高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)精講精練(新高考專(zhuān)用)第03講基本不等式(分層精練)(原卷版+解析)

第03講基本不等式(精練（分層練習(xí)）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·山西忻州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．122．（2023春·新疆省直轄縣級(jí)單位·高一?？奸_(kāi)學(xué)考試）若，，且，則的最大值為（

）A．5 B．6 C．8 D．93．（2023秋·甘肅天水·高二天水市第一中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)的最小值是（

）A．4 B．5 C．6 D．24．（2023春·湖南邵陽(yáng)·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)，，若，則的最小值為（

）A． B．4 C．9 D．5．（2023秋·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）若，且a≠b，則中的最大值是（

）A． B． C． D．6．（2023秋·云南·高二統(tǒng)考期末）已知，則取得最小值時(shí)，（

）A． B． C．3 D．7．（2023秋·河北承德·高一統(tǒng)考期末）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．6 B．5 C．12 D．108．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考一模）隨著新能源技術(shù)的發(fā)展，新能源汽車(chē)行業(yè)也迎來(lái)了巨大的商機(jī).某新能源汽車(chē)加工廠生產(chǎn)某款新能源汽車(chē)每年需要固定投入100萬(wàn)元，此外每生產(chǎn)x輛該汽車(chē)另需增加投資g（x）萬(wàn)元，當(dāng)該款汽車(chē)年產(chǎn)量低于400輛時(shí)，，當(dāng)年產(chǎn)量不低于400輛時(shí)，，該款汽車(chē)售價(jià)為每輛15萬(wàn)元，且生產(chǎn)的汽車(chē)均能售完，則該工廠生產(chǎn)并銷(xiāo)售這款新能源汽車(chē)的最高年利潤(rùn)為（

）A．1500萬(wàn)元 B．2100萬(wàn)元 C．2200萬(wàn)元 D．3800萬(wàn)元二、多選題9．（2023秋·湖南邵陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法中，正確的有（

）A．若，則B．若，則C．若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為2D．已知，且，則的最小值為10．（2023秋·云南曲靖·高三曲靖一中校考階段練習(xí)）十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)加雷科德在《礪智石》一書(shū)中先把“=”作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號(hào)，并逐步被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)，若，則下面結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則有最小值C．若，則D．若，則有最大值1三、填空題11．（2023秋·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）已知，，若，則的最小值為_(kāi)_____．12．（2023秋·河北唐山·高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)滿足，則的最小值為_(kāi)______．四、解答題13．（2023秋·山東臨沂·高一?？计谀┮阎?(1)求的最小值；(2)求的最小值；(3)求的最大值.14．（2023秋·河北承德·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求在上的最小值；(2)若，求的取值范圍，并求的最大值.15．（2023秋·湖南永州·高一統(tǒng)考期末）如圖為2022年卡塔爾足球世界杯吉祥物,其設(shè)計(jì)靈感來(lái)自于卡塔爾人的傳統(tǒng)服飾,寓意自信與快樂(lè),現(xiàn)有國(guó)內(nèi)一家工廠決定在國(guó)內(nèi)專(zhuān)項(xiàng)生產(chǎn)銷(xiāo)售此吉祥物,已知生產(chǎn)這種吉祥物的年固定成本為20萬(wàn)元,每生產(chǎn)千件需另投入資金萬(wàn)元,其中與之間的關(guān)系為:,且函數(shù)的圖象過(guò),,三點(diǎn),通過(guò)市場(chǎng)分析,當(dāng)每千件吉祥物定價(jià)為10萬(wàn)元時(shí),該廠年內(nèi)生產(chǎn)的此吉祥物能全部銷(xiāo)售完.(1)求a,b,c的值,并寫(xiě)出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式;(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該廠所獲年利潤(rùn)最大?并求出最大年利潤(rùn).B能力提升1．（2023秋·浙江寧波·高一統(tǒng)考期末）已知，，則（

）A．的最大值為且的最大值為B．的最大值為且的最小值為0C．的最小值為且的最大值為D．的最小值為且的最小值為02．（多選）（2023春·河北邢臺(tái)·高三邢臺(tái)市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最大值為 B．的最小值為8C．的最大值為 D．的最大值為3．（多選）（2023秋·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谀┰O(shè)，已知，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．有最小值 B．沒(méi)有最大值C．有最大值為 D．有最小值為4．（2023秋·天津南開(kāi)·高三南開(kāi)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，，，則的最小值為_(kāi)_________．C綜合素養(yǎng)1．（2023秋·上海寶山·高一上海市吳淞中學(xué)?？计谀┊?dāng)，時(shí)，則的最小值是__________．2．（2023·河南·高三信陽(yáng)高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，分別是方程和的根，若，實(shí)數(shù)a，，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．23．（2023春·湖北荊州·高三沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，且，的最小值為m，的最大值為n，則mn為_(kāi)__________，第03講基本不等式(精練（分層練習(xí)）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·山西忻州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．所以的最小值為.故選：D2．（2023春·新疆省直轄縣級(jí)單位·高一?？奸_(kāi)學(xué)考試）若，，且，則的最大值為（

）A．5 B．6 C．8 D．9【答案】D【詳解】因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為9.故選:D.3．（2023秋·甘肅天水·高二天水市第一中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)的最小值是（

）A．4 B．5 C．6 D．2【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以函數(shù)的最小值是.故選：C.4．（2023春·湖南邵陽(yáng)·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)，，若，則的最小值為（

）A． B．4 C．9 D．【答案】D【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：D5．（2023秋·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）若，且a≠b，則中的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，根?jù)基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?，所以；同理，綜上所述，上述四個(gè)式子中最大值為.故選：A6．（2023秋·云南·高二統(tǒng)考期末）已知，則取得最小值時(shí)，（

）A． B． C．3 D．【答案】C【詳解】∵，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：C.7．（2023秋·河北承德·高一統(tǒng)考期末）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．6 B．5 C．12 D．10【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，而，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：B8．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考一模）隨著新能源技術(shù)的發(fā)展，新能源汽車(chē)行業(yè)也迎來(lái)了巨大的商機(jī).某新能源汽車(chē)加工廠生產(chǎn)某款新能源汽車(chē)每年需要固定投入100萬(wàn)元，此外每生產(chǎn)x輛該汽車(chē)另需增加投資g（x）萬(wàn)元，當(dāng)該款汽車(chē)年產(chǎn)量低于400輛時(shí)，，當(dāng)年產(chǎn)量不低于400輛時(shí)，，該款汽車(chē)售價(jià)為每輛15萬(wàn)元，且生產(chǎn)的汽車(chē)均能售完，則該工廠生產(chǎn)并銷(xiāo)售這款新能源汽車(chē)的最高年利潤(rùn)為（

）A．1500萬(wàn)元 B．2100萬(wàn)元 C．2200萬(wàn)元 D．3800萬(wàn)元【答案】C【詳解】設(shè)該工廠生產(chǎn)并銷(xiāo)售這款新能源汽車(chē)的年利潤(rùn)為（萬(wàn)元），由題意可知，，即，當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱(chēng)軸，則；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值2200.綜上，該工廠生產(chǎn)并銷(xiāo)售這款新能源汽車(chē)的最高年利潤(rùn)為2200萬(wàn)元.故選：C.二、多選題9．（2023秋·湖南邵陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法中，正確的有（

）A．若，則B．若，則C．若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為2D．已知，且，則的最小值為【答案】ACD【詳解】對(duì)于A：，，左右兩邊同時(shí)乘以得，故A正確；對(duì)于B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，時(shí)等號(hào)成立，要使恒成立，則，即，故實(shí)數(shù)m的最大值為2，故C正確；對(duì)于D：，，時(shí)等號(hào)成立想，故的最小值為，故D正確.故選：ACD.10．（2023秋·云南曲靖·高三曲靖一中校考階段練習(xí)）十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)加雷科德在《礪智石》一書(shū)中先把“=”作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號(hào)，并逐步被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)，若，則下面結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則有最小值C．若，則D．若，則有最大值1【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，，則，即，A正確；對(duì)于B，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，B正確；對(duì)于C，，由得：，有，則，C不正確；對(duì)于D，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：ABD三、填空題11．（2023秋·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）已知，，若，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【詳解】由得，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，取得最小值為．故答案為：12．（2023秋·河北唐山·高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)滿足，則的最小值為_(kāi)______．【答案】9【詳解】對(duì)于正數(shù),有,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故由得，即，所以，故或（舍去）,故，即的最小值為9，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最小值，故答案為：9四、解答題13．（2023秋·山東臨沂·高一?？计谀┮阎?(1)求的最小值；(2)求的最小值；(3)求的最大值.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）（法一）.當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以.（法二）當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以.（2）因?yàn)?，所以，所以，?dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以.（3）由得，所以.當(dāng)即時(shí)取等號(hào).所以，.14．（2023秋·河北承德·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求在上的最小值；(2)若，求的取值范圍，并求的最大值.【答案】(1)8(2)的取值范圍為，的最大值為【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以在上的最小值為8.（2）因?yàn)?，所以，解得，所以，所?當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以的最大值為.綜上所述：的取值范圍為，的最大值為.15．（2023秋·湖南永州·高一統(tǒng)考期末）如圖為2022年卡塔爾足球世界杯吉祥物,其設(shè)計(jì)靈感來(lái)自于卡塔爾人的傳統(tǒng)服飾,寓意自信與快樂(lè),現(xiàn)有國(guó)內(nèi)一家工廠決定在國(guó)內(nèi)專(zhuān)項(xiàng)生產(chǎn)銷(xiāo)售此吉祥物,已知生產(chǎn)這種吉祥物的年固定成本為20萬(wàn)元,每生產(chǎn)千件需另投入資金萬(wàn)元,其中與之間的關(guān)系為:,且函數(shù)的圖象過(guò),,三點(diǎn),通過(guò)市場(chǎng)分析,當(dāng)每千件吉祥物定價(jià)為10萬(wàn)元時(shí),該廠年內(nèi)生產(chǎn)的此吉祥物能全部銷(xiāo)售完.(1)求a,b,c的值,并寫(xiě)出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式;(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該廠所獲年利潤(rùn)最大?并求出最大年利潤(rùn).【答案】(1);(2)產(chǎn)量為（千件）時(shí),利潤(rùn)最大為（萬(wàn)元）【詳解】（1）解:將,,三點(diǎn)代入中有:,解得,故,由題知;（2）由(1)知,當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)（千件）時(shí),（萬(wàn)元）,當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng),即（千件）時(shí)取等,所以（萬(wàn)元）,綜上:當(dāng)（千件）時(shí),（萬(wàn)元）所以當(dāng)年產(chǎn)量為24千件時(shí),該廠的年利潤(rùn)最大,最大年利潤(rùn)76萬(wàn)元.B能力提升1．（2023秋·浙江寧波·高一統(tǒng)考期末）已知，，則（

）A．的最大值為且的最大值為B．的最大值為且的最小值為0C．的最小值為且的最大值為D．的最小值為且的最小值為0【答案】C【詳解】利用，則，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，即的最小值為；利用，，即，整理得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故的最大值為.故選：C2．（多選）（2023春·河北邢臺(tái)·高三邢臺(tái)市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最大值為 B．的最小值為8C．的最大值為 D．的最大值為【答案】ABD【詳解】，且，對(duì)于A，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，A正確；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由得，令，則，其中銳角由確定，顯然，因此當(dāng)時(shí)，，D正確.故選：ABD3．（多選）（2023秋·江蘇南京·高一南京師大附中校考期末）設(shè)，已知，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．有最小值 B．沒(méi)有最大值C．有最大值為 D．有最小值為【答案】ABD【詳解】時(shí)正確，時(shí)，則錯(cuò)誤，D正確；故選：ABD.4．（2023秋·天津南開(kāi)·高三南開(kāi)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，，，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】12【詳解】由題意，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即的最小值為12，故答案為：12C綜合素養(yǎng)1．（2023秋·上海寶山·高一上海市吳淞中學(xué)?？计谀┊?dāng)，時(shí)，則的最小值是__________．【答案】【詳解】，且，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，且，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，