五年級奧數(shù)實踐與應(yīng)用二培訓(xùn)教材

五年級奧數(shù)實踐與應(yīng)用二培訓(xùn)教材

第一講盈虧問題……

第二講假設(shè)法解題…

第三講作圖法解題…

第四講火車行程問題

第五講雜題.......

第一講盈虧問題

【專題導(dǎo)引】

盈虧問題又叫盈不足問題，是指把一定數(shù)量的物品平均分給固定對象，如果按某種標(biāo)

準(zhǔn)分，則分配后會有剩余（盈）；按另一種標(biāo)準(zhǔn)分，分配后又會有不足（虧），求物品的數(shù)量

和分配對象的數(shù)量。例如：把一袋餅干分給小班的小朋友，每人分3塊，多12塊；如果每

人分4塊，少8塊。小朋友有多少人？餅干有多少塊？這種一盈一虧的情況，就是我們通常

說的標(biāo)準(zhǔn)的盈虧問題。

盈虧問題的基本數(shù)量關(guān)系是：（盈+虧）+兩次所分之差=人數(shù)；還有一些非標(biāo)準(zhǔn)的盈

虧問題，它們被分為四類：

1.兩盈：兩次分配都有多余；

2.兩不足：兩次分配都不夠；

3.盈適足：一次分配有余，一次剛好夠分；

4.不足適足：一次分配不夠，一次分配正好。

一些非標(biāo)準(zhǔn)的盈虧問題的數(shù)量關(guān)系是由標(biāo)準(zhǔn)的盈虧問題演變過來的。解題時我們可以記

?。?/p>

1.“兩虧”問題的數(shù)量關(guān)系是：兩次虧數(shù)的差個兩次分得的差=參與分配對象總數(shù)；

2.“兩盈”問題的數(shù)量關(guān)系是：兩次盈數(shù)的差個兩次分得的差=參與分配對象總數(shù)；

3.“一盈一虧”問題的數(shù)量關(guān)系是：盈與虧的和個兩次分得的差=參與分配對象總數(shù)。

【典型例題】

【例1】某校乒乓球隊有若干名學(xué)生。如果少一個女生，增加一個男生則男生為總數(shù)的一半;

如果少一個男生，增加一個女生，則男生為女生人數(shù)的一半，乒乓球隊共有多少個學(xué)生？

【試一試】

1.學(xué)校買來了白粉筆和彩色粉筆若干盒，如果白粉筆減少10盒。彩色粉筆增加8盒，兩種

粉筆就同樣多；如果再買10盒白粉筆，白粉筆的盒數(shù)就是彩色粉筆的5倍，學(xué)校買來兩種

粉筆各多少盒？

2.操場上有兩堆貨物，如果甲堆增加80噸，乙堆增加25噸，則兩堆貨物一樣重，若甲、乙

兩堆各運走5噸，剩下的乙堆正好是甲堆的3倍。求這兩堆貨物一共有多少噸？

【例2】幼兒園老師給小朋友分梨子，如果每人分4個，則多9個；如果每人分5個，則少

6個。問有多少個小朋友？有多少個梨子？

【試一試】

1.小明去買練習(xí)本，他付給營業(yè)員的錢買4本多1元，買6本又差2元。小明付給營業(yè)員多

少元？每本練習(xí)本多少元？

2.老師把一些鉛筆獎給三好學(xué)生。每人5支則多4支；每人7支則少4支。老師有多少支鉛

筆？獎給多少個三好學(xué)生？

【例3］小紅把自己的一些連環(huán)畫借給她的幾位同學(xué)。若每人借5本則差17本；若每人借3

本，則差3本。問小紅的同學(xué)有幾人？她一共有多少本連環(huán)畫？

【試一試】

1.六（1）班第一小隊的同學(xué)去栽樹，如果每人栽8棵則少27棵；如果每人栽6棵則少5

棵。六（1）班第一小隊有多少個同學(xué)？她們要栽多少棵樹？

2.學(xué)校將一批鉛筆獎給三好學(xué)生，每人9支缺15枝；每人7支缺7枝。問三好學(xué)生有多少

人？鉛筆有多少枝？

【例4】幼兒教師把一箱餅分給小班和中班的小朋友，平均每人分得6塊；如果只分給中班

的小朋友，平均每人可以多分得4塊。如果只分給小班的小朋友，平均每人分得多少塊？

【試一試】

1.老師把一批書借給甲組同學(xué)，平均每人借4本，如果只借給甲組的女同學(xué)，每人可借6

本。如果只借給甲組的男生，平均每人借到幾本？

2.甲、乙兩組同學(xué)做紅花，每人做8朵，正好送給五年級每個同學(xué)一朵。如果把這些紅花讓

甲組同學(xué)單獨做，每人要多做4朵。如果把這些紅花讓乙組同學(xué)單獨做，每人要做幾朵？

【*例5】全班同學(xué)去劃船，如果減少一條船，每條船正好坐9個同學(xué)；如果增加一條船,

每條船正好坐6個同學(xué)。這個班有多少個同學(xué)？

【*試一試】

1.老師把一籃蘋果分給小班的同學(xué)，如果減少一個同學(xué)，每個同學(xué)正好分得5個；如果增加

一個同學(xué)，正好每人分得4個。求這籃蘋果一共有多少個？

2.五年級同學(xué)去劃船，如果增加一只船，正好每只船上坐7人；如果減少一只船，正好每只

船上坐8人。求這個年級共有多少個同學(xué)？

課外作業(yè)

家長簽名：_________

1.老師把一袋糖分給小朋友。如果只分給小班，每人可得12塊，如果分給中班和小班，每

人只能分到4塊。如果這袋糖只分給中班，每人可分到幾塊？

2.老師將一批鉛筆將給三好學(xué)生，每人4支多10支；每人6支多2支。問：三好學(xué)生有多

少人？鉛筆有多少支？

3.幼兒園老師將一筐蘋果分給小朋友。如果分給大班的學(xué)生每人5個余10個；如果分給小

班的學(xué)生每人8個缺2個。已知大班比小班多3個學(xué)生，這筐蘋果有多少個？

4.五（1）班的優(yōu)秀學(xué)生中，若增加2個男生，減少1個女生，則男、女生人數(shù)同樣多，若

減少1個男生，增加1個女生，則男生是女生人數(shù)的一半。這些優(yōu)秀學(xué)生中男、女生各多少

人？

5.動物園飼養(yǎng)員把一堆桃子分給一群猴子。如果每只猴子分10個桃子，則有兩只猴子沒有

分到，如果每只猴子分8個桃子，正好分完。一共有多少只猴子？

6.某小學(xué)190個學(xué)生外出參觀，如果每輛車坐55人，就會余下30個座位；如果每輛車坐

50人呢？

*7.一個旅游團去旅館住宿，6人一間，多2個房間；若4人一間又少2個房間。旅游團共

有多少人？

第二講假設(shè)法解題

【專題導(dǎo)引】

假設(shè)法是解應(yīng)用題時常用的一種思維方法。在一些應(yīng)用題中，要求兩個或兩個以上的

未知量，思考時可以先假設(shè)要求的兩個或幾個未知數(shù)相等，或者先假設(shè)兩種要求的未知量是

同一種量，然后按題中的已知條件進行推算，并對照已知條件，把數(shù)量上出現(xiàn)的矛盾加以適

當(dāng)?shù)恼{(diào)整，最后找到答案。

【預(yù)備思考題11

1、把10只雞和8只兔關(guān)在一起，假設(shè)這18只動物全是雞，一共有有多少條腿？比實際少

了多少條腿？

【預(yù)備思考題2】雞和兔同籠，共有10個頭，32條腿，這個籠中有幾只雞？幾只兔?

【典型例題】

【例1】有5元的和10元的人民幣共14張，共100元。問5元幣和10元幣各多少張?

【試一試】

1、籠中共有雞兔100只，雞和兔的腳共248只。求籠中雞兔各有多少只？

2、一堆2分和5分的硬幣共39枚，共值1.5元。問2分和5分的各有多少枚?

【例2】有一元、二元、五元的人民幣50張，總面值為116元。已知一元的比二元的多2

張，問三種面值的人民幣各有幾張?

【試一試】

1、有3元、5元和7元的電影票400張，一共價值1920元。其中7元的和5元的張數(shù)相等,

三種價格的電影票各有多少張？

2、有一元、五元、十元的人民幣共14張，總計66元，其中一元的比十元的多2張，問三

種人民幣各有多少張？

【例3】有黑白棋子一堆，其中黑子個數(shù)是白子個數(shù)的2倍，如果從這堆棋子中每次同時取

出黑子4個，白子3個，那么取了多少次后，白子余1個，而黑子還剩18個？

【試一試】

1、有黑白棋子一堆，其中黑子個數(shù)是白子個數(shù)的3倍。如果從這堆棋子中每次同時取出黑

子6個，白子3個，那么取了多少次后，白子余5個，而黑子還剩36個？

2、有黑白棋子一堆，其中黑子個數(shù)是白子個數(shù)的2倍。如果從這堆棋子中每次同時取出黑

子3個，白子4個，那么取了多少次后，黑子余29個，而白子還剩2個？

【例4】用大、小兩種汽車運貨。每輛大汽車裝18箱，每輛小汽車裝12箱。現(xiàn)有18車貨,

價值3024元。若每箱便宜2元，則這批貨價值2520元，問大、小汽車各多少輛？

【試一試】

1、一輛卡車運礦石，晴天每天可運20次，雨天每天可運12次，它一共運了112次，平均

每天運14次。這幾天中有幾天是雨天？

2、有雞蛋18篁，每只大管容180個，每只小夢容120個，這批蛋共值302.4元。若將每個

雞蛋便宜2分出售，這些蛋可賣252元。問大夢、小夢各有幾個雞蛋？

【*例5】甲、乙二人飛鏢比賽，規(guī)定每中一次記10分，脫靶一次倒扣60分。兩人各投10

次，共得152分。其中甲比乙多得16分，問兩人各中多少次？

【*試一試】

1、百貨公司委托搬運站運送500只玻璃瓶，雙方商定每只運費0.24元，如打破一只，不但

不給運費，而且還要賠償L26元，結(jié)果，搬運站共得搬運費用H5.50元。搬運中打破了幾

只？

2、某次數(shù)學(xué)競賽共有20條題目，每答對一題得5分，錯1題不僅不得分，而且要倒扣2

分，這次競賽小明得了86分，問他答對了幾條題？

課外作業(yè)

家長簽名：__________

1、車場里有14輛三輪車，10輛四輪小車，假設(shè)這24輛車全是四輪小車，則一共有多少個

輪子？比實際少了多少個輪子？

2、雞和兔同籠，共有12個頭，42條腿，這個籠中有幾只雞？幾只兔?

3、營業(yè)員把一張5元人民幣和一張5角的人民幣換成了28張票面為一元和一角的人民幣,

求換來這兩種人民幣各多少張？

4、有1角、2角、4角、5角的郵票共26張，總計6.9元。其中，1角和2角的張數(shù)相等,

4角和5角的張數(shù)相等，求這四種郵票各有多少張？

5、操場上有一群同學(xué)。男生人數(shù)是女生的4倍，每次同時有2名男生和1名女生回教室，

若干次后，男生剩下8人，女生剩下1人。操場上共有多少名同學(xué)？

6、運來一批西瓜，準(zhǔn)備分兩類賣，大的每千克0.4元，小的每千克0.3元，這樣賣這批西

瓜共值290元。如果每千克西瓜降價0.05元，這批西瓜只能賣250元，問有多少千克大西

瓜？

*7、甲組工人生產(chǎn)一種零件，每天生產(chǎn)250個。按規(guī)定每個合格記4分，生產(chǎn)一只不合格

要倒扣15分。該組工人4天共得了3753分。問生產(chǎn)合格的零件多少只？

第三講作圖法解題

【專題導(dǎo)引】

用作圖的方法把應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系表示出來，使題意形象具體，一目了然，以便較快

地找到解題的途徑，它對解答條件隱蔽、復(fù)雜疑難的應(yīng)用題，能起化難為易的作用。

在解答已知一個數(shù)或者幾個數(shù)的和差、倍差及相互之間的關(guān)系、求其中一個數(shù)或者幾

倍數(shù)問題等應(yīng)用題時，我們可以抓住題中給出的數(shù)量關(guān)系，借助線段圖進行分析，從而列出

算式。

【典型例題】

【例1】五（1）班的男生人數(shù)和女生人數(shù)同樣多。抽去18名男生和26名女生參加合唱隊

后，剩下的男生人數(shù)是女生的3倍。五（1）班原有男、女生多少人？

【試一試】

1、兩根電線一樣長，第一根剪去50厘米，第二根剪去180厘米后，剩下部分，第一根是第

二根長度的3倍。這兩根電線原來共長多少厘米？

2、甲、乙兩筐水果個數(shù)一樣多，從第一筐中取出31個，第二筐中取出19個后，第二筐剩

下的個數(shù)是第一筐的4倍。原來兩筐水果各有多少個？

【例2】兩根電線共長59米，如果第一根電線剪去3米后，第一根電線的長度就是第二根

的3倍，求原來兩根電線各多少米？

【試一試】

1、甲、乙兩筐蘋果共重83千克，如果從甲筐取出3千克后，甲筐蘋果的重量就是乙筐的4

倍，甲、乙兩筐蘋果原來各重多少千克？

2、學(xué)校圖書館共有科技書和故事書250本，又買來50本科技書后，科技書的本數(shù)是故事書

的2倍，學(xué)校圖書館原來各有科技書和故事書多少本？

【例3】甲、乙、丙、丁四個小組的同學(xué)共植樹45棵，如果甲組多植2棵，乙組少植2棵,

丙組植的棵數(shù)擴大2倍，丁組植樹棵數(shù)減少一半，那么四個組植的棵數(shù)正好相同。原來四個

小組各植樹多少棵？

【試一試】

1、甲、乙、丙、丁四個數(shù)的和是100,甲數(shù)加上4、乙數(shù)減去4、丙數(shù)乘以4、丁數(shù)除以4

后，四個數(shù)就正好相等。求這四個數(shù)。

2、甲、乙、丙三人分113個蘋果，如果把甲分得個數(shù)減去5、乙分得的個數(shù)減去24、丙把

分得的個數(shù)送給別人一半后，三人的蘋果個數(shù)就相同。三人原來各分得蘋果多少個？

【例4】五（1）班全體同學(xué)做數(shù)學(xué)競賽題。第一次及格人數(shù)是不及格人數(shù)的3倍多4人。

第二次及格人數(shù)增加5人，使及格的人數(shù)是不及格人數(shù)的6倍。五（1）班有多少人？

【試一試】

1、有兩筐水果，甲筐水果的個數(shù)是乙筐的3倍，如果從乙筐中拿5個放進甲筐，這時甲筐

的水果恰好是乙筐的5倍。原來兩筐各有多少個水果？

2、某車間有兩個小組，A組的人數(shù)比B組人數(shù)的2倍多2人。如果從B組中抽10人去A組,

則A組的人數(shù)是B組的4倍。原來兩組各有多少人？

【*例5】用繩子測井深，把繩三折來量，井外余16分米；把繩四折來量，井外余4分米,

求井深和繩長。

【*試一試】

1、用一根繩子量大樹的周長，把繩子2折后正好繞大樹2圈；若把繩子3折后，繞大樹一

圈還余30厘米。求大樹的周長和這根繩長。

2、有一根繩子和一根竹竿，把繩子對折后比竹竿長2米；把繩子4折后比竹竿短2米。竹

竿長幾米？繩子長幾米？

課外作業(yè)

家長簽名：__________

1、養(yǎng)雞專業(yè)戶養(yǎng)的公雞比母雞多249只，養(yǎng)的公雞是母雞的4倍，求公雞、母雞各養(yǎng)多少

只？

2、兄弟倆的年齡和是35歲，哥哥比弟弟大5歲，問哥哥和弟弟各多少歲？

3、哥哥現(xiàn)存的錢是弟弟的5倍，如果哥哥再存20元，弟弟再存100元，二人的存款正好相

等。哥哥原來存有多少錢？

4、參加奧賽集訓(xùn)的男生和女生共有21名，如果女生減少5名，男生人數(shù)就是女生的3倍數(shù),

參加奧賽集訓(xùn)的男、女生各多少名？

5、甲、乙、丙、丁一共做370個零件，如果把甲做的個數(shù)加10,乙做的個數(shù)減20,丙做的

個數(shù)乘以2,丁做的個數(shù)除以2,四人做的零件正好相等，求乙實際做了多少個？

6、五（1）班上學(xué)期體育達標(biāo)的人數(shù)比未達標(biāo)人數(shù)的5倍多2人，今年又有2位同學(xué)達標(biāo),

這樣，達標(biāo)的人數(shù)正好是未達標(biāo)人數(shù)的7倍。這個班共有多少個同學(xué)？

*7、用一個杯子向一個空瓶里倒水，如果倒進3杯水，連瓶共重440克；如果倒進7杯,

連瓶共重600克。一杯水重多少克？空瓶重多少克？

第四講火車行程問題

【專題導(dǎo)引】

有關(guān)火車過橋、火車過遂道、兩列火車車頭相遇到車尾相離等問題，也是一種行程問

題。在考慮速度、時間和路程三種數(shù)量關(guān)系時，必須考慮到火車本身的長度。如果有些問題

不容易一下子看出運動過程中的數(shù)量關(guān)系，可以利用作圖或演示的方法來幫助解題。

解答火車行程問題可記住以下幾點：

1、火車過橋（或隧道）所用的時間［橋（隧道長）+火車身長］+火車的速度。

2、兩列火車相向而行，從相遇到相離所用的時間=兩火車車身長度和小兩車速度和。

3、兩車同向而行，快車從追上到超過慢車所用的時間=兩車車身長度和+兩車速度差。

【預(yù)備思考題11一列火車車長180米，每秒行20米，這列火車通過320米長的大橋，需

要多少時間？

【預(yù)備思考題2]一列火車通過一座長456米的橋需要80秒，用同樣的速度通過一條399

米的隧道要77秒。求這列火車的速度。

【典型例題】

【例1】甲火車長210米，每秒行18米，乙火車長140米，每秒行13米。乙火車在前，兩

火車在雙軌車道上行駛。求甲火車從后面追上到完全超過乙火車要用多少秒？

【試一試】

1、一列快車長150米，每秒行22米，一列慢車長100米，每秒行14米。快車從后面追上

慢車到超過慢車，共需多少秒鐘？

2、小明以每秒2米的速度沿鐵路旁的人行道跑步，身后開來一列長188米的火車，火車每

秒行18米，問：火車追上小明到完全超過小明共用了多少秒鐘？

[例2]一列火車長180米，每秒鐘行25米。全車通過一條120米的山洞，需要多少時間？

【試一試】

1、一列火車長360米，每秒行18米。全車通過一座長90米的大橋，從車頭上橋到車尾離

開共用3.1分鐘，這列火車長多少米？

2、一座大橋長2100米。一列火車以每分鐘800米的速度通過這座大橋，從車上橋到車尾離

開共用3、1分鐘，這列火車長多少米？

【例3】有兩列火車，一車長130米，每秒行23米，另一車長250米，每秒行15米，現(xiàn)在

兩車相向而行，問從相遇到離開需要幾秒鐘？

【試一試】

1、有兩列火車，一車長360米，每秒行18米，另一車長216米，每秒行30米，現(xiàn)在兩車

相向而行，問從相遇到離開一共需要幾秒鐘？

2、有兩列火車，一列長220米，每秒行22米，另一列長200米迎面開來，兩車從相遇到離

開共用了10秒鐘，求另一列火車的速度？

[例4]一列火車通過2400米的大橋需要3分鐘，用同樣的速度從路邊的一根電線桿旁邊

通過，只用了1分鐘。求這列火車的速度。

【試一試】

1、一列火車從小明身旁通過用了15秒，用同樣的速度通過一座長100米的橋用了20秒。

這列火車的速度是多少？

2、一列火車長900米，從路邊的一棵大樹旁通過用了L5分鐘，以同樣的速度通過一座大

橋用了3.5分鐘。求這座大橋的長度。

【*例5】甲列車每秒行20米，乙列車每秒行14米，若兩列車齊頭并進，則甲車行40秒

超過乙車，若兩列車齊尾并進，則甲車行30秒超過乙，求甲列車和乙列車各長多少米？

【*試一試】

1、一列快車長200米，每22米，一列慢車長160米，每秒行17米，兩列車齊頭并進，快

車超過慢車要多少秒？若齊尾并進，快車超過慢車要多少秒？

2、快車每秒行18米，慢車每秒行10米。兩列火車同時同方向齊頭并進，行10秒鐘后快車

超過慢車；如果兩列火車齊尾并進，則7秒鐘后快車超過慢車。求兩列火車的車長。

課外作業(yè)

家長簽名：__________

1、一列火車車長400米，以每分800米的速度通過一條長2800米長的隧道,需要多少時間？

2、一列火車經(jīng)過一根有信號燈的電線桿用了9秒，通過一座468米長的鐵橋用了35秒，這

列車長多少米？

3、A火車長180米，每秒行18米，B火車每秒行15米，兩火車同方向行駛，A火車從追上

B火車到超過它共用了100秒鐘，求B火車長多少米？

4、五年級384個同學(xué)排成兩路縱隊郊游，每兩個同學(xué)相隔0.5米，隊伍以每分鐘61米的速

度通過一座長207米的大橋，一共需要多少時間？

5、有兩列火車，一車長320米，每秒行18米，另一列火車以每秒22米的速度迎面開來,

兩車從相遇到離開共用了15秒，求另一列火車的車長。

6、一列火車通過200米的大橋需要80秒，同樣的速度通過144米長的隧道需要72秒。求

火車的速度和車長。

7、王叔叔沿鐵路邊散步，他每分鐘走50米，迎面駛來一列長280米的列車，他與列車車頭

相遇到車尾相離共用了半分鐘，求這列火車的速度。

第五講雜題

【專題導(dǎo)引】

本周的題目與前面有所區(qū)別，種類繁多，題型各異，綜合性較強，所用的知識較雜，

有的題目需要涉及一些解題技巧。因此，解答以下的題目時需要多動腦筋，展開聯(lián)想，靈活

運用各種知識和方法。

【典型例題】

【例1】甲、乙兩人進行3000米長跑，甲離終點還有500米時，乙距終點還有600米，照

這樣跑下去，當(dāng)甲到終點時，乙距終點還有多少米?

【試一試】

1、在1000米賽跑中，當(dāng)甲離終點100米時，乙離終點190米。照這樣計算當(dāng)甲到達終點時,

乙離終點還有多少米？

2、甲、乙、丙三人進行100米賽跑，當(dāng)甲到達終點時，乙離終點還有10米，丙落后乙10

米。照這樣的速度，當(dāng)乙到達終點時，丙離終點還有多少米？

【例2】豹子和獅子進行100米往返比賽。豹子一步3米，獅子一步2米，但豹子跑兩步的

時間獅子跑3步。誰獲勝?

【試一試】

1、甲、乙、丙三人進行60米賽跑，當(dāng)甲到達終點時，比乙領(lǐng)先10米，比丙領(lǐng)先20米，如

果按原速前進，當(dāng)乙到達終點時，將比丙領(lǐng)先幾米？

2、甲走2步的距離乙要走5步，甲走3步的時間乙可以走8步，他們誰走得快?

【例3】有一口9米深的井，蝸牛和烏龜同時從井底向上爬。因為井壁滑，蝸牛白天向上爬

2米，晚上向下滑1米；烏龜白天向上爬3米，晚上向下滑1米。當(dāng)烏龜爬