2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊單元速記·巧練（北師大版）第2章 一元二次方程 單元復(fù)習(xí)提升（易錯與拓展）（解析版）

第2章一元二次方程單元復(fù)習(xí)提升（易錯與拓展）易錯點(diǎn)01一元二次方程的概念【指點(diǎn)迷津】注意a≠0；化簡到一元二次方程的一般式再做判斷與解題．典例1．下列方程是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】找到只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2，二次項(xiàng)系數(shù)不為0的整式方程的選項(xiàng)即可．【解析】解：A、當(dāng)時，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)錯誤；B、是分式方程，故本選項(xiàng)錯誤；C、化簡得：是一元二次方程，故本選項(xiàng)正確；D、是二元二次方程，故本選項(xiàng)錯誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練1．若關(guān)于x的方程是一元二次方程，則m的值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，即可求解．【解析】解：∵關(guān)于x的方程是一元二次方程，∴且，解得：，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，熟練掌握含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程是一元二次方程是解題的關(guān)鍵．易錯點(diǎn)02忽視因式分解法解一元二次方程時等式右邊要為0.【指點(diǎn)迷津】因式分解法解一元二次方程時等式右邊要為0.典例2．解下列方程：(1)(2)【答案】(1)；(2)．【分析】（1）去括號、移項(xiàng)合并，然后應(yīng)用提公因式法解方程即可；（2）運(yùn)用配方法解方程即可．【解析】（1）解：即

解得：．（2）．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程；根據(jù)方程特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆绞浇夥匠淌墙忸}的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練1．一元二次方程的根是（

）A． B．C．， D．，【答案】A【分析】利用因式分解法求解可得．【解析】解：∵，∴則，即∴故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練2．解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用公式法解方程即可；（2）先去括號，然后利用配方法解方程即可．【解析】（1）解：∵，∴，∴，∴，解得；（2）解：整理得，移項(xiàng)得：，配方得：，即，開平方得：，解得．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．易錯點(diǎn)03根據(jù)根的判別式求參數(shù)時忽視a≠0【指點(diǎn)迷津】解一元二次方程及其相關(guān)應(yīng)用時，不要忽視一元二次方程本身成立的條件，或者一些隱含條件.典例3．若關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】根據(jù)方程根的情況可以判定其根的判別式的取值范圍，進(jìn)而可以得到關(guān)于k的不等式，解得即可，同時還應(yīng)注意二次項(xiàng)系數(shù)不能為0．【解析】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴且，即：且，解得：且，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，當(dāng)一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則，解題的關(guān)鍵是了解根的判別式如何決定一元二次方程根的情況．跟蹤訓(xùn)練1．已知關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍．【答案】且【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到且，然后求出兩個不等式的公共部分即可．【解析】解：，根據(jù)題意得：，解得：且，故答案為：且．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式：當(dāng)，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義．跟蹤訓(xùn)練2．已知關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是．【答案】且【分析】根據(jù)一元二次方程的定義可得，結(jié)合根的判別式，即可求解．【解析】解：∵方程是一元二次方程，∴，則，∵該方程有實(shí)數(shù)根，∴，解得：，綜上：m的取值范圍是且．故答案為：且．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義和一元二次方程根據(jù)判別式，解題的關(guān)鍵是掌握當(dāng)時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，方程沒有實(shí)數(shù)根．易錯點(diǎn)04忽視因式分解法在一元二次方程實(shí)際應(yīng)用中的巧妙解法.【指點(diǎn)迷津】因式分解在解題時往往可以加快解題速度，節(jié)約考試時間.典例4．一個兩位數(shù)是一個一位數(shù)的平方，把這個一位數(shù)放在這個兩位數(shù)的左邊所成的三位數(shù)，比把這個一位數(shù)放在這個兩位數(shù)的右邊所成的三位數(shù)大，求這個兩位數(shù)．【答案】16或49【分析】設(shè)一位數(shù)為，則兩位數(shù)為，根據(jù)題意列出方程求解即可．【解析】設(shè)一位數(shù)為，則兩位數(shù)為．則根據(jù)題意可得：，

整理得：．分解得：，解得：，．答：這個兩位數(shù)為16或49．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，把一個一位數(shù)放在這個兩位數(shù)的左邊所成的三位數(shù)，可以表示為；把一個一位數(shù)放在這個兩位數(shù)的右邊所成的三位數(shù)，可以表示為，讀懂題意，找出等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練1．某商場銷售一批襯衫，進(jìn)貨價為每件元，按每件元出售，一個月內(nèi)可售出件．已知這種襯衫每件漲價元，其銷售量要減少件．為了減少庫存量，且在月內(nèi)賺取元的利潤，售價應(yīng)定為每件多少元？【答案】元【分析】根據(jù)等量關(guān)系式：單件利潤銷售量總利潤，列方程求解即可．【解析】解：設(shè)這種襯衫每件漲價元，由題意可得，整理可得：，解得：，，當(dāng)時，可賣件數(shù)：，當(dāng)時，可賣件數(shù)：，要減少庫存量，售價應(yīng)定為每件（元）．答：售價應(yīng)定為每件元．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程在銷售利潤問題中的應(yīng)用，找出等量關(guān)系式，進(jìn)行正確求解是解題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練2．如圖，一農(nóng)戶要建一個矩形雞舍，為了節(jié)省材料雞舍的一邊利用長為a米的墻，另外三邊用長為27米的建筑材料圍成，為方便進(jìn)出，在垂直墻的一邊留下一個寬1米的門．設(shè)米時，雞舍面積為S平方米．(1)求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式及x的取值范圍．(2)在（1）的條件下，當(dāng)為多少時，雞舍的面積為90平方米？(3)若住房墻的長度足夠長，問雞舍面積能否達(dá)到100平方米？【答案】(1)；x的取值范圍為(2)當(dāng)為9米時，雞舍的面積為90平方米(3)雞舍面積不能達(dá)到100平方米，理由見解析【分析】（1）設(shè)米時，則米，然后根據(jù)矩形面積公式即可求出函數(shù)表達(dá)式；再根據(jù)生活實(shí)際確定x的取值范圍即可；（2）根據(jù)題意得：求得x的值，然后代入驗(yàn)證即可；（3）根據(jù)題意得，然后根據(jù)用一元二次方程根的判別式進(jìn)行解答即可．【解析】（1）解：設(shè)米時，則米，雞舍面積為S平方米，根據(jù)題意得，；∵，∴，∴x的取值范圍為．（2）解：根據(jù)題意得：，解得，當(dāng)時，（不合題意舍去），當(dāng)時，．答：當(dāng)為9米時，雞舍的面積為90平方米．（3）解：根據(jù)題意得：，整理得，，∵，∴方程沒有實(shí)數(shù)根，∴雞舍面積不能達(dá)到100平方米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、列函數(shù)關(guān)系式、一元二次方程的應(yīng)用等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵．拓展01根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系的綜合應(yīng)用典例1．對于一元二次方程，下列說法：①若a＋b＋c＝0，則方程必有一根為x＝1；②若方程有兩個不相等的實(shí)根，則方程無實(shí)根；③若方程兩根為，且滿足，則方程，必有實(shí)根，；④若是一元二次方程的根，則其中正確的（

）A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式及根的定義以及求根公式逐個判斷排除．【解析】解：①若，則是方程的解，故①正確；②方程有兩個不相等的實(shí)根，，則方程的判別式，方程必有兩個不相等的實(shí)根，故②錯誤；③∵方程兩根為，且滿足，∴，令，，∴方程有兩個實(shí)數(shù)根，令兩根分別為，∴，，∴方程，必有實(shí)根，，故③正確；④若是一元二次方程的根，則由求根公式可得：，，，故④正確．故正確的有①③④，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判斷，根據(jù)方程形式，判斷根的情況是求解本題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練1．下列給出的四個命題，真命題的有（

）個①若方程兩根為-1和2，則；②若，則；③若，則方程一定無解；④若方程的兩個實(shí)根中有且只有一個根為0，那么，．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】①根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，即可判斷；②利用求根公式求出方程的根，求得1﹣a＜0，即可判斷；③由△＝b2﹣4ac＜0，即可判斷；④利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷．【解析】①若方程兩根為-1和2，則，則，即；故此選項(xiàng)符合題意；②∵a2﹣5a+5＝0，∴a＝＞1或a＝＞1，∴1﹣a＜0，∴；此選項(xiàng)符合題意；③∵，∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定無解，故此選項(xiàng)符合題意；④若方程x2+px+q＝0的兩個實(shí)根中有且只有一個根為0，∴兩根之積為0，那么p≠0，q＝0，故此選項(xiàng)符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的根，涉及到了一元二次方程的求根公式，根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系等，熟記各計算方法是解題的關(guān)鍵．拓展02根與系數(shù)的關(guān)系難點(diǎn)分析典例2．如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個實(shí)數(shù)根，且其中一個根為另外一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關(guān)于“倍根方程”的說法，正確的有（填序號）．①方程是“倍根方程”；②若是“倍根方程”，則；③若滿足，則關(guān)于x的方程是“倍根方程”；④若方程是“倍根方程”，則必有．【答案】②③④【分析】①求出方程的根，再判斷是否為“倍根方程”；②根據(jù)“倍根方程”和其中一個根，可求出另一個根，進(jìn)而得到m，n之間的關(guān)系；③當(dāng)滿足時，有，求出兩個根，再根據(jù)代入可得兩個根之間的關(guān)系，講而判斷是否為“倍根方程”；④用求根公式求出兩個根，當(dāng)或時，進(jìn)一步化簡，得出關(guān)系式，進(jìn)行判斷即可．【解析】①解方程，得，，方程不是“倍根方程”．故①不正確；②是“倍根方程”，且，因此或．當(dāng)時，，當(dāng)時，，，故②正確；③，，，，因此是“倍根方程”，故③正確；④方程的根為，若，則，即，，，，，，若，則，，，，，．故④正確，故答案為：②③④．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定義的倍根方程的意義，理解倍根方程的意義和正確求出方程的解是解決問題的關(guān)鍵跟蹤訓(xùn)練1．韋達(dá)是法國杰出的數(shù)學(xué)家，其貢獻(xiàn)之一是發(fā)現(xiàn)了多項(xiàng)式方程根與系數(shù)的關(guān)系，如一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根分別為，則方程可寫成，即，容易發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)的關(guān)系：．設(shè)一元三次方程三個非零實(shí)數(shù)根分別，現(xiàn)給出以下結(jié)論：①，②；③；④，其中正確的是（寫出所有正確結(jié)論的序號）．【答案】①③【分析】仿照題意所給的方法，得到原方程為，由此求解即可．【解析】解；∵一元三次方程三個非零實(shí)數(shù)根分別，∴，∴，∴，∴，∴，，，∴①③正確，②不正確；∵，∴④不正確，故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，分式的化簡，多項(xiàng)式乘法的應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．拓展03一元二次方程的綜合應(yīng)用典例3．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，連接．若動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿著線段以個單位每秒的速度向終點(diǎn)運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為秒．(1)求線段的長．(2)連接，當(dāng)為等腰三角形時，過點(diǎn)作線段的垂線與直線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)已知點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)記為(如圖2)，在整個運(yùn)動過程中，若點(diǎn)恰好落在內(nèi)部(不含邊界)，請直接寫出的取值范圍．【答案】(1)(2),,(3)當(dāng)時，點(diǎn)恰好落在內(nèi)部(不含邊界)【分析】（1）勾股定理直接求解即可；（2）分三種情形，分別討論，即可求解；（3）當(dāng)在上時，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，由（2）可知，，根據(jù)等面積法求得，進(jìn)而得出,,，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出，，繼而求得，在中，，即可求解．【解析】（1）解：∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，∴，∴;（2）當(dāng)時，如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，∴，∴，設(shè),在中，，在中，，∴即解得：，∴；當(dāng)時，如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，∴，設(shè)，，在中，，解得：，即，在中，，在中，，∴，即，解得：，∴，當(dāng)時，如圖，∵，∴，∵，∴，又，∴，∴，∴，綜上所述，或或，（3）如圖，當(dāng)在上時，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，由（2）可知，，則，∵，，∴，∴，∴,∴，∵，∴，∵對稱，∴，，∴，即，∴，在中，∴解得（舍去）或當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)，此時重合，此時，解得，∴當(dāng)時，點(diǎn)恰好落在內(nèi)部(不含邊界)．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，解一元二次方程，坐標(biāo)與圖形，等腰三角形的性質(zhì)，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練1．探索發(fā)現(xiàn)如圖（1），在正方形中，為邊上不與重合的點(diǎn)，過點(diǎn)三點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為．

（1）求證：；（2）求證：．遷移拓展如圖（2），在正方形中，為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，若，直接寫出的長．【答案】探索發(fā)現(xiàn)：（1）見解析；（2）見解析；遷移拓展：或【分析】探索發(fā)現(xiàn)：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，證明三角形全等即可求解；（2）如圖，連接，作，交于點(diǎn)，根據(jù)正方形的性質(zhì)可證，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，即可求解；遷移拓展：分類討論，①如圖，當(dāng)點(diǎn)線段上時，作，延長交于點(diǎn)；②如圖，當(dāng)點(diǎn)的延長線上時；圖形結(jié)合分析即可求解．【解析】解：探索發(fā)現(xiàn)（1）證明：如圖所示，在正方形中，

，，，，，，，在中，，，．（2）證明：如圖，連接，作，交于點(diǎn)，

，，∵四邊形為正方形，，，，，，，，在中，，，，，，由（1）得，，，，，，．遷移拓展：①如圖，當(dāng)點(diǎn)線段上時，作，延長交于點(diǎn)，

依題意，由①得：，，∴，∴，∴四邊形為正方形，，，，，，∴，設(shè)，則，解得或（舍去），，設(shè)，則由可得，解得：，即，∴；②如圖，當(dāng)點(diǎn)的延長線上時，

同理可得：，設(shè)，則由可得，解得：，，∴．綜上所得：的長是或．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的綜合，掌握圖形的變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，構(gòu)造直角三角形，圖形結(jié)合，分類討論等知識是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．下列是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個判斷即可．【解析】解：A．是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；B．是一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意；C．當(dāng)時，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；D．有兩個未知數(shù)，是二元方程，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：只含有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫一元二次方程．2．關(guān)于x的一元二次方程的一個根是0，則a的值為（

）A．1 B．1或 C． D．0.5【答案】C【分析】根據(jù)方程是一元二次方程，可得，將代入方程，求出a的值即可．【解析】解：∵關(guān)于x的一元二次方程的一個根是0，∴，，∴；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的定義和一元二次方程的解．熟練掌握一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為0，使等式成立的未知數(shù)的值是方程的解，是解題的關(guān)鍵．3．解方程）最適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ牵ǎ〢．直接開方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法【答案】D【分析】方程的兩邊都有因式，分析可知分解因式法最為合適．【解析】解：可化為：故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程——直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，熟練掌握解一元二次方程時選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ墙忸}的關(guān)鍵．4．下列方程中，有兩個不相等的實(shí)數(shù)根的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先計算四個選項(xiàng)中方程的根的判別式的值，確定判別式的符號，選出判別式大于0的方程滿足條件，由此即可得出結(jié)論．【解析】解：A、，所以方程無實(shí)數(shù)解，不符合題意；B、，所以方程無實(shí)數(shù)解，不符合題意；C、，所以方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，符合題意；D、，所以方程無實(shí)數(shù)解，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，根的判別式的值大于0，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；根的判別式的值等于0，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；根的判別式的值小于0，方程沒有實(shí)數(shù)根，掌握并會利用解決問題是解題關(guān)鍵．5．用配方法解一元二次方程，下面配方正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先化二次項(xiàng)系數(shù)為1，把常數(shù)項(xiàng)3右移，然后等式兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)?的一半的平方，再整理即可．【解析】解：由原方程得，?x=-3，配方得：?x+=-3+，即．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程-配方法，配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號右邊；（2）把二次項(xiàng)系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，6．方程的解為，，若方程，它的解是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】利用換元法解一元二次方程即可得．【解析】解：令，則方程可變形為，∵方程的解為，，∴方程的解為，即，解得，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了利用換元法解一元二次方程，熟練掌握換元法是解題關(guān)鍵．7．若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）A．且 B． C． D．且【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和一元二次方程有實(shí)數(shù)根的條件可得且，求解即可獲得答案．【解析】解：根據(jù)題意，可得且，解得且．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義以及一元二次方程的根的判別式等知識，熟練掌握一元二次方程的定義以及一元二次方程的根的判別式是解題關(guān)鍵．8．新能源汽車節(jié)能、環(huán)保，越來越受消費(fèi)者喜愛，各種品牌相繼投放市場，我國新能源汽車近幾年銷量全球第一，2020年銷量為50.7萬輛，銷量逐年增加，到2022年銷量為125.6萬輛．設(shè)年平均增長率為，可列方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)年平均增長率為，由題意得等量關(guān)系：，根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可．【解析】解：設(shè)年平均增長率為，可列方程為：故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，解題關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，列出方程．9．已知，是關(guān)于的一元二次方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，且滿足，則的值是（

）A．﹣3或1 B．3或﹣1 C．3 D．1【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，計算出再代入分式計算，即可求得．【解析】解：由根與系數(shù)的關(guān)系得：，,即,解得：或,而當(dāng)時，原方程，無實(shí)數(shù)根，不符合題意，應(yīng)舍去，∴故選C．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用，求得結(jié)果后需進(jìn)行檢驗(yàn)是順利解題的關(guān)鍵．10．對于一元二次方程，下列說法：①若，則；②若方程有兩個不相等的實(shí)根，則方程必有兩個不相等的實(shí)根；③若是方程的一個根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則其中正確的：（

）A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程解的含義、一元二次方程根的判別式等知識逐個分析即可．【解析】由，表明方程有實(shí)數(shù)根﹣1，表明一元二次方程有實(shí)數(shù)解，則，故①正確；∵方程有兩個不相等的實(shí)根，∴方程有兩個不相等的實(shí)根，即a與c異號．∴-ac>0，∴，∴方程必有兩個不相等的實(shí)根；故②正確；∵是方程的一個根，∴，即當(dāng)時，一定有成立；當(dāng)c=0時，則不一定成立，例如：方程，則；故③錯誤；∵是一元二次方程的根，∴，∴，∴，故④正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式、一元二次方程的解等知識，熟練掌握這些知識是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題11．的二次項(xiàng)系數(shù)是、常數(shù)項(xiàng)是．【答案】17【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式找出二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)即可．【解析】解：的二次項(xiàng)系數(shù)是1，常數(shù)項(xiàng)是7，故答案為：1，7．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點(diǎn)．在一般形式中叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．12．關(guān)于x的方程是一元二次方程，則m＝．【答案】【分析】根據(jù)只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程進(jìn)行分析即可．【解析】解：依題意可得，解得故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的定義，關(guān)鍵是掌握判斷一個方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．13．已知x2－6x+8＝0的兩個根分別是等腰三角形的底和腰，則這個三角形的面積是．【答案】【分析】先解一元二次方程，再利用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行分類討論．【解析】解：∵，∴，∴，，當(dāng)2為腰，4為底時，不能構(gòu)成等腰三角形；當(dāng)4為腰，2為底時，能構(gòu)成等腰三角形，如下圖所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=2,AD為底邊上的高，∴BD=1，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解法和等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握因式分解法，并運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分類討論是關(guān)鍵．14．已知x2＝2x+15，則代數(shù)式=．【答案】或【分析】直接將原式分解因式，再把x的值代入進(jìn)而計算得出答案．【解析】解：＝＝2x×＝．∵，∴，（x﹣5）（x+3）＝0，∴x＝5或x＝﹣3．當(dāng)x＝5時，原式＝4；當(dāng)x＝﹣3時，原式＝．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的化簡求值，正確運(yùn)用乘法公式是解題關(guān)鍵．15．要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)比賽（每兩隊(duì)之間都賽一場），計劃安排15場比賽，應(yīng)邀請多少個隊(duì)參加比賽？設(shè)應(yīng)邀參加比賽的球隊(duì)有x個，則可以列方程為．【答案】【分析】設(shè)邀請個隊(duì)參加比賽，則每個隊(duì)比賽場，可得方程：從而可得答案．【解析】解：設(shè)邀請個隊(duì)參加比賽，則每個隊(duì)比賽場，所以：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，掌握利用一元二次方程解決比賽場次問題是解題的關(guān)鍵．16．已知關(guān)于的方程的解都是整數(shù)，則整數(shù)的值為．【答案】0或1或【分析】分和兩種情況，再分別解一元一次方程和一元二次方程，然后根據(jù)解都是整數(shù)即可得．【解析】由題意，分以下兩種情況：（1）當(dāng)時，方程為，解得，滿足解是整數(shù)；（2）當(dāng)時，方程為一元二次方程，因式分解，得，解得，方程的解都是整數(shù)，k也是整數(shù)，一定是整數(shù)，整數(shù)或；綜上，整數(shù)的值為0或1或，故答案為：0或1或．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程、解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解題關(guān)鍵．17．已知：關(guān)于x的方程a(x+k)+2022=0的解是x1=-2，x2=1(a、k均為常數(shù)，a≠0)．（1）關(guān)于x的方程a(x+k+2)+2022=0的根是；（2）關(guān)于x的方程a(x+3k)+2022=0的根為．【答案】，，，【分析】（1）可把方程a(x+k+2)+2022=0看作關(guān)于的一元二次方程，從而得到或，然后解兩個一元一次方程即可；（2）把x1=-2，x2=1代入a(x+k)+2022=0，求出a和k的值，再將a和k的值代入a(x+3k)+2022=0，解一元二次方程即可．【解析】解：（1）把方程a(x+k+2)+2022=0看作關(guān)于的一元二次方程，而關(guān)于x的方程a(x+k)+2022=0的解是x1=-2，x2=1，∴或，∴，，故答案為：，；（2）將x1=-2，x2=1代入a(x+k)+2022=0，得：，解得：，，代入a(x+3k)+2022=0得，即，∴或，∴，，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解以及解一元二次方程，掌握換元法、直接開方法解一元二次方程的方法步驟并正確計算是解題的關(guān)鍵．18．已知一元二次方程和它的兩個實(shí)數(shù)根為，下列說法：①若a，c異號，則方程一定有實(shí)數(shù)根；②若，則方程一定有兩異實(shí)根；③若，則方程一定有兩實(shí)數(shù)根；④若，由根與系數(shù)的關(guān)系可得其中正確的結(jié)論是：（填序號）．【答案】①②③【分析】當(dāng)a、c異號時，Δ＞0，則根據(jù)判別式的意義可對①進(jìn)行判斷；當(dāng)b2＞5ac時，Δ＞0，可判斷方程ax2+bx+c=0一定有兩異實(shí)數(shù)根，則可對②進(jìn)行判斷；當(dāng)b=a+c時，則Δ=≥0，則根據(jù)判別式的意義可對③進(jìn)行判斷；若a=1，b=2，c=-3，計算出Δ=16>0，則可對④進(jìn)行判斷．【解析】解：∵Δ=，∴當(dāng)a、c異號時，ac＜0，所以Δ＞0，所以此時方程一定有實(shí)數(shù)根，所以①正確；當(dāng)時，若a、c異號，則Δ=＞0，此時方程=0一定有兩異實(shí)數(shù)根，若ac同號或0，則，此時方程=0一定有兩異實(shí)根，所以②正確；若b=a+c時，Δ==≥0，則方程=0一定有兩實(shí)數(shù)根，所以③正確；若a=1，b=2，c=-3，Δ==16>0，所以方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，所以，所以④錯誤．故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是先通過根的判別式判斷一元二次方程根的情況，若Δ≥0，，是一元二次方程（a≠0）的兩根時，，．三、解答題19．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋?）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1），；（2），；（3），；（4），【分析】（1）先變形為，然后利用直接開平方法解方程；（2）先變形為，然后利用直接開平方法解方程；（3）運(yùn)用公式法求解；（4）先把方程化為一般式，然后利用因式分解法解方程．【解析】原方程可化為，∴，用直接開平方法，得方程的根為，．（2）原方程可化為x2+2ax+a2=4x2+2ax+，∴x2=．用直接開平方法，得原方程的根為，．（3）a=2，b=-4，c=-1b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0，∴，．（4）將方程整理，得(1-)x2-(1+)x=0用因式分解法，得x[(1-)x-(1+)]=0，，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程的方法，當(dāng)把方程通過移項(xiàng)把等式的右邊化為0后方程的左邊能因式分解時，一般情況下是把左邊的式子因式分解，再利用積為0的式子的特點(diǎn)解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一種簡便方法，要會靈活運(yùn)用．當(dāng)化簡后不能用分解因式的方法即可考慮求根公式法，此法適用于任何一元二次方程．20．已知關(guān)于的方程.（1）當(dāng)為何值時，方程只有一個實(shí)數(shù)根？（2）當(dāng)為何值時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根？（3）當(dāng)為何值時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根？【答案】(1)m=3;(2);(3)且【分析】（1）令二次項(xiàng)為0，即時求解即可；（2）根據(jù)根的判別式令△=b2-4ac=0，然后求解即可；（3）根據(jù)△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實(shí)數(shù)根，然后求解即可.【解析】（1）∵方程只有一個實(shí)數(shù)根，，解得（2）∵方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，，，解得（3）∵方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，且，且，解得且.【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式．解題的關(guān)鍵是根據(jù)根的判別式計算的結(jié)果能分3種情況討論．21．已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：不論k為何值，這個方程都有兩個實(shí)數(shù)根；(2)若此方程的兩根均整數(shù)，求整數(shù)k的值，【答案】(1)證明見解析(2)k的值為或【分析】（1）先計算判別式的值得到，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到△，則根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論；（2）先利用因式分解法求得的解為，，然后根據(jù)整數(shù)的整除性可確定整數(shù)的值．【解析】（1）證明：∵

∴不論k為何值，該方程總有兩個實(shí)數(shù)根．（2）解：原方程的兩根為，即，

∵方程的根為整數(shù)，k為整數(shù)，∴k的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式，解一元二次方程，：當(dāng)，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程沒有實(shí)數(shù)根．22．已知：關(guān)于x的方程，有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍，(2)若方程的兩個實(shí)數(shù)根滿足，求出符合條件的m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式建立不等式求解即可；（2）由方程根與系數(shù)的關(guān)系得出關(guān)于m的一元二次方程求解，然后結(jié)合（1）中結(jié)果求解即可．【解析】（1）解：，其中a=1，b=-(8-4m)，c=，∵方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴，即解得：m<1；（2）∵方程有兩個實(shí)數(shù)根，∴，，∵，∴，解得：，由（1）得m<1，∴m=-2．【點(diǎn)睛】題目主要考查一元二次方程的根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的基礎(chǔ)知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．23．如圖，一農(nóng)戶要建一個矩形豬舍，豬舍的一邊利用長為12米的住房墻，另外三邊用25米長的建筑材料圍成的，為了方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留一扇1米寬的門．當(dāng)所圍矩形與墻垂直的一邊長為多少時，豬舍面積為80平方米？【答案】當(dāng)所圍矩形與墻垂直的一邊長為8米時，豬舍面積為80平方米【分析】設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻的一邊長為xm，則平行于墻的一邊的長為(25-2x+1)m，根據(jù)題意可列出關(guān)于x的一元二次方程，解出x，再舍去不合題意的解即可．【解析】解：設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻的一邊長為xm，則平行于墻的一邊的長為(25-2x+1)m，由題意得：x(25-2x+1)=80，整理，得：x2-13x+40=0，解得：x1=5，x2=8，當(dāng)x=5時，26-2x=16>12（舍去），當(dāng)x=8時，26-2x=10<12．答：當(dāng)所圍矩形與墻垂直的一邊長為8米時，豬舍面積為80平方米．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用．讀懂題意，看懂圖形，列出一元二次方程是解題關(guān)鍵．24．閱讀材料題：我們知道，所以代數(shù)式a2的最小值為0，學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用來求一些多項(xiàng)式的最小值．例如：求的最小值問題．解：∵，又∵，∴∴的最小值為﹣6．請應(yīng)用上述思想方法，解決下列問題：(1)探究：；(2)代數(shù)式有最（填“大”或“小”）值為；(3)如圖，長方形花圃一面靠墻（墻足夠長），另外三面所圍成的棚欄的總長是20m，棚欄如何圍能使花圃面積最大？最大面積是多少？【答案】(1)(2)大，16(3)當(dāng)長方形花圃垂直于墻的長度為5m，平行于墻的長度為10m時，花圃的面積最大，最大為【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）仿照題意利用配方法求解即可；（3）設(shè)長方形花圃垂直于墻的長度為xm，則平行于墻的長度為（20-2x）m，長方形花圃面積為S，利用長方形面積公式得到，據(jù)此求解即可．【解析】（1）解：，故答案為：；（2）解：∵，又∵，∴，∴，∴的最大值為16，故答案為：大，16；（3）解：設(shè)長方形花圃垂直于墻的長度為xm，則平行于墻的長度為（20-2x）m，長方形花圃面積為S，∴，又∵，∴，∴，∴當(dāng)時，S有最大值，最大值為50，∴當(dāng)長方形花圃垂直于墻的長度為5m，平行于墻的長度為10m時，花圃的面積最大，最大為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，正確理解題意掌握配方法是解題的關(guān)鍵．25．當(dāng)m，n為實(shí)數(shù)，且滿足時，就稱點(diǎn)為“狀元點(diǎn)”．已知點(diǎn)A（0，7）和點(diǎn)M都在直線上，點(diǎn)B，C是“狀元點(diǎn)”，且B在直線AM上．(1)求b的值及判斷點(diǎn)F（2，6）是否為“狀元點(diǎn)”；(2)請求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；(3)若，求點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】(1)b=7；點(diǎn)F（2，6）不是“狀元點(diǎn)”；(2)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，4）；(3)-7≤n≤1．【分析】（1）由m+mn=n變式為=1-m，可知P（m，1-m），所以在直線y