人教A版2019必修第一冊(cè)專題3.5函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用大題專項(xiàng)訓(xùn)練【六大題型】(原卷版+解析)

專題3.5函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用大題專項(xiàng)訓(xùn)練【六大題型】【人教A版（2019）】姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________題型一利用函數(shù)的性質(zhì)求解析式題型一利用函數(shù)的性質(zhì)求解析式1．（2023春·甘肅白銀·高二校考期末）若定義在R上的奇函數(shù)fx滿足f2?x=f(1)求f2021(2)當(dāng)x∈3,4時(shí)，求函數(shù)f2．（2023春·浙江寧波·高二?？计谥校┰O(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x(1)求f(x)的解析式；(2)若“x=3”是“f(2x?t)>12”的充分條件，求實(shí)數(shù)3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知f(x)=x+a(1)求a，b的值；(2)試判斷f(x)的單調(diào)性；(3)試求f(x)的值域．4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x(1)求f(x)的解析式：(2)若方程f(x)=k有3個(gè)不同的解，求k的取值范圍.5．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）設(shè)fx是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有fx+2=?fx．當(dāng)(1)求證：fx(2)當(dāng)x∈2,4時(shí)，求f(3)計(jì)算f0題型二題型二利用函數(shù)的性質(zhì)求最值6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意x,y∈R，總有f(x)+f(y)=f(x+y)，且x>0時(shí)，f(x)<0(1)求證：f(x)在R上是奇函數(shù)；(2)求證：f(x)在R上是減函數(shù)；(3)若f(1)=?23，求f(x)在區(qū)間7．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)y=ax(1)若a=b=1，求y在t,t+1上的最大值；(2)若函數(shù)在區(qū)間2,4上的最大值為9，最小值為1，求實(shí)數(shù)a，b的值.8．（2023春·安徽合肥·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)y=fxx∈R是偶函數(shù)．當(dāng)x≥0(1)求函數(shù)fx(2)設(shè)gx=?fx+1，求gx9．（2023春·浙江溫州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)f(x)=x(1)當(dāng)a>2時(shí)，判斷f(x)在R上的單調(diào)性；(2)記f(x)在R上的最小值為g(a)，寫出g(a)的表達(dá)式并求g(a)的最大值.10．（2023春·江蘇南京·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)y=fx是定義在R上的周期函數(shù)，周期為5，函數(shù)y=fx(?1≤x≤1)是奇函數(shù)，又知y=fx在[0,1]上是一次函數(shù)，在1,4上是二次函數(shù)，且在(1)求f1(2)求y=fx，x∈[1,4](3)求y=fx在[4,9]上的解析式，并求函數(shù)y=f題型三題型三利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小11．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù)，對(duì)任意x∈R均滿足：①f(1+x)=f(1?x)，②x1<0,?x212．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足f(mn)=f(m)+f(n)(m，n>0)，且當(dāng)x>1時(shí)，(1)求證：f(x)在(0,+∞(2)若f(2)=1，解不等式f(x+2)?f(2x)>2；(3)比較f(m+n2)13．（2022秋·海南?？凇じ咭恍？计谥校┖瘮?shù)f(x)=x(1)判斷并用定義證明函數(shù)f（x）在（0，1）上的單調(diào)性；(2)若x2>x1>0(3)若fx1=fx214．（2022秋·福建福州·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)f(x)=x(1)求f(1)，f(2)的值；(2)設(shè)a＞b＞1，試比較f（a），f（b）的大小，并說明理由；(3)若關(guān)于x的不等式f(x?1)≥2(x?1)+2x?1+m15．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)，滿足f(mn)=f(m)+f(n)(m,n>0)，且當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0.（1）求f(1)的值.（2）求證：fm（3）求證：f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).（4）若f(2)=1，解不等式f(x+2)?f(2x)>2.（5）比較fm+n2與題型四題型四利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性解不等式16．（2022秋·重慶·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx是定義在?3,3上的奇函數(shù)，當(dāng)0<x≤3時(shí)，f(1)求f?1(2)求函數(shù)fx(3)若f3a+1+f2a?117．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知y=fx是定義在區(qū)間?2,2(1)求f?1(2)補(bǔ)全y=fx的圖像，并寫出不等式f18．（2023秋·黑龍江佳木斯·高一校考期末）已知函數(shù)fx=ax+bx2(1)求函數(shù)fx(2)判斷fx(3)解不等式ft?119．（2022秋·黑龍江七臺(tái)河·高一?？计谥校┒x在?1,1上的函數(shù)fx滿足：對(duì)任意的x,y∈?1,1，都有fx+fy(1)求證：函數(shù)fx(2)求證：fx在?1,1(3)解不等式：fx+120．（2023秋·四川成都·高一?？计谀┒x在區(qū)間D=xx≠0上的函數(shù)fx,對(duì)?a,b∈D都有fab=f(1)判斷fx(2)判斷fx在0,+(3)若f2=3,求滿足不等式f3m+2題型五題型五利用函數(shù)的性質(zhì)解決恒成立問題21．（2023·黑龍江佳木斯·?？寄M預(yù)測(cè)）已知fx=ax2(1)求fx(2)設(shè)函數(shù)gx=x2?2mx+4m∈R22．（2023春·貴州黔東南·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(1)求函數(shù)fx(2)若對(duì)任意的t∈0,2，fm+t+f23．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x?0時(shí)，f(x)=?(1)當(dāng)a=?2時(shí)，求f(x)的解析式；(2)若函數(shù)f(x)在[0,+(i)求(ii)實(shí)數(shù)m∈?5,?2，f(m?1)+f(24．（2023春·湖北宜昌·高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=x(1)若g(x)=f(x)?2，判斷g(x)的奇偶性（不用證明）．(2)當(dāng)a=12時(shí)，先用定義法證明函數(shù)f(x)在1,+∞上單調(diào)遞增，再求函數(shù)f(x)(3)若對(duì)任意x∈1,+∞，f(x)>0恒成立，求實(shí)數(shù)25．（2023春·浙江寧波·高二校考期中）已知fx=ax2+bx+c4+(1)求fx(2)判斷函數(shù)fx在?2,2上的單調(diào)性（不用證明），并求使f2t+1+f(3)設(shè)函數(shù)g(x)=x2?2mx+4(m∈R)，若對(duì)任意x題型六題型六利用函數(shù)的性質(zhì)解決有解問題26．（2022秋·湖北荊州·高一校聯(lián)考期末）定義域?yàn)閇?2，2]的奇函數(shù)fx滿足，當(dāng)x∈(1)求fx(2)若x∈?2,0時(shí),fx≥27．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)y=fx的表達(dá)式fx=x+(1)函數(shù)y=fx在區(qū)間2,+∞上是嚴(yán)格增函數(shù)，試用函數(shù)單調(diào)性的定義求實(shí)數(shù)(2)設(shè)m<0，若不等式fx≤kx在x∈128．（2023春·上海寶山·高一?？茧A段練習(xí)）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=1?(1)求a的值；(2)判斷f(x)的單調(diào)性，并證明；(3)若關(guān)于m的不等式f?2m2+3m?4+f29．（2022秋·山東泰安·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)fx是定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f(1)當(dāng)x>0時(shí)，解不等式2x(2)不等式fx2+1?mx30．（2022秋·山東青島·高一校考期中）已知函數(shù)f(x)對(duì)任意m，n∈R，總有fm+n=f(1)求f0，并分析判斷f(x)在R(2)若?x∈(1,+∞)，不等式fa?3x

專題3.5函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用大題專項(xiàng)訓(xùn)練【六大題型】【人教A版（2019）】姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________題型一題型一利用函數(shù)的性質(zhì)求解析式1．（2023春·甘肅白銀·高二校考期末）若定義在R上的奇函數(shù)fx滿足f2?x=f(1)求f2021(2)當(dāng)x∈3,4時(shí)，求函數(shù)f【解題思路】（1）由題可得f(4+x)=f(x)，再結(jié)合條件可求；（2）由題可求當(dāng)x∈[?1,0]時(shí)，f(x)=?x【解答過程】（1）∵定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(2?x)=f(x)，∴f(?x)=?f(x)，f(2+x)=f(?x)=?f(x)，∴f(4+x)=f(x)，即函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，又x∈[0,1]時(shí)f(x)=x∴f(2021)=f(4×505+1)=f(1)=1?2=?1，（2）∵當(dāng)x∈[0,1]時(shí)f(x)=x∴當(dāng)x∈[?1,0]時(shí)，?x∈[0,1]，∴f(x)=?f(?x)=?[(?x)∴當(dāng)x∈[3,4]時(shí)，x?4∈[?1,0]，∴f(x)=f(x?4)=?(x?4)2．（2023春·浙江寧波·高二?？计谥校┰O(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x(1)求f(x)的解析式；(2)若“x=3”是“f(2x?t)>12”的充分條件，求實(shí)數(shù)【解題思路】（1）根據(jù)函數(shù)的偶函數(shù)性質(zhì)求解解析式即可；（2）根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性解不等式f(2x?t)>12，然后結(jié)合充分條件列出關(guān)于【解答過程】（1）f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，則fx當(dāng)x<0時(shí)，?x>0，則fx所以fx（2）因?yàn)閥=x2與y=?2?x在0,+∞又因?yàn)閒x為偶函數(shù)，所以fx在不等式f2x?t>f1等價(jià)于2x?t>1，故由題意3>t+12或3<t?13．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知f(x)=x+a(1)求a，b的值；(2)試判斷f(x)的單調(diào)性；(3)試求f(x)的值域．【解題思路】（1）由f(0)=0求出a的值，f(?1)=?f1，求出b（2）f(x)在[?1,1]上是增函數(shù)，利用單調(diào)性的定義證明；（3）由f(x)=xx2+1在[?1,1]上是增函數(shù)，即可求出f(x)【解答過程】（1）因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?1,1，所以f(0)=a1=0又因?yàn)閒(?1)=?12?b,f所以2?b=2+b，所以b=0,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意（2）由（1）知：f(x)=x任取x1,xfxx1+x1所以f(x)在[?1,1]上是增函數(shù)．（3）由（2）知：f(x)=xx2所以f(x)f(x)max=f1=4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x(1)求f(x)的解析式：(2)若方程f(x)=k有3個(gè)不同的解，求k的取值范圍.【解題思路】（1）利用奇函數(shù)定義求出x<0時(shí)的f(x)的解析式即可.（2）分析函數(shù)f(x)的性質(zhì)，作出圖象，數(shù)形結(jié)合求出k的范圍作答.【解答過程】（1）函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，且x≥0時(shí)，f(x)=x則當(dāng)x<0時(shí)，?x>0，f(x)=?f(?x)=?[(?x)所以f(x)的解析式為f(x)=?（2）由（1）知，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=?(x+12)2+1在[?12,0)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=(x?12)2?1在[12,+在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線y=k和函數(shù)y=f(x)的圖象，如圖，觀察圖象知，方程f(x)=k有3個(gè)不同的解，實(shí)數(shù)k的取值范圍是?15．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）設(shè)fx是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有fx+2=?fx．當(dāng)(1)求證：fx(2)當(dāng)x∈2,4時(shí)，求f(3)計(jì)算f0【解題思路】（1）把x+2看成一個(gè)整體證明fx+4（2）當(dāng)x∈2,4時(shí)，可得出0≤x?2≤2，再由fx=?fx?2可求得函數(shù)（3）計(jì)算出f1、f2、f3、f4的值，再利用函數(shù)【解答過程】（1）證明：因?yàn)閒x是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f則fx+4=?fx+2=fx（2）解：當(dāng)x∈2,4時(shí)，0≤x?2≤2此時(shí)，fx（3）解：因?yàn)楫?dāng)x∈0,2時(shí)，fx=2x?x2所以，f1=2?1=1，f2=2因?yàn)?011=4×502+3，所以，f=503×1+0?1+0題型二題型二利用函數(shù)的性質(zhì)求最值6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意x,y∈R，總有f(x)+f(y)=f(x+y)，且x>0時(shí)，f(x)<0(1)求證：f(x)在R上是奇函數(shù)；(2)求證：f(x)在R上是減函數(shù)；(3)若f(1)=?23，求f(x)在區(qū)間【解題思路】（1）根據(jù)條件，通過賦值得到f(0)=0，再令y=?x即可證明結(jié)果；（2）利用（1）中結(jié)果和條件f(x（3）利用（2）中結(jié)果，得到f(x)在?3,3上也是減函數(shù)，再利用單調(diào)性和條件即可求出結(jié)果.【解答過程】（1）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)對(duì)于任意x,y∈R，總有f(x)+f(y)=f(x+y)令x=y=0，得f(0)=0，令y=?x，得f(x)+f(?x)=f(0)=0，即f(?x)=?f(x)，所以f(x)在R上是奇函數(shù).（2）在R上任取x1則x1?x因?yàn)閤>0時(shí)，f(x)<0，所以f(x1?所以f(x)在R上是減函數(shù).（3）因?yàn)閒(x)是R上的減函數(shù)，所以f(x)在?3,3上也是減函數(shù)，所以f(x)在?3,3上的最大值和最小值分別為f(?3)和f(3)，而f3=3f1所以f(x)在?3,3上的最大值為2，最小值為－2.7．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)y=ax(1)若a=b=1，求y在t,t+1上的最大值；(2)若函數(shù)在區(qū)間2,4上的最大值為9，最小值為1，求實(shí)數(shù)a，b的值.【解題思路】（1）分t≤12、（2）可得函數(shù)在2,4上單調(diào)遞增，然后由條件可建立方程組求解.【解答過程】（1）當(dāng)a=b=1時(shí)，函數(shù)化為y=x2?2x+2而t+t+12①當(dāng)t+12≤1，即t≤12②當(dāng)t+12>1，即t>12綜上，當(dāng)t≤12時(shí)，最大值為t2?2t+2；當(dāng)（2）因?yàn)楹瘮?shù)的圖像開口向上，且對(duì)稱軸方程為x=1?2,4，所以函數(shù)在2,4所以當(dāng)x=2時(shí)，y取得最小值b+1；當(dāng)x=4時(shí)，y取得最大值16a?8a+1+b=8a+1+b.由題意，可得b+1=1,8a+b+1=9,解得a=18．（2023春·安徽合肥·高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù)y=fxx∈R是偶函數(shù)．當(dāng)x≥0(1)求函數(shù)fx(2)設(shè)gx=?fx+1，求gx【解題思路】（1）利用偶函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)fx在0,+（2）結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)確定函數(shù)gx的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性求g【解答過程】（1）因?yàn)楹瘮?shù)y=fx所以當(dāng)x<0時(shí)，fx=f?x又當(dāng)x≥0時(shí)，fx所以當(dāng)x<0時(shí)，fx所以函數(shù)fx的解析式為f（2）因?yàn)間x所以當(dāng)x<0時(shí)，gx當(dāng)x≥0時(shí)，gx所以當(dāng)x≤?1時(shí)，函數(shù)gx當(dāng)?1<x<0時(shí)，函數(shù)gx當(dāng)0≤x≤1時(shí)，函數(shù)gx當(dāng)x≥1時(shí)，函數(shù)gx當(dāng)?1<a≤1時(shí)，則a+2>1，所以函數(shù)gx在a,a+2當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)gx在區(qū)間a,a+2所以當(dāng)x=a時(shí)，gx取最大值，最大值為g所以當(dāng)a>?1時(shí)，gx在區(qū)間a,a+2上的最大值為g9．（2023春·浙江溫州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)f(x)=x(1)當(dāng)a>2時(shí)，判斷f(x)在R上的單調(diào)性；(2)記f(x)在R上的最小值為g(a)，寫出g(a)的表達(dá)式并求g(a)的最大值.【解題思路】（1）討論分段函數(shù)中二次函數(shù)的對(duì)稱軸與?1的大小關(guān)系即可得到答案.（2）分a<?2，?2≤a<2和a≥2討論即可.【解答過程】（1）f(x)=x2當(dāng)a>2時(shí)，?a2<?1則函數(shù)fx在?∞,?1（2）a∈R，f(x)=當(dāng)a2<?1，即a<?2時(shí)，函數(shù)fx在?在a2fa2=?a2∴g(a)=f?當(dāng)a2≥?1且?a函數(shù)fx在?∞,?g(a)=f?當(dāng)?a2≤?1，即a≥2函數(shù)fx在(?∞,?1)所以ga綜上g(a)=?當(dāng)a<2時(shí)，ga所以ga10．（2023春·江蘇南京·高二校考階段練習(xí)）已知函數(shù)y=fx是定義在R上的周期函數(shù)，周期為5，函數(shù)y=fx(?1≤x≤1)是奇函數(shù)，又知y=fx在[0,1]上是一次函數(shù)，在1,4上是二次函數(shù)，且在(1)求f1(2)求y=fx，x∈[1,4](3)求y=fx在[4,9]上的解析式，并求函數(shù)y=f【解題思路】（1）根據(jù)題意得到f4=f(?1)，又由y=fx（2）令f(x)=a(x?2)2?5，結(jié)合f（3）根據(jù)題意，令y=kx,(k≠0,0≤x≤1)，求得x∈?1,1時(shí)，y=?3x，結(jié)合周期性，求得函數(shù)f【解答過程】（1）解：函數(shù)y=fx是定義在R上的周期函數(shù)，且T=5，所以f而函數(shù)y=fx在區(qū)間?1,1上是奇函數(shù)，所以f(?1)=?f(1)所以f1（2）解：由y=fx在1,4上是二次函數(shù)，且在x=2時(shí)函數(shù)取得最小值?5可設(shè)f(x)=a(x?2)因?yàn)閒1+f4=0，即所以fx（3）解：函數(shù)y=fx,x∈?1,1是奇函數(shù)，又知y=f令y=kx,(k≠0,0≤x≤1)，由（2）得：f1=?3，可得k=?3，所以當(dāng)0≤x≤1時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)y=fx為奇函數(shù)，可得當(dāng)x∈?1,1時(shí)，當(dāng)4≤x≤6時(shí)，可得?1≤x?5≤1，所以fx當(dāng)6<x≤9時(shí)，可得1<x?5≤4，所以fx所以函數(shù)fx當(dāng)x=4或x=9時(shí)，函數(shù)fx取得最大值f當(dāng)x=7時(shí)，函數(shù)fx取得最小值f題型三題型三利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小11．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù)，對(duì)任意x∈R均滿足：①f(1+x)=f(1?x)，②x1<0,?x2【解題思路】由②知，?x1>x2+2>2，即【解答過程】由②知，?x1>又f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù)，又由①得，fx所以f?12．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足f(mn)=f(m)+f(n)(m，n>0)，且當(dāng)x>1時(shí)，(1)求證：f(x)在(0,+∞(2)若f(2)=1，解不等式f(x+2)?f(2x)>2；(3)比較f(m+n2)【解題思路】（1）抽象函數(shù)單調(diào)性證明，第一步定義域下取值，第二步作差，第三步比大小，第四步結(jié)論.（2）抽象函數(shù)解不等式，利用定義的運(yùn)算及函數(shù)的性質(zhì)列式求解即可.（3）利用函數(shù)性質(zhì)及基本不等式列式求解即可.【解答過程】（1）證明：設(shè)0<x1<x2f(x2)?f(則f(x)在(0,+∞（2）若f(2)=1，則f（2）+f（2）=f（4）=2，則不等式f(x+2)?f(2x)>2等價(jià)為f(x+2)?f(2x)>f(4)；即f(x+2)>f(2x)+f(4)=f(8x)；則滿足{x+2>02x>0x+2>8x，即{（3）因?yàn)閒(mn)=f(m)+f(n)，所以f(m+n2f(m+n∴f(m+n13．（2022秋·海南?？凇じ咭恍？计谥校┖瘮?shù)f(x)=x(1)判斷并用定義證明函數(shù)f（x）在（0，1）上的單調(diào)性；(2)若x2>x1>0(3)若fx1=fx2【解題思路】（1）用定義證明.（2）由已知尋找x1、x2、2?x2的范圍，并比較（3）代入函數(shù)表達(dá)式整理fx1=f【解答過程】（1）設(shè)0<xfx∵x1?x2<0，x1∴x1?故f（x）在（0，1）上的單調(diào)減.（2）∵x2>∴2x1

2x2>x1又2?x2?因?yàn)閒（x）在（0，1）上的單調(diào)減，所以f（3）∵fx∴x12+1∴xx1+x14．（2022秋·福建福州·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)f(x)=x(1)求f(1)，f(2)的值；(2)設(shè)a＞b＞1，試比較f（a），f（b）的大小，并說明理由；(3)若關(guān)于x的不等式f(x?1)≥2(x?1)+2x?1+m【解題思路】（1）代值即可求解；（2）采用作差法得fa（3）將條件化簡(jiǎn)得x2?4x+3?m≥0對(duì)一切x恒成立，即【解答過程】（1）因?yàn)閒x=x2+（2）fafa?f因?yàn)閍>b>1，則a+b>2，ab>1，所以2ab<2，即a+b?2所以a?ba+b?2ab（3）因?yàn)楹瘮?shù)fx=x化簡(jiǎn)可得x2?4x+3?m≥0對(duì)一切所以Δ=42所以m的取值范圍為?∞,?1.15．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)，滿足f(mn)=f(m)+f(n)(m,n>0)，且當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0.（1）求f(1)的值.（2）求證：fm（3）求證：f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).（4）若f(2)=1，解不等式f(x+2)?f(2x)>2.（5）比較fm+n2與【解題思路】（1）令m=n=1，代入可求解；（2）由m=m（3）由單調(diào)性定義證明；（4）根據(jù)已知把不等式變?yōu)閒(x+2)>（5）由fm+n2=12【解答過程】（1）令m=n=1，由條件得f(1)=f(1)+f(1)?f(1)=0.（2）f(m)=fm即fm（3）任取x1，x2∈(0,+∞)，且x由（2）得.fx2?f∴fx在(0,+∞)（4）∵f(2)=1，∴2=f(2)+f(2)=f(4)，f(x+2)?f(2x)>2?f(x+2)>f(2x)+f(4)?f(x+2)>又f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù)，∴x+2>8x,解得0<x<2故不等式f(x+2)?f(2x)>2的解集為x∣0<x<2（5）∵f(m)+f(n)2fm+n∵m+n2∴m+n22?mn又f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)，∴fm+n∴fm+n題型四題型四利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性解不等式16．（2022秋·重慶·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx是定義在?3,3上的奇函數(shù)，當(dāng)0<x≤3時(shí)，f(1)求f?1(2)求函數(shù)fx(3)若f3a+1+f2a?1【解題思路】（1）利用奇函數(shù)定義直接可得；（2）設(shè)?3≤x<0，利用fx（3）利用函數(shù)的奇偶性，根據(jù)單調(diào)性可去掉符號(hào)“f”，再考慮到定義域即可求出a的范圍．【解答過程】（1）因?yàn)閒x為奇函數(shù)，則（2）因?yàn)閒x為奇函數(shù)，f設(shè)?3≤x<0，則0<?x≤3，則f?x=12?x2則fx（3）當(dāng)0<x≤3時(shí)，fx=12x2+x=12又∵f3a+1+f2a?1故有：?3≤3a+1≤3?3≤2a?1≤33a+1>1?2a，則有?43所以實(shí)數(shù)a取值范圍是：0<a≤217．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知y=fx是定義在區(qū)間?2,2(1)求f?1(2)補(bǔ)全y=fx的圖像，并寫出不等式f【解題思路】（1）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算；（2）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)圖像計(jì)算.【解答過程】（1）由圖可知，f1因?yàn)閒x是偶函數(shù)，所以f（2）y=fx的圖像如上圖，不等式fx≥1綜上，f?1=1，fx18．（2023秋·黑龍江佳木斯·高一校考期末）已知函數(shù)fx=ax+bx2(1)求函數(shù)fx(2)判斷fx(3)解不等式ft?1【解題思路】（1）由條件結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)列方程求a,b即可；（2）利用作差法及單調(diào)性的定義證明fx（3）結(jié)合奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)化簡(jiǎn)不等式，解之即可.【解答過程】（1）因?yàn)閒x是在區(qū)間?1,1所以f0=0，即b=0，則因?yàn)閒12=?25當(dāng)a=?1時(shí)，fx=?x所以對(duì)任意的x∈?1,1，f?x=故fx=?x（2）fx=?x任取實(shí)數(shù)x1,x2∈因?yàn)?1<x1<x2<1，所以又x12所以fx2?f故函數(shù)fx=?x（3）因?yàn)閒x所以不等式ft?1+ft又因?yàn)閒x在?1,1所以?1<t?1<1?1<t<1t?1>?t，解得0<t<2?1<t<1所以原不等式的解集為t119．（2022秋·黑龍江七臺(tái)河·高一校考期中）定義在?1,1上的函數(shù)fx滿足：對(duì)任意的x,y∈?1,1，都有fx+fy(1)求證：函數(shù)fx(2)求證：fx在?1,1(3)解不等式：fx+1【解題思路】（1）利用賦值法，結(jié)合奇偶性的定義即可求解，（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可求解，（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可求解.【解答過程】（1）令x=y=0，則f0+f0令y=?x，則fx∴fx為定義在?1,1（2）設(shè)?1<x1<x2∵?1<x1<x2<1，又x1∴?1<x1?x21?x∴fx1+f?x2>0（3）由fx+1+f1∵fx定義域?yàn)?1,1且在?1,1∴?1<x+1<1?1<1x?1<1x+1<120．（2023秋·四川成都·高一?？计谀┒x在區(qū)間D=xx≠0上的函數(shù)fx,對(duì)?a,b∈D都有fab=f(1)判斷fx(2)判斷fx在0,+(3)若f2=3,求滿足不等式f3m+2【解題思路】(1)根據(jù)賦值,先求出f1,再求出f?1,再令a=?1,b=x代入可得(2)先判斷出fx(3)先根據(jù)fx的定義將f3m+2+f【解答過程】（1）由題知,fx不妨令a=b=1代入fab=fa∴f1令a=b=?1代入可得f1∴f?1令a=?1,b=x代入可得f?x∵D=xx≠0,（2）fx在0,+?x∴fx1?fx2∵x1x∴fx∴fx在0,+（3）由題f3m+2∴f3m+2由(2)知fx在0,+所以3m+2m?1<23m+2≠0解得m∈?1,?題型五題型五利用函數(shù)的性質(zhì)解決恒成立問題21．（2023·黑龍江佳木斯·?？寄M預(yù)測(cè)）已知fx=ax2(1)求fx(2)設(shè)函數(shù)gx=x2?2mx+4m∈R【解題思路】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性即可得c=0，進(jìn)而結(jié)合f(1)=1（2）將問題轉(zhuǎn)化為gx【解答過程】（1）x∈?2,2，且fx+f將x=0代入fx+f?x=0可得f0即fx=ax2+bx4+解得a=0b=1，故ffx=x（2）只要gx2max<fx∵1≤x1<x2≤2，∴故函數(shù)fx=x法一：gx=xy=x+195x在1,95當(dāng)x=1時(shí)，x+195x=245故當(dāng)x=1時(shí)，x+195xmax法二：gx=x當(dāng)m≤32時(shí)，gxmax=g(2)<當(dāng)m>32時(shí)，gxmax=g(1)<15綜上所述：m>1222．（2023春·貴州黔東南·高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(1)求函數(shù)fx(2)若對(duì)任意的t∈0,2，fm+t+f【解題思路】（1）設(shè)x<0，結(jié)合函數(shù)的解析式和奇函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的解析式；（2）首先確定函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的t∈0,2，m+t>?2t2【解答過程】（1）函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，所以f0=a?1=0當(dāng)x≥0時(shí)，fx當(dāng)x<0時(shí)，fx所以fx（2）當(dāng)x≥0時(shí)，fx=x因?yàn)閒x在0,+∞上是增函數(shù)，又fx因?yàn)閒x為奇函數(shù)，f所以fm+t>?f2則對(duì)任意的t∈0,2，m+t>?2即m>?2t2+2t當(dāng)t=12時(shí)，?2t2+2t故m的取值范圍是1223．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x?0時(shí)，f(x)=?(1)當(dāng)a=?2時(shí)，求f(x)的解析式；(2)若函數(shù)f(x)在[0,+(i)求(ii)實(shí)數(shù)m∈?5,?2，f(m?1)+f(【解題思路】(1)設(shè)x<0，結(jié)合x?0時(shí)函數(shù)的解析式和奇函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的解析式；(2)（i）利用函數(shù)的單調(diào)性求解；（ii）根據(jù)題意，得到f(m2【解答過程】（1）當(dāng)a=?2時(shí)，x?0時(shí)，f(x)=?x設(shè)x<0，則?x>0，f(?x)=?(?x)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(x)=?f(?x)=?(?x所以f(x)=x（2）(i)當(dāng)x?0時(shí)，f(x)=?x因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減，所以即a的取值范圍為?∞(ii)因?yàn)橐驗(yàn)楹瘮?shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，所以m2即t>?m2?m+1因?yàn)?m所以t>?1，即實(shí)數(shù)t的取值范圍為(?1,+24．（2023春·湖北宜昌·高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=x(1)若g(x)=f(x)?2，判斷g(x)的奇偶性（不用證明）．(2)當(dāng)a=12時(shí)，先用定義法證明函數(shù)f(x)在1,+∞上單調(diào)遞增，再求函數(shù)f(x)(3)若對(duì)任意x∈1,+∞，f(x)>0恒成立，求實(shí)數(shù)【解題思路】（1）利用奇函數(shù)的定義即可求解；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的最值的定義即可求解；（3）將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【解答過程】（1）g(x)為奇函數(shù)．理由如下：g(x)=f(x)?2=x+a函數(shù)g(x)的定義域?yàn)閤x≠0g(?x)=?x?a所以g(x)是奇函數(shù)．（2）當(dāng)a=12時(shí)，?x1,所以f(x因?yàn)?≤x所以x1?x2<0所以(x1?x2所以函數(shù)f(x)在1,+∞所以函數(shù)f(x)在1,+∞上的最小值為f(1)=（3）若對(duì)任意x∈1,+∞，則x所以問題轉(zhuǎn)化為a大于函數(shù)φ(x)=?(x2+2x)φ(x)=?(x2+2x)=?由二次函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，開口向下，對(duì)稱軸為x=?1，所以函數(shù)φ(x)在1,+∞所以φ(x)最大值為φ(1)=?3，即a>?3.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(?3,+∞25．（2023春·浙江寧波·高二?？计谥校┮阎猣x=ax2+bx+c4+(1)求fx(2)判斷函數(shù)fx在?2,2上的單調(diào)性（不用證明），并求使f2t+1+f(3)設(shè)函數(shù)g(x)=x2?2mx+4(m∈R)，若對(duì)任意x【解題思路】（1）確定函數(shù)為奇函數(shù)，f0=0，f1（2）確定函數(shù)單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到?2≤2t+1≤2?2≤（3）只要g(x2)max【解答過程】（1）x∈?2,2，且fx+f將x=0代入fx+f?x=0可得f0即fx=ax2+bx4+解得a=0b=1，故ffx=x4+x（2）設(shè)?2≤x1<∵?2≤x1<x2≤2，故函數(shù)fx=x4+x所以f2t+1+ft根據(jù)單調(diào)性及定義域可得：?2≤2t+1≤2?2≤t2?1≤22t+1<1?（3）只要g(x2)max<f(法一：g(x)=x2?2mx+4<15y=x+195x在1,95當(dāng)x=1時(shí)，x+195x=245故當(dāng)x=1時(shí)，x+195xmax法二：g(x)=x2?2mx+4=當(dāng)m≤32時(shí)，g(x)max=g(2)<當(dāng)m>32時(shí)，g(x)max=g(1)<15綜上所述：m>12題型六題型六利用函數(shù)的性質(zhì)解決有解問題26．（2022秋·湖北荊州·高一校聯(lián)考期末）定義域?yàn)閇?2，2]的奇函數(shù)fx滿足，當(dāng)x∈(1)求fx(2)若x∈?2,0時(shí),fx≥【解題思路】（1）根據(jù)二次函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性可求解x∈0,2時(shí)的值域，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，即可求解[?2（2）將有解問題轉(zhuǎn)化成最值問題，即可求解.【解答過程】（1）fx為定義在[?2，2]當(dāng)x∈0，1時(shí)，fx=x2?x=x?1當(dāng)x∈(1,2],f(x)=x?1單調(diào)遞增，f2=2?1=1故x∈0,2時(shí).fx∈?141，由于f（x）為定義在綜上：f(x)∈?1,1（2）由（1）知：x∈?2,0時(shí)，f(x)∈?1,14，若x∈[?2,0)時(shí)，fx即t2≤9實(shí)數(shù)t的取值范圍是[?32，327．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)y=fx的表達(dá)式fx=x+(1)函數(shù)y=fx在區(qū)間2,+∞上是嚴(yán)格增函數(shù)，試用函數(shù)單調(diào)性的定義求實(shí)數(shù)(2)設(shè)m<0，若不等式fx≤kx在x∈1【解題思路】（1）利用函數(shù)單調(diào)性定義，我們?cè)O(shè)2≤x1<x2（2）利用分離變量法，將k分離出來，發(fā)現(xiàn)題設(shè)轉(zhuǎn)化為：存在x，x∈12,2，使得k≥mx2+【解答過程】（1）