專(zhuān)題1.1 正數(shù)和負(fù)數(shù)（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類(lèi)講解）（人教版）（解析版）

專(zhuān)題1.1正數(shù)和負(fù)數(shù)（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類(lèi)講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】認(rèn)識(shí)正數(shù)、負(fù)數(shù)（1）正數(shù)：像+5，+，，2.86這樣大于0的數(shù)（“+”通常省略不寫(xiě)）叫做正數(shù)，正數(shù)大于0；（2）負(fù)數(shù)：像-5，-4，-0.68這樣正數(shù)前面加個(gè)符號(hào)“-”（負(fù)號(hào)）的數(shù)叫做負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)小于0；（3）0：既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，正負(fù)數(shù)以0為界。規(guī)定：0是最小的自然數(shù)?！纠?】（23-24六年級(jí)下·山東菏澤·期中）在，9，，，0，，中，正數(shù)有，負(fù)數(shù)有，既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．【答案】、9、、、0【分析】本題主要考查了正負(fù)數(shù)的知識(shí)，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．比0大的數(shù)叫正數(shù)，正數(shù)前面常有一個(gè)符號(hào)“”，通常可以省略不寫(xiě)；比0小的數(shù)叫做負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)用負(fù)號(hào)“”和一個(gè)正數(shù)標(biāo)記．利用正數(shù)、負(fù)數(shù)和0的意義可得出答案．解：在，9，，，0，，中，正數(shù)有、9、，負(fù)數(shù)有、、，0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．故答案為：、9、；、、；0．【知識(shí)點(diǎn)二】正、負(fù)數(shù)的意義（1）具有相反意義的量：我們把某種量的一種意義規(guī)定為正的，而把與它相反的一種意義規(guī)定為負(fù)的，負(fù)數(shù)是根據(jù)實(shí)際需要而產(chǎn)生的。（2）具有相反意義的量的表達(dá)：描述一對(duì)具有相反意義的量的詞語(yǔ)一般是有一對(duì)反義詞，習(xí)慣上，把“上升、增加、盈利、收入”等規(guī)定為正，“下降、減少、虧損、支出”等規(guī)定為負(fù)?！纠?】（22-23七年級(jí)上·貴州銅仁·階段練習(xí)）把下列具有相反意義的量用線連接起來(lái)．前進(jìn)米

收入元運(yùn)出噸

盈利元上升C

后退米支出元

運(yùn)進(jìn)噸虧損元

下降【分析】相反意義的量指的是：具有相反意義，有數(shù)量（數(shù)量可以相等，也可以不相等），成對(duì)出現(xiàn)，由此即可求解．解：根據(jù)相反意義的量的含義得，【點(diǎn)撥】“具有相反意義的量”內(nèi)涵：一是必須是同類(lèi)量，二是意義必須完全相反，且要有同類(lèi)量，這是初學(xué)者易錯(cuò)的地方。第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】正負(fù)數(shù)的判定【例1】（2023七年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）讀一讀下列各數(shù)，并指出哪些是正數(shù)，哪些是負(fù)數(shù)．．【答案】讀法見(jiàn)解析，正數(shù)有：5，，；負(fù)數(shù)有：，，，【分析】根據(jù)正負(fù)數(shù)的概念判定即可．解：5讀著正五或五，讀著負(fù)七分之五，讀著負(fù)三點(diǎn)五，讀著正1又三分之一或1又三分之一，讀著負(fù)零點(diǎn)零一，讀著正二點(diǎn)五或二點(diǎn)五，讀著負(fù)七佰；正數(shù)有：5，，；負(fù)數(shù)有：，，，．【點(diǎn)撥】本題考查正負(fù)數(shù)及其讀法，熟記正負(fù)數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2024·江蘇常州·一模）下列實(shí)數(shù)中，負(fù)數(shù)是（

）A． B． C． D．2024【答案】B【分析】本題主要考查實(shí)數(shù)的基本概念，熟練掌握實(shí)數(shù)的基本概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)負(fù)數(shù)的概念得出結(jié)論即可．解：A、是正數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；B、是負(fù)數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；C、是正數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；D、2024是正數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【變式2】（23-24六年級(jí)下·黑龍江綏化·期中）在、、、、、、中正數(shù)有()個(gè)．【答案】【分析】本題考查了正數(shù)的概念，根據(jù)正數(shù)的意義即可求解，熟練掌握有理數(shù)的有關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．解：根據(jù)正數(shù)大于零，則正數(shù)為：、、，共個(gè)，故答案為：．【題型2】正負(fù)數(shù)的意義【例2】某水泥廠計(jì)劃每月生產(chǎn)水泥1000t，一月份實(shí)際生產(chǎn)了950t,二月份實(shí)際生產(chǎn)了1000t,三月份實(shí)際生產(chǎn)了1100t,用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示每月超額完成計(jì)劃的噸數(shù)各是多少？【答案】一月份超額完成計(jì)劃－50t，二月份超額完成計(jì)劃0t，三月份超額完成計(jì)劃100t.【分析】本題考查的是正數(shù)和負(fù)數(shù)。先審清題意，明確“正”和“負(fù)”所表示的意義；再根據(jù)題意作答，此題可以以1000t為基準(zhǔn)數(shù)，多于此數(shù)為+號(hào)表示，小于此數(shù)為-號(hào)表示．解：由題意得，一月份超額完成計(jì)劃－50t，二月份超額完成計(jì)劃0t，三月份超額完成計(jì)劃100t.解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對(duì)性，明確什么是一對(duì)具有相反意義的量．【舉一反三】【變式1】（23-24七年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期末）鄧州市12月20日的最高氣溫是，最低氣溫是．這里的實(shí)際意義是．【答案】零下【分析】本題主要考查正數(shù)與負(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)正數(shù)與負(fù)數(shù)的意義可直接求解．解：的實(shí)際意義是零下，故答案為：零下．【變式2】（23-24七年級(jí)上·浙江溫州·期中）如圖所示，算籌是我國(guó)古代的計(jì)算工具之一，擺法有縱式和橫式兩種．古人在個(gè)位數(shù)上劃上斜線以表示負(fù)數(shù)．如“”表示．則“”所表示的數(shù)是（

）A．223 B． C．263 D．【答案】D【分析】本題主要考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，解題的關(guān)鍵是讀懂題目，找出數(shù)籌和數(shù)字的對(duì)應(yīng)關(guān)系．根據(jù)題干描述的算籌計(jì)數(shù)法計(jì)數(shù)即可．解：根據(jù)算籌計(jì)數(shù)法，表示的數(shù)是：．故選：D．【題型3】相反意義的量【例3】假期中小明和父母一起到甲、乙兩個(gè)城市旅游，小明發(fā)現(xiàn)兩個(gè)城市中使用的人民幣的新舊程度不同：在甲城市中，面值10元、50元和100元的三種人民幣的新舊程度基本相同；在乙城市中，面值10元的人民幣比較舊，而面值50元和100元的人民幣比較新．你能通過(guò)這些信息判斷兩個(gè)城市的發(fā)展水平哪個(gè)更高嗎？【答案】甲城市的發(fā)展水平更高【分析】根據(jù)面值10元、50元和100元的三種人民幣的新舊程度，可得面值10元、50元和100元的三種人民幣的使用程度，依此可得兩個(gè)城市的發(fā)展水平哪個(gè)更高．解：在甲城市中，面值10元、50元和100元的三種人民幣的新舊程度基本相同；在乙城市中，面值10元的人民幣比較舊，而面值50元和100元的人民幣比較新；在甲城市中，面值50元和100元的三種人民幣的使用程度多，甲城市的發(fā)展水平更高．【點(diǎn)撥】考查了數(shù)學(xué)常識(shí)，關(guān)鍵是理解面值10元、50元和100元的三種人民幣的使用程度．【舉一反三】【變式1】（22-23七年級(jí)下·黑龍江綏化·期中）在下列選項(xiàng)中，具有相反意義的量是（

）A．向東走3千米與向北走3千米 B．收入100元與支出200元C．氣溫上升與上升 D．5個(gè)老人與5個(gè)小孩【答案】B【分析】本題主要考查相反意義的量，根據(jù)相反意義的量的概念，逐一判斷選項(xiàng)，即可得到答案，熟練掌握相反意義的量的概念，是解題的關(guān)鍵．解：A、向東走3千米與向北走3千米，不是具有相反意義的量，故A不符合題意；B、收入100元與支出200元，具有相反意義的量，故B符合題意；C、氣溫上升與上升，不是具有相反意義的量，故C不符合題意；D、5個(gè)老人與5個(gè)小孩，不是具有相反意義的量，故D不符合題意，故選：．【變式2】中國(guó)人很早開(kāi)始使用負(fù)數(shù)，中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》的“方程”一章中，在世界數(shù)學(xué)史上首次正式引入負(fù)數(shù)．如果收入100元記作元，那么支出80元可表示為．【答案】元【分析】根據(jù)題意得出：收入記作為正，支出記作為負(fù)，表示出來(lái)即可．解：如果收入100元記作+100元，那么支出80元記作-80元，故答案為：-80元．【點(diǎn)撥】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，能用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示題目中的數(shù)是解此題的關(guān)鍵．【題型4】正負(fù)數(shù)的實(shí)際運(yùn)用【例4】（22-23七年級(jí)上·寧夏銀川·階段練習(xí)）如圖，一名跳水運(yùn)動(dòng)員參加跳臺(tái)的跳水比賽（跳臺(tái)是指跳臺(tái)離水面的高度為），這名運(yùn)動(dòng)員舉高手臂時(shí)身長(zhǎng)為，跳水池池深為（規(guī)定向上為正）．(1)若以水面為基準(zhǔn)，則這名運(yùn)動(dòng)員指尖的高度及池底的深度分別如何表示？(2)若以跳臺(tái)為基準(zhǔn)，則池底的深度與水面的高度分別如何表示？【答案】(1)這名運(yùn)動(dòng)員指尖的高度為，池底的深度為；(2)池底的深度為，水面的高度為．【分析】（1）利用正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義來(lái)表示；（2）利用正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義來(lái)表示．（1）解：（米）∴以水面為基準(zhǔn)，這名運(yùn)動(dòng)員指尖的高度為，池底的深度為；（2）解：（米）∴以跳臺(tái)為基準(zhǔn)，池底的深度為，水面的高度為．【點(diǎn)撥】本題考查了正負(fù)數(shù)的意義，解題的關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對(duì)性，明確什么是一對(duì)具有相反意義的量．在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示．【舉一反三】【變式1】（2024九年級(jí)下·山西·專(zhuān)題練習(xí)）2024年5月3日17時(shí)27分，嫦娥六號(hào)探測(cè)器開(kāi)啟世界首次月球背面采樣返回之旅，月球表面的白天平均溫度零上，記作，夜間平均溫度零下，應(yīng)記作（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查利用正負(fù)數(shù)表示相反意義的量．據(jù)正負(fù)數(shù)表示相反意義的量，平均溫度零上表示正，平均溫度零下表示負(fù)，即可求解．解：平均溫度零上，記作，夜間平均溫度零下，應(yīng)記作，故選：B．【變式2】（2024·甘肅慶陽(yáng)·二模）某品牌酸奶外包裝上標(biāo)明“凈含量：”，現(xiàn)隨機(jī)抽取四種口味的這種酸奶，它們的凈含量如下表所示，其中，凈含量不合格的是口味的酸奶．種類(lèi)原味草莓味香草味巧克力味凈含量/mL175180190185【答案】香草味【分析】本題主要考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)的實(shí)際意義求得合格酸奶的重量范圍，據(jù)此進(jìn)行判斷即可，理解正數(shù)和負(fù)數(shù)的實(shí)際意義是解決此問(wèn)題的關(guān)鍵．解：由題意可得：合格酸奶凈含量的最小值為:，合格酸奶凈含量的最大值為:，∴合格酸奶的重量范圍為，則凈含量不合格的是香草味，故答案為：香草味．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·甘肅武威·中考真題）近年來(lái)，我國(guó)科技工作者踐行“科技強(qiáng)國(guó)”使命，不斷取得世界級(jí)的科技成果，如由我國(guó)研制的中國(guó)首臺(tái)作業(yè)型全海深自主遙控潛水器“海斗一號(hào)”，最大下潛深度10907米，填補(bǔ)了中國(guó)水下萬(wàn)米作業(yè)型無(wú)人潛水器的空白；由我國(guó)自主研發(fā)的極目一號(hào)Ⅲ型浮空艇“大白鯨”，升空高度至海拔9050米，創(chuàng)造了浮空艇原位大氣科學(xué)觀測(cè)海拔最高的世界記錄．如果把海平面以上9050米記作“米”，那么海平面以下10907米記作“米”．【答案】【分析】根據(jù)正負(fù)數(shù)表示相反的意義解答即可．解：把海平面以上9050米記作“米”，則海平面以下10907米記作米，故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查了正負(fù)數(shù)的理解：在一個(gè)事件中，規(guī)定一個(gè)量為正，則表示相反意義的量為負(fù)，正確理解正負(fù)數(shù)表示一對(duì)相反的意義的量是解題的關(guān)鍵．【例2】（2023·湖南永州·中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中對(duì)正負(fù)數(shù)的概念注有“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之”、如：糧庫(kù)把運(yùn)進(jìn)30噸糧食記為“”，則“”表示（

）A．運(yùn)出30噸糧食 B．虧損30噸糧食 C．賣(mài)掉30噸糧食 D．吃掉30噸糧食【答案】A【分析】根據(jù)題意明確“正”和“負(fù)”所表示的意義，再根據(jù)題意即可求解．解：糧庫(kù)把運(yùn)進(jìn)30噸糧食記為“”，則“”表示運(yùn)出30噸糧食．故選：A【點(diǎn)撥】本題考查了正負(fù)數(shù)的意義，理解“正”和“負(fù)”分別表示相反意義的量是解題關(guān)鍵．2、拓展延伸【例1】下列說(shuō)法正確的是（

）A．“向東10米”與“向西10米”不是相反意義的量B．如果氣球上升25米記作+25米，那么－15米的意義就是下降－15米C．如果氣溫下降6℃，記為-6℃，那么+8℃的意義就是下降8℃D．若將高1米設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)0，高1.20米記作+0.20米，那么－0.05米所表示的高是0.95米【答案】D【分析】在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示，依次判斷各可．解：A.“向東10米”與“向西10米”是相反意義的量，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.如果氣球上升25米記作+25米，那么－15米的意義就是下降15米，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.如果氣溫下降6℃，記為-6℃，那么+8℃的意義就是氣溫上升8℃，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.若將高1米設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)0，高1.20米記作+0.20，那么－0.05米所表示的高是0.95米，故本選項(xiàng)正確，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對(duì)性，確定一對(duì)具有相反意義的量．【例2】紐約、悉尼與北京的時(shí)差如下表（正數(shù)表示同一時(shí)刻比北京時(shí)間早的時(shí)數(shù)，負(fù)數(shù)表示同一時(shí)刻比北京晚的時(shí)數(shù)）：城市悉尼紐約時(shí)差/時(shí)+2-13當(dāng)北京10月1日23時(shí)，悉尼、紐約的時(shí)間分別是（

）A．9月30日21時(shí)；9月30日10時(shí) B．10月1日10時(shí)；10月2日10時(shí)C．10月2日1時(shí)；10月1日10時(shí) D．9月30日21時(shí)；10月2日12時(shí)【答案】C【分析】由統(tǒng)計(jì)表得出：悉尼時(shí)間比北京時(shí)間早2小時(shí)，也就是10月2日1時(shí)．紐約比北京時(shí)間要晚13個(gè)小時(shí)，也就是10月1日10時(shí)．解：悉尼的時(shí)間是：10月1日23時(shí)+2小時(shí)，即10月2日1時(shí)，紐約時(shí)間是：10月1日23時(shí)-13小時(shí)，即10月1日10時(shí)．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)．解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖表得出“時(shí)差”正確信息，再結(jié)合題意計(jì)算．【例3】（1）桌子上有5只杯口朝上的茶杯，每次翻轉(zhuǎn)3只，經(jīng)過(guò)次翻轉(zhuǎn)可使這5只杯子的杯口全部朝下，則的最小值為．（2）桌子上有11只杯口朝上的茶杯，每次翻轉(zhuǎn)3只，經(jīng)過(guò)次翻轉(zhuǎn)可使這11只杯子的杯口全部朝下，則的最小值為．【答案】35【分析】（1）用“正”表示杯口朝上，用“負(fù)”表示杯口朝下，根據(jù)翻轉(zhuǎn)要求逐步羅列即可得；（2）用“正”表示杯口朝上，用“負(fù)”表示杯口朝下，根據(jù)翻轉(zhuǎn)要求逐步羅列即可得．解：（1）用“正”表示杯口朝上，用“負(fù)”表示杯口朝下，剛開(kāi)始時(shí)：正、正、正、正、正，