高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)7.4.2超幾何分布 教學(xué)設(shè)計(jì)

第七章隨機(jī)變量及其分布7.4二項(xiàng)分布與超幾何分布7.4.2超幾何分布一、教學(xué)目標(biāo)1、正確認(rèn)知超幾何分布2、掌握利用超幾何分布解決一些問題的方法二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：正確認(rèn)知超幾何分布難點(diǎn)：正確利用超幾何分布解決一些問題三、學(xué)法與教學(xué)用具1、學(xué)法：學(xué)生在老師的引導(dǎo)下，通過閱讀教材，自主學(xué)習(xí)、思考、交流、討論和概括，從而完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).2、教學(xué)用具：多媒體設(shè)備等四、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題【情景】為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加．現(xiàn)有來自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名，其中種子選手3名．從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽．（1）設(shè)為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個(gè)協(xié)會(huì)”，求事件發(fā)生的概率；（2）設(shè)為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列．【問題】如何有效解決上述情景中的問題？【閱讀研討】研讀課本，交流記憶相關(guān)結(jié)論（用時(shí)約2-3分鐘）（二）閱讀精要，研討新知【問題】已知100件產(chǎn)品中有8件次品，分別采用有放回和不放回的方式隨機(jī)抽取4件.設(shè)抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列.【解讀】如果采用有放回抽樣，則每次抽到次品的概率為0.08,且各次抽樣的結(jié)果相互獨(dú)立，此時(shí)服從二項(xiàng)分布，即.如果采用不放回抽樣，那么抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)是否也服從二項(xiàng)分布?如果不服從，那么的分布列是什么?【發(fā)現(xiàn)】采用不放回抽樣，雖然每次抽到次品的概率都是0.08,但每次抽取不是同一個(gè)試驗(yàn)，而且各次抽取的結(jié)果也不獨(dú)立，不符合重伯努利試驗(yàn)的特征，因此不服從二項(xiàng)分布.【解析】可以根據(jù)古典概型求的分布列.由題意可知，可能的取值為.從100件產(chǎn)品中任取4件，樣本空間包含個(gè)樣本點(diǎn)，且每個(gè)樣本點(diǎn)都是等可能發(fā)生的.其中4件產(chǎn)品中恰有件次品的結(jié)果數(shù)為.由古典概型的知識(shí)，得的分布列為，計(jì)算的具體結(jié)果(精確到0.000

01)如表7.4-1所示.【發(fā)現(xiàn)】超幾何分布

(hypergeometric

distribution)一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有件，其中有件次品.從件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件(不放回)，用表示抽取的件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則的分布列其中,

,

特點(diǎn)(1)對(duì)于服從某些特殊分布的隨機(jī)變量，其分布列可直接應(yīng)用公式給出；(2)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)，隨機(jī)變量取值的概率實(shí)質(zhì)上是古典概型．【解決情景問題】為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加．現(xiàn)有來自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名，其中種子選手3名．從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽．（1）設(shè)為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個(gè)協(xié)會(huì)”，求事件發(fā)生的概率；（2）設(shè)為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列．【解析】（1）由已知，有.所以事件A發(fā)生的概率為.（2）隨機(jī)變量的所有可能取值為1,2,3,4.所以隨機(jī)變量的分布列為1234【例題研討】閱讀領(lǐng)悟課本例4、例5、例6（用時(shí)約為3-4分鐘，教師作出準(zhǔn)確的評(píng)析.）例4從50

名學(xué)生中隨機(jī)選出5名學(xué)生代表，求甲被選中的概率.解：設(shè)表示選出的5名學(xué)生中含甲的人數(shù)(只能取0或1)，則服從超幾何分布，且因此甲被選中的概率為例5

一批零件共有30個(gè)，其中有3個(gè)不合格，隨機(jī)抽取10個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè)，求至少有1件不合格的概率.解：設(shè)抽取的10個(gè)零件中不合格品數(shù)為，則服從超幾何分布，且.的分布列為至少有1件不合格的概率為0.7192.也可以按如下方法求解：0.7192.【探究】服從超幾何分布的隨機(jī)變量的均值是什么?【發(fā)現(xiàn)】設(shè)隨機(jī)變量服從超幾何分布，則可以解釋為從包含件次品的件產(chǎn)品中，不放回地隨機(jī)抽取件產(chǎn)品中的次品數(shù).令，則是件產(chǎn)品的次品率，而是抽取的件產(chǎn)品的次品率，猜想，即.例6一個(gè)袋子中有100個(gè)大小相同的球，其中有40個(gè)黃球、60

個(gè)白球，從中隨機(jī)地摸出20個(gè)球作為樣本.用表示樣本中黃球的個(gè)數(shù).（1）分別就有放回摸球和不放回摸球，求的分布列；（2）分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計(jì)總體中黃球的比例，求誤差不超過0.

1的概率.解：（1）對(duì)于有放回摸球，每次摸到黃球的概率為0.4,且各次試驗(yàn)之間的結(jié)果是獨(dú)立的，因此，

的分布列為對(duì)于不放回摸球，各次試驗(yàn)的結(jié)果不獨(dú)立，服從超幾何分布，的分布列為（2）利用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算出兩個(gè)分布列的概率值(精確到0.

000))如表7.

4-2所示.樣本中黃球的比例是一個(gè)隨機(jī)變量，

根據(jù)表7.4-2,計(jì)算得有放回摸球：0.746

9.不放回摸球：0.7988.因此，在相同的誤差限制下，采用不放回摸球估計(jì)的結(jié)果更可靠些.【思考】?jī)煞N摸球方式下，隨機(jī)變量分別服從二項(xiàng)分布和超幾何分布.雖然這兩種分布有相等的均值(都是8)，但從兩種分布的概率分布圖(圖7.4-4)看，超幾何分布更集中在均值附近.【發(fā)現(xiàn)】二項(xiàng)分布和超幾何分布都可以描述隨機(jī)抽取的件產(chǎn)品中次品數(shù)的分布規(guī)律，并且二者的均值相同.對(duì)于不放回抽樣，當(dāng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于時(shí)，每抽取一次后，對(duì)的影響很小，此時(shí)，超幾何分布可以用二項(xiàng)分布近似.【小組互動(dòng)】完成課本練習(xí)1、2、3，同桌交換檢查，老師答疑.【練習(xí)答案】（三）探索與發(fā)現(xiàn)、思考與感悟1．在15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊，用表示這10個(gè)村莊中交通不方便的村莊數(shù)，下列概率中等于的是()A．B．C．D．解：服從超幾何分布，所以.故選C2．從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量表示所選3人中女生的人數(shù)，則等于()A．B．C．D．解：，故選D3．2015年9月第二十八屆亞洲男籃錦標(biāo)賽在長(zhǎng)沙舉行，為了做好亞錦賽期間的接待服務(wù)工作，長(zhǎng)沙大學(xué)學(xué)生實(shí)踐活動(dòng)中心從8名學(xué)生會(huì)干部(其中男生5名，女生3名)中選3名參加亞錦賽的志愿者服務(wù)活動(dòng)．若所選3名學(xué)生中的女生人數(shù)為，求的分布列．解：因?yàn)?名學(xué)生會(huì)干部中有5名男生，3名女生，所以的分布列服從超幾何分布．的所有可能取值為0,1,2,3，其中．由公式可得，，，.所以的分布列為01234.某校為了調(diào)查本校學(xué)生2022年9月“綠色上網(wǎng)”(綠色上網(wǎng)是指每天上網(wǎng)不超過兩個(gè)小時(shí))的天數(shù)情況，隨機(jī)抽取了40名本校學(xué)生作為樣本，統(tǒng)計(jì)他們?cè)谠撛?0天內(nèi)綠色上網(wǎng)的天數(shù)，并將所得的數(shù)據(jù)分成以下六組；[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此畫出樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求這40名學(xué)生中綠色上網(wǎng)天數(shù)超過20天的人數(shù)；（2）現(xiàn)從這40名學(xué)生中任取2名，設(shè)為取出的2名學(xué)生中綠色上網(wǎng)天數(shù)超過20天的人數(shù)，求的分布列．解：（1）由圖可知，綠色上網(wǎng)天數(shù)未超過20天的頻率為(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，所以綠色上網(wǎng)天數(shù)超過20天的學(xué)生人數(shù)是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10.（2）隨機(jī)變量的所有可能取值為0,1,2.，，所以的分布列為：012（四）歸納小結(jié)，回顧重點(diǎn)超幾何分布

(hypergeometric

distribution)一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有件，其中有件次品.從件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件(不放回)，用表示抽取的件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則的分布列其中,

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特點(diǎn)(1)對(duì)于服從