全國(guó)數(shù)學(xué)試題分類(lèi)解析匯編（11月第四期）N單元 選修4系列

N單元選修4系列目錄N單元選修4系列 1N1選修4-1幾何證明選講 1N2選修4-2矩陣 1N3選修4-4參數(shù)與參數(shù)方程 1N4選修4-5不等式選講 1N5選修4-7優(yōu)選法與試驗(yàn)設(shè)計(jì) 1N1選修4-1幾何證明選講【數(shù)學(xué)理卷·屆廣東省廣州市執(zhí)信中學(xué)高三上學(xué)期期中考試（11）】15．如圖,已知圓中兩條弦與相交于點(diǎn),是延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且,,若與圓相切,則線段的長(zhǎng)為．【知識(shí)點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段；圓的切線的性質(zhì)定理的證明．N1【答案】【解析】解析：∵，∴可設(shè)AF=4k，BF=2k，BE=k＞0．由相交弦定理可得：，∴，解得．

∴．∴,根據(jù)切割線定理可得：，解得．故答案為?！舅悸伏c(diǎn)撥】利用相交弦定理和切割線定理即可得出．【數(shù)學(xué)文卷·屆河北省衡水中學(xué)高三上學(xué)期期中考試（11）】22、選修4-1：幾何證明選講如圖過(guò)圓E外一點(diǎn)A作一條直線與圓E交于B、C兩點(diǎn)，且AB=AC，作直線AF與圓E相切于點(diǎn)F，連結(jié)EF交BC于點(diǎn)D，已知圓E的半徑為2，求AF的長(zhǎng)；求證：AD=3ED【知識(shí)點(diǎn)】切割線定理；三角形相似的判定與性質(zhì).N1【答案】【解析】（1）AF=3；（2）證明：見(jiàn)解析.解析：（1）延長(zhǎng)BE交圓E于點(diǎn)M，連接CM，則∠BCM=90°，又BM=2BE=4，∠EBC=30°，所以BC=，根據(jù)切割線定理得:，所以AF=3--------5分(2)過(guò)E作EH⊥BC與H，則△EDH∽△ADF,從而有,又由題意知BH=所以EH=1，因此，即AD=3ED--------10分【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)切割線定理知，只需求出線段BC的長(zhǎng)，為此延長(zhǎng)BE交圓E于點(diǎn)M，連接CM，在Rt△BCM中求得BC=，從而得AF=3；（2）取BC中點(diǎn)H連接EH，由△EDH∽△ADF可證得結(jié)論.【數(shù)學(xué)文卷·屆廣東省廣州市執(zhí)信中學(xué)高三上學(xué)期期中考試（11）】15．（幾何證明選講選做題）如圖，是圓的直徑，是圓的切線，切點(diǎn)為，平行于弦，若，，則【知識(shí)點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段．N1【答案】【解析】4解析：∵AB是圓O的直徑，BC是圓O的切線，∴OB⊥BC．在Rt△OBC中，．∵AD∥OC，∴∠A=∠BOC，∠ADO=∠COD．∵∠A=∠ADO，∴∠BOC=∠DOC．又∵OB=OD，OC為公共邊．∴△BOC≌△DOC．∴CD=CB=4．【思路點(diǎn)撥】利用圓的切線的性質(zhì)和勾股定理可得BC，再利用平行線的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可得CD=CB．即可得出．N2選修4-2矩陣N3選修4-4參數(shù)與參數(shù)方程【數(shù)學(xué)理卷·屆廣東省廣州市執(zhí)信中學(xué)高三上學(xué)期期中考試（11）】14．在極坐標(biāo)系中,曲線與的公共點(diǎn)到極點(diǎn)的距離為_(kāi)_________【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化；兩點(diǎn)間的距離公式．N3【答案】【解析】解析：由得，，代入得，解得或（舍），

所以曲線與的公共點(diǎn)到極點(diǎn)的距離為，

故答案為：．【思路點(diǎn)撥】聯(lián)立與消掉即可求得，即為答案．【數(shù)學(xué)文卷·屆湖南省長(zhǎng)郡中學(xué)屆高三月考試卷（三）word版】12.在極坐標(biāo)系中，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)_____.【知識(shí)點(diǎn)】極坐標(biāo)的意義.N3【答案】【解析】解析：直線的直角坐標(biāo)方程為，圓的直角坐標(biāo)方程為，因?yàn)閳A心（0,0）到直線的距離d=2,半徑r=4,所以截得的弦長(zhǎng)為.【思路點(diǎn)撥】先把直線和圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，再利用直角坐標(biāo)方程求弦長(zhǎng).【數(shù)學(xué)文卷·屆廣東省廣州市執(zhí)信中學(xué)高三上學(xué)期期中考試（11）】14．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)、，則【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．N3【答案】【解析】7解析：∵∠AOB=，∴，∴AB=7．故答案為：7．【思路點(diǎn)撥】利用余弦定理即可得出．N4選修4-5不等式選講【數(shù)學(xué)理卷·屆湖南省衡陽(yáng)八中高三上學(xué)期第四次月考（11）】20．（本小題滿分13分）等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知]任意的n∈N*，點(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù))的圖象上．(1)求r的值；(2)當(dāng)b＝2時(shí)，記(n∈N*)．證明：對(duì)任意的n∈N*，不等式eq\f(b1＋1,b1)·eq\f(b2＋1,b2)·…·eq\f(bn＋1,bn)＞eq\r(n＋1)成立．【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法．N4【答案】【解析】（1）-1；（2）見(jiàn)解析解析：(1)由題意，Sn＝bn＋r，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝bn－1＋r，所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)，由于b＞0且b≠1，所以n≥2時(shí)，{an}是以b為公比的等比數(shù)列，又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，eq\f(a2,a1)＝b，即eq\f(bb－1,b＋r)＝b，解得r＝－1.…………5分(2)證明：由(1)知an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N*)，所證不等式為eq\f(2＋1,2)·eq\f(4＋1,4)·…·eq\f(2n＋1,2n)＞eq\r(n＋1).①當(dāng)n＝1時(shí)，左式＝eq\f(3,2)，右式＝eq\r(2)，左式＞右式，所以結(jié)論成立．②假設(shè)n＝k時(shí)結(jié)論成立，即eq\f(2＋1,2)·eq\f(4＋1,4)·…·eq\f(2k＋1,2k)＞eq\r(k＋1)，…………8分則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，eq\f(2＋1,2)·eq\f(4＋1,4)·…·eq\f(2k＋1,2k)·eq\f(2k＋3,2k＋1)＞eq\r(k＋1)·eq\f(2k＋3,2k＋1)＝eq\f(2k＋3,2\r(k＋1))，要證當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論成立，只需證eq\f(2k＋3,2\r(k＋1))eq\r(k＋2)，即證eq\f(2k＋3,2)eq\r(k＋1k＋2)，由均值不等式eq\f(2k＋3,2)＝eq\f(k＋1＋k＋2,2)eq\r(k＋1k＋2)成立，故eq\f(2k＋3,2\r(k＋1))eq\r(k＋2)成立，所以，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立．由①②可知，n∈N*時(shí)，不等式eq\f(b1＋1,b1)·eq\f(b2＋1,b2)·…·eq\f(bn＋1,bn)＞eq\r(n＋1)成立．…………12分【思路點(diǎn)撥】（1）由已知中因?yàn)閷?duì)任意的n∈N+，點(diǎn)（n，Sn），均在函數(shù)y=bx+r（b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù)的圖象上．根據(jù)數(shù)列中an與Sn的關(guān)系，我們易得到一個(gè)關(guān)于r的方程，再由數(shù)列{an}為等比數(shù)列，即可得到r的值．（2）將b=2代入，我們可以得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，再由bn=2（log2an+1）（n∈n），我們可給數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可將不等式eq\f(b1＋1,b1)·eq\f(b2＋1,b2)·…·eq\f(bn＋1,bn)＞eq\r(n＋1)進(jìn)行簡(jiǎn)化，然后利用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)其進(jìn)行證明．【數(shù)學(xué)文卷·屆河北省衡水中學(xué)高三上學(xué)期期中考試（11）】23、選修4-5：不等式選講設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)的最小值；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍?！局R(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)最小值求法；不等式恒成立求此時(shí)范圍.N4【答案】【解析】(1)；（2）.解析：（1）