與相似有關的證明計算-中考數(shù)學解答題專項訓練（原卷版）

專題06-與相似有關的證明計算（原卷版）

1.（2022?浙江紹興?一模）如圖，四邊形是平行四邊形，DELBC于點E,CFL48交A8的延長線

于點F.

（1）求證：XCBFsADCE；（2）若點E恰為BC中點，且AB=6,BF=4,求A。的長.

2.（2022?湖北?前川三中一模）如圖，點。，E在BC上，且2〃A8,FE〃AC,求證：ABCFDE

3.（2021.湖北黃岡?中考真題）如圖，在aMC和,DEC中，Z4=ZD,ZBCE=ZACD.

(1)求證：AAfiCAD￡C；(2)若S械：$DEC=4：9,BC=6,求EC的長.

4.（2021?廣西玉林?中考真題）如圖，在3ABe中，。在AC上，DEHBC,DF//AB.

1s°DFC

（1）求證：MFCs二砥。；（2）若CO=wAC,求消叵的值.【答案】（1）見詳解：（2）

S

3°AED4

5.（2021?江蘇南通?中考真題）如圖，利用標桿OE測量樓高，點A,。,B在同一直線上，DELAC,BC1AC,

垂足分別為￡,C.若測得A￡=lm,DE=1.5m,C￡=5m,樓高8c是多少？

6.(2022.廣東.深圳市龍崗區(qū)金稻田學校一模)如圖，在A48C中，AOJ_BC于點。，E為BD上一點,過

點E作EFLBC交AB于點F,過點F作/GLEF分別交A。，AC于點N,G,過點、G作GH〃EF交BC

于點H.

(1)求證：&AFGsXABC；

(2)若A￡>=3,BC=9,設E/的長度為x,四邊形EFGH的面積為y,求y與x之間的函數(shù)表達式，并求y

的最大值.

7.(2022.甘肅平?jīng)?一模)如圖，在四邊形A8CO中，NADC=/B=90。，過點。作。鈣于點E,若

DE=BE.

⑴求證：DA^DC；(2)連接AC交OE于點尸，若4M>E=3O。，AD=2,求。尸的長.

8.(2022?福建?一模)如圖，四邊形ABC。的對角線相交于點E,AC=AD,ZBAD=ZBCD=90°,過點

8,點。分別作8MLAC,DNA.AC,垂足分別為點M、N.

D

B

(1)求證：①NBAC=NBDC；②AM=CN；(2)若MV=24W,BD=4根,求四邊形ABC。的面積.

9.（2022?廣西崇左?一模）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,在，Q4B和08中，OA^OB,OC=OD,

ZAOB=ZDOC=50°,連接AC,8。交于點尸，且AC交OB于點E

AT

①黑的值為_____;②NAM的度數(shù)為______；

BD

（2）類比探究：如圖2,在。4B和OCD中，/4OB=NCOD=90。，NOBA=NODC=30°,連接8E>,

交AC的延長線于點P,且AC交。8于點￡請計算A器C的值及ZAPB的度數(shù)；

（3）拓展延伸：如圖3,在（2）的條件下，將。8繞點。在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC,3。所在直線交于點P,

若OC=1,0A=y[5,請直接寫出點。與點尸重合時8。的長.

圖1圖2圖3

10.(2022?江蘇?一模)如圖，在直角梯形ABCD中，ZA=90°；AD//BC,BC=BD=5cm,CO=Mcm.點

尸由8出發(fā)沿8。方向勻速運動，速度為lcm/s；同時，線段EF由。C出發(fā)沿ZM方向勻速運動，速度為

lcm/s,交BO于。，連接PE.若設運動時間為f(s)(04).解答下列問題：

(1)A￡＞的長為：

(2)當f為何值時，PE//AB1

(3)設APE。的面積為y(cm2),求y與f之間的函數(shù)關系式；

(4)連接尸尸，在上述運動過程中，試判斷PE、PF的大小關系并說明理由.

11.(2022??一模)如圖，在四邊形中，ZB=ZBCD=90°,ACA.AD,點、E,F分別在邊A￡),CD

上，且E尸〃AC,AC+EF=36.當點尸從點E沿EP方向勻速運動到點F時，點。恰好從點C沿C4方

(1)求證：AFEDs^ABC.(2)求匕的值.

(3)若5c=12,連結PQ.

①當EP=^AE時，求P。的長.

②當PQ所在直線平行于四邊形4BCD的某一邊時，求所有滿足條件的x的值.(直接寫出答案即可)

12.(2022.安徽滁州?一模)點尸在NA8C的平分線8。上，連接D4,DC,ZDAF=^C.

⑴如圖1,點A,D,C在同一條直線上，E在BC上，且=

①求證：ZBAD=ZBED；

②若ABrBFBD，求證：ADFsCDE；

3

（2）如圖2,點A,D,C不在同一條直線上，NBDC=2ZADB,若AD=3近,BD=2AB,BF=-,求

DC的長.

13.（2022.湖北?通山縣實驗初級中學一模）如圖，在△然（:中，8D是"BC的角平分線，且N4BC=2NC.

(1)求證：&ABCS/\ADB.(2)已知AB=5,40=4,求

14.（2022.福建?福州三牧中學一模）如圖，在菱形ABCO中，點E在對角線AC上，延長BE交AO于點凡

P

B

小卡、正EFFA

⑴求證：商=就

(2)已知點P在邊CD上，請以CP為邊，用尺規(guī)作一個△CPQ與△AEF相似，并使得點Q在AC上.(只

需作出一個ACP。，保留作圖痕跡，不寫作法)

15.(2021?四川阿壩?中考真題)如圖,町ABC中，Z4cB=90。,將..ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到。EC,

點。落在線段AB上，連接BE.

(1)求證：0c平分NADE；

(2)試判斷BE與A8的位置關系，并說明理由:

(3)若BE=BD,求tanNABC的值.

16.(2021?浙江嘉興?中考真題)小王在學習浙教版九上課本第72頁例2后，進一步開展探究活動：將一

個矩形ABC。繞點A順時針旋轉(zhuǎn)。(0°<□《90。)，得到矩形

［探究1］如圖1，當。=90。時，點C'恰好在￡)8延長線上.若45=1,求BC的長.

［探究2］如圖2,連結47,過點。作。M〃AC交BO于點M.線段。M與DM相等嗎？請說明理由.

［探究3］在探究2的條件下,射線。3分別交AC'于點P,N（如圖3）,MN,PN存在一定的數(shù)量

關系，并加以證明.

17.（2021?四川涼山?中考真題）如圖，在四邊形ABC。中，ZADC=ZB=90°,過點。作。ELAB于E,

若DE=BE.

（1）求證：DA=DC；

（2）連接AC交DE于點尸，若4?！辏?30。,4）=6,求。尸的長.

18.（2021?四川廣元?中考真題）如圖，在平行四邊形ABC。中，E為OC邊的中點，連接AE,若AE的延

長線和8C的延長線相交于點F.

（1）求證：BC=CF；

（2）連接AC和隨相交于點為G,若.GEC的面積為2,求平行四邊形A8CO的面積.

19.（2021?北京?中考真題）如圖，在ABC中，AB=AC,NR4C=a，例為3c的中點，點。在MC上，以

點A為中心，將線段4）順時針旋轉(zhuǎn)a得到線段AE,連接

（1）比較與NC4D的大小；用等式表示線段M3之間的數(shù)量關系，并證明；

（2）過點用作AB的垂線，交。E于點N,用等式表示線段NE與ND的數(shù)量關系，并證明.

20.（2021?江蘇南京?中考真題）如圖，AC與50交于點O,OA=OD,ZABO=NDCO,E為8c延長線上

一點，過點E作EF//CD,交3。的延長線于點F.

D

（1）求證ZMO儂△DOC；

(2)若AB=2,BC=3,CE=1,求EF的長.

21.（2021.吉林長春?中考真題）如圖，在菱形4BCD中，對角線AC與8。相交于點O,AC=4,BO=8,

（1）求AM的長.（2）tanNA仍O的值為

22.（2021?山西?中考真題）閱讀與思考，請閱讀下列科普材料，并完成相應的任務.

圖算法

圖算法也叫諾模圖，是根據(jù)幾何原理，將某一已知函數(shù)關系式中的各變量，分別編成有刻度的直線（或曲

線），并把它們按一定的規(guī)律排列在一起的一種圖形，可以用來解函數(shù)式中的未知量.比如想知道10攝氏

9

F=-C+32

度相當于多少華氏度，我們可根據(jù)攝氏溫度與華氏溫度之間的關系：5得出，當C=10時，

尸=50.但是如果你的溫度計上有華氏溫標刻度，就可以從溫度計上直接讀出答案，這種利用特制的線條

進行計算的方法就是圖算法.

再看一個例子：設有兩只電阻，分別為5千歐和千歐，問并聯(lián)后的電阻值是多少？

我們可以利用公式R&《求得R的值，也可以設計一種圖算法直接得出結果：我們先來畫出一個120°

的角，再畫一條角平分線，在角的兩邊及角平分線上用同樣的單位長度進行刻度，這樣就制好了一張算

圖.我們只要把角的兩邊刻著和5的兩點連成一條直線，這條直線與角平分線的交點的刻度值就是并聯(lián)后

的電阻值.

圖算法得出的數(shù)據(jù)大多是近似值，但在大多數(shù)情況下是夠用的，那些需要用同一類公式進行計算的測量制

圖人員，往往更能體會到它的優(yōu)越性.

任務：

(1)請根據(jù)以上材料簡要說明圖算法的優(yōu)越性；

(2)請用以下兩種方法驗證第二個例子中圖算法的正確性：

不111

①用公式方=彳+丁計算：當片=7.5,%=5時，R的值為多少；

②如圖，在aAOB中，ZAOB=120°,OC是AO8的角平分線，OA=1.5,OB=5,用你所學的幾何知識

求線段OC的長.

B

23.(2021?黑龍江綏化?中考真題)如圖所示，四邊形ABC。為正方形，在二EC4中，

/￡：?！?90。,==。”,跳的延長線與。。的延長線交于點尸，點。、B、”在同一條直線上.

⑴求證：。比⑵當器」時，求零的值;

(3)當，8=3,HG=4時，求sinNCEE的值.

24.(2021?四川雅安?中考真題)如圖，△04。為等腰直角三角形，延長。4至點8使03=8,其對角線

AC,BD交于點、E.

⑴求證：^OAF^DAB；(2)求前的值.

25.（2021?貴州安順?中考真題）（1）閱讀理解：我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古

代的數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中.漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后

人稱之為“趙爽弦圖根據(jù)“趙爽弦圖”寫出勾股定理和推理過程；

（2）問題解決：勾股定理的證明方法有很多，如圖②是古代的一種證明方法：過正方形A8E的中心。，

作FGLHP,將它分成4份.所分成的四部分和以8C為邊的正方形恰好能拼成以A8為邊的正方形.若

AC=12,BC=5,求EF的值；

（3）拓展探究：如圖③，以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向

外作正方形，重復這一過程就可以得到“勾股樹”的部分圖形.設大正方形N的邊長為定值〃，小正方形

4反。,。的邊長分別為4力,0,”.已知Nl=N2=N3=a,當角。（0。＜。＜90。）變化時，探究b與c的關系

式，并寫出該關系式及解答過程（6與c的關系式用含〃的式子表示）.

26.（2021.遼寧朝陽?中考真題）一數(shù)學興趣小組去測量一棵周圍有圍欄保護的古樹的高，在G處放置一個

小平面鏡，當一位同學站在尸點時，恰好在小平面鏡內(nèi)看到這棵古樹的頂端A的像，此時測得FG=3m,

這位同學向古樹方向前進了9m后到達點D,在。處安置一高度為1m的測角儀CD,此時測得樹頂A的

仰角為30。，已知這位同學的眼睛與地面的距離EF=，點8,D,G,F在同一水平直線上，且AB,CD,

所均垂直于8F,求這棵古樹AB的高.（小平面鏡的大小和厚度忽略不計，結果保留根號）

27.（2021?山東德州?中考真題）如圖，點E,尸分別在正方形ABCD的邊A3,4）上，且點G,

“分別在邊A8,BC上,且FGJLE"，垂足為尸.

(1)求證：FG=EH-

3

⑵若正方形邊長為5,=tanZAGF=-）求即的長度.

28.（2022.湖北武漢.一模）【問題背景】（1）如圖1,在一ABC中，ZABC=90°,BHLAHH,求證：

AAHBsgHC；

AD4RF

【變式遷移】（2）如圖2,已知/ABC=NO=90。，￡為8。上一點，且AE=AB,若黑=2,求冬的

BC5CD

值；

【拓展創(chuàng)新】（3）如圖3,四邊形A8C￡＞中，/ZMB=-4BC=90。，AB=BC,E為邊CD上一點，且AE=AB,

np

BELCD,直接寫出考的值.

圖3

29.(2022?安徽?安慶市教育教學研究室一模)如圖①，在菱形A8CD中，/84。=60。，點E在邊上,

點尸在8力的延長線上，BE=DF,EF與相交于點G,連接CE,CF.

(1)求證：CE=CF；(2)求證：4DFGS/\DCF；

(3)如圖②，連接CG,若48=4,點E是AB的中點，求CG長.

30.(2022.河南許昌?一模)問題背景

折紙是一種將紙張折成各種不同形狀的藝術活動，折紙大約起源于公元1世紀或者2世紀時的中國，6世

紀時傳入日本，再經(jīng)由日本傳到全世界，折紙與自然科學結合在一起，不僅成為建筑學院的教具，還發(fā)展

出了折紙幾何學，成為現(xiàn)代幾何學的一個分支.今天折紙被應用于世界各地，其中比較著名的是日本筑波

大學的芳賀和夫發(fā)現(xiàn)的折紙幾何三定理，它已成為折紙幾何學的基本定理.

芳賀折紙第一定理的操作過程及內(nèi)容如下：

第一步：如圖1,將正方形紙片ABC。對折，使點A與點。重合，點3與點C重合.再將正方形ABCQ

展開，得到折痕EE

第二步：將正方形紙片的右下角向上翻折，使點C與點E重合，邊BC翻折至的位置，得到折痕

BE與AB交于點P.

則點P為AB的三等分點，即AP:尸8=2:1.

問題解決

如圖1,若正方形ABC。的邊長是2.

(1)CM的長為；

(2)請通過計算AP的長度，說明點尸是A3的三等分點.

類比探究

(3)將長方形紙片488(48>8。)按問題背景中的操作過程進行折疊，如圖2,若折出的點尸也為AB的

AR

三等分點,請直接寫出旅的值?

31.(2022?陜西榆林?一模)問題提出

BC上,BE=2EC,連接莊并

延長交0c的延長線于點G,求CG的長；

問題解決

(2)如圖②，某生態(tài)農(nóng)莊有一塊形狀為平行四邊形ABCD的土地，其中筋=4km,BC=6km,ZB=60°.管

理者想規(guī)劃出一個形狀為口所的區(qū)域建成親子采摘中心，根據(jù)設計要求，點E是旬的中點，點P、M

分別在3C、上，PMLAB.設的長為x(km),的面積為)'(km?).

①求》與x之間的函數(shù)關系式；

②為容納更多的游客，要求AEMP的面積盡可能的大，請求出EMP面積的最大值，并求出此時3P的長.

32.（2022?山東?濟南市天橋區(qū)源口實驗學校模擬預測）如圖（1）ABC和.OEC都是等腰直角三角形，

其中NACB=NDCE=90。，BC=AC,EC=DC,點E在ABC內(nèi)部，直線與BE交于點F,線段AF、BF、

C尸之間存在怎么樣的數(shù)量關系？

圖3

（1）先將問題特殊化如圖2,當點廠重合時，直接寫出線段A尸、BF、CT之間的數(shù)量關系式:

⑵再探究一般情況如圖1,當點￡?、尸不重合時，證明（1）中的結論仍然成立.

（3）如圖3,若ABC和.OEC都是含30。的直角三角形，若乙4cB=/Z）CE=90。，/8AC=/￡DC=30。，點E

在，ABC內(nèi)部，直線AD、BE交于點F,直接寫出一個等式，表示線段4尸、BF、C尸之間的數(shù)量關系.

33.（2022?安徽馬鞍山?一模）在矩形ABC。中，43=12,P是邊A8上一點，把P3C沿直線PC折疊,

頂點B的對應點是點G,過點B作BELCG,垂足為E且在40上，BE交PC于點、F.

G

GG

圖1圖2圖3

（1）如圖1,若點E是4。的中點，求證：AAEB沿公DEC；

CF

（2汝U圖2,當4）=25,且AE<￡>￡時，求f的值；

（3）如圖3,當8￡即=84時，求BP的值.

34.（2022?安徽黃山?一模）在RSABC中，/C=90。，AC=40cm,BC=30cm.現(xiàn)有動點P從點A出發(fā),

沿線段AC向點C方向運動；動點Q從點C出發(fā)，沿線段CB向點8方向運動.如果點P的速度是8cm/s,

點Q的速度是4cm/s,它們同時出發(fā)，當有一點到達所在線段的端點時,就停止運動.設運動時間為，秒.求:

（1）當，=3時，P、Q兩點之間的距離是多少？

（2）若△CPQ的面積為S,求S關于f的函數(shù)關系式.

（3）當，為多少時，以點C,P,。為頂點的三角形與△ABC相似?

35.（2022?云南昆明?一模）矩形A8C。中，AC、BD交于點O,=（%為常數(shù)）.作NEV=90。，

OE、OF分別與A8、BC邊相交于點E、F,連接E/"

OF

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1,若々=1，猜想：有

OF

(2)類比探究：如圖2,探究線段0E,。F之間的數(shù)量關系，并說明理由；

(3)拓展運用：如圖3,在(2)的條件下，若FO=FC,k=亞,0D=2娓,求E尸的長.

36.(2022?廣東?佛山市南海區(qū)南海實驗中學一模)如圖，己知正方形ABC。的邊長為6,點G是AB邊上

的一個動點，連接CG,過點G作GC的垂線交AO于點E,以GE為斜邊作等腰及EFG.

(1)若AG=2,則AE=.

(2)在點G從點A到點8的運動過程中，AAEG的外接圈的圓心也隨之運動，求該圓心到A3邊的距離的最

大值.

(3)連結EC、AF.當△EGCsaGBC時，求AF長度.

37.(2022.貴州遵義?一模)已知:ABC與，DEC為直角三角形,ZACB=NOCE=90。.

E

DAD

圖1

(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，若/。43=/儀>6=45。時，點。是線段48上一動點，連接8E.則卡=______,

BE

ZDBE=°；

An

(2)【類比探究】如圖2,若/。5=/。。匹=60。，點。是線段48上一動點，連接BE.請判斷右的值

BE

及NDBE的度數(shù),并說明理由；

(3)【拓展延伸】如圖3,在(2)的條件下，將點。改為直線A8上一動點，其余條件不變，取線段OE的

中點M,連接BM、CM,若AC=2石，則當C8M是直角三角形時，請求線段8E的長.

38.(2022?遼寧撫順?二模)已知AABC中，AB=AC,ZBAC^a(a<90°),C￡>_LAB于點￡>,點E是4c邊

上一動點(不與點C重合)，于點尸，EF與CO交于點G.

A()A

圖1圖2圖3

(1)當E點與A點重合時，如圖1,若a=45。，猜想CF與EG的數(shù)量關系.

(2)當E點與A點不重合時，

①若a=45。，如圖2,第(1)題中的結論是否仍然成立？若成立，請證明你的結論；若不成立，請說明理

由；

②若a*5。，如圖3,請直接寫出C名F的值(用含有a的三角函數(shù)表示).

39.(2022?黑龍江?一模)如圖，AABC與△￡)￡下都是等腰直角三角形，AC=BC,DE=DF.邊AB,EF的

中點重合于點O,連接BF,CD.

⑴如圖①，當FE_LAB時，易證BF=C￡>(不需證明)；

(2)當尸繞點。旋轉(zhuǎn)到如圖②位置時，猜想8尸與C。之間的數(shù)量關系，并證明；

(3)當△A3C與均為等邊三角形時，其他條件不變，如圖③，猜想與C。之間的數(shù)量關系，直接

寫出你的猜想，不需證明.

40.(2022山東濟南?一模)

DE

(1)如圖1,在正方形ABC。中，點￡,F分別是AB,上的兩點，連接。E,CF,DEA.CF,則會的值

Cr

為;

(2)如圖2,在矩形A8CQ中，AD=5,8=3,點E是A。上的一點，連接CE,BD,且貝!的

BD

值為;

圖2

(3)如圖3,在四邊形ABCO中，/4=/B=90。，點E為AB上一點，連接。E,過點C作OE的垂線交EO

nrAn

的延長線于點G,交A。的延長線于點F,求證：冬=餐；

圖3

(4)如圖4,在R/ZABQ中，N7M￡>=90。，AB=3,AD=9,將』AB。沿80翻折，點A落在點C處得』CBQ,

點、E,尸分別在邊AB,A。上，連接。E,CF,DE1CF.請MJ分是定值嗎?若是，直接寫出這個定值,

Ck

若不是，請說明理由.

Ac

A

圖4

41.(2022?湖北?前川三中一模)

??；

B

ABAEC

圖1圖2圖3

⑴問題發(fā)現(xiàn)

如圖1,AABC和△CQE均為等邊三角形，直線AO和直線8E交于點F.填空：

①/4F8的度數(shù)是；

②線段AO,BE之間的數(shù)量關系為一；

Q)類比探究

如圖2,△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，ZABC=ZDEC=90°,AB=BC,DE=EC,直線AD和

直線3E交于點凡請判斷/A網(wǎng)的度數(shù)及線段4Q,BE之間的數(shù)量關系，并說明理由.

(3)如圖3,在△ABC中，ZACB=90°,NA=30。，A8=5,點/)在AB邊上，OE_LAC于點E,AE=3,

將^AOE繞著點A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，請直接寫出直線DE經(jīng)過點B時BD的長為.

42.(2022.江蘇蘇州.一模)如圖，矩形A8C。中，AB=a,BC=b,點仞，N分別在邊A8,CO上，點E,F

分別在邊8C,AO上，MN,EF交于點、P,記k=MN:EF.

(1)若。山的值為g.

①當MN_LEF時，則k的值為；②求k的最小值.

(2)若上的值為3,MP=EF=3PE.

①連接ME,NF,證明：ME//NF,

②若/MPE=60。，當點N是矩形的頂點時，求a力的值.

43.(2022.湖北武漢.模擬預測)問題探究

⑴如圖1,在RJABC中，/BAC=90。，點E在AB上，過E作EZ),8c于。，連接CE,F為CE中點.連

接A凡DF.直接寫出A尸，。尸的數(shù)量關系；

(2)在(1)的條件下，將Rt^BOE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)一定角度.如圖2,證明(1)中的結論仍然成立.

問題拓展

(3)如圖3,已知等邊ABOE和等腰ZVIBC,其中AB=AC,ZBAC=120°.連接CE,F為CE的中點，連接

AF,DF,AF,有怎樣的數(shù)量關系？給出結論并證明.

44.(2021.安徽?中考真題)如圖1,在四邊形ABCD中，NABC=/BCD,點E在邊8c上，且A￡〃C￡>,

作CF//AD交線段4E于點F,連接

(1)求證：Z\ABF^A￡AD；

(2)如圖2,若A3=9,CD=5,ZECF=ZAED,求BE的長；

BE

(3)如圖3,若BF的延長線經(jīng)過AO的中點M,求工的值.

45.(2021?浙江寧波?中考真題)【證明體驗】

(1)如圖1,AO為&ABC的角平分線，ZA￡)C=60°,點E在A3上，AE=AC.求證：DE平分NAQB.

【思考探究】

(2)如圖2,在(1)的條件下，尸為A3上一點，連結FC交AQ于點G.若FB=FC,DG=2,CD=3,

求3。的長.

【拓展延伸】

(3)如圖3,在四邊形ABCO中,對角線AC平分N8A￡>,NBC4=2N〃C4,點E在AC上，ZEDC=ZABC.若

BC=5,CD=2>/5,AD=2AE,求AC的長.

46.(2021?上海?中考真題)如圖，在梯形438中，AO〃3czABC=90。,AO=8,0是對角線AC的中

點，聯(lián)結8。并延長交邊CZ)或邊40于E.

(1)當點E在邊C￡>上時，①求證：DACs：OBC；②若BE_LCZ),求r的值;

BC

(2)若DE=2,OE=3,求8的長.

47.(2021?四川樂山?中考真題)在等腰,45C中，43=AC,點。是5c邊上一點(不與點8、C重合),

連結AO.

A

(1)如圖1,若NC=60°,點。關于直線AB的對稱點為點E,結AE,DE,則；

(2)若NC=60°,將線段AO繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AE,連結8E.

①在圖2中補全圖形；

②探究CO與BE的數(shù)量關系，并證明；

(3)如圖3,若A黑R=黑AD=3且NADE=NC,試探究BE、BD、AC之間滿足的數(shù)量關系，并證明.

BCDE

48.(2021?四川眉山?中考真題)如圖，在等腰直角三角形A6C中，ZACB=90°,AC=BC=2小,邊長

為2的正方形DEFG的對角線交點與點C重合，連接A。，BE.

(1)求證：YACD^/BCE；

(2)當點。在..ABC內(nèi)部，且加心=90。時，設AC與。G相交于點M,求AM的長；

(3)將正方形。EFG繞點C旋轉(zhuǎn)一周，當點A、D、E三點在同一直線上時，請直接寫出的長.

50.（2021?山西?中考真題）綜合與實踐，問題情境：數(shù)學活動課上，老師出示了一個問題：如圖①，在ABCD

中，BEA.AD,垂足為E,尸為C￡＞的中點，連接EF,BF,試猜想E尸與8尸的數(shù)量關系，并加以證明；

獨立思考：（1）請解答老師提出的問題；

實踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將A88沿著斯（尸為CD的中點）所在直線折疊，如圖②,

點C的對應點為C',連接。C'并延長交AB于點G,請判斷AG與BG的數(shù)量關系，并加以證明；

問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將cA88沿過點8的直線折疊，如圖③，點A的對應點為4,使

43_1_8于點//,折痕交于點"，連接交CD于點、N.該小組提出一個問題：若此A8CD的

面積為20,邊長AB=5,8C=26，求圖中陰影部分（四邊形處/NM）的面積.請你思考此問題，直接

寫出結果.

圖①圖②圖③

50.(2021?江蘇宿遷?中考真題)已知正方形ABC。與正方形AEFG,正方形AEFG繞點A旋轉(zhuǎn)一周.

CP

(1)如圖①，連接BG、CF,求￡的值；

(2)當正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至圖②位置時，連接CF、BE,分別取CF、8E的中點M、N,連接MN、試探究:

與8E的關系，并說明理由；

⑶連接BE、BF,分別取8E、BF的中點N、Q,連接QMAE=6,請直接寫出線段QN掃過的面積.

51.(2021?四川廣元?中考真題)如圖1,在ABC中，ZACB=90°,AC=BC,點。是A3邊上一點(含

端點A、B),過點8作8E垂直于射線CD,垂足為E,點尸在射線CO上，且EF=BE,連接反、BF.

圖1圖2

(1)求證：一ABFsCBE；

(2)如圖2,連接AE,點P、M、N分別為線段AC、AE,E尸的中點，連接PM、MN、PN.求NPMN

的度數(shù)及愛的直

(3)在(2)的條件下，若BC=6,直接寫出_PMN面積的最大值.

52.(2021?四川資陽?中考真題)已知，在ABC中，ZBAC=9Q°,AB=AC.

(1)如圖1,已知點。在5c邊上，ZDAE=90°,AD=AE,連結CE.試探究60與CE的關系；

(2)如圖2,已知點。在BC下方，^DAE=90°,AD=AE,連結CE.若48=2而，CE=2,

AD交BC于點、F,求AF的長；

(3)如圖3,已知點。在8c下方，連結40、BD、CD.若NC8E)=30。，ZBAD>\50,AB2=6,

AD2=4+y/3,求sinNBC。的值.

53.(2021?四川南充?中考真題)如圖，點E在正方形ABC。邊AO上，點F是線段AB上的動點(不與點

A重合）.。尸交AC于點G,GHLAD于點、H,AB=1,￡>E=1.

(1)求tanNACE.

(2)設A/^=x,GH=y,試探究y與x的函數(shù)關系式(寫出x的取值范圍).

(3)當NA￡>F=NACE時，判斷EG與AC的位置關系并說明理由.

54.(2021?湖北鄂州?中考真題)如圖，在「ABC。中，點E、尸分別在邊A￡>、8c上，且NABE=NCOF.

E

D

G

(1)探究四邊形8紅尸的形狀，并說明理由;

AG2

(2)連接AC,分別交的、DF于點、G、H,連接3。交AC于點。.若"二二彳，AE=4,求5c的長.

C/O3

55.(2021.河南.中考真題)下面是某數(shù)學興趣小探究用不同方法作一角的平分線的討論片段.請仔細閱讀,

并完成相應的任務.

小明：如圖1,(1)分別在射線OA,08上截取OC=O〃，OE=OF(點C,E不重合)；(2)分別作線

段CE,。尸的垂直平分線L%,交點為尸，垂足分別為點G,"；(3)作射線°P,射線°P即為

的平分線.簡述理由如下：

由作圖，ZPGO=ZPHO=90°,OG=OH,OP=OP,所以Rl△PGO絲Rt,則NPOG=NPO〃，

即射線0P是408的平分線.

小軍：我認為小明的作圖方法很有創(chuàng)意，但是太麻煩了，可以改進如下，如圖2.(1)分別在射線。A,OB

上截取"=8,OE=OF(點C,E不重合)；(2)連接。E,CF,交點為P；(3)作射線°匕射線

即為NAO3的平分線.

任務：

（1）小明得出RtZ\PGOgRtZ\P〃O的依據(jù)是.（填序號）

①SSS；②&4S；③A4S；④ASA；⑤）HL.

（2）小軍作圖得到的射線OP是NAO3的平分線嗎？請判斷并說明理由；

（3）如圖3,已知NAOB=60。，點E,F分別在射線。4,OB上，且OE=O尸=6+1.點C,。分別

為射線Q4,03上的動點，且OC=8,連接￡>E,CF,交點為尸，當NCPE=30。時，直接寫出線段0c

的長.

56.（2021?海南?中考真題）如圖1,在正方形A8CD中，點E是邊8c上一點，且點E不與點3、C重合,

點廠是84的延長線上一點，且AF=CE.

DC

圖2

（1）求證：DCE冬DAF；

（2）如圖2,連接律，交A/）于點K,過點。作垂足為H,延長DH交所于點G,連接HB.HC.

①求證：HD=HB；

②若DK?HC=無，求HE的長.

57.（2021?福建?中考真題）如圖，已知線段MN=a,AA_LAK,垂足為

a

R,WN

（1）求作四邊形ABC。，使得點B,。分別在射線AK,AR上，且AB=BC=a,ZABC=60°,CD//AB；

（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）設P,Q分別為（1）中四邊形ABCZ）的邊AB,8的中點，求證：直線相交于同一點.

58.（2021?廣東?中考真題）如圖，邊長為1的正方形A8CO中，點E為4＞的中點.連接8E,將△ABE沿

8E折疊得到「心￡3尸交AC于點G,求CG的長.

I)

59.(2021?江西?中考真題)課本再現(xiàn)

(1)在證明“三角形內(nèi)角和定理”時，小明只撕下三角形紙片的一個角拼成圖1即可證明，其中與乙4相等

的角是,

圖2

類比遷移

(2)如圖2,在四邊形ABCD中，ZA3C與-ADC互余，小明發(fā)現(xiàn)四邊形中這對互余的角可類比

(1)中思路進行拼合：先作NCDF=ZABC,再過點C作CE_L￡>F于點E,連接AE,發(fā)現(xiàn)AZ),DE,AE

之間的數(shù)量關系是

方法運用

圖3圖4

(3)如圖3,在四邊形ABC。中，連接AC,Nfi4c=90。，點。是△AC。兩邊垂直平分線的交點，連接Q4,

ZOAC=ZABC.

①求證：ZABC+ZA￡)C=90°：

AR

②連接8D,如圖4,已知AZ)=m,DC=n,—=2,求的長(用含加，〃的式子表示).

60.(2021.吉林長春?中考真題)如圖，在.ABC中，ZC=9O°,AB=5,BC=3,點。為邊AC的中點.動

點尸從點A出發(fā)，沿折線AB—BC以每秒1個單位長度的速度向點C運動，當點尸不與點A、C重合時，

連結PZ).作點4關于直線PD的對稱點4,連結W。、A'A.設點P的運動時間為f秒.

(1)線段A。的長為.

(2)用含r的代數(shù)式表示線段8P的長.

(3)當點4在..ABC內(nèi)部時，求f的取值范圍.

(4)當NA4。與DB相等時，直接寫出，的值.

61.(2021.貴州銅仁?中考真題)如圖，在A4BC中，ZACB=90°,BC=6框cm,AC=12cm.點P是C4

邊上的一動點，點?從點C出發(fā)以每秒2cm的速度沿C4方向勻速運動，以CP為邊作等邊ACPQ(點8、

點在AC同側)，設點尸運動的時間為x秒，AABC與Ab。重疊部分的面積為S.

(1)當點。落在AA8C內(nèi)部時，求此時AABC與ACPQ重疊部分的面積S(用含x的代數(shù)式表示，不要求

寫x的取值范圍)；

（2）當點。落在A8上時，求此時AABC與ACP。重疊部分的面積S的值：

（3）當點。落在AABC外部時，求此時AA8C與ACPQ重疊部分的面積S（用含x的代數(shù)式表示）.

62.（2021.湖北武漢?中考真題）問題提出如圖（1）,在；4?。和_。￡右中，NACB=/￡>CE=90。，BC^AC,

EC=QC,點6在_4及7內(nèi)部，直線AD與8E交于點F,線段越，BF,CF之間存在怎樣的數(shù)量關系？

問題探究（1）先將問題特殊化.如圖（2）,當點￡）,產(chǎn)重合時，直接寫出一個等式，表示反，BF,CF

之間的數(shù)量關系；

（2）再探究一般情形.如圖（1）,當點。，F(xiàn)不重合時，證明（1）中的結論仍然成立.

問題拓展如圖（3）,在.ABC和DEC中，ZACB=NDCE=90°,BC=kAC,EC=kDC（人是常數(shù)），

點E在2ABe內(nèi)部，直線4）與8E交于點尸，直接寫出一個等式，表示線段AF,BF,CF之間的數(shù)量關

系.

63.（202