2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)單元速記·巧練（北師大版）第4章 圖形的相似（壓軸題專練）（解析版）（北師大版）

第4章圖形的相似（壓軸題專練）題型01：相似三角形的解答證明題1．在中，為邊上一點(diǎn)．

(1)如圖1，若，求證：．(2)若為的中點(diǎn)，，①如圖2，若，，求的長(zhǎng)；②如圖3，若，，直接寫出的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)①3；②【分析】（1）根據(jù)已知條件得出，又，即可得證；（2）①解法：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連結(jié)，設(shè)：，則，，，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程，解方程，即可求解；①解法：取中點(diǎn)，連結(jié)，設(shè)：，則，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程，解方程，即可求解；②解法：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，得出，在中，，則，建立方程，解方程，即可求解；②解法：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使，在中，勾股定理求得，證明，得出，解方程，即可求解．【解析】（1）∵，即∵，∴；（2）

①解法：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連結(jié)設(shè)：，則，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，是的中位線，，，，，，解得：，（不合題意舍去）

①解法：取中點(diǎn)，連結(jié)設(shè)：，則為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)是的中位線，且，，，，解得：，（不合題意舍去），②解法：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

設(shè)：，中，，，中，，，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)是的中位線，，，，，，，，，在中，，即解得：，（不合題意舍去）②解法：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使，

設(shè)：，中，，，中，，，，，，，，在中，，，為的中點(diǎn)，，，，，即，，，，解得：，（不合題意舍去）【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的綜合性題目，包括相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中點(diǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，熟練掌握運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．2．已知：在中，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是直線上一點(diǎn)，連接，將沿著折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，連接．

(1)如圖1，若點(diǎn)D在線段上，求證：；(2)如圖2，與交于點(diǎn)M，連接，若，求證：點(diǎn)M是的中點(diǎn)；(3)如圖3，點(diǎn)F在延長(zhǎng)線上，與交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，若，，求．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）連接，由折疊性質(zhì)得到，，由中點(diǎn)性質(zhì)得到，推出點(diǎn)A、D、C三點(diǎn)在以為直徑的圓上，，根據(jù)垂直同一直線的兩直線平行，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)平行線性質(zhì)得到，根據(jù)，得到，推出，得到點(diǎn)A、F、C三點(diǎn)在以為直徑的圓上，，設(shè)，得到，推出，推出∠MAF＝∠MFA，據(jù)此即可證明結(jié)論；（3）連接、，設(shè)∠C＝α，根據(jù)，結(jié)合折疊與中點(diǎn)性質(zhì)，得到，推出，根據(jù)三角形外角性質(zhì)以及折疊性質(zhì)，得到，根據(jù)等邊對(duì)等角，得到，根據(jù)，推出，得到，推出，得到，推出，得到，得到，推出，根據(jù)，得到，得到．【解析】（1）證明：連接，

由折疊可知，，，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)A、D、C三點(diǎn)在以為直徑的圓上，∴，即，∴；（2）證明：由（1）知，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)A、F、C三點(diǎn)在以為直徑的圓上，

∴，設(shè)，∴，∴，∴，即，∴，即點(diǎn)M是的中點(diǎn)；（3）解：連接、，

設(shè)，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，

∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，同理，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形，翻折，勾股定理，相似三角形，圓周角，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理推論，是解決問題的關(guān)鍵．3．在中，，在中，，且．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，連接，請(qǐng)直接寫出線段和線段的數(shù)量關(guān)系；(2)當(dāng)時(shí)，繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，時(shí)，試猜想線段三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)當(dāng)時(shí)，繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置，時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)條件證明即可；（2）連接，根據(jù)第（1）問和，可得，根據(jù)勾股定理即可證明；（3）連接，根據(jù)條件證明，同（2）可證，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．【解析】（1）解：，∵，，，∴都是等邊三角形，∴，∴，∴，∴；（2）解：，連接，如圖，

由（1）得，，∴，∵，∴，∵，，∴∴，∴，∵，∴；（3）解：，連接，如圖，

∵都是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，同第（2）問可證：，∴，∵，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．4．某校組織數(shù)學(xué)興趣探究活動(dòng)，愛思考的小實(shí)同學(xué)在探究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系查閱資料時(shí)發(fā)現(xiàn)，兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”如圖、圖、圖中，、是的中線，于點(diǎn)，像這樣的三角形均稱為“中垂三角形”．

【特例探究】(1)如圖，當(dāng)，時(shí)，______，______；如圖，當(dāng)，時(shí)，______，______；【歸納證明】(2)請(qǐng)你觀察（）中的計(jì)算結(jié)果，猜想、、三者之間的關(guān)系，用等式表示出來(lái)，并利用圖證明你的結(jié)論．【拓展證明】(3)如圖，在中，，，、、分別是邊、、的中點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)至，使得，連結(jié)，當(dāng)于點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)，，，；(2)、、三者之間的關(guān)系是：，證明見解析；(3)【分析】（1）如圖，連接，證，得，，從而得，進(jìn)而根據(jù)勾股定理即可求解、的長(zhǎng)，同理可得當(dāng)，時(shí)，、的長(zhǎng)；（2）設(shè)，則，，由勾股定理得，，，從而即可得解；（3）如圖，連接，，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，證四邊形是平行四邊形，得是的中點(diǎn)，是中垂三角形，從而根據(jù)即可求解．【解析】（1）解：，，，，，如圖，連接，

，是的中線，是的中位線，且，∴，，∴，，，由勾股定理得：，，如圖，，，，，，、是的中線，∴同理可得：，，由勾股定理得：，，，，故答案為：，，，；（2）解：猜想：、、三者之間的關(guān)系是：，證明：如圖，設(shè)，則，，在中，，在中，，在中，，由得：，由得：，；（3）解：如圖，連接，，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，

，，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，、分別是、的中點(diǎn)，，，，，，四邊形是平行四邊形，是的中點(diǎn)，是中垂三角形，，，，，由（）中結(jié)論可知：，即，【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、平行四邊形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)以及中點(diǎn)定義，熟練掌握勾股定理及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型02：相似三角形在特殊平行四邊形中的應(yīng)用5．已知四邊形是菱形，，．

(1)如圖1，P是上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，若，①求的長(zhǎng)；②求的長(zhǎng)；(2)如圖2，M是的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)M作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，點(diǎn)Q在上，連接，分別過(guò)點(diǎn)B，N作直線的垂線，垂足分別為G，H，若，求的長(zhǎng)；(3)如圖3，J為上一點(diǎn)，L為上一點(diǎn)，，分別過(guò)點(diǎn)J，L作，的平行線，兩條直線交于點(diǎn)K，將四邊形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖4，直線交直線于點(diǎn)R，求的值及的度數(shù)．【答案】(1)①；②；(2)；(3)，【分析】（1）①利用菱形和相似三角形的性質(zhì)求解即可；②作，利用勾股定理求得，，再利用相似三角形的性質(zhì)求解即可；（2）作，，利用勾股定理以及相似三角形的性質(zhì)求解即可；（3）連接、交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，利用勾股定理以及相似三角形的性質(zhì)求解即可．【解析】（1）解：①四邊形是菱形∴，∴∴∵∴，解得；②作，如下圖：

∵∴，∴，∴由題意可得：∴，∴，∴，；（2）作，，如下圖：

則四邊形為矩形，則∴，∵為的中點(diǎn)，∴∴，∵∴∴∴∴∴，即，∵，∴∴，∴∴∴，即解得∴（3）連接、交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，設(shè)交于，

∵四邊形是菱形，∴四邊形是菱形，，，∴，，∴，，，∴，∴，∴∵，∴∴∴，在和中，，，∴【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的判定與性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)，作出輔助線，構(gòu)造出“手拉手”模型．6．（1）發(fā)現(xiàn)：如圖①所示，在正方形中，為邊上一點(diǎn)，將沿翻折到處，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，求證：；（2）探究：如圖②，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，且，，將沿翻折到處，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)．（3）拓展：如圖③，在菱形中，，為邊上的三等分點(diǎn)，．將沿翻折得到，直線交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．

【答案】（1）見解析；（2）；（3）的長(zhǎng)為或．【分析】（1）先證明，，結(jié)合公共邊從而可得結(jié)論；（2）延長(zhǎng)，交于，如圖：設(shè)，則，由，可得，證明，再利用相似三角形的性質(zhì)可得答案；（3）分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于，過(guò)作于，如圖：設(shè)，，則，證明，可得，再證明，即①，由，可得②，聯(lián)立①②可解得，可得答案；當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于，過(guò)作交延長(zhǎng)線于，如圖：設(shè)，，則，同理可得：，即，由得：，可解得，從而可得答案．【解析】（1）證明：將沿翻折到處，四邊形是正方形，，，，，，；（2）解：延長(zhǎng)，交于，如圖：

設(shè)，則，在中，，，解得，，，，，，即，，，（3）（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于，過(guò)作于，如圖：

設(shè)，，則，∵，，，，沿翻折得到，，，，是的角平分線，∴E到，的距離相等，設(shè)這個(gè)距離為，∴，，即①，，，，，在中，，②，聯(lián)立①②可解得，（不符合題意的根舍去）；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于，過(guò)作交延長(zhǎng)線于，如圖：

設(shè)，，則，同理，同理可得：，即，由得：，可解得，（不符合題意的根舍去）同理可得：，，綜上所述，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，矩形，菱形，正方形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程的解法，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．7．綜合與實(shí)踐

(1)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖，諸葛小組將正方形紙片沿過(guò)點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在正方形內(nèi)部的點(diǎn)處，折痕為，再將紙片沿過(guò)點(diǎn)的直線折疊，使與重合，折痕為，請(qǐng)寫出圖中的一個(gè)角；(2)【拓展探究】如圖，孔明小組繼續(xù)將正方形紙片沿繼續(xù)折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在折痕上的點(diǎn)處，連接交于點(diǎn)．度；若，求線段的長(zhǎng)；(3)【遷移應(yīng)用】如圖，在矩形，點(diǎn)，分別在邊，上，將矩形沿，折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)，，恰好在同一直線上，若點(diǎn)為的三等分點(diǎn)，，，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)；；(3)或．【分析】（）由是正方形，得出，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得:，，即可求解；（）由是正方形，得，由折疊的性質(zhì)得:，，，則，由()得:，所以是等腰直角三角形，則，，求出即可求解；由可知，，則有，又由角所對(duì)直角邊是斜邊的一半及勾股定理，線段和差即可求解；（）先添加輔助線，然后分兩種情形：當(dāng)，當(dāng)，分別求解即可．【解析】（1）結(jié)論:，

理由：∵四邊形是正方形，∴，由折疊的性質(zhì)得:，，∴，∴（2）∵四邊形是正方形，∴，由折疊的性質(zhì)得:，，，∴，由()得:，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：；∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∵，∴，，，∴，在中，，∴，∴，（3）如圖中，在上取一點(diǎn)，使得，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，

當(dāng)時(shí)，，，∵，∴，∴，∴，∴，由()可知，設(shè)，則，，，在中，由勾股定理得：，即：，解得：，∴，當(dāng)時(shí),同法可得，綜上所述，滿足條件的的值為：或．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握正方形的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)，證出是解題的關(guān)鍵．8．在矩形中，點(diǎn)E是射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)G，交直線于點(diǎn)F．

(1)當(dāng)矩形是正方形時(shí)，以點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)在正方形的外部作等腰直角三角形，連接．如圖1，則線段與之間的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；(2)如圖2，若點(diǎn)E在線段上，以點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)在矩形的外部作直角三角形，且，連接．判斷線段與之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明；(3)如圖3，若點(diǎn)E在線段的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，，M是中點(diǎn)，連接，，求的值．【答案】(1)，(2)，，理由見解析(3)【分析】（1）證明，從而得出，進(jìn)而證得四邊形是平行四邊形，進(jìn)一步得出結(jié)論；（2）證明，從而，進(jìn)而證明，四邊形是平行四邊形，進(jìn)一步得出結(jié)論；（3）取的中點(diǎn)N，作于T，證明，從而，從而得到，根據(jù)三角形中位線定理可得，進(jìn)而證得，從而，可解得，進(jìn)一步求得結(jié)果．【解析】（1）解：四邊形是正方形，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，四邊形是平行四邊形，，，故答案為：，；（2）解：四邊形是矩形，，，，，，，，，是直角三角形，，，，，四邊形是平行四邊形，，；（3），，，取的中點(diǎn)N，作于T，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，M是的中點(diǎn)，，，，，，，，，．

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，三角形中位線定理等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造三角形的中位線．題型03：相似三角形與平面直角坐標(biāo)系9．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線過(guò)點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)，分別為線段，上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且．

(1)求和的值；(2)當(dāng)與中的一個(gè)角相等時(shí)，求線段的長(zhǎng)；(3)如圖2，連接交于點(diǎn)，將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)，若點(diǎn)到軸的距離恰好等于的長(zhǎng)，求的面積．【答案】(1)，(2)或(3)【分析】（1）將代入求出k的值，得出一次函數(shù)解析式，將代入求出a的值即可；（2）分三種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可；（3）連接，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)N，于點(diǎn)M，證明，得出，證明四邊形為正方形，得出，證明為等腰直角三角形，得出，求出，得出，設(shè)，則，證明，得出，即，求出，根據(jù)三角形面積公式求出結(jié)果即可．【解析】（1）解：將代入，解得．將代入，得．（2）解：①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，舍去②當(dāng)時(shí)，此時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，即，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，∴；③當(dāng)時(shí)，作于點(diǎn)

∵平分，，，∴，∵，∴；綜上分析可知，或；（3）解：連接，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)N，于點(diǎn)M，如圖所示：

由題意可得，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，且，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴四邊形為矩形，∵，∴四邊形為正方形，∴，∵，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，把代入得：，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，即，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例，三角形相似的判定和性質(zhì)，求一次函數(shù)的函數(shù)值，解題關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，畫出相應(yīng)的圖形，作出輔助線，注意進(jìn)行分類討論．10．如圖1，已知直線交x軸于，交y軸于B．

(1)直接寫出k的值為_________；B點(diǎn)坐標(biāo)為_________；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)P，點(diǎn)Q為射線上一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)Q到直線的距離為，求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)t的值；(3)如圖3，已知點(diǎn)，點(diǎn)為直線右側(cè)一點(diǎn)，且滿足，求點(diǎn)N坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）待定系數(shù)法求出的值，進(jìn)而求出B點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）待定系數(shù)法求出直線的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，軸交于點(diǎn)，證明，得到，進(jìn)行求解即可；（3）在軸上取一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先證明，進(jìn)而得到，求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的解析式，將點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可．【解析】（1）解：∵直線交x軸于，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，∴；故答案為：；（2）∵過(guò)點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)P，∴，∴，∴，聯(lián)立，解得：，∴，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則：，∵，∴，∴，∵點(diǎn)Q為射線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q到直線的距離為，Q的橫坐標(biāo)為t，

則：，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，軸交于點(diǎn)，則：，，，，∴，，∵，∴，∴，即：，解得：．（3）在軸上取一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

則：，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即：，∴，∴，又，，∴，∴，，∴，∴，設(shè)直線的解析式為：，則：，解得：，∴，∵在直線上，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，本題的綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于壓軸題，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想，通過(guò)添加輔助線證明三角形全等和相似．11．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)在軸的正半軸上．如圖2，將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

(1)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為多少度時(shí)，；（直接寫出結(jié)果，不要求寫解答過(guò)程）(2)若點(diǎn)，①求的長(zhǎng)；②連接對(duì)角線交直線于點(diǎn)，求的長(zhǎng)；(3)如圖3，對(duì)角線交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，連接．將與的面積分別記為與，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．【答案】(1)(2)①

②(3)【分析】（1）在軸正半軸任取一點(diǎn)，根據(jù)題意可知，，可證得，結(jié)合即可求得答案．（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交軸于點(diǎn)．①可證得，得到即可求得答案．②先證得，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，采用待定系數(shù)法，即可求得直線的函數(shù)解析式，進(jìn)而可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得答案．（3）連接，，證得，得到，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，可得的表達(dá)式，證明，可得為等腰直角三角形，進(jìn)而可得的表達(dá)式．【解析】（1）如圖所示，在軸正半軸任取一點(diǎn)．

根據(jù)題意可知，．在和中∴．∴．∴．∴．∴．（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交軸于點(diǎn)．

①根據(jù)題意可知，，，∴．根據(jù)題意可知，，，，∴．∴．∴．②∵，∴．∴．根據(jù)題意可知，．∵，，∴．在和中∴．∴，．∴所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)直線的函數(shù)解析式為．因?yàn)榈膱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，所以．解得．所以，直線的函數(shù)解析式為．根據(jù)題意可知，的圖象與的圖象的交點(diǎn)即為點(diǎn)，所以．解得．∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．∴．∴．∴．（3）如圖所示，連接，．

∵，，∴．∴．∵，，∴．又，∴．∴．∴．設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，∴．∵，∴．又，∴．∴．又，∴為等腰直角三角形．∴．∴．∴．∴．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系、圖形的旋轉(zhuǎn)、一次函數(shù)、相似三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定及性質(zhì)，能根據(jù)題意構(gòu)建輔助線是解題的關(guān)鍵．12．如圖所示，直線與軸相交于點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)B，將沿著y軸折疊，使點(diǎn)A落在x軸上，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C．

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)P為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)A、C不重合，連接，以點(diǎn)P為端點(diǎn)作射線交于點(diǎn)M，使，①求證：；②是否存在點(diǎn)P使為直角三角形?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)C(2)①見解析；②存在，點(diǎn)P有兩個(gè)P1?【分析】（1）根據(jù)A與C關(guān)于y軸對(duì)稱，據(jù)此即可確定C的坐標(biāo)；（2）①根據(jù)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，即可得到BC=BA，則∠BCP=∠MAP，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可證得∠PMA=∠BPC，從而證得兩個(gè)三角形相似；②首先求得B的坐標(biāo)，當(dāng)∠PBM=90°時(shí)，則有△BPO∽△ABO，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求得PO的長(zhǎng)，求得當(dāng)∠PMB=90°時(shí)，則∠PMA=90°時(shí)，BP⊥AC，則此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合．則P的坐標(biāo)可以求得．【解析】（1）解：∵A4,0，且點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y∴C?4,0（2）①證明：∵∠BPM=∠BAC，且∠PMA=∠BPM+∠PBM，∠BPC=∠BAC+∠PBM，∴∠PMA=∠BPC，又∵點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，且∠BPM=∠BAC，∴∠BCP=∠MAP，∴△PBC∽②解：存在．由題意：A4,0，B0,3，當(dāng)∠PBM=90°時(shí)，則有△BPO∽∴POBO=BO∴PO=94，即：當(dāng)∠PMB=90°時(shí)，則∠PMA=90°，∴∠PAM+∠MPA=90°，∵∠BPM=∠BAC，∴∠BPM+∠APM=90°，∴BP⊥AC，∵過(guò)點(diǎn)B只有一條直線與AC垂直，∴此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，即：符合條件的點(diǎn)P2的坐標(biāo)為：P∴使△PBM為直角三角形的點(diǎn)P有兩個(gè)P1?9【點(diǎn)睛】本題是屬于一次函數(shù)綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題是解題關(guān)鍵．題型04：動(dòng)點(diǎn)問題13．探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究．在中，，D是邊上一點(diǎn)，且（n為正整數(shù)），E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作的垂線交直線于點(diǎn)F．

【初步感知】(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，興趣小組探究得出結(jié)論：，請(qǐng)寫出證明過(guò)程．【深入探究】(2)①如圖2，當(dāng)，且點(diǎn)F在線段上時(shí)，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出結(jié)論并證明；②請(qǐng)通過(guò)類比、歸納、猜想，探究出線段之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫出結(jié)論，不必證明）【拓展運(yùn)用】(3)如圖3，連接，設(shè)的中點(diǎn)為M．若，求點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】(1)見解析(2)①AE+12BF=23AB，證明過(guò)程略；②當(dāng)點(diǎn)F在射線BC上時(shí)，AE+(3)n【分析】（1）連接CD，當(dāng)n=1時(shí)，ADBD=1，即AD=BD，證明AD=CD，從而得到（2）①過(guò)BD的中點(diǎn)G作BC的平行線，交DF于點(diǎn)J，交AC于點(diǎn)H，當(dāng)n=2時(shí)，AD=DG，根據(jù)GH∥BC，可得△AHG是等腰直角三角形，JG=12FB，根據(jù)（1）中結(jié)論可得AE+JG=22②分類討論，即當(dāng)點(diǎn)F在射線BC上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)F在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，畫出圖形，根據(jù)①中的原理即可解答；（3）如圖，當(dāng)E1與A重合時(shí)，取E1F1的中點(diǎn)M1，當(dāng)E2與C重合時(shí)，取E2F2的中點(diǎn)M2，可得【解析】（1）證明：如圖，連接CD，

當(dāng)n=1時(shí)，ADBD=1，即∵∠C=90°,AC=BC，∴∠A=∠B=45°，CD⊥AB，∠FCD=1∴CD=AD，AB=2BC，即∵DE⊥FD，∴∠ADE+∠EDC=∠FDC+∠EDC=90°，∴∠ADE=∠CDF在△ADE與△CDF中，∠ADE=∠CDFDA=DC∴△ADE≌△CDFASA∴AE=CF，∴BC=CF+BF=AE+BF=2（2）①AE+證明：如圖，過(guò)BD的中點(diǎn)G作BC的平行線，交DF于點(diǎn)J，交AC于點(diǎn)H，

當(dāng)n=2時(shí)，ADDB=1∵G是DB的中點(diǎn)，∴AD=DG，AG=2∵HG∥∴∠AHG=∠C=90°，∠HGA=∠B=45°，∵∠A=45°，∴△AHG是等腰直角三角形，且△DJG∽△DBF，∴JG根據(jù)（1）中的結(jié)論可得AE+JG=2∴AE+JG=AE+1故線段AE，BF，②解：當(dāng)點(diǎn)F在射線BC上時(shí)，如圖，在DB上取一點(diǎn)G使得AD=DG，過(guò)G作BC的平行線，交DF于點(diǎn)J，交AC于點(diǎn)H，

同①，可得AE+JG=2∵ADBD=∴DGBD=同①可得JGFB∴AE+JG=AE+1即線段AE，BF，當(dāng)點(diǎn)F在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，在DB上取一點(diǎn)G使得AD=DG，過(guò)G作BC的平行線，交DF于點(diǎn)J，交AC于點(diǎn)H，連接HD

同（1）中原理，可證明△DHE≌△DGJASA可得AE?GJ=2∵ADBD=∴DGBD=同①可得JGFB∴AE?JG=AE?即線段AE，BF，綜上所述，當(dāng)點(diǎn)F在射線BC上時(shí)，AE+1nBF=2n+1AB；當(dāng)點(diǎn)（3）解：如圖，當(dāng)E1與A重合時(shí)，取E1F1的中點(diǎn)M1，當(dāng)E2與C重合時(shí)，取E2

如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DF1為y軸，DB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)E2作AB的垂線段，交AB于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F2作AB的垂線段，交

∵AB=22∴AD=22n+1∴E∵∠F∴F∴F∵M(jìn)1是∴M∵GB=GC=1∴DG=DB?BG=?∴E根據(jù)（2）中的結(jié)論AE∴BF∴BH=F∴DH=DB+BH=2∴F∴M∴M【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確地畫出圖形，作出輔助線，找對(duì)邊之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．14．某托管服務(wù)數(shù)學(xué)興趣小組針對(duì)如下問題進(jìn)行探究，在等邊中，，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，連接，以為一邊在右側(cè)作等邊．

(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖（1），當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)不與點(diǎn)重合,連接則線段與的數(shù)量關(guān)系是___________；直線與的位置關(guān)系是___________；(2)【拓展延伸】如圖（2），當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線相交于點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄康拿娣e與的面積之間的數(shù)量關(guān)系；(3)【問題解決】當(dāng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)不與點(diǎn)重合，直線相交于點(diǎn)，若的面積是，請(qǐng)求出線段的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)(3)1或4【分析】（1）證，得，再證，則；（2）證，得，再證，即可解決問題；（3）由（1）（2）可知，，則，則，再證，得，設(shè)當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)則，求出，則，解方程即可；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，解法同上．【解析】（1）解：和是等邊三角形，，，即，，，，，故答案為：；（2）解：，理由如下：和是等邊三角形，，，即，，，，；（3）解：由（1）（2）可知，無(wú)論點(diǎn)在線段上還是在線段的延長(zhǎng)線上，都有，，，，，的邊上的高的邊上的高，，，，，，設(shè)，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖，

則，，，，，整理得：，解得：（不符合題意，舍去），；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，

則，，，，，整理得：，解得：（不符合題意，舍去），；綜上所述，線段的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、三角形面積、一元二次方程的解法以及分類討論等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．15．綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形與垂直”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．(1)操作判斷如圖1，正方形紙片，在邊上任意取一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)．根據(jù)以上操作，請(qǐng)直接寫出圖1中線段與線段的關(guān)系．

(2)遷移探究小華將正方形紙片換成矩形紙片，繼續(xù)探究，過(guò)程如下：如圖2，在矩形紙片中，，在邊上任意取一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)，請(qǐng)求出線段與的關(guān)系，并說(shuō)明理由．

(3)拓展應(yīng)用如圖3，已知正方形紙片的邊長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)向終點(diǎn)做勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)向終點(diǎn)做勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)、同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，且速度相同，連接、，交于點(diǎn)，連接，則線段長(zhǎng)度的最小值為______，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)為______．（直接寫出答案不必說(shuō)明理由）

【答案】(1)(2)，理由見解析(3)；【分析】（1）由四邊形是正方形，得，進(jìn)一步可得，所以，結(jié)論得證．（2）由四邊形是矩形，得，進(jìn)一步可證，所以，于是，證得.（3）取的中點(diǎn)，連接，，由（1）可得，可證，；中，勾股定理求得；由得的最小值是；由，知、、三點(diǎn)共圓，所以點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，在以半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而求得運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)為．【解析】（1）∵四邊形是正方形，∴，又，∴，∴，∴，在和中，∵，，∴，∴．（2）∵四邊形是矩形，∴，，又，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴．（3）如圖，取的中點(diǎn)，連接，，

由題意知，，由（1）可得，∴∵∴，∴，∵是的中點(diǎn)，，∴，在中，；在中，∵，∴的最小值是，∵，∴、、三點(diǎn)共圓，∴點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，在以半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)為：，故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短；合理添設(shè)輔助線，借助圖中合適的定點(diǎn)運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．題型05：動(dòng)態(tài)幾何16．綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)老師讓同學(xué)們以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展教學(xué)活動(dòng)．【操作判斷】

如圖①，在矩形中，，點(diǎn)M，P分別在邊，上（均不與端點(diǎn)重合）且，以和為鄰邊作矩形，連接，．（1）如圖②，當(dāng)時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系為，與的數(shù)量關(guān)系為．【遷移探究】（2）如圖③，當(dāng)時(shí)，天天先將矩形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再連接，則CN與之間的數(shù)量關(guān)系是．【拓展應(yīng)用】（3）在（2）的條件下，已知，，當(dāng)矩形旋轉(zhuǎn)至C，N，M三點(diǎn)共線時(shí)，求線段的長(zhǎng)．【答案】（1），；（2）；（3）線段的長(zhǎng)為或【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，，則，所以，再證明，，三點(diǎn)在同一條直線上，由勾股定理得，，所以，于是得到問題的答案；（2）先證明，得，，則，，即可證明，再根據(jù)勾股定理求得，則，所以；（3）分兩種情況，一是，，三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上，由勾股定理求得，則；二是，，三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，由勾股定理求得，則．【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，，，四邊形和四邊形都是正方形，，，，，，，，，三點(diǎn)在同一條直線上，，，，，，故答案為：，；（2）發(fā)生變化，，理由：如圖3，連接，當(dāng)時(shí)，則，，

，，，，，，，，，，，，；（3），，，，，，如圖4，，，三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上，

，，，如圖5，，，三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，

，，綜上所述，線段的長(zhǎng)是或．【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、數(shù)形結(jié)合與分類討論思想的運(yùn)用等知識(shí)與方法，本題綜合性強(qiáng)，難度較大，正確地作出所需要的輔助線是解題關(guān)鍵．17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的兩直角邊分別在坐標(biāo)軸的正半軸上，分別取的中點(diǎn)，連接，已知．

(1)求證：．(2)求的面積．(3)將沿翻折，使得落在點(diǎn)處，連接．若點(diǎn)在軸正半軸上（異于點(diǎn)），點(diǎn)在軸上，要使得以點(diǎn)，為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由．【答案】(1)見解析(2)6(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)中點(diǎn)的定義，得出，再根據(jù)“邊角邊”，得出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得出結(jié)論；（2）連接，根據(jù)（1）可知，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)面積之間的數(shù)量關(guān)系，計(jì)算即可得出答案；（3）分兩種情況：點(diǎn)在軸的上方時(shí)和點(diǎn)在軸的下方時(shí)，進(jìn)行討論解答即可．【解析】（1）證明：四邊形是正方形，，分別是的中點(diǎn)，，，；（2）解：如圖，連接，

由（1）可知：，，又∵，∴，．（3）解：存在，理由如下：設(shè)交于，

垂直平分，垂直平分，，在的垂直平分線上，即在上且，，，，，①點(diǎn)在軸的上方，有圖2，圖3兩種情形：如圖2中，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作軸于，交于，設(shè)．

，，，，是的中位線，，，，，，，，，，，．如圖3中，過(guò)點(diǎn)作軸于，過(guò)點(diǎn)作軸交于，延長(zhǎng)交于．

同法可證：，，設(shè)，，，是的中位線，，，，，，．②點(diǎn)在軸的下方時(shí)，有圖4，圖5兩種情形：如圖4中，，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于．

是的中位線，，同法可得：，，，，設(shè)，則，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．如圖5中，，過(guò)點(diǎn)作軸于交于，過(guò)點(diǎn)作于．

，同法可得：，，則，設(shè)，則，，，，．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂直平分線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、中位線的判定與性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理，并運(yùn)用分類討論思想進(jìn)行解答．18．如圖1，中，，，點(diǎn)在內(nèi)部，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．

(1)直接寫出線段與的關(guān)系為________；(2)如圖2，連接，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，作于點(diǎn)交于點(diǎn)，求的值；(3)在（2）的條件下，設(shè)與交于點(diǎn)，若，直接寫出的值．（用含的式子表示）【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）利用證，得到，，結(jié)合，證，即可得；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證，，根據(jù)求值即可；（3）設(shè)，則，證，結(jié)合，，相似比為，用含、的代數(shù)式表示、，代入化簡(jiǎn)整理即可．【解析】（1），線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，即，在和中，，，，，又，，即，，故答案為：，（2）如下圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，，由（1）得，，，，，，線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，是等腰直角三角形，又，，，（3）如下圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)

由（2）過(guò)程得，相似比為，，，設(shè)，則，，，，，，，，，【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握、靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)證明是解題的關(guān)鍵．題型06：最值、定值問題19．在中，，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其中點(diǎn)A，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接，交于點(diǎn)M，求的長(zhǎng)；(3)如圖3，連接，，直線交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)8(2)(3)存在，最小值為1【分析】（1）由勾股定理得，，由題意知，由旋轉(zhuǎn)可知，，則是等腰三角形，由點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上，，可得；（2）如圖1，過(guò)C作交于E，過(guò)C作于D，由旋轉(zhuǎn)可知，，，由，可得，則，，由，求得，由勾股定理得，，則，，證明，則，即，計(jì)算求解即可；（3）如圖2，過(guò)A作交的延長(zhǎng)線于P，連接，由旋轉(zhuǎn)可知，，則，由，，可得，由，可得，則，，證明，則，是的中位線，，可知最小時(shí)，最小，當(dāng)、C、B共線，最小，值為，即．【解析】（1）解：∵，由勾股定理得，，由題意知，由旋轉(zhuǎn)可知，，∴是等腰三角形，∵點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上，，∴，∴的長(zhǎng)為8；（2）解：如圖1，過(guò)C作交于E，過(guò)C作于D，

由旋轉(zhuǎn)可知，，，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，解得，由勾股定理得，，∴，，∵，∴，∴，即，解得；（3）解：存在最小值1，理由如下：如圖2，過(guò)A作交的延長(zhǎng)線于P，連接，

由旋轉(zhuǎn)可知，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，即D是中點(diǎn)，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴最小時(shí)，最小，∴當(dāng)、C、B共線，最小，值為，即，∴的最小值為1．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，中位線，等腰三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．20．（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，正方形與正方形的頂B重合，、分別在、邊上，連接，則有：①______；②直線與直線所夾的銳角等于______度；（2）理解運(yùn)用將圖1中的正方形繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接、，①如圖2，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；②如圖3，若D、F、G三點(diǎn)在同一直線上，且過(guò)邊的中點(diǎn)O，，直接寫出的長(zhǎng)等于______；（3）拓展延伸如圖4，點(diǎn)P是正方形的邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），連接，沿將翻折到位置，連接并延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接，若，則的值是否是定值？請(qǐng)說(shuō)明