高中三年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)《離散型隨機(jī)變量的分布列》(教學(xué)設(shè)計(jì))

7.2.2離散型隨機(jī)變量的分布列（教學(xué)設(shè)計(jì)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能知道取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念2.會(huì)求出簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量的分布列并能記住分布列的性質(zhì)3.能知道兩點(diǎn)分布及其導(dǎo)出過(guò)程，并能簡(jiǎn)單的運(yùn)用 【自主學(xué)習(xí)】知識(shí)點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的分布列(1)所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量．(2)離散型隨機(jī)變量X可能的取值為x1，x2，…，xi，…，xn，則它的概率分布列用表格可表示為Xx1x2…xnPp1p2…pn用等式可表示為P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n，離散型隨機(jī)變量分布列的變化情況可以用圖象來(lái)表示．知識(shí)點(diǎn)二兩點(diǎn)分布隨機(jī)變量X的分布列是：X10Ppq其中0<p<1，q＝1－p，則稱離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)p的兩點(diǎn)分布．稱p＝P(X＝1)為成功概率．

【合作探究】探究一求離散型隨機(jī)變量的分布列【例1】從裝有除顏色外完全相同的6個(gè)白球，4個(gè)黑球和2個(gè)黃球的箱中隨機(jī)地取出兩個(gè)球，規(guī)定每取出1個(gè)黑球贏2元，而每取出1個(gè)白球輸1元，取出黃球無(wú)輸贏．(1)以X表示贏得的錢數(shù)，隨機(jī)變量X可以取哪些值？求X的分布列；(2)求出贏錢(即X>0時(shí))的概率．【解】(1)從箱中取兩個(gè)球的情形有以下6種：{2個(gè)白球}，{1個(gè)白球，1個(gè)黃球}，{1個(gè)白球，1個(gè)黑球}，{2個(gè)黃球}，{1個(gè)黑球，1個(gè)黃球}，{2個(gè)黑球}．當(dāng)取到2個(gè)白球時(shí)，隨機(jī)變量X＝－2；當(dāng)取到1個(gè)白球，1個(gè)黃球時(shí)，隨機(jī)變量X＝－1；當(dāng)取到1個(gè)白球，1個(gè)黑球時(shí)，隨機(jī)變量X＝1；當(dāng)取到2個(gè)黃球時(shí)，隨機(jī)變量X＝0；當(dāng)取到1個(gè)黑球，1個(gè)黃球時(shí)，隨機(jī)變量X＝2；當(dāng)取到2個(gè)黑球時(shí)，隨機(jī)變量X＝4.所以隨機(jī)變量X的可能取值為－2，－1,0,1,2,4.P(X＝－2)＝26212＝522，P(X＝－1)＝112212＝211，P(X＝0)＝22212＝166，P(X＝1)＝114212＝411，P(X＝2)＝112212＝433，P(X＝4)＝24212＝111.所以X的分布列如下：X－2－10124P522211166411433111(2)P(X>0)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝4)＝411＋433＋111＝1933.所以贏錢的概率為1933.歸納總結(jié)：解題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是依據(jù)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果寫出隨機(jī)變量的可能取值；二是依據(jù)隨機(jī)變量取值所對(duì)應(yīng)的結(jié)果求出隨機(jī)變量取每一個(gè)值的概率.另外，利用隨機(jī)變量分布列中各個(gè)概率和為1對(duì)所求分布列進(jìn)行驗(yàn)證也會(huì)防止出錯(cuò)【練習(xí)1】一袋中裝有4只同樣大小的球，編號(hào)分別為1,2,3,4，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2個(gè)球，以X表示取出球的最大號(hào)碼，則X的分布列為X234P161312.解析：由題意隨機(jī)變量X所有可能取值為2,3,4.且P(X＝2)＝124＝16，P(X＝3)＝1224＝13，P(X＝4)＝1324＝12.因此X的分布列為X234P161312探究二分布列的性質(zhì)【例2】設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝i)＝ai(i＝1,2,3,4)，求：(1)P({X＝1}∪{X＝3})；(2).解題中所給的分布列為X1234Pa2a3a4a由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)得a＋2a＋3a＋4a＝1，解得a＝110.(1)P({X＝1}∪{X＝3})＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝110＋310＝25.(2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝110＋210＝310.歸納總結(jié)：本題是一道離散型隨機(jī)變量的分布列的計(jì)算與離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)的應(yīng)用綜合起來(lái)的好題.主要先由離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)求出a的值，然后寫出其相應(yīng)的離散型隨機(jī)變量的分布列，再利用離散型隨機(jī)變量的分布列求出其相應(yīng)的概率.本題中離散型隨機(jī)變量取不同的值時(shí)所表示的隨機(jī)事件彼此互斥，故由概率的加法公式求出其概率【練習(xí)2】已知離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如下：ξ12…nPk2k…2n－1·k求k的值．解：因?yàn)?＝k＋2k＋…＋2n－1k＝k(1＋2＋…＋2n－1)＝k·1－2n1－2＝(2n－1)k，所以k＝12n－1.探究三兩點(diǎn)分布【例3】袋內(nèi)有10個(gè)白球，5個(gè)紅球，從中摸出2個(gè)球，記X＝0，兩球全紅；1，兩球非全紅.)求X的分布列.解由題設(shè)可知X服從兩點(diǎn)分布P(X＝0)＝25215＝221；P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝1921.∴X的分布列為X01P2211921歸納總結(jié)：兩步法判斷一個(gè)分布是否為兩點(diǎn)分布(1)看取值：隨機(jī)變量只取兩個(gè)值：0和1.(2)驗(yàn)概率：檢驗(yàn)P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立.如果一個(gè)分布滿足以上兩點(diǎn)，則該分布是兩點(diǎn)分布，否則不是兩點(diǎn)分布.【練習(xí)3】籃球比賽中每次罰球命中得1分，不中得0分.已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.85，求他一次罰球得分的分布列.解由題意，結(jié)合兩點(diǎn)分布的特征可知，所求分布列為X01P0.150.85探究四分布列與統(tǒng)計(jì)知識(shí)的綜合應(yīng)用【例4】經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1t該產(chǎn)品獲利潤(rùn)500元，未售出的產(chǎn)品，每1t虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購(gòu)進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品．以X(單位：t,100≤X≤150)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量，T(單位：元)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)．(1)將T表示為X的函數(shù)；(2)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于57000元的概率；(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，則取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的頻率)，求T的分布列．【思路分析】每一個(gè)小矩形的面積即相應(yīng)的概率．【解】(1)當(dāng)X∈[100,130)時(shí)，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000，當(dāng)X∈[130,150]時(shí)，T＝500×130＝65000.所以T＝800X－39000，100≤X<130，65000，130≤X≤150.)(2)由(1)知利潤(rùn)T不少于57000元時(shí)120≤X≤150.由直方圖知需求量X∈[120,150]的頻率為0.7，所以下一個(gè)銷售季度內(nèi)的利潤(rùn)T不少于57000元的概率的估計(jì)值為0.7.(3)依題意可得T的分布列為T45000530006100065000P0.10.20.30.4歸納總結(jié)：【練習(xí)4】某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線上40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量(單位：克)，重量的分組區(qū)間為(490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求重量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量；(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)Y為重量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列．解：(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知，重量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量為40×(0.05×5