備考2025年高考數(shù)學一輪復習第八章考點測試41

考點測試41隨機事件的概率與古典概型高考概覽高考在本考點的?？碱}型為選擇題、填空題，分值為5分，中等難度考點研讀1.了解有限樣本空間的含義2．了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義及頻率與概率的區(qū)別3．了解兩個互斥事件的概率加法公式4．理解古典概型及其概率計算公式5．會計算一些隨機事件所包含的樣本點數(shù)及事件發(fā)生的概率一、基礎小題1．從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋內(nèi)任取兩個球，現(xiàn)有如下說法：①至少有一個黑球與都是黑球是互斥事件；②至少有一個黑球與至少有一個紅球不是互斥事件；③恰好有一個黑球與恰好有兩個黑球是互斥事件；④至少有一個黑球與都是紅球是對立事件．其中正確說法的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析至少有一個黑球與都是黑球能同時發(fā)生，故①中的兩個事件不是互斥事件，故①錯誤；至少有一個黑球與至少有一個紅球能同時發(fā)生，故②中的兩個事件不是互斥事件，故②正確；恰好有一個黑球與恰好有兩個黑球不能同時發(fā)生，故③中的兩個事件互斥，故③正確；至少有一個黑球與都是紅球是對立事件，故④正確．故選C.2．某市場一攤位的買菜員發(fā)現(xiàn)顧客來此攤位買菜后選擇只用現(xiàn)金支付的概率為0.2，選擇既用現(xiàn)金支付又用非現(xiàn)金支付的概率為0.1，且買菜后無賒賬行為，則選擇只用非現(xiàn)金支付的概率為()A．0.5 B．0.6C．0.7 D．0.8答案C解析設事件A為只用現(xiàn)金支付，事件B為只用非現(xiàn)金支付，事件C為既用現(xiàn)金支付又用非現(xiàn)金支付，事件D為買菜后支付，則P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，因為P(A)＝0.2，P(C)＝0.1，所以P(B)＝0.7.故選C.3．一部3卷文集隨機地排在書架上，卷號自左向右或自右向左恰為1，2，3的概率是()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)答案B解析3卷文集隨機排列，共有Aeq\o\al(3,3)＝6種結(jié)果，其中卷號自左向右或自右向左恰為1，2，3的只有2種，所以卷號自左向右或自右向左恰為1，2，3的概率是eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).故選B.4．從正整數(shù)1，2，…，10中任意取出兩個不同的數(shù)，則取出的兩個數(shù)的和等于某個正整數(shù)的平方的概率為()A．eq\f(1,9) B．eq\f(2,15)C．eq\f(7,45) D．eq\f(8,45)答案C解析從1，2，…，10中任意取出兩個不同的數(shù)，共有Ceq\o\al(2,10)＝45種情況，其中(1，3)，(1，8)，(2，7)，(3，6)，(4，5)，(6，10)，(7，9)滿足取出的兩個數(shù)的和等于某個正整數(shù)的平方，故所求概率為eq\f(7,45).故選C.5．將一枚質(zhì)地均勻的骰子投擲兩次，得到的點數(shù)依次記為a，b，則方程ax2＋bx＋1＝0有實數(shù)解的概率是()A.eq\f(7,36) B.eq\f(1,2)C.eq\f(19,36) D.eq\f(5,18)答案C解析投擲骰子兩次，所得的點數(shù)a和b滿足的關系為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1≤a≤6，a∈N*，,1≤b≤6，b∈N*.))所以a和b的組合有36種，若方程ax2＋bx＋1＝0有實數(shù)解，則Δ＝b2－4a≥0，所以b2≥4a.當b＝1時，沒有a符合條件；當b＝2時，a可取1；當b＝3時，a可取1，2；當b＝4時，a可取1，2，3，4；當b＝5時，a可取1，2，3，4，5，6；當b＝6時，a可取1，2，3，4，5，6.滿足條件的組合有19種，則方程ax2＋bx＋1＝0有實數(shù)解的概率P＝eq\f(19,36).故選C.6．某校4名同學參加數(shù)學和物理兩項競賽，每項競賽至少有1名同學參加，且每名同學限報其中一項，則兩項競賽參加人數(shù)不相等的概率為()A．eq\f(3,8) B．eq\f(3,7)C．eq\f(5,8) D．eq\f(4,7)答案D解析記“兩項競賽參加人數(shù)不相等”為事件A，則P(A)＝1－eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2),24－2)＝eq\f(4,7).故選D.7．(多選)某展會安排了分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車，等可能的隨機順序前往酒店接嘉賓．某嘉賓突發(fā)奇想，設計了兩種乘車方案．方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車．記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為P1，P2，則()A．P1·P2＝eq\f(1,6) B．P1＝P2＝eq\f(1,2)C．P1＋P2＝eq\f(5,6) D．P1＞P2答案ACD解析三輛車的出車順序可能為123，132，213，231，312，321，共6種．方案一坐到“3號”車的出車順序可能為132，213，231，共3種，所以P1＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)；方案二坐到“3號”車的出車順序可能為312，321，共2種，所以P2＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).所以P1＞P2，P1·P2＝eq\f(1,6)，P1＋P2＝eq\f(5,6).故選ACD.8．四個不同的小球隨機放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，則恰有兩個空盒的概率為________．答案eq\f(21,64)解析四個不同的小球隨機放入編號為1，2，3，4的四個盒子中共有44種放法，若恰有兩個空盒，則四個不同的小球可分成1個和3個或2個和2個，共有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,4)＋eq\f(Ceq\o\al(2,4),Aeq\o\al(2,2))·Aeq\o\al(2,4)＝84種放法，故恰有兩個空盒的概率為eq\f(84,44)＝eq\f(21,64).二、高考小題9．(2023·全國甲卷)某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)答案D解析記高一年級2名學生分別為a1，a2，高二年級2名學生分別為b1，b2，則從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演的情況有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，共6種，其中這2名學生來自不同年級的情況有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，共4種，所以這2名學生來自不同年級的概率P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).故選D.10．(2023·全國乙卷)某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題的概率為()A．eq\f(5,6) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)答案A解析甲有6種選擇，乙也有6種選擇，故共有6×6＝36種，若甲、乙抽到的主題不同，則共有Aeq\o\al(2,6)＝30種，則其概率為eq\f(30,36)＝eq\f(5,6).故選A.11．(2022·新高考Ⅰ卷)從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)答案D解析所有取法一共有Ceq\o\al(2,7)＝21種，不互質(zhì)的有(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共7種．故這2個數(shù)互質(zhì)的概率為eq\f(21－7,21)＝eq\f(2,3).12．(2021·全國甲卷)將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,5)C．eq\f(2,3) D．eq\f(4,5)答案C解析將4個1和2個0安排在6個位置，選擇2個位置安排0，共有Ceq\o\al(2,6)種排法；將4個1排成一行，把2個0插空，即在5個位置中選2個位置安排0，共有Ceq\o\al(2,5)種排法．所以2個0不相鄰的概率P＝eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(2,6))＝eq\f(2,3).故選C.13．(2020·新高考Ⅰ卷)某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學生喜歡足球或游泳，60%的學生喜歡足球，82%的學生喜歡游泳，則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數(shù)占該校學生總數(shù)的比例是()A．62% B．56%C．46% D．42%答案C解析記“該中學學生喜歡足球”為事件A，“該中學學生喜歡游泳”為事件B，則“該中學學生喜歡足球或游泳”為事件A∪B，“該中學學生既喜歡足球又喜歡游泳”為事件AB，則P(A)＝0.6，P(B)＝0.82，P(A∪B)＝0.96，所以P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝0.6＋0.82－0.96＝0.46，所以該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數(shù)占該校學生總數(shù)的比例為46%.故選C.14．(2020·全國Ⅰ卷)設O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點，則取到的3點共線的概率為()A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(1,2) D．eq\f(4,5)答案A解析如圖，從O，A，B，C，D5個點中任取3點的取法分別為{O，A，B}，{O，A，C}，{O，A，D}，{O，B，C}，{O，B，D}，{O，C，D}，{A，B，C}，{A，B，D}，{A，C，D}，{B，C，D}，共10種不同取法，3點共線的有{O，A，C}與{O，B，D}，共2種情況．由古典概型的概率計算公式知，取到的3點共線的概率為eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).故選A.15．(2022·全國甲卷)從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為________．答案eq\f(6,35)解析從正方體的8個頂點中任取4個，有n＝Ceq\o\al(4,8)＝70種取法，這4個點在同一個平面的有m＝6＋6＝12種取法，故所求概率P＝eq\f(m,n)＝eq\f(12,70)＝eq\f(6,35).三、模擬小題16．(2024·河北邢臺四校質(zhì)檢聯(lián)盟高三第一次月考)將甲、乙、丙、丁四名志愿者隨機分配到A，B，C，D四個社區(qū)做環(huán)保宣傳，每個志愿者只能去其中一個社區(qū)且每個社區(qū)只能安排一名志愿者，則甲不被分到A社區(qū)的概率是()A．eq\f(7,8) B．eq\f(3,5)C．eq\f(3,4) D．eq\f(2,3)答案C解析甲、乙、丙、丁四名志愿者隨機分配到A，B，C，D四個社區(qū)，共有Aeq\o\al(4,4)種情況，其中甲不被分到A社區(qū)，則從乙、丙、丁中選擇一個分到A社區(qū)，剩余3人分配到3個社區(qū)，故共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)種情況，故甲不被分到A社區(qū)的概率是eq\f(Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3),Aeq\o\al(4,4))＝eq\f(3,4).故選C.17．(2023·廣東韶關綜合測試)若隨機事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝3a－4，則實數(shù)a的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(3,2))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(4,3)))答案A解析由題意，知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<P（A）<1，,0<P（B）<1，,P（A）＋P（B）≤1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<2－a<1，,0<3a－4<1，,2a－2≤1，))解得eq\f(4,3)<a≤eq\f(3,2)，所以實數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(3,2))).故選A.18．(2024·河南高三上學期起點考試)新高考按照“3＋1＋2”的模式設置，其中“3”為語文、數(shù)學、外語3門必考科目，“1”由考生在物理、歷史2門科目中選考1門科目，“2”由考生在化學、生物、政治、地理4門科目中選考2門科目，若學生甲、乙隨機選擇自己的選考科目，則甲、乙選考的3門科目均不相同的概率為()A．eq\f(1,12) B．eq\f(1,10)C．eq\f(1,8) D．eq\f(1,6)答案A解析由題意，甲、乙隨機選擇自己的選考科目的情況有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝144種，甲、乙選考的3門科目均不相同的情況有Aeq\o\al(2,2)·eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2),Aeq\o\al(2,2))·Aeq\o\al(2,2)＝12種，所以所求的概率為P＝eq\f(12,144)＝eq\f(1,12).故選A.19．(2024·四川樂山金口河區(qū)延風中學高三月考)現(xiàn)將0～9十個數(shù)字填入下方的金字塔中，要求每個數(shù)字都使用一次，第一行的數(shù)字中最大的數(shù)字為a，第二行的數(shù)字中最大的數(shù)字為b，第三行的數(shù)字中最大的數(shù)字為c，第四行的數(shù)字中最大的數(shù)字為d，則滿足a<b<c<d的填法的概率為()A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(2,15) D.eq\f(2,5)答案C解析第四行：d＝9，可選位置有4個，其余位置任取3個數(shù)字，共有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,9)種情況；第三行：取剩下6個數(shù)字中最大的數(shù)字為c，可選位置有3個，其余位置任取2個數(shù)字，共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,5)種情況；第二行：取剩