平面向量（教師卷）-2015-2024年高考數(shù)學(xué)試題分項(xiàng)匯編

冷感03年面向重

十年考情-探規(guī)律1

考點(diǎn)十年考情（2015-2024）命題趨勢

考點(diǎn)1平面向量平行

2024?上海卷、2021?全國乙卷、2016?全國卷、

（共線）求參數(shù)

2015?全國卷

（10年4考）

考點(diǎn)2平面向量垂直

2024?全國甲卷、2024?全國新I卷、2023?全國

求參數(shù)

新I卷、2021?全國甲卷、2020?全國卷

（10年4考）

考點(diǎn)3平面向量的基1.掌握平面向量的基本概念、

2022?全國新I卷、2020?山東卷、2018?全國卷、

本定理及其應(yīng)用線性運(yùn)算及坐標(biāo)運(yùn)算，已知平

2015?北京卷

（10年4考）面向量的關(guān)系要會(huì)求參數(shù)

2024?全國新II卷、2023?北京卷、2023?全國新2.掌握基本定理的基底表示

考點(diǎn)4平面向量的模

II卷、2022?全國乙卷、2021?全國甲卷、2020?全向量、能在平面幾何圖形中的

長

國卷、2019?全國卷、2017?全國卷、2017?浙江應(yīng)用

（10年7考）

卷3.掌握平面向量數(shù)量積的表

2023,全國乙卷、2022?全國乙卷、2022?北京卷、示和計(jì)算、會(huì)求平面幾何圖形

考點(diǎn)5求平面向量數(shù)

2020?山東卷、2021.全國新I卷、2022.全國甲中的范圍及最值等問題。

量積

卷、2021?天津卷、2021?全國新II卷、2021.北

（10年9考）

京卷、2020?天津卷、2020?北京卷

2023?全國甲卷、2023?全國甲卷、2022?全國新

考點(diǎn)6求平面向量的

II卷、2020?全國卷、2019?全國卷、2016?全國

夾角

卷、2022.天津卷、2020?浙江卷、2019?全國卷、

（10年6考）

2019?全國卷

分考點(diǎn)?精準(zhǔn)練

考點(diǎn)01平面向量平行（共線）求參數(shù)

1.（2024?上海借考真題）已知左￡R,。=（2,5）,Z?=（6,左），且〃///?,則左的值為.

【答案】15

【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示得到方程，解出即可.

【詳解】aI出，：.2k=5x6,解得左=15.

故答案為：15.

2.（2021?全國乙卷?高考真題）已知向量a=（2,5）/=（44）,若：//力，則人.

【答案】I

【分析】利用向量平行的充分必要條件得到關(guān)于彳的方程，解方程即可求得實(shí)數(shù)％的值.

【詳解】由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得：2x4-2x5=0,

Q

解方程可得：2=-.

Q

故答案為：—.

3.（2016?全國?高考真題）已知向量。=（九4）,6=（3,-2）,且。〃6，則加=.

【答案】-6

【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示得出-2%-4x3=0,求解即可得出答案.

【詳解】因?yàn)??！?，所以一2/n-4x3=0,解得加=-6.

故答案為：-6

【點(diǎn)睛】本題主要考查了由向量共線或平行求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

4.（2015?全國?高考真題）設(shè)向量6不平行，向量/la+b與a+2b平行，則實(shí)數(shù)2=

【答案】|

4=女，1

【詳解】因?yàn)橄蛄慷?6與a+26平行，所以Xa+6=Ha+26）,則°,所以％=

1=ZK,2

考點(diǎn)：向量共線.

考點(diǎn)02平面向量垂直求參數(shù)

1.（2024?全國甲卷?高考真題）已知向量。=（0,1）,6=（2,尤），若b，S-4a）,則工=（

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可求》的值.

【詳解】因?yàn)楸貎H-甸，所以“6-44=。，

所以片一4〃./?=（）即4+%2_4x=0,故X=2,

故選：D.

2.（2024?全國新I卷?高考真題）設(shè)向量a=（x+l,x）,A=（羽2）,則（）

A."x=-3"是"a_L6"的必要條件B."%=-3"是"°〃6"的必要條件

C."x=0"是的充分條件D."彳=一1+石”是"°//b"的充分條件

【答案】C

【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.

【詳解】對A,當(dāng)時(shí)，則夕6=0，

所以尤?（尤+l）+2x=0,解得x=0或-3,即必要性不成立，故A錯(cuò)誤；

對C,當(dāng)x=0時(shí)，“=（1,0）/=（0,2）,故。力=0，

所以a_Lb，即充分性成立，故C正確；

對B,當(dāng)°〃匕時(shí)，則2（彳+1）=/，解得x=l±6，即必要性不成立，故B錯(cuò)誤；

對D,當(dāng)x=-l+班時(shí)，不滿足2（尤+1）=尤2,所以不成立，即充分性不立，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

3.（2023?全國新I卷?高考真題）已知向量a==若（a+訓(xùn)，（a+悶，則（）

A.%+〃=1B.4+4=-1

C.=lD.AjU=-l

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出Q+4。，ib，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出.

【詳解】因?yàn)閍=（1,1）,〃=（1,—1）,所以a+=（1+4,1—4）,a+jub=（1+//,1—,

由（a+2Z?）_L（Q+4。）可得，++=0,

即（1+丸）（1+〃）+（1_之）（1_"）=0,整理得：加=—1.

故選：D.

4.（2021?全國甲卷?高考真題）已知向量〃=（3,l）,b=（l,0）,c=a+奶.若〃_Lc，則左=.

【答案】

【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求得向量e的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為零求得上的值

【詳角星】a=（3,1）力=（l,0）,；.c=4+妙=（3+k,1）,

t7±c,.-.o-c=3（3+^）+lxl=0,解得上=-：,

故答案為：---?

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量垂直的條件，屬基礎(chǔ)題，利用平面向量

P=a,%),4=(%,%)垂直的充分必要條件是其數(shù)量積占%+%為=o.

5.(2020?全國?高考真題)設(shè)向量a=(1,-1),6=(機(jī)+1,2機(jī)-4),若a_Lb,則機(jī)=.

【答案】5

【分析】根據(jù)向量垂直，結(jié)合題中所給的向量的坐標(biāo)，利用向量垂直的坐標(biāo)表示，求得結(jié)果.

【詳解】由a_1_匕可得a./?=(),

又因?yàn)閍=(1,-1),Z?=(m+1,2m-4),

所以〃?Z?=1?(zn+1)+(-1)?(2zn-4)=0,

即加=5,

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查有關(guān)向量運(yùn)算問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題目.

考點(diǎn)03平面向量的基本定理及其應(yīng)用

1.(2022?全國新I卷?高考真題)在，?1BC中，點(diǎn)。在邊AB上，BD=2DA.記C4=/〃,CO=〃，則=(

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

【答案】B

【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)。在邊上，BD=2DA,所以即CD-C8=2(C4-C￡>),

所以CB=3CD-2CA=3〃-2m=—2根+3〃.

故選：B.

2.(2020?山東,高考真題)已知平行四邊形A3CD,點(diǎn)E,尸分別是AB,BC的中點(diǎn)(如圖所示)，設(shè)A8=a

AD=b,則EF等于()

A

A.+B.5(4-b)C.—^b—aD.—a+b

2

【答案】A

【分析】利用向量的線性運(yùn)算，即可得到答案；

【詳解】連結(jié)AC,貝IJAC為ABC的中位線，

,EF=-AC=-a+-b,

222

DC

F

故選：A

3.(2018?全國?高考真題)在回ABC中，AZ)為5c邊上的中線，石為AZ)的中點(diǎn)，則防=

3113

A.-AB——ACB.-AB——AC

4444

3113

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

【答案】A

【分析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得=+之后應(yīng)用向量

31

的加法運(yùn)算法則——三角形法則，得到3C=A4+AC，之后將其合并，得到的=7A4+：AC,下一步應(yīng)

44

31

用相反向量，^EB=-AB--AC從而求得結(jié)果.

44f

【詳解】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得

BE=-BA+-BD=-BA+-BC=-BA+-（BA+

222424V

=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC,

24444

31

所以EB=—AB--AC,故選A.

44

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有三角形的中線向量、向量加

法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認(rèn)真對待每一步運(yùn)算.

4.（2015?北京?高考真題）在中，點(diǎn)M,N滿足AM=2MC,BN=NC,若MN=xAB+yAC,則x=

V=■

【答案】—

26

【詳解】特殊化，不妨設(shè)/c，相，四=4,/C=3,利用坐標(biāo)法，以A為原點(diǎn)，AB為X軸，AC為y軸,

建立直角坐標(biāo)系，/(0,0),〃(0,2),C(0,3),6(4,0),N(2,9,MN=(2,-1),AB=(4,0),AC=(0,3),貝U

⑵-3=x(4,0)+y(0,3),4x=2,3y=-x=[,y=

2226

考點(diǎn)：本題考點(diǎn)為平面向量有關(guān)知識(shí)與計(jì)算，利用向量相等解題.

考點(diǎn)04平面向量的模長

1.(2024?全國新n卷?高考真題)已知向量滿足卜|=1,卜+2*2,且僅-2+貝明=()

A.；B.—C.—D.1

222

【答案】B

【分析】由僅―2。)，6得8~=2a.8，結(jié)合［力=1,卜+20=2,得i+4a.b+46-=l+6b~=4，由此即可得解.

【詳解】因?yàn)?b-2a)，6,所以僅-246=。，即

又因?yàn)殁?1,卜+20=2,

所以1+4a-6+4b2=1+6b=4，

故選：B.

2.(2023?北京?高考真題)已知向量a,。滿足。+匕=(2,3),a-b=(-2,1),則|肝一|附()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律，數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解作答.

【詳解】向量滿足a+6=(2,3),a—b=(—2,1),

所以|a|2_M=(a+b>(a_))=2x(_2)+3xl=_L

故選:B

3.(2023?全國新H卷?高考真題)已知向量a,6滿足卜=若，,+0=卜4一“，則忖=.

【答案】百

【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；法二：換元令-力，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律

運(yùn)算求解.

【詳解】法一：因?yàn)閨&+.=|2?-可，即,+6丫=(2。-6『，

貝1。~+2。力+片=4a-4a-b+b,整理得J-2a/=0，

又因?yàn)樯弦患炊?3,

則》一2荽+抹=片=3,所以忖=百.

LXIFIrrrrrrrr

法二：設(shè)c=「一6，貝"q=J3,a+b=C+2Z?,2Q—b=2c+Z?,

由題意可得：(c+26)=(2c+6),貝，+4；二+4%2=點(diǎn)+4；.%+；

整理得：cr=b，即M=0=e.

故答案為：-J3.

4.(2022?全國乙卷?高考真題)已知向量。=(2,1)0=(-2,4),則以()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】先求得然后求得r-“

【詳解】因?yàn)椤?6=(2,1)_(_2,4)=(4,-3),所以k一4=,42+(-3『=5.

故選：D

5.(2021?全國甲卷?高考真題)若向量a,b滿足忖=3,卜-0=5,<?-6=1,則卜卜.

【答案】3拒

【分析】根據(jù)題目條件，利用〃模的平方可以得出答案

【詳解】距-中5

團(tuán)卜-Z?|"=a+b-2a,Z?=9+1/?|~-2=25

喇=3亞

故答案為：3拒.

6.(2020?全國?高考真題)設(shè)a,6為單位向量，且|“+6|=1,貝.

【答案】A/3

【分析】整理己知可得：|a+*J(a+H,再利用。力為單位向量即可求得2a電二-：!，對變形可得:

=-2a為+1］，問題得解.

【詳解】因?yàn)榉?為單位向量，所以口=|力|=1

所以,+?=J(a+6)+2a-Z?+|/>|=>]2+2a-b=1

解得：1a-b=-l

所以卜一@==J|A|-2fl-Z7+|z?|=A/3

故答案為：V3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量模的計(jì)算公式及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

7.(2019?全國?高考真題)已知向量a=(2,3)0=(3,2),則|。-6|=

A.72B.2

C.572D.50

【答案】A

【分析】本題先計(jì)算a-b，再根據(jù)模的概念求出|。-加.

【詳解】由已知，a-b=(2,3)-(3,2)=(-1,1),

所以|a-6|=心萬7F=JL

故選A

【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量模長的計(jì)算，容易題，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查.由于對平

面向量的坐標(biāo)運(yùn)算存在理解錯(cuò)誤，從而導(dǎo)致計(jì)算有誤；也有可能在計(jì)算模的過程中出錯(cuò).

8.(2017?全國?高考真題)已知向量。與b的夾角為60。，|a|=2,|b|=1,貝U|a+2b\=.

【答案】2宕

【詳解】回平面向量a與b的夾角為60°,同=2,忖=1

^a-b=2xlxcos60°=1.

團(tuán)卜+26卜J(a+2b)2=y]a2+4a-b+(2b)2=J4+4+4=26

故答案為

點(diǎn)睛：(1)求向量的夾角主要是應(yīng)用向量的數(shù)量積公式.

(2)\a\=4^常用來求向量的模.

9.(2017?浙江■高考真題)已知向量見6滿足口=1,川=2,貝”。+6|+卜-0的最小值是,最大值

是.

【答案】42亞

【詳解】設(shè)向量a,b的夾角為凡由余弦定理有：|a-^|=Vl2+22-2xlx2xcos0=^5-4cos0,

卜+0=Qi2+22一2xlx2xcos(萬一6)=,5+4cos0,貝[|：

la+d+ltz-Z7|=j5+4cosd+j5-4cosd,

令y=j5+4cos6+令-4cos6,則y?=10+2,25-16cos*e[16,20],

據(jù)止匕可得：(,+0+卜-磯=7^=2君,(卜+0+卜-碼.=A/16=4,

即卜+目+1的最小值是4,最大值是2石.

【名師點(diǎn)睛】本題通過設(shè)向量。力的夾角為，，結(jié)合模長公式，可得卜+4+|"+j5+4cos，+j5-4cosd,

再利用三角函數(shù)的有界性求出最大、最小值，屬中檔題，對學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和最值處理能力有一定的要求.

考點(diǎn)05求平面向量數(shù)量積

1.(2023?全國乙卷?高考真題)正方形A3CD的邊長是2,E是A3的中點(diǎn)，則EC-ED=()

A.75B.3C.2A/5D.5

【答案】B

【分析】方法一；以舊(氏A。\｝為基底向量表示EUL1CU,UEUUD,再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；方法二：建系,

利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法三：利用余弦定理求cos/DEC,進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的定義運(yùn)算求解.

(、lUimiiuuai|uunuum

【詳解】方法一：以為基底向量，可知卜q=kq=2,AB-AD=0,

uunuuruuniuunuumuunutruumiuunuum

則后。=班+3。=—43+4。,石￡>=必+?1￡>=—一AB+AD,

22

uunuun(iuunuumA(iuunuum、iutmuum

所以比即=匕人⑶+人叼］-+2+AD2=-1+4=3；

方法二：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

UUUULWI

則E(l,0),C(2,2),D(0,2),可得EC=(1,2),￡0=(-1,2),

UUUUUU

所以EC-EZ)=-1+4=3；

方法三：由題意可得：ED二EC=5CD=2,

DE。+CE?-DC?5+5-43

在CDE中，由余弦定理可得cos/DEC=

2DECE2XA/5XV55

uunuun|UUD||Uum|3

所以ECEO平qF4cosZDEC=V5xV5xg=3.

故選：B.

2.（2022?全國乙卷?高考真題）已知向量葡滿足冷|=1,|向=厲,|】-2正|=3,則。力=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)給定模長，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.

【詳解】解：回|a-26|2=|0|2_402+4忖2,

又回|。|=1,|ZJ|=V3,|a-2/?|=3,

09=l-4fl-/?+4x3=13-4a-Z?，

回。=1

故選：C.

3.（2022?北京?高考真題）在ABC中，AC=3,BC=4,NC=90。.P為ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且尸C=1,

則尸4PB的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

【答案】D

【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P（cos0,sin。），表示出尸4，PB，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助

角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；

【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則C（0,0）,A（3,0）,3（0,4）,

設(shè)尸(cossin。)，3e[0,2句,

所以PA=(3-cos仇-sin。),P3=(-cos6,4-sin8),

所以PAPB=(-cos^)x(3-cos^)+(4-sin6)x(-sin6)

=cos28—3cos8—4sin8+sin23

=1—3cos6-4sin6

=1一5sin(9+°),其中sino=1,cos0=[,

因?yàn)橐籰<sin(e+e)<l,所以T<l—5sin(，+°)V6,gp.PBG[-4,6]；

故選：D

4.(2020?山東?高考真題)已知P是邊長為2的正六邊形A3C0EF內(nèi)的一點(diǎn)，則&p.AB的取值范圍是()

A.(—2,6)B.(—6,2)

C.(-2,4)D.(T6)

【答案】A

【分析】首先根據(jù)題中所給的條件,結(jié)合正六邊形的特征，得到AP在AB方向上的投影的取值范圍是（T，3）,

利用向量數(shù)量積的定義式，求得結(jié)果.

可以得到A戶在AB方向上的投影的取值范圍是(T，3),

結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，

可知AP-AB等于AB的模與AP在Afi方向上的投影的乘積,

所以APAB的取值范圍是(-2,6),

故選：A.

【點(diǎn)睛】該題以正六邊形為載體，考查有關(guān)平面向量數(shù)量積的取值范圍，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有向量數(shù)量積的

定義式，屬于簡單題目.

二、多選題

5.(2021?全國新I卷?高考真題)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(cosa,sina),^(cos^-sin/J),

(cos(a+/7),sm(a+/7)),A(l,0),則()

A.|M=|。冏B.\AP]=\AP2\

C.OAO尸3=OqORD.04。4=?！?鳥

【答案】AC

uumuuu

【分析】A、B寫出。OP；,AP1,A8的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的坐

標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.

【詳解】A：。吁=(cosa,sina),OP,=(cos^,-sin/7),所以||=Jcos2a+sin2a=1,

||=J(cosSO+(—sin嚀=1，故|O引=|O鳥正確；

B：AF[=(coscr-l,sincr),AP2=(cos/?-l,-sin/?),所以

22222

|APX|=^/(cos6Z-l)+sina=Vcoscir-2cos6z+l+sina=J2(l-cosa)=^4sin=21sin^|,同理

22

\AP21=^/(cos/?-l)+sin/7=2|siny|,故|蝴|,|鉆|不一定相等，錯(cuò)誤；

C：由題意得：OA-OF^=1xcos(cr++0xsin(6Z+/?)=cos(6Z+13),

OP/OP?=cosa-cos/?+sincr?(-sin/?)=cos(cr+/7),正確；

D：由題意得：=lxcosa+Oxsina=cosa,OP?OP3=cospxcos(6Z+^)+(—sinp)xsin(6z+/?)

=cos(P+(a+P))=cos(a+2p),故一般來說。wOg。鳥故錯(cuò)誤;

故選：AC

三、填空題

6.(2022?全國甲卷?高考真題)設(shè)向量°,6的夾角的余弦值為g,且忖=1,||=3,則(2a+6>6=.

【答案】11

【分析】設(shè)a與6的夾角為。，依題意可得cos6=；,再根據(jù)數(shù)量積的定義求出a),最后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)

算律計(jì)算可得.

【詳解】解：設(shè))與b的夾角為，，因?yàn)閍與6的夾角的余弦值為:，即cos8=g,

又忖=1,H=3,所以4力=卜，6卜05。=1乂3*：=1,

所以(2a+b)?/?=2a?/?+//=2。-6+卜|=2x1+3。=11.

故答案為：11

7.(2021?天津?高考真題)在邊長為1的等邊三角形ABC中，。為線段8c上的動(dòng)點(diǎn)，且交A8于

點(diǎn)、E.D77/AB且交AC于點(diǎn)尸，則I2BE+DFI的值為；(DE+DF).DA的最小值為.

【答案】1—

20

【分析】設(shè)=由(ZBE+ObrnME;+MEQb+D武可求出；將(DE+DFAD4化為關(guān)于x的關(guān)系式

即可求出最值.

【詳解】設(shè)=,ABC為邊長為1的等邊三角形，DE±AB,

NBDE=30,BD=2x,DE=y/3x,DC=1—2x,

DF//AB,「.Z衣C為邊長為1-2x的等邊三角形，DE1DF,

，2.2

.-.(2BE+￡)F)2=4BE+4BEDF+DF=4x2+4x(1-2x)xcos0+(l-2x)2=b

2BE+DF|=1,

-2

(DE+DF)?DA=(DE+DF)?(DE+EA)=DE+DFEA

=(瓜)2+(l_2x)x(l_x)=5x2_3;c+]=5(xq[+],

311

所以當(dāng)兀=工時(shí)，(。石+的最小值為二.

故答案為：1;—.

8.(2021?全國新H卷牌考真題)已知向量〃+匕+c=0,忖=1,忖=卜|=2,a-b+b-c+c-a=.

【答案】《Q

【分析】由已知可得(〃+b+c『=0,展開化簡后可得結(jié)果.

【詳解】由已知可得(〃+b+c)-a-\-b+c+2(a-b-\-b-C+C-O^-9-\-2(a-b+b-C+c-a^=0,

9

因止匕，a-b+b-c+c-a=——.

2

故答案為：-.

9.(2021?北京?高考真題)已知向量。在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為

1,則

(〃+b)?。=；a-b=?

【答案】03

【分析】根據(jù)坐標(biāo)求出a+A,再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算直接計(jì)算即可.

【詳解】以〃出交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖所示：

則々=(2,1)力=(2,-1)4=(0,1),

:.a+b=(4,0),(a+fo)-c=4x0+0xl=0,

:.a-b=2x2+1x(—1)=3.

故答案為：0；3.

3

10.(2020?天津■高考真題)如圖，在四邊形ABCD中，ZB=60°,AB=3,BC=6,S.AD=ABC,ADAB=——,

2

則實(shí)數(shù)2的值為，若",N是線段3C上的動(dòng)點(diǎn)，且|MN|=1,則。M.ON的最小值為.

【分析】可得N54D=120,利用平面向量數(shù)量積的定義求得2的值，然后以點(diǎn)8為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直

線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)M（x,0）,則點(diǎn)N（尤+1,0）（其中0Wx（5）,得出N0.ZW關(guān)于了的函

數(shù)表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得。的最小值.

【詳解】AD=ABC，AD//BC,.-.ZBAZ）=180-ZB=120，

AB-AD=/IBC-AB=2|BC|-|AB|COS120

=2x6x3x[—g]=-92=—T,

解得4=

0

以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系xBy,

團(tuán)四|=3,ZABC=60?；谹的坐標(biāo)為A

0X0AD=-BCJlJD，設(shè)M（x,O）,則N（x+l,O）（其中0WxW5）,

6

(5WO(Q

DM=\x——,--—,DN=x——

I22J〔2

DMDN=-4x+y=(X-2)2+y

所以，當(dāng)尤=2時(shí)，OATDN取得最小值彳.

113

故答案為：—；--.

62

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算，考查平面向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于

中等題.

11.（2020?北京?高考真題）已知正方形A3CD的邊長為2,點(diǎn)P滿足AP=g（A2+AC）,貝修尸。|=；

PBPD=-

【答案】亞-1

【分析】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB.9所在直線分別為X、＞軸建立平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)尸的坐標(biāo),

利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得|即|以及PRPD的值.

【詳解】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD所在直線分別為X、＞軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

則點(diǎn)4(0,0)、3(2,0)、C(2,2)、Z>(0,2),

AP=1(AB+AC)=i(2,0)+1(2,2)=(2,1),

則點(diǎn)P(2,l),.?.P￡)=(一2,1),尸3=(0,-1),

因此，|尸4={(-Zf+F=如，PB.pr>=0x(-2)+lx(-l)=-l.

故答案為：石；-1.

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的模和數(shù)量積的計(jì)算，建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)是解答的關(guān)鍵，考

查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

考點(diǎn)06求平面向量的夾角

一、單選題

1.（2023?全國甲卷?高考真題）已知向量￡=（3,1）,》=（2,2）,貝!|cos（a+b,a-6〉=（）

A-B.叵C.@D.還

171755

【答案】B

【分析】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標(biāo)表示分別求得忖+闈。-4（。+6〉"6）,從而利用平面向量余弦

的運(yùn)算公式即可得解.

【詳解】因?yàn)閍=(3,1),6=(2,2),所以a+)=(5,3),a-6=(l,-l),

則,+，卜也。+3?=V34,|<7—Z>|=A/1+I=5/2,(a+b^(a—b^=5xl+3x(―=2,

/----\\a+b\\a-b\2Jp7

所以cos(a+6,a-少=\一編一.一尸二”

'/\a+Ma-b\國x近17

故選：B.

2.（2023,全國甲卷?高考真題）已知向量a,6,c滿足同=W=lJc|=&,且d+b+e=0，貝！Icos〈a-c,6-c）=

()

【答案】D

【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.

【詳解】因?yàn)閍+6+c=0,所以5+6=-L

即42+62+24,石=/,即1+1+2：力=2,所以4力=0.

如圖，設(shè)。4=a,O8=6,OC=C,

C

ADB

由題知,0A=OB=1,OC=6,40AB是等腰直角三角形,

A8邊上的高0。=",&。=走，

22

所以8=(70+0。=&+交=逑，

22

tanZAC￡>=—=-,cosNACD=

CD3回，

cos{a-c,b-c)-cosNACB=cos2NACD=2cos2ZACD-1

故選:D.

3.(2022?全國新H卷?高考真題)已知向量2=(3,4),「=(1,0),"=。+正,若<a,c>=<b,c>,則，=()

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

【分析】利用向量的運(yùn)算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡即可求得

【詳解】解：c=(3+r,4),cos〈a?=cos他?，即一說一=%丁,解得。=5,

故選:C

4.(2020?全國?IWJ考真題)已知向量a,Z?滿足1。1=5,|。|=6,a-b=-69則cosva,〃+》>=()

A31c19「17r19

A.--B.--C.—D.——

35353535

【答案】D

【分析】計(jì)算出。?(〃+可、的值，利用平面向量數(shù)量積可計(jì)算出cos<〃,〃+b>的值.

［詳解］忖=5,|/?|=6,a?b=—6，.?.々?(Q+0)=W+Q2=52—6=19.

W++刀=+2夕?〃+=^25-2x6+36=7,

a\a+b)1919

因止匕，cos<a,a+b>=■[—[—；-----r=-~~~=—.

\a\-\a+t\5x735

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量夾角余弦值的計(jì)算，同時(shí)也考查了平面向量數(shù)量積的計(jì)算以及向量模的計(jì)算,

考查計(jì)算能力，屬于中等題.

5.(2019?全國?高考真題)已知非零向量〃”滿足M=2”，且則￡與人的夾角為

71712兀5兀

A.B.C.—D.

~673~6

【答案】B

【分析】本題主要考查利用平面向量數(shù)量積計(jì)算向量長度、夾角與垂直問題，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)學(xué)計(jì)

算等數(shù)學(xué)素養(yǎng).先由得出向量的數(shù)量積與其模的關(guān)系，再利用向量夾角公式即可計(jì)算出向量

夾角.

...2,a-b|邸1

【詳解】因?yàn)?a-b)_Lb，所以(4_力心=°力一萬'=0，所以a/=/，所以c°se=DpW=5而=5，所以a

與B的夾角為g，故選B.

【點(diǎn)睛】對向量夾角的計(jì)算，先計(jì)算出向量的數(shù)量積及各個(gè)向量的摸，在利用向量夾角公式求出夾角的余

弦值，再求出夾角，注意向量夾角范圍為［0,兀］.

6.(2016?全國?高考真題)已知向量84=(；當(dāng)攬=g,；),則NABC二

A.30°B.45°C.60°D.120°

【答案】A

_x___?__xr~

【詳解】試題分析：由題意，得cos/ABC=BABC_2_^_=V3,所以NABC=30。，故選A.

網(wǎng)|叫1x12

【考點(diǎn)】向量的夾角公式.

【思維拓展】(1)平面向量。與b的數(shù)量積為a-Q|aM|cos6,其中。是。與匕的夾角，要注意夾角的定義和

州物

它的取值范圍：0W6W180；(2)由向量的數(shù)量積的性質(zhì)知⑷=?區(qū)，----，aRO=a_L6,

Ml閾

因此，利用平面向量的數(shù)量積可以解決與長度、角度、垂直等有關(guān)的問題.

二、填空題

7.(2022,天津考真題)在ABC中，CA=a,CB=b，。是AC中點(diǎn)，CB=2BE,試用a,b表示DE為

若AB上DE，則/ACB的最大值為

31TT

【答案】y

226

【分析】法一:根據(jù)向量的減法以及向量的數(shù)乘即可表示出DE，以｛。，可為基底，表示出膽龐，由旗JLDE

可得3b\a=4b-a＞再根據(jù)向量夾角公式以及基本不等式即可求出.

法二：以點(diǎn)E為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)E(0,0),B(l,0),C(3,0),A(x,y),由AB，DE可得點(diǎn)A的軌跡為

以M(T,0)為圓心，以廠=2為半徑的圓，方程為(x+Il+產(chǎn)=4,即可根據(jù)幾何性質(zhì)可知，當(dāng)且僅當(dāng)C