高二數(shù)學開學摸底考試卷01（考試范圍人教A版2019）

20242025學年高二數(shù)學開學摸底考試卷01（考試時間：120分鐘；滿分：150分）注意事項：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上；2.回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效；3.回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效；4.測試范圍：必修第一冊+必修第二冊全冊；5.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．（5分）（2324高二下·湖南長沙·開學考試）已知集合A=1,2,3,4，A∪B=1,2,3,4,5，A∩B=1,2，則B=A．1,2,3 B．1,2,4C．1,2,5 D．2,3,5【解題思路】由于A∩B?B，得1,2∈B，同時A∪B=1,2,3,4,5，且5?A，得出5∈B，即可求解B【解答過程】由已知：集合A=1,2,3,4，A∪B=1,2,3,4,5，且且5?A，可得：1,2,5∈B，且3,4?B，所以B=1,2,5故選：C.2．（5分）（2324高二下·遼寧本溪·開學考試）若復數(shù)z滿足z3+2z=i，則復數(shù)zA．?35 B．?35i 【解題思路】利用復數(shù)的四則運算，求出復數(shù)z，得復數(shù)的虛部.【解答過程】由z3+2z=i，則z=3i+2故選：C.3．（5分）（2324高二下·安徽六安·開學考試）設a>0，b>0，則“a+b2≥6”是“ab≥6A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)基本不等式以及必要不充分條件的定義求解.【解答過程】∵a>0，b>0，∴a+b2≥ab若ab≥6時，a+b2≥即“a+b2≥6”是“而a+b2≥6無法推出所以“a+b2≥6”是“故選：B.4．（5分）（2324高二下·四川雅安·開學考試）某學校開展關于“飲食民俗”的選修課程，課程內容分為日常食俗，節(jié)日食俗，祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗6個模塊，甲、乙兩名學生準備從中各選擇2個模塊學習，則甲、乙選修的模塊中至少有1個模塊相同的概率為（

）A．13 B．23 C．35【解題思路】記6個模塊分別為A,B,C,D,E,F，求出總的基本事件數(shù)，然后求出甲、乙選擇都不同的基本事件數(shù)，利用間接法求概率.【解答過程】記6個模塊分別為A,B,C,D,E,F，則甲從中選擇2個共有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF共15種不同的選擇，而甲每種的選擇中乙與甲都不同有6種，所以甲、乙各選2個共有15×15種不同選擇，而甲、乙選擇都不同有15×6種不同選擇，所以甲、乙選修的模塊中至少有1個相同的概率P=1?15×6故選：C.5．（5分）（2324高二下·湖南長沙·開學考試）設函數(shù)fx=2sinA．fx的最小正周期為B．fx的圖象關于直線x=C．fx在π2D．fx的圖象關于點2【解題思路】根據(jù)正弦型函數(shù)的周期性、對稱性、值域逐項判斷即可得結論.【解答過程】對于A,fx的最小正周期為對于B，∵sin2×π12?對于C，當x∈π2∴fx在π2,對于D，∵f2π3故選：D.6．（5分）（2324高一下·天津·開學考試）已知△ABC三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列說法正確的有（

）①若△ABC是銳角三角形，則sin②若acosA=bcos③若bcosC+ccos④若△ABC是等邊三角形，則aA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解題思路】利用誘導公式及正弦函數(shù)的性質可判斷①，由正弦定理化邊為角結合正弦的二倍角公式可判斷②，由正弦定理化邊為角，逆用兩角和的正弦公式可判斷③，利用等邊三角形性質可判斷④.【解答過程】對于①，因為△ABC是銳角三角形，所以A+B>π20<A<又y=sinx在0,π2上單調遞增，所以對于②，因為acosA=bcos即sin2A=sin2B，又A,B∈所以2A=2B或2A+2B=π，所以A=B或A+B=所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故②錯誤；對于③，因為bcosC+ccos即sinB+C=sinB，所以因為A,B∈0,π，所以A=B或A+B=π對于④，由△ABC是等邊三角形，所以A=B=C=π3，所以acos故選：C.7．（5分）（2324高一下·浙江溫州·開學考試）已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若?a,b∈[0,+∞)，且a≠b，都有af(a)?bf(b)a?b<0成立，則不等式A．(?∞,?1)∪(2,+∞C．(?1,2) D．(?【解題思路】利用構造函數(shù)法，根據(jù)函數(shù)的單調性、奇偶性來對不等式進行求解，從而確定正確答案.【解答過程】設gx=xfx，由于函數(shù)f(x)所以g?x=?xf?x由于?a,b∈[0,+∞)，且a≠b，都有所以gx在0,+∞上單調遞減，則gx由tft2?①當t>0時，有t2ft即gt2<g所以t2>t+2,t②當t<0時，有t2ft即gt2>g即t+2<?t2t<0不等式組t+2<?t不等式組t+2>t2t<0綜上所述，t的取值范圍是(?1,0)∪(2,+∞故選：B.8．（5分）（2324高一下·天津南開·開學考試）如圖所示，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，線段

①AC⊥BE；②三棱錐A?BEF的體積為定值；③△AEF的面積與△BEF的面積相等；④二面角A?EF?A1的正切值為A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解題思路】要判斷AC⊥BE，轉化為判斷AC⊥平面BB1D1D，即可判斷①，根據(jù)題意公式，判斷底面積和高是否為定值，判斷②，直接判斷點A【解答過程】①如圖，連結AC,BD，交于點O，因為AC⊥BD，BB1⊥AC?平面ABCD，所以BB1⊥AC，BD∩BB1所以AC⊥平面BB1D1D，BE?

②由以上證明可知，點A到平面BB1D1D的距離為AO=22，△BEF③如圖，A1C1∩B1D1=M，連結AB1

S△AEF=12④二面角A?EF?A1，即為二面角由A1M⊥B1D1，tan∠AM故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。9．（5分）（2324高二下·湖南長沙·開學考試）在某市高三年級舉行的一次模擬考試中，某學科共有20000人參加考試．為了了解本次考試學生成績情況，從中抽取了部分學生的成績（成績均為正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本進行統(tǒng)計，樣本容量為n，按照50，60，60，A．圖中x=0.016B．樣本容量n=1000C．估計該市全體學生成績的平均分為71.6分D．該市要對成績前25%【解題思路】根據(jù)頻率之和等于1，即可判斷A；根據(jù)頻率，頻數(shù)和樣本容量之間的關系即可判斷B；根據(jù)頻率分布直方圖平均數(shù)的求解方法即可判斷C；根據(jù)題意算出25%【解答過程】對于A，因為x+0.030+0.040+0.010+0.004×10=1，解得x=0.016對于B，因為成績落在區(qū)間50,60內的人數(shù)為16，所以樣本容量n=16÷(0.016×10)=100，故B不正確；對于C，學生成績平均分為0.016×10×55+0.030×10×65+0.040×10×75+0.010×10×85+0.004×10×95=70.6，故C不正確；對于D，設授予“優(yōu)秀學生”稱號的學生考試成績大約至少為y，由于90,100的頻率為0.004×10=0.04，80,90的頻率為0.010×10=0.10，70,80的頻率為0.040×10=0.40，則0.04+0.10=0.14<0.25,0.04+0.10+0.40=0.54>0.25，所以y∈[70,則10×0.004+0.010+80?y所以大約成績至少為77.25的學生能得到此稱號，故D正確．故選：AD．10．（5分）（2324高一下·黑龍江大慶·開學考試）已知關于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為xx<?2或A．a(chǎn)>0 B．關于x的不等式bx+c>0的解集是{xC．a(chǎn)+b+c>0 D．關于x的不等式cx2?bx+a<0的解集為【解題思路】根據(jù)一元二次不等式的解集可確定a>0，可判斷A；用一元二次方程根與系數(shù)的關系，用a表示b，c，代入不等式，從而判斷BCD.【解答過程】由關于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為x知?2和3是方程ax2+bx+c=0根據(jù)根與系數(shù)的關系知：?b所以b=?a,c=?6a,a>0，選項B：不等式bx+c>0化簡為x+6<0，解得：x<?6，即不等式bx+c>0的解集是{x選項C：由于a>0，故a+b+c=a?a?6a=?6a<0，故C不正確；選項D：不等式cx2?bx+a<0解得：x∈xx<?1故選：ABD.11．（5分）（2324高二上·黑龍江大慶·開學考試）設函數(shù)fx的定義域為R，fx+1為奇函數(shù)，fx+2為偶函數(shù)，當x∈1,2時，fx=axA．fx的一個周期為4 B．x=6C．x∈1,2時，fx=2【解題思路】由f(x+1)為奇函數(shù)，f(x+2)為偶函數(shù)，可求得f(x)的周期為4，即可判斷函數(shù)fx的對稱性，由f(x+1)為奇函數(shù)，可得f1=0，結合f0+f3=6，可求得a，b的值，從而得到【解答過程】對于A，∵f(x+1)為奇函數(shù)，∴f1=0，且f(x+1)=?f(?x+1)，函數(shù)fx關于點∵f(x+2)偶函數(shù)，∴f(x+2)=f(?x+2)，函數(shù)fx關于直線x=2∴f[(x+1)+1]=?f[?(x+1)+1]=?f(?x)，即f(x+2)=?f(?x)，∴f(?x+2)=f(x+2)=?f(?x)，令t=?x，則f(t+2)=?f(t)，∴f(t+4)=?f(t+2)=f(t)，∴f(x+4)=f(x)，故fx對于B，則直線x=6是函數(shù)fx對于C、D，∵當x∈1,2時，f(x)=a∴f(0)=f(?1+1)=?f(2)=?4a?b，f(3)=f(1+2)=f(?1+2)=f(1)=a+b=a+b，又f(0)+f(3)=6，∴?3a=6，解得a=?2，∵f(1)=a+b=0，∴b=?a=2，當x∈1,2時，f(x)=?2x2+2∴f2025故選：ABD.12．（5分）（2324高三下·山東·開學考試）在四棱錐S?ABCD中，ABCD是矩形，AD⊥SD,∠SDC=120°,SD=CD=2BC=2,P為棱SB上一點，則下列結論正確的是（

）A．點C到平面SAD的距離為3B．若SP=PB，則過點A,D,P的平面α截此四棱錐所得截面的面積為3C．四棱錐S?ABCD外接球的表面積為17D．直線AP與平面SCD所成角的正切值的最大值為3【解題思路】對于A，首先證明AD⊥面SDC，由此即可進一步通過解三角形驗算；對于B，準確畫出截面，得截面四邊形APQD是以AD為下底、PQ為上底，DQ為高的直角梯形，由此即可驗算；對于C，得出r=2，其中r為△SCD外接圓半徑，結合R=r2+CD2【解答過程】如圖，對于A，因為AD⊥SD,AD⊥DC，又SD∩DC=D,SD,DC?面SDC，所以AD⊥面SDC，所以點A到平面SDC的距離為AD=BC=1，又因為∠SDC=120°,SD=CD=2，所以點C到平面SAD的距離為32對于B，因為SP=PB，所以點P為棱SB的中點，取SC中點為Q，連接PQ,DQ，可得平面APQD即平面α截此四棱錐所得截面，且由于Q是SC的中點，點P為棱SB的中點，所以在△SBC中，PQ是△SBC的中位線，則PQ=12BC=又因為四邊形ABCD是矩形，則BC//AD，所以PQ/AD，因為AD⊥面SDC，AD?面SDC，QC?面SDC，所以四邊形APQD是以AD為下底、PQ為上底，DQ為高的直角梯形，因為SD=CD=2，在等腰三角形SCD中，QD⊥BC，且QD平分∠ADC，則QD=CD?cos則平面α截此四棱錐所得截面的面積為12對于C，又因為∠SDC=120°,SD=CD=2，所以SC=2cos所以2r=SCsin∠SDC=233因為AD⊥面SDC，所以四棱錐S?ABCD外接球的半徑為R=r所以四棱錐S?ABCD外接球的表面積為17π對于D，因為AD⊥面SDC，所以當點P與點S重合時，直線AP與平面SCD所成角的正切值的最大值13故選：ACD.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）（2324高一下·四川成都·開學考試）若2?i?z=3i，則z的共軛復數(shù)為【解題思路】化簡復數(shù)z，可得z的共軛復數(shù)．【解答過程】依題意，z=3i所以z的共軛復數(shù)為?35故答案為：?3514．（5分）（2324高二下·河南信陽·開學考試）已知sinα?π3+3cosα=【解題思路】由兩角和差的正弦公式及輔助角、二倍角公式進行化簡求值即可.【解答過程】因為sinα?π所以sin故答案為：?715．（5分）（2324高二下·河北·開學考試）已知函數(shù)fx=2x2x+2，若【解題思路】由解析式推出fx【解答過程】因為fx=2所以fx由S=f0則S=f2所以2S=4049×1，則S=4049故答案為：4049216．（5分）（2324高三下·上?！ら_學考試）海邊近似平直的海岸線上有兩處碼頭A、B，且AB=3.23km.現(xiàn)有一觀光艇由B出發(fā)，同時在A處有一小艇出發(fā)向觀光艇補充物資，經(jīng)測量其速度為觀光艇的2.13倍，在M處成功攔截觀光艇，完成補給.若兩船都做勻速直線運動，觀光艇行駛向海洋的方向任意的情況下，小艇總可以設定合適的出發(fā)角度，使得行駛距離最小，則攔截點M距離海岸線的最遠距離為1.95m【解題思路】根據(jù)給定條件，利用余弦定理求出cos∠ABM【解答過程】設BM=x，則AM=2.13BM=2.13x，從而1.13x<3.23<3.13x，即323313設∠ABM=θ，則cosθ=計算得xsin所以攔截點M距離海岸線的最遠距離為1.95m故答案為：1.95m四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。17．（10分）（2324高一下·河北衡水·開學考試）已知集合A={x∣2a?1<x<a+1},B=x∣?1≤x≤2(1)若a=?1，求A∪B；(2)若“x∈B”是“x∈A”成立的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.【解題思路】（1）根據(jù)集合的并集運算直接得結果；（2）根據(jù)必要條件可得集合A,B的關系，對集合A分類討論即可得結論.【解答過程】（1）因為當a=?1時，A={x∣?3<x<0},B=x∣?1≤x≤2所以A∪B=x|?3<x≤2（2）因為“x∈B”是“x∈A”成立的必要條件，所以A?B，當A=?時，2a?1≥a+1，a≥2，滿足A?B；當A≠?時，a<2，因為A?B，所以a<2?1≤2a?12≥a+1,綜上，實數(shù)a的取值范圍為0≤a≤1或a≥2.18．（12分）（2324高一下·廣東湛江·開學考試）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acos(1)求C；(2)若b=3,c=13，求△ABC【解題思路】（1）由余弦定理得到acosB+bcos（2）由（1）及b=3,c=13，利用余弦定理，列出方程求得a【解答過程】（1）解：由余弦定理得a2因為acosB+bcos又由正弦定理得sinA即sinCsinC=3cosC（2）解：由（1）知C=π3，由余弦定理知將b=3,c=13，代入化簡得a2?3a?4=0，解出a=4所以△ABC的面積S=119．（12分）（2324高一上·山東青島·期末）已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2(1)求f(x)的解析式；(2)當x∈[0,m](m>0)時，f(x)的最小值為?12，求【解題思路】（1）根據(jù)題設中周期求得ω，再由零點條件可求φ，即得函數(shù)解析式；（2）由x的范圍求出整體角πx?π6的范圍?π6【解答過程】（1）由題知T=2πω又因為f16=sinπ6+φ=0又?π2<φ<所以f(x)=sin（2）因為f(x)=sinπx?π6因為y=sint在?π可知須使πm?π6所以m的取值范圍是0,420．（12分）（2024高三·全國·專題練習）某工廠對生產(chǎn)的一批零件的尺寸進行測量，共計測量20000個，測量所得數(shù)據(jù)如下頻率分布直方圖所示：(1)求圖中a的值以及尺寸在70,80內的零件數(shù)量；(2)求這批零件尺寸的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代替，結果精確到0.1）；(3)現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從尺寸在40,50和70,80內的零件中隨機抽取6個，再從這6個零件中任取2個，求至少有1個零件的尺寸在40,50內的概率．【解題思路】（1）由頻率分布直方圖的性質，列出方程求得a=0.020，進而求得尺寸在70,80內的零件數(shù)量；（2）根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)和中位數(shù)的計算公式，即可求解；（3）根據(jù)題意，得到尺寸在40,50內的有2個，記為A,B，尺寸在70,80內的有4個，利用列舉法求得基本事件的總數(shù)和所求事件所包含的基本事件的個數(shù)，結合古典摡型的概率計算公式，即可求解.【解答過程】（1）解：由頻率分布直方圖的性質，可得：0.005+0.010+0.015+0.030+a+0.015+0.005×10=1，解得a=0.020所以尺寸在70,80內的零件數(shù)量為20000×0.020=4000．（2）解：由題意得，這批產(chǎn)品尺寸的平均數(shù)為：x=35×0.05+45×0.1+55×0.15+65×0.3+75×0.2+85×0.15+95×0.05=66.5由頻率分布直方圖，可得前三個小矩形的面積和為(0.005+0.010+0.015)×10=0.3，前四個小矩形的面積之和為(0.005+0.010+0.015+0.0.030所以數(shù)據(jù)的中位數(shù)為60+0.5?0.3（3）解：由題意得，尺寸在40,50內的有2個，記為A,B，尺寸在70,80內的有4個，記為C,D,E,F，任選2個，所有的情況為A,B,A,C,其中滿足條件的為A,B,根據(jù)古典摡型的概率計算公式