高中數(shù)學(xué)人教A版選修1-1課件3-1-1變化率問題1

第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.1變化率與導(dǎo)數(shù)人教版選修1-13.1.1變化率問題2.函數(shù)y=f（x）在x=x0處的瞬時變化率(1)定義式：=.(2)實(shí)質(zhì)：瞬時變化率是當(dāng)自變量的改變量趨近于0時，____________趨近的值.(3)作用：刻畫函數(shù)在某一點(diǎn)處變化的快慢.平均變化率1.函數(shù)y=f（x）從x1到x2的平均變化率(1)定義式：=.(2)實(shí)質(zhì)：函數(shù)值的改變量與自變量的改變量_____.(3)作用：刻畫函數(shù)值在區(qū)間［x1,x2］上變化的快慢.之比基礎(chǔ)梳理1.在平均變化率的定義中，自變量x在x0處的增量Δx是否可以為任意實(shí)數(shù)，Δy呢？提示：在平均變化率的定義中，增量Δx可正、可負(fù)，但不能等于0；而Δy可以為任意實(shí)數(shù).2.設(shè)函數(shù)y=f（x），當(dāng)自變量x由x0改變到x0+Δx時，函數(shù)的改變量Δy為________.【解析】x0處的函數(shù)值為f(x0)，x0+Δx處的函數(shù)值為f(x0+Δx)，所以Δy為f(x0+Δx)-f(x0).答案：f(x0+Δx)-f(x0)思考運(yùn)用1.對平均變化率的解讀(1)平均變化率的幾何意義平均變化率的幾何意義是表示函數(shù)y=f（x）圖象上割線P1P2的斜率(其中P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2)))，即知識點(diǎn)撥(2)平均變化率的取值平均變化率可以表現(xiàn)函數(shù)的變化趨勢，平均變化率為0，并不一定說明函數(shù)f（x）沒有發(fā)生變化.（3）平均變化率的物理意義平均變化率的物理意義是把位移s看成時間t的函數(shù)s=s(t)，在時間段［t1,t2］上的平均速度，即2.平均變化率與瞬時變化率的關(guān)系（1）區(qū)別：平均變化率刻畫函數(shù)值在區(qū)間［x1,x2］上變化的快慢,瞬時變化率刻畫函數(shù)值在x0點(diǎn)處變化的快慢.（2）聯(lián)系：當(dāng)Δx趨于0時，平均變化率趨于一個常數(shù)，這個常數(shù)即為函數(shù)在x0處的瞬時變化率，它是一個固定值.3.對函數(shù)平均變化率公式的拓展（1）如果記Δx=x2-x1，可用x1+Δx代替x2.類似的，Δy=f(x2)-f(x1)=f(x1+Δx)-f(x1)，于是平均變化率可以表示為式子中的Δx是一個整體符號，不是Δ與x相乘.類型一求函數(shù)的平均變化率技法點(diǎn)撥求函數(shù)y=f（x）從x1到x2的平均變化率的三個步驟(1)求自變量的增量：Δx=x2-x1.(2)求函數(shù)值的增量：Δy=f(x2)-f(x1).(3)作商求函數(shù)的平均變化率：典例精析1.y=在x0到x0+Δx之間的平均變化率為________.2.已知函數(shù)f（x）=3x+1和g（x）=2x2+1，分別計(jì)算f（x）與g（x）在-3到-1之間和在1到1+Δx之間的平均變化率．【解析】1.∵∴y=在x0到x0+Δx之間的平均變化率為答案：典例訓(xùn)練2.（1）∵Δx=-1-(-3)=2，Δy=f(-1)-f(-3)=［3×(-1)+1］-［3×(-3)+1］=6.∴=3.即f(x)在-3到-1之間的平均變化率為3.同理，∵Δx=-1-(-3)=2，Δy=g(-1)-g(-3)=［2×(-1)2+1］-［2×(-3)2+1］=-16.∴=-8.即g(x)在-3到-1之間的平均變化率為-8.(2)∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=［3×(1+Δx)+1］-(3×1+1)=3·Δx,∴=3.即f(x)在1到1+Δx之間的平均變化率為3.同理,∵Δy=g(1+Δx)-g(1)=［2×(1+Δx)2+1］-(2×12+1)=4·Δx+2(Δx)2,∴=4+2Δx.即g(x)在1到1+Δx之間的平均變化率為4+2Δx.求y=在x0到x0+Δx之間的平均變化率.【解析】∵∴y=在x0到x0+Δx之間的平均變化率為變式訓(xùn)練類型二求物體運(yùn)動的瞬時速度技法點(diǎn)撥求瞬時速度的步驟（1）設(shè)非勻速直線運(yùn)動的軌跡方程是s=s（t）.（2）求時間的改變量Δt，位移改變量Δs=s(t0+Δt)-s(t0).（3）求平均速度（4）求瞬時速度：1.一個物體的運(yùn)動方程為s=(2t+1)2，其中s的單位是米，t的單位是秒，那么該物體在1秒末的瞬時速度是()(A)10米/秒(B)8米/秒(C)12米/秒(D)6米/秒2.一個小球自由下落，它在下落3秒時的速度是多少？并說明它的意義.典例訓(xùn)練【解析】1.選C.∵s=4t2+4t+1,Δs=［4(1+Δt)2+4(1+Δt)+1］-(4×12+4×1+1)=4(Δt)2+12Δt.=4Δt+12.∴12（米/秒）.2.自由落體的運(yùn)動公式是s=gt2（其中g(shù)是重力加速度），

Δs=s(3+Δt)-s(3)=4.9(3+Δt)2-4.9×32t+4.9(Δt)2，t.∴v=（t）=29.4m/s.說明在第3秒附近小球大約以29.4m/s的速率下降.某物體的運(yùn)動速度與時間的關(guān)系為v（t）=2t2-1，求t=2時的加速度.【解題指南】物體的加速度a即為在Δt→0時的值.【解析】∵Δv=［2（2+Δt）2-1］-（2×22-1）=8Δt+2（Δt）2，∴a=(8+2Δt)=8.【規(guī)范解答】瞬時速度與平均速度的求解變式訓(xùn)練（12分）(2012·天津高二檢測)一做直線運(yùn)動的物體，其位移s與時間t的關(guān)系是s(t)＝3t－t2.(1)求此物體的初速度；(2)求此物體在t＝2時的瞬時速度；(3)求t＝0到t＝2時的平均速度．典例訓(xùn)練【解題指導(dǎo)】【規(guī)范解答】(1)當(dāng)t＝0時的速度為初速度．在0時刻取一時間段［0,0＋Δt］，即［0，Δt］，∴Δs=s（Δt）-s（0）=［3Δt-（Δt）2］-（3×0-02）=3Δt-（Δt）2①，…………2分②，……3分

③.…………………4分∴物體的初速度為3.(2)取一時間段［2,2＋Δt］，∴Δs=s（2+Δt）-s（2）=［3（2+Δt）-（2+Δt）2］-（3×2-22）=-Δt-（Δt）2①，…………6分

②，…………………7分

③，…………………8分∴當(dāng)t＝2時，物體的瞬時速度為－1.(3)當(dāng)t∈［0,2］時，Δt=2-0=2.Δs=s（2）-s（0）=（3×2-22）-（3×0-02）=2①.……10分②.∴在0到2之間，物體的平均速度為1.……12分1.自變量x從x0變到x1時，函數(shù)值的增量與相應(yīng)自變量的增量之比是函數(shù)()(A)在區(qū)間［x0，x1］上的平均變化率(B)在x0處的變化率(C)在x1處的變化量(D)在區(qū)間［x0，x1］上的導(dǎo)數(shù)【解析】選A.由平均變化率的定義知，該比值是在區(qū)間［x0，x1］上的平均變化率.達(dá)標(biāo)訓(xùn)練2.函數(shù)f（x）=2x2-1在區(qū)間（1，1+Δx）上的平均變化率等于()(A)4(B)4+2Δx(C)4+2（Δx）2(D)4x【解析】選B.因?yàn)棣=［2（1+Δx）2-1］-（2×12-1）=4Δx+2（Δx）2，所以=4+2Δx，故選B.3.已知：質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為s=t2+t，求何時質(zhì)點(diǎn)的速度為2.【解析】設(shè)在t0時刻質(zhì)點(diǎn)的速度為