教師資格認(rèn)定考試初級中學(xué)數(shù)學(xué)模擬題18

教師資格認(rèn)定考試初級中學(xué)數(shù)學(xué)模擬題18一、單項(xiàng)選擇題1.

A.e-2B.e2C.2eD.-2e正確答案：A[解析]由，知選A。

2.

曲面z=4-x2-y2在點(diǎn)P處的切平面平行于平面2x+2y+z-1=0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是______A.(1，1，2)B.(-1，1，2)C.(1，-1，2)D.(-1，-1，2)正確答案：A[解析]設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0，z0)，故曲面在切點(diǎn)處的切平面的法向量為n=(2x0，2y0，1)，平面2x+2y+z-1=0的法向量m=(2，2，1)，則m∥n，所以，，解得P(1，1，2)。

3.

設(shè)A是n階矩陣，則|(2A)*|=______A.2n|A*|B.2n-1|A*|C.2n2-n|A*|D.2n2|A*|正確答案：C[解析]|(2A)*|=|2A|n-1=(2n|A|)n-1=2n(n-1)|A*|，故選C。

4.

計算積分

A．

B．

C．

D．正確答案：A[解析]

5.

下列命題中，假命題為______

A．存在四邊相等的四邊形不是正方形

B．z1，z2∈C，z1+z2為實(shí)數(shù)的充分必要條件是z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)

C．若x，y∈R，且x+y＞2，則x，y至少有一個大于1

D．對于任意n∈N，都是偶數(shù)正確答案：B[解析]令z1=-1+mi，z2=9-mi(m∈R)，有z1+z2=8∈R，但z1，z2不互為共軛復(fù)數(shù)，故B項(xiàng)錯誤。四邊相等的四邊形可能是菱形，A項(xiàng)正確；對于x，y∈R，若假設(shè)x，y都不大于1，則必有x+y＜2，與x+y＞2矛盾，故假設(shè)錯誤，C項(xiàng)正確；對于任意n∈N，，必為偶數(shù)，D項(xiàng)正確。

6.

設(shè)二次型f(x1，x2，x3)在正交變換x=Py下的標(biāo)準(zhǔn)型為，其中P=(e1，e2，e3)，若Q=(e1，-e3，e2)，則f(x1，x2，x3)在正交變換x=Qy下的標(biāo)準(zhǔn)型為______

A．

B．

C．

D．正確答案：A[解析]x=Py，則，且，，則，，所以。

7.

解決柯尼斯堡七橋問題，并對一筆畫問題進(jìn)行了闡述的數(shù)學(xué)家是______A.高斯B.萊布尼茨C.歐拉D.費(fèi)馬正確答案：C[解析]歐拉在1736年解決了柯尼斯堡七橋問題，對一筆畫問題進(jìn)行了闡述，是最早運(yùn)用圖論和拓?fù)鋵W(xué)的典范。

8.

下列不屬于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011年版)中初中數(shù)學(xué)課程“基礎(chǔ)性”內(nèi)涵的是______A.初中階段的數(shù)學(xué)課程中有大量的內(nèi)容是未來公民在日常生活中必須用到的B.初中階段是每一個學(xué)生必須經(jīng)歷的基礎(chǔ)教育階段，它將為其后續(xù)生存、發(fā)展打下必要的基礎(chǔ)C.初中數(shù)學(xué)課程是為即將結(jié)束義務(wù)教育階段的初中學(xué)生謀求明日的發(fā)展D.數(shù)學(xué)課程內(nèi)容是學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)其他課程的必要基礎(chǔ)正確答案：C[解析]選項(xiàng)C屬于初中數(shù)學(xué)課程“發(fā)展性”的含義。

二、簡答題(本大題共5小題，每小題7分，共35分)1.

設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=f(1)=0，，試證至少存在一個ξ∈(0，1)，使f'(ξ)=1。正確答案：證：令F(x)=f(x)-x，顯然F(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，

又f(0)=f(1)=0，，

故F(1)=f(1)-1=-1＜0，，

由零點(diǎn)存在定理可知，存在一個，使F(η)=0，

又F(0)=f(0)-0=0，F(xiàn)'(x)=f'(x)-1，

對F(x)在[0，η]上用羅爾定理知，至少存在一個，使得F'(ξ)=0，即f'(ξ)=1。

2.

在橢圓(a＞b＞0)內(nèi)接一個矩形，使其平行于橢圓的軸，且面積最大，求這一矩形的邊長及面積。正確答案：解：設(shè)x，y分別為橢圓內(nèi)接矩形兩鄰邊邊長的一半，則矩形面積為S=4xy，由題可知(x，y)為橢圓上的點(diǎn)．

因?yàn)?/p>

所以S=4absintcost=2absin2t，則S'=4abcos2t，S"=-8absin2t．

令S'=0，得，

，

故當(dāng)時，S最大，，此時，矩形的邊長分別為。

甲、乙兩人參加某電視臺舉辦的答題闖關(guān)游戲，按照規(guī)則，甲先從6道備選題中一次性抽取3道題獨(dú)立作答，然后由乙回答剩余3道題，每人答對其中2道題就停止作答，即闖關(guān)成功。已知在6道備選題中，甲能答對其中的4道題，乙答對每道題的概率都是。3.

求甲、乙至少有一人闖關(guān)成功的概率；正確答案：解：先求甲、乙兩人都沒有闖關(guān)成功的概率P1，甲沒有成功即甲抽取的3道題里只有1道能答對，則甲沒有成功的概率，乙沒有成功的概率。

這兩個事件為相互獨(dú)立事件，所以甲、乙兩人都沒闖關(guān)成功的概率，

故甲、乙至少有一人闖關(guān)成功的概率。

4.

設(shè)甲答對題目的個數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望。正確答案：解：ξ的可能取值為1，2。

ξ=1，即甲答對1題，；

ξ=2，即甲答對2題，。

故ξ的分布列如下：ξ12P

5.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011年版)指出：“綜合與實(shí)踐”是教師通過問題引領(lǐng)、學(xué)生全程參與、實(shí)踐過程相對完整的學(xué)習(xí)活動。簡要回答在“綜合與實(shí)踐”教學(xué)中教師如何發(fā)揮好組織者、引導(dǎo)者與合作者的作用。正確答案：(1)教師可以研制、開發(fā)、生成出更多適合本地學(xué)生特點(diǎn)的、有利于實(shí)現(xiàn)“綜合與實(shí)踐”課程目標(biāo)的好問題；(2)引導(dǎo)學(xué)生理解問題，一起設(shè)計合理地解決問題的方案，引領(lǐng)學(xué)生在解決問題的過程中，有更多的投入和收獲，使綜合與實(shí)踐活動更有效；(3)啟發(fā)、幫助、鼓勵學(xué)生解決學(xué)習(xí)活動過程中的困難，努力引導(dǎo)他們自己解決困難；(4)設(shè)計“綜合與實(shí)踐”的評價，將評價貫穿于整個活動過程；(5)引導(dǎo)學(xué)生通過綜合與實(shí)踐活動，體會數(shù)學(xué)的價值，逐漸從“學(xué)會數(shù)學(xué)”走向“會學(xué)數(shù)學(xué)”。

6.

給出中學(xué)幾何研究圖形的幾個主要方法，并試以其中一種為例，說明該種方法的基本特點(diǎn)。正確答案：中學(xué)幾何研究圖形的方法主要有：綜合幾何的方法、解析幾何的方法、向量幾何的方法、函數(shù)的方法等。

綜合幾何的方法是利用幾何的方法研究圖形的性質(zhì)，即用已知的基本圖形的性質(zhì)去研究組合圖形的性質(zhì)。這種方法的基本特點(diǎn)就是把復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為簡單的圖形，把空間的圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形。例如，把兩條線段相等問題轉(zhuǎn)化為兩個三角形全等關(guān)系或一個三角形內(nèi)兩邊的相等關(guān)系，空間兩直線的垂直問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩直線垂直(如三垂線定理)，利用三視圖研究空間幾何體等。在綜合幾何方法中，平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等是研究綜合圖形性質(zhì)的基本方法。

三、解答題(本大題共1小題，10分)設(shè)矩陣，已知線性方程組AX=β有解但不唯一。1.

試求a的值；正確答案：解：對線性方程組AX=β的增廣矩陣作行初等變換，有

因?yàn)榉匠探MAX=β有解但不唯一，所以，故a=-2。

2.

求正交矩陣Q，使QTAQ為對角矩陣。正確答案：解：由上小題知，，對應(yīng)的特征方程為|λE-A|=λ(λ-3)(λ+3)，

可得特征值為λ1=3，λ2=-3，λ3=0，

對應(yīng)特征向量分別為α1=(1，0，-1)T，α2=(1，-2，1)T，α3=(1，1，1)T，

將α1，α2，α3單位化得，

則有。

四、論述題(本大題共1小題，15分)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011年版)中將“數(shù)與代數(shù)”的內(nèi)容分為數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)三大部分，知識之間都存在聯(lián)系。1.

簡述方程與不等式內(nèi)容之間的聯(lián)系；正確答案：在學(xué)習(xí)和研究方程(組)的基礎(chǔ)上，無論是從實(shí)際問題中抽象出不等關(guān)系，建立不等式(組)的概念，還是學(xué)會布列不等式(組)和解不等式(組)的方法與步驟，類比和遷移是主要的思維方式，應(yīng)貫穿于學(xué)習(xí)過程的始終。究其原因，就是方程與不等式具有揭示數(shù)量關(guān)系的共同本質(zhì)，而區(qū)別只在于相等與不等，表現(xiàn)為用“=”連結(jié)與用“＞”或“＜”連結(jié)。去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等變形，既是解方程的主要步驟．也是解不等式的主要步驟，而區(qū)別只在于兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)時有所不同。通過類比和遷移，不僅有助于學(xué)好不等式(組)，而且有助于對數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)會和運(yùn)用，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提升數(shù)學(xué)能力的水平。二元一次方程是一元一次方程的拓展，二元一次方程又要通過“消元”轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解。一元二次方程是一元一次方程的拓展，一元二次方程又可以采用開方和配方等方法，通過“降次”，轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解。這樣的轉(zhuǎn)化，不僅有助于掌握知識、技能和方法，提高學(xué)習(xí)的效率，而且加深了對數(shù)學(xué)中通性和通法的認(rèn)識，體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和研究數(shù)學(xué)的規(guī)律，提升數(shù)學(xué)的思維能力。

2.

如何進(jìn)行方程與不等式的教學(xué)?正確答案：教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計時，要對“方程與不等式”的具體內(nèi)容進(jìn)行“四基”分類，明確教學(xué)內(nèi)容的來龍去脈和結(jié)構(gòu)特征，了解該教學(xué)內(nèi)容的學(xué)生學(xué)習(xí)特征，從而設(shè)計每個類型知識在學(xué)習(xí)目標(biāo)——知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決和情感態(tài)度方面的教學(xué)方案，確定該教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)方法，確保教學(xué)有效開展。在了解“方程與不等式”內(nèi)容特征和學(xué)生學(xué)習(xí)特征的基礎(chǔ)上，需注意以下幾方面：第一，設(shè)置問題情境，促使學(xué)生從算術(shù)思維過渡到關(guān)系思維，理解方程等價思想和結(jié)構(gòu)思想；第二，結(jié)合方程學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生理解不等式概念，聯(lián)系數(shù)軸體會不等式解集和不等式組的解法；第三，通過解方程(組)降次消元等方法的滲透，理解和掌握方程(組)的解法步驟；第四，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系實(shí)際問題，建立方程(組)或不等式模型，形成問題解決的合理的解；第五，通過沒置一些變式練習(xí)，促使學(xué)生熟練方程(組)或不等式的解法和應(yīng)用，尋求不同的問題解法；第六，設(shè)置有利于學(xué)生探究的開放性的問題情境，組織學(xué)生合作學(xué)習(xí)，尋求問題求解的合適模型，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思想。

五、案例分析題(本大題共1小題，20分)案例：

某教師在進(jìn)行一元二次方程教學(xué)時，給學(xué)生出了如下一道練習(xí)題：

已知a，b是方程x2+(k-1)x+k+1=0的兩個根，且a，b是某直角三角形的兩條直角邊，其斜邊長等于1，求k的值。

某學(xué)生的解答過程如下：

解：∵a，b是方程x2+(k-1)x+k+1=0的兩個根，

∴a+b=1-k，ab=k+1，

又由已知得：a2+b2=1，

∴(a+b)2-2ab=1，即k2-4k-2=0，解得。

問題：1.

指出該生解題過程中的錯誤，分析其錯誤原因；正確答案：錯解分析：該生在解題過程中忽視了題目中的隱含條件，即a，b是某直角三角形的兩條直角邊，故必有a＞0，b＞0，a+b＞0，當(dāng)時，，這是不合題意的，故應(yīng)舍去。

2.

給出你的正確解答；正確答案：正確解答：∵a．b既是方程的兩根，又是直角三角形的兩直角邊，

∴a＞0，b＞0，a+b＞0，ab＞0。

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，

a+b=1-k，ab=k+1，①

又由已知得，a2+b2=1，②

將①代入②，得(a+b)2-2ab=1，即k2-4k-2=0，解得。

當(dāng)時，，不合題意，舍去；

當(dāng)時，，，故k的值為。

3.

指出你解題所運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法。正確答案：在解題過程中運(yùn)用了分類討論的思想。

六、教學(xué)設(shè)計題(本大題共1小題，30分)“圓周角定理”是初中九年級上冊的內(nèi)容，是在學(xué)習(xí)了圓心角、圓周角概念后要掌握的內(nèi)容。1.

請敘述“圓周角定理”；正確答案：圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對弧的圓心角度數(shù)的一半。

2.

若要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際背景抽象概括概念的過程，請設(shè)計“圓周角定理”引入的教學(xué)片段；正確答案：導(dǎo)入過程：

如圖是一個圓柱形的海洋館的截面示意圖，人們可以通過其中的圓弧形玻璃窗弧AB觀看窗內(nèi)的海洋動物，同學(xué)甲站在圓心O的位置，同學(xué)乙站在正對著玻璃窗的靠墻的位置C，他們的視角(∠AOB和∠ACB)有什么關(guān)系嗎?如果同學(xué)丙、丁分別站在其他靠墻的位置D和E，他們的視角(∠BDA和∠AEB)和同學(xué)乙的視角相同嗎?

3.

請給出“圓周角定理”的探索與證明兩個教學(xué)環(huán)節(jié)。正確答案：探索環(huán)節(jié)：

師提問：圓周角的度數(shù)與什么有關(guān)系?

讓學(xué)生結(jié)合圓周角的概念通過度量思考以下問題：

①一條弧所對的圓周角有多少個?

②同弧所對的圓周角的度數(shù)之間有何關(guān)系?

③同弧所對的圓周角與圓心角有何數(shù)量關(guān)系?

學(xué)生猜想得到，一條弧上所對的圓周角有無數(shù)個；通過度量，同弧所對的圓周角是沒有變化的；同弧所對的圓周角是圓心角度數(shù)的一半。

教師組織引導(dǎo)學(xué)生分情況進(jìn)行自主探究：

①當(dāng)圓心O在圓周角∠ABC的一邊BC上時，如圖1所示，嗎?

②當(dāng)圓心O在圓周角∠ABC的內(nèi)部時，如圖2，嗎?

③當(dāng)圓心O在圓周角∠ABC的外部時，如圖3，嗎?

設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生全面分析問題的能力及發(fā)散思維能力，滲透分類討論的思想方法。

證明環(huán)節(jié)：

①當(dāng)圓心在圓周角的一邊上時，圓周角與相應(yīng)的圓心角的關(guān)系：(演示圖形)觀察得知圓心在圓周角的一邊上時，圓周角的度數(shù)是相應(yīng)圓心角的一半。

(必須用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法證明，教師完成)

②其他情況下，圓周角與相應(yīng)圓心角的關(guān)系：

當(dāng)圓心在圓周角外