高考數(shù)學一輪復習講練測(新教材新高考)重難點突破10利用導數(shù)解決一類整數(shù)問題(四大題型)(原卷版+解析)

重難點突破10利用導數(shù)解決一類整數(shù)問題目錄利用導數(shù)解決一類整數(shù)問題常見技巧有：1、分離參數(shù)、分離函數(shù)、半分離2、直接限制法3、虛設零點4、必要性探路題型一：整數(shù)解問題之分離參數(shù)、分離函數(shù)、半分離例1．（2023·貴州·校聯(lián)考一模）已知．(1)討論的單調性；(2)若對恒成立，求整數(shù)a的最小值．例2．（2023·四川廣安·廣安二中?？寄M預測）已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；(2)當時，關于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.例3．（2023·黑龍江鶴崗·高三鶴崗一中?？茧A段練習）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調性；(2)若為整數(shù)，且恒成立，求的最大值.變式1．（2023·遼寧沈陽·高三沈陽二十中校聯(lián)考期中）已知函數(shù)(1)判斷的單調性，并比較與的大??；(2)當時，不等式恒成立，求整數(shù)k的最大值．變式2．（2023·天津河北·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調性；(3)若對任意的，都有成立，求整數(shù)的最大值.變式3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上有兩個不同的零點，求實數(shù)k的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)k，使得對任意的，都有函數(shù)的圖象在的圖象的下方？若存在，請求出最大整數(shù)k的值；若不存在，請說理由.（參考數(shù)據(jù)：）變式4．（2023·云南·校聯(lián)考三模）設函數(shù)，若存在唯一整數(shù)，使得，則的取值范圍是________.變式5．（2023·遼寧錦州·渤海大學附屬高級中學校考模擬預測）若關于x的不等式的解集中恰有2個整數(shù)，則k的取值范圍是______．變式6．（2023·云南·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)，滿足f（x）＜0恒成立的最大整數(shù)m的值為___．變式7．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍是____.變式8．（2023·全國·高三專題練習）若對，關于x的不等式恒成立，則整數(shù)m的最小值為___________.題型二：整數(shù)解問題之直接限制法例4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若有且僅有兩個整數(shù)，滿足，則實數(shù)a的取值范圍為__________．例5．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(2)若為整數(shù)，且關于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.例6．（2023·云南·高三云南民族大學附屬中學?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)討論函數(shù)的單調性；(2)若m為整數(shù)，且關于x的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.變式9．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的單調區(qū)間；（Ⅱ）求證：曲線在點處的切線不經(jīng)過原點；（Ⅲ）設整數(shù)使得對恒成立，求整數(shù)的最大值.題型三：整數(shù)解問題之虛設零點例7．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)若對任意的，不等式在上恒成立，求整數(shù)的最大值.例8．（2023·河北石家莊·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為．(1)求，的值；(2)若關于的不等式對于任意恒成立，求整數(shù)的最大值．（參考數(shù)據(jù)：）例9．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)若為整數(shù)，且函數(shù)有4個零點，求的最小值．變式10．（2023·廣西桂林·?？寄M預測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調性；(2)若，且存在整數(shù)使得恒成立，求整數(shù)的最大值.（參考數(shù)據(jù)：，）變式11．（2023·安徽·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)若為整數(shù)時，當時，恒成立，求的最小值.（參考數(shù)據(jù)：，，…）題型四：整數(shù)解問題之必要性探路例10．（2023·重慶·重慶南開中學?？寄M預測）對于定義在上的函數(shù)，若存在，使得，則稱為的一個不動點．設函數(shù)，已知為函數(shù)的不動點．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)若，且對任意滿足條件的成立，求整數(shù)的最大值．（參考數(shù)據(jù)：，，，，）例11．（2023·全國·高三專題練習）已知，函數(shù)，．(1)若，求證：在上是增函數(shù)；(2)若存在，使得對于任意的成立，求最大的整數(shù)的值．例12．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù).(1)當時，求的最小值；(2)若在上恒成立，求整數(shù)a的最小值.變式12．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習），對，，求整數(shù)的最小值．

重難點突破10利用導數(shù)解決一類整數(shù)問題目錄利用導數(shù)解決一類整數(shù)問題常見技巧有：1、分離參數(shù)、分離函數(shù)、半分離2、直接限制法3、虛設零點4、必要性探路題型一：整數(shù)解問題之分離參數(shù)、分離函數(shù)、半分離例1．（2023·貴州·校聯(lián)考一模）已知．(1)討論的單調性；(2)若對恒成立，求整數(shù)a的最小值．【解析】（1）的定義域為，（?。┊敃r，，∴在上單調遞增；（ⅱ）當時，令，令，∴當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減．（2）由，可得：，∵，∴原命題等價于對恒成立．令，∴，令，∴，∴在上單調遞增．又，故存在唯一的，使得．當時，，∴，∴在上單調遞增，當時，，∴，∴在上單調遞減．∴，∴時，恒成立．∴，又，∴a的最小整數(shù)值為2．例2．（2023·四川廣安·廣安二中?？寄M預測）已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；(2)當時，關于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.【解析】（1），，當時，，當時，，則在上單調遞減，在上單調遞增，若在上有兩個零點，則解得，故的取值范圍是（2），即，在時恒成立，令，，當時，，當時，，則在上單調遞減，在上單調遞增，故，即，當且僅當時等號成立，令，，當時，，當時，，則在單調遞增，在上單調遞減，，即，當且僅當時等號成立，而時，，故，當時，不等式為，而時滿足題意，故整數(shù)的最小值為例3．（2023·黑龍江鶴崗·高三鶴崗一中校考階段練習）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調性；(2)若為整數(shù)，且恒成立，求的最大值.【解析】（1）的定義域為，.當時，，則在上單調遞增；當時，解，即，得（舍去負值）；解，即，得，所以在上單調遞增；解，即，得，所以在上單調遞減.綜上所述，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.（2）由已知可得，恒成立，，即在上恒成立.令，則只需即可.，令，在上恒成立，所以單調遞增.且，，所以，，使得，且當時，，當時，.即，使得，且當時，，在上單調遞減；當時，，在上單調遞增.所以，在處取得唯一極小值，也是最小值.又，則.所以，令，，，，則，當時，，所以，在上單調遞增，從而在上單調遞減，則，又，，所以，所以.又為整數(shù)，，所以的最大值為0.變式1．（2023·遼寧沈陽·高三沈陽二十中校聯(lián)考期中）已知函數(shù)(1)判斷的單調性，并比較與的大小；(2)當時，不等式恒成立，求整數(shù)k的最大值．【解析】（1）由題意知：函數(shù)的定義域為，，當時，，函數(shù)單調遞減；當時，，函數(shù)單調遞增；所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，所以，即，所以，即，又因為在上單調遞增，所以，（2）因為，所以，所以不等式可化為，因為，所以，所以不等式等價轉化為對任意的恒成立，令，則，令，則，因為，所以對任意的恒成立，所以在上單調遞增，因為，，故，使得，因此當時，，即在上單調遞減，當時，，即在上單調遞增，故，所以，故整數(shù)的最大值為.變式2．（2023·天津河北·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調性；(3)若對任意的，都有成立，求整數(shù)的最大值.【解析】（1）函數(shù)，求導得，則，而，所以曲線在點處的切線方程是.（2）函數(shù)的定義域是，，當時，，函數(shù)單調遞減，當時，，函數(shù)單調遞增，所以函數(shù)的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是.（3），，令，求導得，由（2）知，在上單調遞增，，，因此存在唯一，使得，即，當時，，即，當時，，即，因此函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，于是，則，所以整數(shù)的最大值是3.變式3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上有兩個不同的零點，求實數(shù)k的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)k，使得對任意的，都有函數(shù)的圖象在的圖象的下方？若存在，請求出最大整數(shù)k的值；若不存在，請說理由.（參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1）因為，則由題意知方程在上有兩個不同的根.由得令，則，由解得.當時，，單調遞減；當時，單調遞增，所以當時，取得最小值為，又，，所以，解得.（2）假設存在實數(shù)k滿足題意，則不等式對恒成立，即對恒成立.令則，令，則，因為在上單調遞增，，且的圖象在上不間斷，所以存在使得即則，所以當時，單凋遞減；當時，單調遞增，則取到最小值，當且僅當時，等號成立，但由于故等號無法取到，則,所以即在區(qū)間內(nèi)單調遞增.所以，所以存在實數(shù)k滿足題意，且最大整數(shù)k的值為1.變式4．（2023·云南·校聯(lián)考三模）設函數(shù)，若存在唯一整數(shù)，使得，則的取值范圍是________.【答案】【解析】由函數(shù)，設和因為存在唯一整數(shù)，使得，所以存在唯一的整數(shù)使得在直線的下方，如圖所示，因為，當時，；當時，，所以在上單調遞減，在單調遞增，當時，取得極小值，也為最小值，且當時，，當時，，又由直線恒經(jīng)過原點，斜率為（其中），所以且，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：

變式5．（2023·遼寧錦州·渤海大學附屬高級中學?？寄M預測）若關于x的不等式的解集中恰有2個整數(shù)，則k的取值范圍是______．【答案】【解析】，不等式可化為，令，，由解得，由解得，在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，令，則的圖象恒過，若解集恰有個整數(shù)，當時，有無數(shù)個整數(shù)解，不滿足題意；當時，如圖，則兩個整數(shù)為1和2，故2滿足不等式且3不滿足不等式，即且，解得，故答案為：

變式6．（2023·云南·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)，滿足f（x）＜0恒成立的最大整數(shù)m的值為___．【答案】3【解析】原不等式等價于，由與的圖象平移變換可知，若滿足題意，則只要小于與兩個函數(shù)相切時的值即可.設公切點為，則有，所以，所以，令，則，故單調遞增，而，故，使得，所以，由對勾函數(shù)的性質，可得，故最大整數(shù)m取3.故答案為：3.變式7．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍是____.【答案】.【解析】設，，由題意知，函數(shù)在直線下方的圖象中只有一個點的橫坐標為整數(shù)，，當時，，當時，,所以，函數(shù)的最小值為.又，（1），直線恒過定點且斜率為，故且，解得.故答案為：.變式8．（2023·全國·高三專題練習）若對，關于x的不等式恒成立，則整數(shù)m的最小值為___________.【答案】【解析】設，，只需保證的圖象在的上方即可易知：在區(qū)間上單調遞增，且（否則當無限趨近無窮大時，不能成立）則存在與在某個點處相切，設切點為可得：化簡可得：設，易知在區(qū)間上單調遞增可得：，可得：則，這是與在某個點處相切的范圍，當比相切時大，則會在上方，即也滿足題意故的最小整數(shù)為故答案為：2題型二：整數(shù)解問題之直接限制法例4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若有且僅有兩個整數(shù)，滿足，則實數(shù)a的取值范圍為__________．【答案】【解析】若，即，因為，所以，即，記，故只需有且僅有兩個整數(shù)使得成立即可，所以，記，所以，所以在上單調遞增，因為，，所以，使得，即，在上，即，單調遞減，在上，即，單調遞增，所以有最小值，因為，且，，而，若使有且僅有兩個整數(shù)，只需即可，解得.故答案為：例5．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(2)若為整數(shù)，且關于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.【解析】（1）若時，在區(qū)間上單調遞減，所以.若，則二次函數(shù)圖象對稱軸，當，即時，1離對稱軸近，2離對稱軸遠，所以.當，即時，1離對稱軸遠，2離對稱軸近，.若，對稱軸在區(qū)間上單調遞減，綜上，.（2）因為恒成立，即恒成立，令,所以,當時，因為，所以，所以在上是單調遞增函數(shù).又因為，所以關于的不等式不能恒成立.當時，,令得，所以當時，；當時，.因此函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).故函數(shù)的最大值為.令，因為.又因為在上是減函數(shù)，所以當時，,即關于的不等式恒成立，所以整數(shù)的最小值為2.例6．（2023·云南·高三云南民族大學附屬中學?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)討論函數(shù)的單調性；(2)若m為整數(shù)，且關于x的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.【解析】（1）由題意知，的定義域為，對求導，得當時，恒成立，所以在上單調遞增；當時，由，得，由，得所以，在上單調遞增，在上單調遞減；綜上所述：當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.（2）因為恒成立，即，即恒成立，令.所以.當時，因為，所以，所以在上是遞增函數(shù).又因為，所以關于的不等式不能恒成立.當時，.令得，所以當時，；當時，.因此函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).故函數(shù)的最大值為.令，因為，.又因為在上是減函數(shù)，所以當時，.所以整數(shù)的最小值為2.變式9．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的單調區(qū)間；（Ⅱ）求證：曲線在點處的切線不經(jīng)過原點；（Ⅲ）設整數(shù)使得對恒成立，求整數(shù)的最大值.【解析】（Ⅰ）函數(shù)的導數(shù)為，由得，由，得，所以在上單調遞增，由，得，所以在上單調遞減.所以的單調減區(qū)間為，增區(qū)間為.（Ⅱ）由（Ⅰ）得曲線在點處的切線為，其中，假設在點處的切線經(jīng)過原點.則有，即，整理得與矛盾，則曲線在點處的切線不經(jīng)過原點；（Ⅲ）對恒成立等價于當時，恒成立.令，則.由，得，隨著變化，，的變化情況如下表所示：﹣0+極小值所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以函數(shù)的最小值為，令，則.當時，因為的最小值為，所以恒成立，符合題意；當時.由，得函數(shù)，在上單調遞減，所以，故此時的最小值，不符合題意，所以整數(shù)的最大值是2.題型三：整數(shù)解問題之虛設零點例7．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)若對任意的，不等式在上恒成立，求整數(shù)的最大值.【解析】（1）函數(shù)的定義域為，，令得，，①當時，若，則；若，則，故在，上單調遞增，在上單調遞減；②當時，若，則；若，則，故在上單調遞增，在，上單調遞減.（2）因為且，所以，于是原命題等價于不等式對任意的恒成立.從而對一切恒成立，令，則，∵，令，，則，∴在上單增，又，，∴使，即①，當時，，即在遞減；當時，，即在，遞增，∴，由①知，∴，∵函數(shù)在上單調遞增，∴即，∴，∴，因此整數(shù)的最大值是1.例8．（2023·河北石家莊·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為．(1)求，的值；(2)若關于的不等式對于任意恒成立，求整數(shù)的最大值．（參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1）函數(shù)，求導得：，因為函數(shù)的圖象在處的切線方程為，則，解得，當時，，則，解得，所以，.（2）由（1）知，，，令，，在上單調遞增，當時，，當時，，因此函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，，，，于是存在，使得，當或時，，當時，，即有函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，而，，顯然函數(shù)在上的最小值為與中最小的，由得，因此，函數(shù)圖象對稱軸，顯然，以下比較到的距離大?。喝?，則有，，，若，則，從而函數(shù)在上，當時，有，即，顯然，綜上，函數(shù)在上的最小值在區(qū)間內(nèi)，對于任意恒成立，則有，所以整數(shù)的最大值為3.例9．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)若為整數(shù)，且函數(shù)有4個零點，求的最小值．【解析】（1）函數(shù)的定義域為，，令，即，，的關系如下表：0↗極大值↘時，的極大值為，無極小值．（2）由題意得，有4個零點，即方程在有4個不相等的實根．令，，令，可知要使有四個零點，則至少應有三個零點，，至少有兩個零點，，其中，①當時，，則在上單調遞增，至多只有一個零點不合題意；②當時，時，；，，在上遞減，在上遞增，要使有兩個零點，，解得此時，，，，，在存在一個零點，且下面證明當時，當時，令，，令，；當時，，在上遞增，在上遞增，，即，，，在存在一個零點，且，時，，，，在和單調遞減，和單調遞增，只需，在，，，各有一個零點其中，，令，；在上單調遞減，，，存在，使得，當時，，又∵是整數(shù)，∴的最小值是4．變式10．（2023·廣西桂林·?？寄M預測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調性；(2)若，且存在整數(shù)使得恒成立，求整數(shù)的最大值.（參考數(shù)據(jù)：，）【解析】（1），，若，則，，當時，，當時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，若，則，所以函數(shù)在上遞增，若，則，當或時，，當時，，所以函數(shù)在上遞減，在和上遞增，若，則，當或時，，當時，，所以函數(shù)在上遞減，在和上遞增，綜上所述，當時，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當時，函數(shù)在上遞增，當時，函數(shù)在上遞減，在和上遞增，當時，函數(shù)在上遞減，在和上遞增；（2）若，，，，令，則，令，則，所以函數(shù)在上遞增，即函數(shù)在上遞增，又，則當時，，當時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，又，，，所以函數(shù)存在唯一的零點，且，此時，則當時，，即，當時，，即，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，令，，則，，所以函數(shù)在上遞減，所以，又，，所以，又存在整數(shù)使得恒成立，所以整數(shù)的最大值為0.變式11．（2023·安徽·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)若為整數(shù)時，當時，恒成立，求的最小值.（參考數(shù)據(jù)：，，…）【解析】（1）當時，，則，所以，，所以，曲線在點處的切線方程為，即.（2）.且函數(shù)的定義域為，，令，，，，令，其中，則，所以，在單調遞增，當，，單調遞減，當時，，單調遞增.①當時，，在上恒成立，單調遞增，，記，則，在區(qū)間上單調增遞，，，故當時，恒成立；②當時，又，即時，，因為，，記，由上可知在上單調遞增，且在單調遞減，在單調遞增，，，，所以，，，，且當時，，當時，，所以，在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增，由，所以，令，，則，當時，，，單調遞減，，故當時，；③當時，，，記，，，易知單調遞增，在單調遞減，單調遞增，，，，，，當時，，當時，，在上單調遞增，上單調遞減，上單調遞增.因為，當時，，不符合題意，的最小值為.題型四：整數(shù)解問題之必要性探路例10．（2023·重慶·重慶南開中學?？寄M預測）對于定義在上的函數(shù)，若存在，使得，則稱為的一個不動點．設函數(shù)，已知為函數(shù)的不動點．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)若，且對任意滿足條件的成立，求整數(shù)的最大值．（參考數(shù)據(jù)：，，，，）【解析】（1）依題意，方程在內(nèi)有根，且，令，，求導得，當時，在，上都遞增，而，因此函數(shù)在、無零點，當時，令，，，則函數(shù)在，上都遞增，當時，當時，，函數(shù)在上遞增，無零點，當時，，則存在，使得，即，當時，