廣東省深圳市南實(shí)集團(tuán)南海中學(xué)2024-2025學(xué)年上學(xué)期九年級開學(xué)考數(shù)學(xué)試卷

南實(shí)集團(tuán)南海中學(xué)2024-2025學(xué)年第一學(xué)期九年級開學(xué)考數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（每題3分，共24分）1．下列圖形是我國國產(chǎn)品牌汽車的標(biāo)識，在這些汽車標(biāo)識中，是中心對稱圖形的是A． B． C． D．2．下列從左邊到右邊的變形中，是因式分解的是A． B． C． D．3．一元二次方程的根的情況是A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C．有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根4．某體育中心準(zhǔn)備改擴(kuò)建一塊運(yùn)動(dòng)場地，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)參與施工，相關(guān)信息如下：工程隊(duì)每天施工面積（單位：施工總面積（單位：施工時(shí)間（單位：天）甲1800兩個(gè)工程隊(duì)同時(shí)完成工作任務(wù)乙1200根據(jù)以上信息求的值，則下列方程正確的是A． B． C． D．5．如圖，的對角線，交于點(diǎn)，已知，，△的周長為14，則的長為A．3 B．4 C．5 D．66．如圖，在中，，為中線，為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，，則的長為A．2 B．4 C．3 D．2.57．如圖所示，在正方形中，是對角線、的交點(diǎn)，過作，分別交、于、，若，，則的長為A．3 B．4 C．5 D．68．已知三個(gè)實(shí)數(shù)，，滿足，，則A．， B．，C．， D．，二．填空題（每題3分，共15分）9．某生物興趣小組要在溫箱里同時(shí)培養(yǎng)，兩種菌苗，已知種菌苗生長的適宜溫度的范圍是，種菌苗生長的適宜溫度的范圍是，那么溫箱里的溫度應(yīng)該設(shè)定的范圍是．10．已知，是一元二次方程的兩個(gè)根，則－．11．已知一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則正多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為．12．如圖，，平分，于，交于．若，則，．13．如圖，矩形中，，，點(diǎn)是矩形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)是內(nèi)一個(gè)點(diǎn)，則的最小值為．三．解答題（共61分）14．（6分）解不等式組：，并寫出它的正整數(shù)解．15．（10分）計(jì)算：（1）先化簡，再求值：，其中．（2）解方程．．16．（6分）如圖，在由邊長為1個(gè)單位的小正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．（1）將先向下平移2個(gè)單位，再向右平移3個(gè)單位，得到△，請畫出△（其中，，的對應(yīng)點(diǎn)分別為，，；（2）再將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，請畫出線段；（3）在網(wǎng)格內(nèi)描出兩個(gè)格點(diǎn)，，請畫出直線，使得直線垂直平分線段．17．（8分）如圖，在平行四邊形中，、分別平分、，交分別于點(diǎn)、．已知平行四邊形的周長為48．（1）求證：；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，若，求的面積．18．（9分）中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化源遠(yuǎn)流長，是中華文明的智慧結(jié)晶．《孫子算經(jīng)》《周髀算經(jīng)》是我國古代較為普及的算書，許多問題淺顯有趣．某書店的《孫子算經(jīng)》單價(jià)是《周髀算經(jīng)》單價(jià)的，用720元購買《孫子算經(jīng)》比購買《周髀算經(jīng)》多買6本．（1）求兩種圖書的單價(jià)分別為多少元；（2）為籌備“國際數(shù)學(xué)節(jié)3月14日”活動(dòng)，某校計(jì)劃到該書店購買這兩種圖書共160本，且購買的《周髀算經(jīng)》數(shù)量不少于《孫子算經(jīng)》數(shù)量的一半．由于購買量大，書店打折優(yōu)惠，兩種圖書均按九折出售，求兩種圖書分別購買多少本時(shí)費(fèi)用最少．19．（10分）根據(jù)下列素材，探索完成任務(wù)．如何利用閑置紙板箱制作儲物盒素材1如圖1，圖中是小琴家需要設(shè)置儲物盒的區(qū)域，該區(qū)域可以近似看成一個(gè)長方體，底面尺寸如圖2所示．素材2如圖是利用閑置紙板箱拆解出的①，②兩種均為長方形紙板．長方形紙板①長方形紙板②小琴分別將長方形紙板①和②以不同的方式制作儲物盒．長方形紙板①的制作方式長方形紙板②制作方式裁去角上4個(gè)相同的小正方形，折成一個(gè)無蓋長方體儲物盒．將紙片四個(gè)角裁去4個(gè)相同的小長方形，折成一個(gè)有蓋的長方體儲物盒．目標(biāo)1熟悉材料熟悉按照長方形紙板①的制作方式制成的儲物盒能夠無縫隙的放入儲物區(qū)域，且恰好沒有延伸到過道，則長方形紙板寬的為．目標(biāo)2利用目標(biāo)1計(jì)算所得的數(shù)據(jù)，進(jìn)行進(jìn)一步探究．初步應(yīng)用按照長方形紙板①的制作方式，為了更方便地放入或取出儲物盒，盒子四周需要留出一定的空間，當(dāng)儲物盒的底面積是，求儲物盒的容積．儲物收納按照長方形紙板②的制作方式制作儲物盒，若和兩邊恰好重合且無重疊部分，盒子的底面積為．如圖，是家里一個(gè)玩具機(jī)械狗的實(shí)物圖和尺寸大小，請通過計(jì)算判斷玩具機(jī)械狗能否完全放入該儲物盒．

20．（12分）閱讀下面的例題及點(diǎn)撥，并解決問題：如圖①，在等邊中，是邊上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)，，是的外角的平分線上一點(diǎn)，且．求證：．（1）點(diǎn)撥：如圖②，作，與的延長線相交于點(diǎn)，得等邊，連接．易證：，請完成剩余證明過程；（2）拓展：如圖③，在正方形中，是邊上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)，，是正方形的外角的平分線上一點(diǎn)，且，求證：．（3）思維遷移：結(jié)合上面的思維探究，你對（1）中證明、（2）中證明是否有不同的思路，選（1）、（2）中的一個(gè)結(jié)論加以證明．

參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．下列圖形是我國國產(chǎn)品牌汽車的標(biāo)識，在這些汽車標(biāo)識中，是中心對稱圖形的是A． B． C． D．【解答】解：由題意知，、選項(xiàng)中的圖形是軸對稱圖形，選項(xiàng)中的圖形既不是軸對稱也不是中心對稱圖形，選項(xiàng)是中心對稱圖形，故選：．2．下列從左邊到右邊的變形中，是因式分解的是A． B． C． D．【解答】解：、不是因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；、不是因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；、不是因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；、是因式分解，故本選項(xiàng)符合題意；故選：．3．一元二次方程的根的情況是A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C．有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根【解答】解：△，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：．4．某體育中心準(zhǔn)備改擴(kuò)建一塊運(yùn)動(dòng)場地，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)參與施工，相關(guān)信息如下：工程隊(duì)每天施工面積（單位：施工總面積（單位：施工時(shí)間（單位：天）甲1800兩個(gè)工程隊(duì)同時(shí)完成工作任務(wù)乙1200根據(jù)以上信息求的值，則下列方程正確的是A． B． C． D．【解答】解：依題意得，，故選：．5．如圖，的對角線，交于點(diǎn)，已知，，△的周長為14，則的長為A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：的對角線，交于點(diǎn)，，，，，，又△的周長為14，，，故選：．6．如圖，在中，，為中線，為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，，則的長為A．2 B．4 C．3 D．2.5【解答】解：為中線，，，在中，，，為的中點(diǎn)，，，為的中點(diǎn)，，故選：．7．如圖所示，在正方形中，是對角線、的交點(diǎn)，過作，分別交、于、，若，，則的長為A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：四邊形是正方形，，，，又，，，△△，，又，，△中，．故選：．8．已知三個(gè)實(shí)數(shù)，，滿足，，則A．， B．， C．， D．，【解答】解：，，，，，，，．故選：．二．填空題（共5小題）9．某生物興趣小組要在溫箱里同時(shí)培養(yǎng)，兩種菌苗，已知種菌苗生長的適宜溫度的范圍是，種菌苗生長的適宜溫度的范圍是，那么溫箱里的溫度應(yīng)該設(shè)定的范圍是．【解答】解：種菌苗生長的適宜溫度的范圍是，種菌苗生長的適宜溫度的范圍是，溫箱里的溫度應(yīng)該設(shè)定的范圍為：．故答案為：．10．已知，是一元二次方程的兩個(gè)根，則－1．【解答】解：，是一元二次方程的兩個(gè)根，，．∴－2-1=1．故答案為：1．11．已知一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則正多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為120．【解答】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為，則，解得：，則，即正多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，故答案為：120．12．如圖，，平分，于，交于．若，則10，．【解答】解：平分，，，，，，，，過作于點(diǎn)，，平分，，，在△中，，，故答案為：10，5．13．如圖，矩形中，，，點(diǎn)是矩形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)是內(nèi)一個(gè)點(diǎn)，則的最小值為．【解答】解：如圖，作交于點(diǎn)，由題意得：，，點(diǎn)在與平行，且距離為2的直線上運(yùn)動(dòng)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△，連接，則是等邊三角形，，，當(dāng)、、、共線，且時(shí)，最小，其值為的長，設(shè)交于點(diǎn)，，，，，最小值為，故答案為：．三．解答題（共8小題）14．解不等式組：，并寫出它的正整數(shù)解．【解答】解：解不等式得，．解不等式得，，所以不等式組的解集為：．正整數(shù)解為：1，2，3．15．計(jì)算：（1）先化簡，再求值：，其中．（2）解方程：．【解答】解：（1）原式；當(dāng)時(shí)，原式．（2），去分母，得：，去括號，得：，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的增根，故原方程無解．16．如圖，在由邊長為1個(gè)單位的小正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．（1）將先向下平移2個(gè)單位，再向右平移3個(gè)單位，得到△，請畫出△（其中，，的對應(yīng)點(diǎn)分別為，，；（2）再將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，請畫出線段；（3）在網(wǎng)格內(nèi)描出兩個(gè)格點(diǎn)，，請畫出直線，使得直線垂直平分線段．【解答】解：（1）如圖，△即為所求；（2）如圖，線段即為所求；（3）如圖，直線即為所求．17．如圖，在平行四邊形中，、分別平分、，交分別于點(diǎn)、．已知平行四邊形的周長為48．（1）求證：；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，若，求的面積．【解答】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，、分別平分、，，，，又，，；（2）解：如圖，過點(diǎn)作于，平分，，，，平行四邊形的周長為48，，．18．中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化源遠(yuǎn)流長，是中華文明的智慧結(jié)晶．《孫子算經(jīng)》《周髀算經(jīng)》是我國古代較為普及的算書，許多問題淺顯有趣．某書店的《孫子算經(jīng)》單價(jià)是《周髀算經(jīng)》單價(jià)的，用720元購買《孫子算經(jīng)》比購買《周髀算經(jīng)》多買6本．（1）求兩種圖書的單價(jià)分別為多少元；（2）為籌備“國際數(shù)學(xué)節(jié)3月14日”活動(dòng)，某校計(jì)劃到該書店購買這兩種圖書共160本，且購買的《周髀算經(jīng)》數(shù)量不少于《孫子算經(jīng)》數(shù)量的一半．由于購買量大，書店打折優(yōu)惠，兩種圖書均按九折出售，求兩種圖書分別購買多少本時(shí)費(fèi)用最少．【解答】解：（1）設(shè)《周髀算經(jīng)》的單價(jià)是元，則《孫子算經(jīng)》的單價(jià)是元，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解，且符合題意，．答：《孫子算經(jīng)》的單價(jià)是30元，《周髀算經(jīng)》的單價(jià)是40元；（2）設(shè)購買本《孫子算經(jīng)》，則購買本《周髀算經(jīng)》，根據(jù)題意得：，解得：．設(shè)購買這兩種圖書共花費(fèi)元，則，，，隨的增大而減小，又，且為正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)．答：當(dāng)購買106本《孫子算經(jīng)》、54本《周髀算經(jīng)》時(shí)，總費(fèi)用最少．19．如何利用閑置紙板箱制作儲物盒素材1如圖1，圖中是小琴家需要設(shè)置儲物盒的區(qū)域，該區(qū)域可以近似看成一個(gè)長方體，底面尺寸如圖2所示．素材2如圖是利用閑置紙板箱拆解出的①，②兩種均為長方形紙板．長方形紙板①長方形紙板②小琴分別將長方形紙板①和②以不同的方式制作儲物盒．長方形紙板①的制作方式長方形紙板②制作方式裁去角上4個(gè)相同的小正方形，折成一個(gè)無蓋長方體儲物盒．將紙片四個(gè)角裁去4個(gè)相同的小長方形，折成一個(gè)有蓋的長方體儲物盒．目標(biāo)1熟悉材料熟悉按照長方形紙板①的制作方式制成的儲物盒能夠無縫隙的放入儲物區(qū)域，且恰好沒有延伸到過道，則長方形紙板寬的為40．目標(biāo)2利用目標(biāo)1計(jì)算所得的數(shù)據(jù)，進(jìn)行進(jìn)一步探究．初步應(yīng)用按照長方形紙板①的制作方式，為了更方便地放入或取出儲物盒，盒子四周需要留出一定的空間，當(dāng)儲物盒的底面積是，求儲物盒的容積．儲物收納按照長方形紙板②的制作方式制作儲物盒，若和兩邊恰好重合且無重疊部分，盒子的底面積為．如圖，是家里一個(gè)玩具機(jī)械狗的實(shí)物圖和尺寸大小，請通過計(jì)算判斷玩具機(jī)械狗能否完全放入該儲物盒．【解答】（1）解：儲物區(qū)域的長為，由于收納盒可以完全放入儲物區(qū)域，則圖1中的四角裁去小正方形的邊長為，則收納盒的寬小正方形的邊長，由圖2知，設(shè)小正方形的邊長為，由題意可得：，解得：，體積為，答：儲物盒的容積為6552立方厘米；（2）設(shè)小長方形的寬為，，長為，由題意可得：，解得：小長方形的寬為當(dāng)，之間兩邊恰好重合且無重疊部分，收納盒的高為，玩具機(jī)械狗也不能完全放入該儲物；綜上所述：玩具機(jī)械狗不能完全放入該儲物．答：玩具機(jī)械狗不能完全放入該儲物．20．閱讀下面的例題及點(diǎn)撥，并解決問題：如圖①，在等邊中，是邊上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)，，是的外角的平分線上一點(diǎn)，且．求證：．（1）點(diǎn)撥：如圖②，作，與的延長線相交于點(diǎn)，得等邊，連接．易證：，請完成剩余證