2025年高考數(shù)學(xué)大題復(fù)習(xí)：用空間向量解決立體幾何問題的六種題型（原卷）

第08講用空間向量解決立體幾何問題的六種題型

考法呈現(xiàn)

弘考法一：用空間向量證明平行或垂直

一例題分析

【例7】

如圖所示，已知矩形力BCD和矩形力DEF所在的平面互相垂直，點M,N分別在對角線BD,4E上，且BM=^BD,

AN=^AE.求證：MN1AD.

E

D

M

BC

【例1-2】

在三棱臺力iBiCi-力BC中,ZBXC=90°,ArA1平面ABC,ArA=聒AB=AC=2A1C1=2,。為BC的中

點.證明：平面力，平面BCC/i.

滿分秘籍

用向量法證明異面直線垂直，可以用基向量法，也可以用空間直角坐標(biāo)系。通過方向向

量（或法向量）之間的關(guān)系證明垂直或平行。

9變式訓(xùn)練

【變式1-1］如圖，在直三棱柱ABC—4ZC1中，點E,尸分別為線段48,4M的中點，=AC=BC,AACB=

90°.證明：EFl平面BiCE.

【變式1-2］如圖，已知六面體4BCDPE的面ABCD為梯形，AB//CD,AB1AD,AB=2,CD=力。=4,

棱PA1平面ABC。，PA//BE,PA=4,BE=2,F為PD的中點.

(1)求證：4F〃平面PBC；

(2)求直線8E與平面PCD所成角的大小.

【變式1-3］如圖，在長方體力BCD—中，40=441=1,=3,點￡在棱力B上移動.

AEB

(1)證明：DXELAXD-,

(2)當(dāng)版=1卷時，求小E與平面力CD1所成角的正弦值.

【變式1-4】如圖所示，在正方體力BCD-&B1C1D1中，。為AC與8D的交點，G為。的的中點，求證：401

平面G8D.

弘考法二：用空間向量解決異面直線成角問題

懸，例題分析

【例2】已知三棱臺力iB]Ci-ABC,A141面ABC,4A1B1=AB=AC=4,cos/B4C=—3。是線段AM

中點，且BD1DC.

(1)證明：BD1FjC；

(2)請選擇合適的基底向量，求直線BiC與所成角的余弦值.

滿分秘籍

1.圖示:

2.計算公式:

UV

cos8=|qos〈〃，v)\=\u\\v\~\u\\v\

3.易錯點：向量的夾角并不一定是異面直線的成角。

變式訓(xùn)練

【變式2-1】已知正方體ABCD—&B1C1D1，點E為4中點，直線%的交平面CDE于點F.

⑴證明：點尸為8修1的中點；

⑵若點M為棱A/上一點，且直線MF與平面CDE所成角的正弦值為誓，求普的值.

Z54I%

【變式2-2］如圖，平行六面體4BCD—&B1C1D1的所有棱長都相等，平面CDAQ1平面48CD,ADLDC,

二面角。1一4。一。的大小為120°,E為棱3%的中點.

⑵點尸在棱CG上，AE〃平面尸，求直線/￡與。F所成角的余弦值.

【變式2-3】如圖，在三棱臺ABC—&B1C1中，BA1BC,平面力i/BA，平面4BC,二面角Bi—BC-4

的大小為45°,4B=2,BC=&Bi=44i=1.

⑴求證：A4「平面ABC；

(2)求異面直線B4與所成角的余弦值.

【變式2-4］如圖，在三棱錐P-力BC中，P41底面ABC,NB4C=90。.點D、E、N分別為棱P4、PC、BC

的中點，M是線段4D的中點，PA=AC=4,AB=2.

(1)求證：MN//平面8DE；

(2)已知點H在棱P力上，且直線NH與直線8E所成角的余弦值為宏，求線段的長.

【變式2-5】如圖，在四棱錐P—A8CD中，平面PHD_L平面4BCD,PA=PD,AD=2CD=2BC=2,CD_LBC,

BC||AD,E,歹分別為NO,尸C的中點.

(1)證明：PE1CD；

⑵若BF與CD所成的角為60°,求平面BEF和平面ABE夾角的余弦值.

弘考法三：用空間向量解決線面夾角問題

，思，例題分析

【例3】已知三棱柱力BC-&B1C1中，48=4。=2,公力=&8=&。=2,/_84。=90。,￡1是8。的中點，F(xiàn)

是線段4的上?點.

⑴求證：AB1EF-,

⑵設(shè)P是棱力&上的動點（不包括邊界），當(dāng)APBC的面積最小時，求直線PCi與平面4418/所成角的正弦

值.

滿分秘籍

1.圖示:

【敏變式訓(xùn)練

【變式3-1］如圖，在四棱錐S-4BCD中，底面/BCD為正方形，側(cè)面雙。為等邊三角形,48=2,SC=2a.

(1)證明：平面S4DJ?平面4BCD；

(2)側(cè)棱SC上是否存在一點P(尸不在端點處)，使得直線BP與平面"C所成角的正弦值等于亨？若存在,

求出點尸的位置；若不存在，請說明理由.

【變式3-2］如圖，P為圓錐的頂點，A,B為底面圓。上兩點，乙4。8=m，E為P8中點，點尸在線段A8上,

S.AF=2FB.

(1)證明：平面A0P1平面。EF；

(2)若。P=AB,求直線4P與平面OEF所成角的正弦值.

【變式3-3］如圖，在四棱錐P—A8CD中，底面A8CD是邊長為2的菱形，力CnBD=0,且P。1平面ABCD,

P0=2,F,G分別是P8,PD的中點，E是P4上一點，且AP=3AE.

⑴求證：平面￡TG；

(2)若NZMB=求直線P2與平面EFG所成角的余弦值.

【變式3-4]在圓柱002中，等腰梯形ZBCD為底面圓。1的內(nèi)接四邊形，且4D=DC=BC=1,矩形力BFE

是該圓柱的軸截面，CG為圓柱的一條母線，CG=1.

(1)求證：平面。jCG〃平面力DE；

(2)設(shè)加=4朝，AG[0,1],試確定4的值，使得直線4P與平面4BG所成角的正弦值為甯.

【變式3-5】如圖，在直角梯形/BCD中，ADUBC,AD1CD,四邊形CDEF為平行四邊形，對角線CE和DF

相交于點"，平面CDEF_L平面ABC。，BC=2AD,NDCF=60。，G是線段BE上一動點(不含端點).

FE

(1)當(dāng)點G為線段的中點時，證明：4G〃平面CDEF；

(2)若AD=1,CD=DE=2,且直線DG與平面CDEF成45。角，求二面角E-DG-尸的正弦值.

弘考法四：用空間向量解決面面夾角問題

，逐例題分析

【例4】如圖，在三棱柱A8C—41B41中，側(cè)面B/CiC為菱形，NCBBi=60°,AB=BC=2,4C=ABX=V2.

⑵求平面4CC遇i與平面A/1C1夾角的余弦值.

滿分秘籍

1圖示:

B

2計算公式:

_\nrn2\

~Mn2\

3易錯點：兩個平面成角范圍是［0,習(xí)，二面角的范圍［0,冗］。

變式訓(xùn)練

【變式4-1］如圖，在四棱錐A—中，側(cè)面ADE1底面BCDE,底面BCDE為菱形，A.BCD=120°,AE1

AD,^ADE=30°.

(1)若四棱錐力-BCDE的體積為1,求DE的長;

(2)求平面4BE與平面力CD所成二面角的正弦值.

【變式4-2】如圖所示，在四棱錐E—4BCD中，底面力BCD為直角梯形，AB〃CD,4B="￡>,CD1CE,/.ADC=

NEDC=45°,AD=V2,BE=V3.

B

￡

(1)求證：平面ABE_L平面力BCD；

(2)求平面/WE與平面BCE所成二面角的余弦值.

【變式4-3】如圖所示，在幾何體P4BCD中，4D1平面PAB,點C在平面P4B的投影在線段PB上(BC<PC),

BP=6,AB^AP=2V3,DC=2,CD〃平面P48.

D

B7

(1)證明：平面PCD_1平面PAD.

(2)若二面角B-CD-P的余弦值為一'求線段AD的長.

【變式4-4】在三棱臺ABC—DEF中，G為AC中點，AC=2DF,AB1BC,BC1CF.

B

(1)求證：BC1平面DEG；

(2)若4B=BC=2,CFLAB,平面EFG與平面力CFD所成二面角大小為全求三棱錐E-DFG的體積.

【變式4-5】如圖，在長方體4BCD-48也1。1中，AB=AD=1,441=2,點E在線段￡)歷上.

⑴求。至UBCi的距離；

(2)當(dāng)E是。歷的中點時，求直線力C與平面BCiE所成角的大??；

(3)若平面441%。與平面BCiE所成角的余弦值為右求線段0E的長.

弘考法五：用空間向量解決點到平面的距離問題

標(biāo)例題分析

【例5］如圖，PD1平面ABCD,AD1CD,AB//CD,PQ//CD,AD=CD=DP=2PQ=2AB=2,點￡,

F,M分別為NP,CD,2。的中點.

(1)求證：EF〃平面CP"；

⑵求平面QPM與平面CPM夾角的大小；

(3)若N為線段。。上的點，且直線DN與平面。尸M所成的角為也求N到平面CPM的距離.

滿分秘籍

1圖示：

2計算公式:

PQ=\j\AP\2-\AQ\2=宓一("")2("

是直線/的單位方向向量)

1變式訓(xùn)練

【變式5-1】已知在四棱錐P—48CD中，底面4BCD為正方形，側(cè)棱PA1平面ABCD,點M為PD中點，PA=

AD=1.

(1)求證：直線PB//平面AMC；

(2)求點P到平面MAC的距離.

【變式5-2】如圖，在四棱柱A8CZM向中，側(cè)棱/〃_L平面48。，AB//DC,ABLAD,AD=CD=2,

AA]=AB=4,E為棱44/的中點.

(1)證明：BCrCiE.

⑵設(shè)而,而(0。＜1),若C/到平面班/M的距離為等，求九

【變式5-3】如圖，四棱錐P-4BCD中，底面48CD為平行四邊形，PA1.面48CD,AB1PC,BC=AP=

五AB=2.

(1)求點A到平面PBC的距離；

(2)求二面角C-PD-4的正弦值.

【變式5-4】底面為菱形的直棱柱4BCD-4/1的。1中，E、尸分別為棱4九、力道1的中點.

⑴在圖中作一個平面a,使得BDua,且平面力￡T〃a.(不必給出證明過程，只要求作出a與直棱柱力BCD-

占8道1。1的截面)

(2)若AB=AAt=2,/.BAD=60°,求平面4EF與平面a的距離d.

【變式5-5】如圖，四棱錐P—ABCD的底面是矩形，PD1底面48cZ>,PD=DC=2,AD=242,M為

8C的中點.

(1)求證：4M_L平面P3。；

⑵求平面ABCD與平面AP7W■所成角的余弦值;

⑶求D到平面APM的距離.

弘考法六：用空間向量解決點到直線距離問題

F越￡例題分析

【例6】如圖，該幾何體是由等高的半個圓柱和:個圓柱拼接而成，點G為弧CD的中點，且C,E,D,G四點

共面.

(1)證明：平面BDF1平面BCG；

(2)若平面8。尸與平面力BG所成二面角的余弦值為W，且線段48長度為2,求點G到直線DF的距離.

1變式訓(xùn)練

【變式6-1】如圖1,在等腰梯形力BCD中,48||CD,AB=力。=1,CD=2,DE=EC,沿力E將△4DE折成△APE,

如圖2所示，連接P8,PC,得到四棱錐P-A8CE.

圖2

(1)若平面24￡'。平面「8。=/,求證：1//BC；

(2)若點r是PC的中點，求點7到直線EB的距離的取值范圍.

【變式6-2】在梯形A8CD中，AB||CD,=90。，AB=2AD=DC=&,如圖1.現(xiàn)將△4DC沿對

角線AC折成直二面角P—4C—B,如圖2,點M在線段BP上.

(1)求證：AP1CM；

⑵若點M到直線4c的距離為W，求器的值.

【變式6-3］異面直線5G上分別有兩點/、8.則將線段的最小值稱為直線匕與直線％之間的距離.如圖，

已知三棱錐P-力BC中，P力，平面P3C,PB1PC,點。為線段/C中點，AP=BP=CP=1點E、尸分

別位于線段N3、尸。上(不含端點)，連接線段昉.

B

(1)設(shè)點M為線段跖中點，線段所所在直線與線段NC所在直線之間距離為d,證明：|麗|>d.

(2)若第=3=k(fc>1),用含后的式子表示線段所所在直線與線段8。所在直線之間的距離.

AhrC

【變式6-4］如圖，在棱長為1的正方體力BCD-A/CiDi中，E為線段。小的中點，尸為線段的中點.

(1)求直線尸的\到直線2E的距離；

⑵求直線尸的到平面4B1E的距離.

【變式6-5】如圖，在三棱錐P—4BC中，平面NBC,ABAC=90°,D,E,尸分別是棱/瓦BC,CP

的中點，力B=AC=1,PA=2.

⑴求直線PA與平面DEF所成角的正弦值;

(2)求點P到平面DEF的距離；

(3)求點P到直線EF的距離.

由真題專練

I-如圖，PD1平面力BCD,四邊形4BCD為直角梯形，AB||CD,AADC=90°,PD=CD=2AD=2AB=2.

(1)求異面直線AB與PC所成角的大小;

(2)求二面角8—PC-D的余弦值.

2.如圖，在多面體/5COE中，平面力CD1平面45C,BEABC,△ABC和△力CD均為正三角形，AC=

2,8￡=b，點/為線段。。上一點.

D

(1)求證：DE1AM-,

⑵若EM與平面ACD所成角為京求平面AMB與平面ACD所成銳二面角的余弦值.

3.如圖，棱長為2的正方體力BCD-4%的。1中，尸為線段當(dāng)小上動點.

(1)證明：CP||平面力/￡)；

(2)當(dāng)直線BP與平面48CD1所成的角正弦值為"時，求點D到平面48P的距離.

O

4.已知△ABC和AADE所在的平面互相垂直，AD1AE,AB=2,AC=4,ABAC=120°,。是線段BC的

中點，AD=V3.

⑴求證：AD1BE；

(2)設(shè)AE=2,在線段力E上是否存在點F(異于點力)，使得二面角力-BF-C的大小為45。.

5.如圖，在三棱柱A8C—4BiCi中，側(cè)面BCC/i為正方形，平面BCC/i_L平面力BBi4,AB=BC=2,M,

N分別為4/i，/C的中點.

(1)求證：MN〃平面BCCiBi；

(2)從條件①：AB±MN,條件②：中選擇一個作為已知，求直線A3與平面皿W所成角的正弦值.

6.如圖，在直三棱柱ABC—HiBiCi中，平面418C1側(cè)面ABB141，且力4=4B=2.

(1)求證：AB1BC-,

(2)若直線力C與平面&BC所成的角為士E為線段&C的中點，求平面ABE與平面8CE所成銳二面角的大小.

O

7.如圖，在△ABC中，Z.B=90°,P為4B邊上一動點，PD〃BC交4C于點D,現(xiàn)將△PDA沿PD翻折至△PD4’.

E

(1)證明：平面CB4’1平面PB4’；

Q)若PB=CB=2PD=4,且A'PIAP,線段Z,C上是否存在一點E(不包括端點)，使得銳二面角E—BD—C

的余弦值為甯，若存在求出普的值，若不存在請說明理由.

14EC

8.如圖，圓錐。。中，力E為底面圓。的直徑，AE^AD,△ABC為底面圓。的內(nèi)接正三角形，圓錐的高。。=18,

點P為線段。。上一個動點.

D

(1)當(dāng)P0=3返時，證明：P4_L平面PBC；

(2)當(dāng)P點在什么位置時，直線尸￡和平面PBC所成角的正弦值最大.

9.已知直三棱柱4BC-4道1的中，側(cè)面44B1B為正方形，AB=BC,E,尸分別為/C和。的的中點，D為

棱公當(dāng)上的動點.BF1

(1)證明：BF1DE；

(2)求平面BB1C1C與平面。防所成的二面角正弦值的最小值及此時點D的位置.

10.四棱錐S—HBCD中，底面ABCD為矩形，力D=&,S力=2,NSAB=60。,^SAD=45°,平面S4D與平

面SBC的交線為I.

(1)求證：直線，平行于平面4BCD；

(2)求二面角?！猄A-B的余弦值.

11.如圖，在多面體ABCDE中，平面4CD1平面ABC,BE1平面ABC,△ABC^WL4CD均為正三角形，AC=4,

BE-V3,點F在AC上.

D

(2)若F是力C的中點，求二面角F—DE—C的正弦值.

12.如圖，在多面體4BCD-EFG”中，上底面EFGH與下底面力BCD平行，且都是正方形，該多面體各條側(cè)

棱相等，且每條側(cè)棱與底面4BCD所成角都相等.已知力B=2,AE=V5,CM1DG,垂足為點三棱錐C-

(1)證明：力E1平面M8C；

(2)求直線力E與平面BEF所成角。的正弦值.

13.如圖，平面是圓柱的軸截面，防是圓柱的母線，AFCDE=G,BFCCE=H,NABE=60°,

AB=AD=2.

F

⑴求證：GH〃平面/BCD；

(2)求平面ABF與平面CDE夾角的正弦值.

14.在長方體4BCD—4/1的小中，AB=BC=2CC1；點產(chǎn)為棱的%上任意一點.

(1)求證：平面441cle_L平面P8D；

⑵若點E為棱CC1上靠近點C的三等分點，求點P在棱Ci%上什么位置時，平面BDE與平面P8D夾角的余

弦值為等.

15.已知直角梯形形狀如下，其中4B_L4D,DC=2AB=6AE,AB=6,AD=2.

DCF