數(shù)學(xué)建模-開放式基金投資問題

PAGEPAGE6B.開放式基的金投資問題摘要本文針對某開放式基金現(xiàn)有總額一定的問題，就四種不同的情況，建立了四個投資的線性或非線性規(guī)劃模型，并對非線性問題進(jìn)行了成功的線性化處理，通過運(yùn)用lingo軟件并利用窮舉法得出結(jié)果，求的最大的利潤和相應(yīng)的投資方案。在問題1中，我們建立了標(biāo)準(zhǔn)的線性規(guī)劃模型，應(yīng)用lingo軟件得：項(xiàng)目的投資次數(shù)分別為6、2、0、5、6、2、6、6次，最大利潤為44149萬元問題2(1)，考慮8個項(xiàng)目中每個都可重復(fù)投資，但每個項(xiàng)目投資總額有個上限，且具體對這些項(xiàng)目投資時，會出現(xiàn)項(xiàng)目之間的相互利潤影響。在問題一基礎(chǔ)上，建立非線性規(guī)劃模型，經(jīng)過分類討論，對非線性問題進(jìn)行了成功的線性化處理，通過lingo軟件，運(yùn)用窮舉法得出7種方案，比較7種方案的結(jié)果為項(xiàng)目的投資次數(shù)分別為1,0,7,5,6,5,6,6次，最大利潤為42975.50萬元。問題2(2)，在問題二的基礎(chǔ)上，建立雙目標(biāo)非線性規(guī)劃模型，可以將此模型轉(zhuǎn)化為以風(fēng)險度的變化作為約束條件，以最大利潤為目標(biāo)函數(shù)的單目標(biāo)的線性規(guī)劃模型。通過Lingo可以得出不同風(fēng)險度上最大利潤的最優(yōu)解的數(shù)據(jù)，并用Matlab可以作出圖像，再根據(jù)圖表的分析，可以得出最優(yōu)方案；的投資次數(shù)分別為0,4,7,1,6,6,6,6次在問題2(3)中，要保留一部分基金，考慮到保留資金對投資的影響，因此引入資金保留比例系數(shù)，在問題三是上通過修改投資總額，調(diào)用問題三的程序可以得出在不同資金保留比例系數(shù)下的最優(yōu)方案，把這些方案用Lingo軟件作出圖表，通過對圖表的分析得出最優(yōu)解為：項(xiàng)目的投資次數(shù)分別為0,5,3,0,2,1,6,6。關(guān)鍵：雙目標(biāo)非線性規(guī)劃投資風(fēng)險度保留資金系數(shù)符號函數(shù)問題重述某開放式基金現(xiàn)有總額為15億元的資金可用于投資，目前共有8個項(xiàng)目可供投資者選擇。每個項(xiàng)目可以重復(fù)投資(即同時投資幾份)，根據(jù)專家經(jīng)驗(yàn)，對每個項(xiàng)目投資總額不能太高，且有個上限。這些項(xiàng)目所需要的投資額己經(jīng)知道，在一般情況下，投資一年后各項(xiàng)目所得利潤也可估計出來，見表1：表1投資項(xiàng)目所需資金及預(yù)計一年后所得利潤單位：萬元項(xiàng)目編號每份投資額67006600485055005800420046004500預(yù)計利潤11391056727.51265116071418401575上限4100033000340002900035000260002700025000請幫助該公司解決以下問題：l、就表1提供的數(shù)據(jù)，試問應(yīng)該選取哪些項(xiàng)目進(jìn)行投資，使得第一年所得利潤最大？2、在具體對這些項(xiàng)目投資時，實(shí)際還會出現(xiàn)項(xiàng)目之間相互影響等情況。公司在咨詢了有關(guān)專家后，得到如下可靠信息：l）如果同時對第1個和第3個項(xiàng)目投資；它們的預(yù)計利潤分別為1005萬元和1018．5萬元；2）如果同時對第4、5個項(xiàng)目投資，它們的預(yù)計利潤分別為1045萬元和1276萬元；3）如果同時對第2、6、7、8個項(xiàng)目投資，它們的預(yù)計利潤分別為1353萬元、840萬元、1610萬元、1350萬元；將上面的（1），（2），（3）三條信息綜合一下，因此，他們投資次數(shù)與利潤關(guān)系歸納如下表2：表2.項(xiàng)目投資時，實(shí)際出現(xiàn)的項(xiàng)目之間利潤的相互影響4）如果考慮投資風(fēng)險，則應(yīng)該如何投資使得收益盡可能大；而風(fēng)險盡可能的小。投資項(xiàng)目總風(fēng)險可用所投資項(xiàng)目中最大的一個風(fēng)險來衡量。專家預(yù)測出的投資項(xiàng)目風(fēng)險損失率為，數(shù)據(jù)見表3。表3投資項(xiàng)目的風(fēng)險損失率項(xiàng)目編號風(fēng)險損失率(%)3014.52230335.53933由于專家的經(jīng)驗(yàn)具有較高的可信度，公司決策層需要知道以下問題的結(jié)果：（l）如果將專家的前3條信息考慮進(jìn)來，該基金該如何進(jìn)行投資呢？（2）如果將專家的4條信息都考慮進(jìn)來，該基金又應(yīng)該如何決策？（3）開放式基金一般要保留適量的現(xiàn)金，降低客戶無法兌付現(xiàn)金的風(fēng)險。在這種情況下，將專家的4條信息都考慮進(jìn)來。那么基金該如何決策，使得盡可能地降低風(fēng)險，而一年后所得利潤盡可能多？問題分析對于問題一，為使的第一年的利潤最大，建立線性規(guī)劃模型，考慮到每個投資項(xiàng)目存在投資額上限以及資金總額的限制，運(yùn)用線性規(guī)劃求的第一年利潤最大值。然后考慮，具體項(xiàng)目投資時存在利潤上的相互影響，在問題一的條件上，運(yùn)用非線性規(guī)劃，用窮舉法，在Lingo軟件上求出問題二的條件約束下的最優(yōu)化方案。在添加投資風(fēng)險因素后，同時考慮問題二的條件，建立雙目標(biāo)規(guī)劃模型，求解雙目標(biāo)，即利潤最大，投資風(fēng)險最小。為了簡化問題，把雙目標(biāo)化為單目標(biāo)，即固定投資風(fēng)險，進(jìn)行但目標(biāo)求解。最后一個問題，要保留適量現(xiàn)金，降低客戶無法兌現(xiàn)現(xiàn)金的風(fēng)險，考慮所有因素時，具體保留現(xiàn)金多少，是個難以確定的問題，其實(shí)這個問題就是在投資最少的條件下，風(fēng)險率最小，利潤最大。模型假設(shè)（1）不考慮投資所需的投資費(fèi)，交易費(fèi)；（2）假設(shè)投資項(xiàng)目利潤，投資風(fēng)險率不受外界因素影響；（3）雖然要求投資風(fēng)險最小，但不考慮對單目標(biāo)進(jìn)行投資；（4）在投資過程中，不考慮政策，政府條件對投資的影響；（5）在利潤相同的情況下，投資人對于每個項(xiàng)目的投資偏好是一樣；（6）不考慮保留資金以存款的形式獲得的利潤符號說明（i=1...8）所投資的8個項(xiàng)目第i個投資項(xiàng)目；(i=1…8)第i個投資項(xiàng)目的投資份數(shù)；(i=1…8)當(dāng)考慮投資的相互影響時第i個投資項(xiàng)目的所獲利潤；(i=1….8)第i個投資項(xiàng)目的投資風(fēng)險；投資項(xiàng)目的風(fēng)險度；（i=1…8）第i個投資項(xiàng)目的每份投資成本；(i=1…8)第i個投資項(xiàng)目的所獲利潤；投資保留系數(shù)；投資所獲總的利潤模型的建立與求解模型一：就投資的8個項(xiàng)目，要取得第一年利潤最大，即求目標(biāo)函數(shù)Y=的最大，建立模型如下：約束條件：略模型結(jié)果：通過lingo解出該線性規(guī)劃模型的結(jié)果，如下表（表4）表4第一年投資項(xiàng)目次數(shù)，投資總額，最大總利潤總利潤（萬元）投資次數(shù)62056266利潤（萬元）68351056727.56235696014289914987544149總投資（萬元）178700模型二：考慮投資項(xiàng)目之間存在利潤的相互影響，投資數(shù)目的多少會產(chǎn)生利潤的變化。根據(jù)題意可知，有3個投資條件的約束，有排列組合知識可知，共有7種情況可求出最大利潤，由lingo獲取7中方案的結(jié)果，通過比較，可知最大利潤時的投資方案。投資項(xiàng)目次數(shù)=1,=,0=7,=5,=6,=5,=6,=6第一年獲得最大利42975.50萬元。模型三：在問題二的基礎(chǔ)上，考慮投資風(fēng)險。投資要求風(fēng)險最小，利潤最大。處理該雙目標(biāo)函數(shù)，將風(fēng)險度作為約束條件，不斷改變風(fēng)險度的數(shù)值，將雙目標(biāo)化為單目標(biāo)函數(shù)，求出在不同風(fēng)險度的情況下利潤最大值建立目標(biāo)函數(shù)模型（注：分段函數(shù)）約束條件：略不停的變化，分別求利潤最大(i=1…8),且它為整數(shù)；其中風(fēng)險度變化范圍：0.07到0.37，用Lingo求解如下表（表5）：表5風(fēng)險度和利潤的變化關(guān)系

0.074200000005000.084200000005000.095553010005000.16909020005000.118259030005000.129612040005000.1310630041005000.1411649042005000.1513680044005000.1615723046005000.1717073046005010.1818423046005020.1919773046005030.221383046005130.2123518046105050.2225839046215050.2328263046405150.2430878146405250.2533764146415350.2635979046415550.2736364036245550.2836595036155550.2936595036155550.336595036155550.3136595036155550.3236595036155550.3336595036155550.3436595036155550.3536595036155550.3636595036155550.373659503615555將風(fēng)險度和利潤的變化關(guān)系用Matlab作圖見（圖1）圖1風(fēng)險度和利潤的變化關(guān)系的曲線圖項(xiàng)目投資次數(shù)=0,=4,=7,=1,=6,=6,x7=6,=6，此方案為最優(yōu)方案；模型四：模型四中，考慮保留基金的一部分，降低兌付客戶現(xiàn)金的風(fēng)險。引入投資保留系數(shù),變化范圍為0.1到1，再依據(jù)風(fēng)險度變化范圍，在模型三基礎(chǔ)上，考慮保留一部分現(xiàn)金后，我們建立如下模型：建立目標(biāo)函數(shù)模型;（注：分段函數(shù)）約束條件：略(i=1…8),且它為整數(shù)；計算得，項(xiàng)目投資次數(shù)=0,=5,=3,=0,=2,=1,x7=6,=6，此方案為最優(yōu)方案；模型的評價優(yōu)點(diǎn)：（1）問題在解答過程中，引用線性思想，更富有數(shù)字信息明了，成功運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件把問題解決掉（2）對于問題二的項(xiàng)目間利潤的影響，雖然情況復(fù)雜，通過引入窮舉法思想，將所有情況逐一討論，獲取最優(yōu)方案。方法簡單易懂。（3）在處理基本保留適量現(xiàn)金以預(yù)防客戶兌付現(xiàn)金時，在客戶兌付現(xiàn)金情況不清楚的情況下，通過求解投資額最小，所得利潤最大，承擔(dān)的總風(fēng)險最小的轉(zhuǎn)化，避免了保留適量現(xiàn)金數(shù)目的討論，簡化了模型，求解也方便了.缺點(diǎn)：（1）模型理想化，將政府政策等外界條件因素不予考慮（2）這個模型建立得比較簡單，而且存在一定的誤差.在公式的推導(dǎo)過程中可能有錯誤，并且對客戶想要提前還清貸款或想要延遲還貸款的情形沒有進(jìn)行討論，這使得模型有缺陷，不夠完善.

八.模型的推廣此模型關(guān)于風(fēng)險投資問題，可以用于實(shí)際生活中的投資股票，購買彩票，人力資源配置，物資的分配等問題。參考文獻(xiàn)：（1）姜啟源．?dāng)?shù)學(xué)模型(第三版)[M]．北京.高等教育出版社，2003