)成的“草莓”狀網(wǎng)格，每個(gè)小等邊三角形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)．線段AB的端點(diǎn)在格點(diǎn)上，要求以AB為邊畫(huà)一個(gè)平行四邊形，且另外兩個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，則最多可畫(huà)個(gè)平行四邊形．【答案】4【分析】根據(jù)平行四邊形的判定畫(huà)出圖形即可．【優(yōu)尖升-詳解】解：如圖，四邊形ABCD即為所求．共能作出4個(gè)平行四邊形．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．【變式8-3】（2024·浙江溫州·八年級(jí)期末）如圖1木工師傅將三塊不全等的的平行四邊形木板拼成了一個(gè)鄰邊長(zhǎng)為5和12的大的平行四邊形木板，然后通過(guò)裁剪又拼成了一個(gè)不重疊，無(wú)縫隙的大正方形木板如(圖2)，數(shù)據(jù)如圖所示，記圖1中三個(gè)小平行四邊形的中心分別為A，B，C，點(diǎn)A，C的圖2中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為A1,C1,連結(jié)A1B和C【答案】11【分析】根據(jù)題意，得EF=DM=TL=4，DG=12,結(jié)合點(diǎn)B是對(duì)角線PM的中點(diǎn)，點(diǎn)C是對(duì)角線PG的中點(diǎn)，計(jì)算BC=12MG=12×8=4，正方形的面積等于平行四邊形的面積，得到S正方形DQLH=S平行四邊形=3×12=6【優(yōu)尖升-詳解】根據(jù)題意，得EF=DM=TL=4，DG=12,則MG=DG?DM=12?4=8，∵點(diǎn)B是對(duì)角線PM的中點(diǎn)，點(diǎn)C是對(duì)角線PG的中點(diǎn)，∴BC=1∵DF=5,EF=DM=4，∴DE=D∵DG=12，∴S正方形∴DQ=QL=LH=HD=6，∴QT=QL?TL=2，∴SA1設(shè)MN=x，則NG=8?x則A1∵A1∴A1故點(diǎn)C到HL得距離等于點(diǎn)C1到DQ得距離，為6?設(shè)BC與HL的交點(diǎn)是Y，則HY=BC?1∵A1故6?解得x=11故答案為：112【題型9矩形、菱形、正方形與勾股定理的綜合運(yùn)用】【例9】（2024八年級(jí)·天津西青·期末）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，連接BE，點(diǎn)P是BE的中點(diǎn)，連接AP，若AB=2，∠ADC=60°，則AP的長(zhǎng)等于．

【答案】72/【分析】連接AC、AE,延長(zhǎng)AP交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．先證明△ADC為等邊三角形，得到DE=12CD=1，AE⊥CD，從而求出AE=3．再證明△ABP≌△FEP，得到FE=2，AP=FP，根據(jù)勾股定理求出【優(yōu)尖升-詳解】解：如圖，連接AC、AE,延長(zhǎng)AP交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=CD=AD=2，AB∥CD，∵∠ADC=60°，∴△ADC為等邊三角形，∵點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，∴DE=12CD=1∴AE=A∵AB∥CD，∴∠BAP=∠F,∠ABP=∠FEP，∵點(diǎn)P是BE的中點(diǎn)，∴BP=EP，∴△ABP≌△FEP，∴AB=FE=2，AP=FP，∵AE⊥CD，∴AF=A∴AP=1

故答案為：7【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)．熟知相關(guān)知識(shí)，根據(jù)已知條件添加適當(dāng)輔助線，構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題關(guān)鍵．【變式9-1】（2024八年級(jí)·重慶北碚·期末）如圖，將矩形紙片ABCD沿EF對(duì)折，使點(diǎn)B落在AD上點(diǎn)H處，再次沿HG對(duì)折，對(duì)折后點(diǎn)D恰好與點(diǎn)F重合．若四邊形EFGH是菱形，則ABAD=

【答案】35/【分析】連接BE，先證∠HEF=∠HFE，從而得△EFH為等邊三角形，再證△BEF為等邊三角形，進(jìn)而得∠ABE=30°，設(shè)AE=a，則BE=EF=HF=HD=2a，AB=3a，于是可得AD=5a，據(jù)此可得【優(yōu)尖升-詳解】解：連接BE，如圖：

∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，∠ABC=∠A=90°，∴∠HEF=∠EFB，由翻折的性質(zhì)得：∠EFB=∠HFE，HD=HF，BF=HF，∴∠HEF=∠HFE，∴HF=HE，∵四邊形EFGH是菱形，∴EF=HE，∴HF=HE=EF，∴△EFH為等邊三角形，∴∠HEF=60°，∴EFB=∠HEF=60°，又BF=HF=EF，∴△BEF為等邊三角形，∴∠EBF=60°，BE=EF，∴BE=EF=HF=HD，∴∠ABE=∠ABC?∠EBF=90°?60°=30°，設(shè)AE=a，在Rt△ABE中，AE=a，∠ABE=30°，∴BE=2a，由勾股定理得：AB=B∴BE=EF=HF=HD=2a，∴AD=AE+EH+HD=a+2a+2a=5a，∴ABAD故答案為：35【點(diǎn)睛】此題主要考查了圖形的翻折變換及性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)D形的翻折變換及性質(zhì)，理解菱形的四條邊都相等，等邊三角形的三邊相等、三個(gè)角都等于60°；直角三角形中，30°的角所對(duì)的邊等于斜邊的一半．【變式9-2】（2024八年級(jí)·貴州貴陽(yáng)·期末）閱讀理解：平面內(nèi)任意兩點(diǎn)x1,y1，x2,y2的距離可以表示為x1?x22+y1?y22，反之，x1?x22+y1?

【答案】3【分析】本題主要考查數(shù)形結(jié)合，涉及兩點(diǎn)之間距離、正方形的性質(zhì)以及最值的求解，根據(jù)題意建立直角坐標(biāo)系，分別表示點(diǎn)的坐標(biāo)，利用給定的距離表示ME和AF，即可求得答案．【優(yōu)尖升-詳解】解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC為y軸，DC為x軸，如圖，

設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為0,y，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為x，0，則B0,4，D∵AMMD∴M4∴BE=4?y，DF=4?x，∵BE=2DF，∴4?y=24?x∴y=2x?4，則ME=0?4AF=x?4∴ME+2AF==4上式表示點(diǎn)P(2x,0)到點(diǎn)T(5,4)與點(diǎn)H(8,8)的距離和的最小值，即求PT+PH的最小值；如圖，作點(diǎn)T關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q(5,?4)，連接QH交x軸于點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)G重合時(shí)，PT+PH≥PQ，而PQ=(8?5)∴ME+2AF最小值為317故答案為：317【變式9-3】（2024八年級(jí)·湖北·期末）如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AD=CD，E點(diǎn)是B點(diǎn)關(guān)于CD所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，連AE、CE、DE，若AB=4，BC=3，則AE的長(zhǎng)為．

【答案】58【分析】連接AC，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接ME，根據(jù)條件可證明△ADC、△ACM是等腰直角三角形，再根據(jù)E點(diǎn)是B點(diǎn)關(guān)于CD所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，可得∠BCA=∠ECM，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥CA于N，EF⊥CM于F，可得四邊形CNEF是矩形，證明△BCA≌△ECMSAS【優(yōu)尖升-詳解】解：連接AC，如圖所示，

∵∠ADC=90°，AD=CD，∴△ADC是等腰直角三角形，∴∠DAC=45°，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接ME，∴∠ACM=90°，∴△ACM是等腰直角三角形，∴AC=CM，∴∠ACD=∠DCM=45°，∵E點(diǎn)是B點(diǎn)關(guān)于CD所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，∴∠BCD=∠ECD，CE=BC=3，∴∠BCD?∠ACD=∠ECD?∠DCM，∴∠BCA=∠ECM，∵AB=4，BC=3，∠ABC=90°，∴AC=5，過(guò)點(diǎn)E作CN⊥EN交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，CM⊥EF于F，∴四邊形CNEF是矩形，∴CN=EF，∵CE=BC=3，∠BCA=∠ECM，AC=CM，∴△BCA≌△ECMSAS∴EM=AB=4，∴S△CEM∴12×5×EF=6，解得：∴CN=EF=12∴NE2=C∴AE=A故答案為：58．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何問(wèn)題，難度較大，涉及到矩形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等，正確作出輔助線是關(guān)鍵．【題型10矩形、菱形、正方形與全等三角形的綜合運(yùn)用】【例10】（2024八年級(jí)·河南漯河·期末）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別時(shí)邊AB，BC的中點(diǎn)，連接EC，F(xiàn)D，點(diǎn)G，H分別時(shí)EC，F(xiàn)D的中點(diǎn)，這接GH，苦AB=4，BC=6，則GH的長(zhǎng)度為．

【答案】13【分析】連接CH并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)P，連接PE，由矩形的性質(zhì)得∠A=90°，AD∥BC，AD=BC=6，從而得到∠DPH=∠FCH，通過(guò)AAS證明△DPH≌△FCH可得PD=CF=3，PH=CH，由勾股定理進(jìn)行計(jì)算可得EP=13，再由三角形中位線定理即可得到GH【優(yōu)尖升-詳解】解：如圖，連接CH并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)P，連接PE，

，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD∥BC，AD=BC=6，∴∠DPH=∠FCH，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別時(shí)邊AB，BC的中點(diǎn)，AB=4，BC=6，∴AE=12AB=2∵點(diǎn)H為DF的中點(diǎn)，∴DH=FH，在△DPH和△FCH中，∠DPH=∠FCH∠DHP=∠FHC∴△DPH≌△FCHAAS∴PD=CF=3，PH=CH，∴AP=AD?PD=6?3=3，∴PE=A∵點(diǎn)G是CE的中點(diǎn)，CH=PH，∴GH是△CEP的中位線，∴GH=1故答案為：132【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造三角形，是解題的關(guān)鍵．【變式10-1】（2024八年級(jí)·重慶九龍坡·期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是BC的中點(diǎn)，將△ECD沿直線ED翻折至矩形ABCD所在平面內(nèi)，得到△EC'D，連接BC'，并延長(zhǎng)BC'交

【答案】7【分析】連接CC',CF，設(shè)CC',DE交于點(diǎn)H，如圖，根據(jù)折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)可證明DE∥BF，進(jìn)而可得四邊形BEDF是平行四邊形，可得DF=BE=3，然后利用勾股定理求出CF，等面積法求出【優(yōu)尖升-詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，E是BC的中點(diǎn)，AB=4，∴AD∥BC,BE=CE=3，∠ADC=∠BCD=90°，∴DE=3連接CC',CF，設(shè)C∵將△ECD沿直線ED翻折至矩形ABCD所在平面內(nèi)，得到△EC∴EC'=EC,CC'∴EB=EC∴∠EBC∵∠CEC∴2∠CED=2∠CBF，即∠CED=∠CBF，∴DE∥BF，∵FD∥BE，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∴DF=BE=3，則在直角三角形DCF中，CF=D∵S△CDE∴CH=3×4∴CC∵DE∥BF，CC∴CC則在直角三角形CC'F故答案為：75

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)圖形的判定和性質(zhì)、正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式10-2】（2024·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD的延長(zhǎng)線上，且BE=DF，連接EF交邊AD于點(diǎn)G．過(guò)點(diǎn)A作AN⊥EF，垂足為點(diǎn)M，交邊CD于點(diǎn)N．若BE=5，CN=8，則線段AB的長(zhǎng)為．【答案】20【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．連接AE，AF，EN，先證明△ABE≌△ADF，得到∠BAE=∠DAF，AE=AF，證明△EAF為等腰直角三角形，從而可證明EN=FN，設(shè)DN=x，則根據(jù)勾股定理列方程并求解，得到x=12，即可得到答案．【優(yōu)尖升-詳解】如圖，連接AE，AF，EN，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=AD，BC=CD，∠ABE=∠BCD=∠ADF=