高考數(shù)學人教A版2019選擇性必修第一冊專題3.7直線與拋物線的位置關(guān)系【八大題型】(原卷版+解析)

專題3.7直線與拋物線的位置關(guān)系【八大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1判斷直線與拋物線的位置關(guān)系】 1【題型2根據(jù)直線與拋物線的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍】 2【題型3拋物線的弦長問題】 3【題型4拋物線的焦點弦問題】 3【題型5拋物線中的切線問題】 4【題型6拋物線中的面積問題】 5【題型7拋物線中的定點、定值、定直線問題】 6【題型8拋物線中的最值問題】 8【知識點1直線與拋物線的位置關(guān)系】1．直線與拋物線的位置關(guān)系(1)直線與拋物線的三種位置關(guān)系：(2)設直線l:y=kx+m，拋物線:=2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，整理成關(guān)于x的方程.①若k≠0，當>0時，直線與拋物線相交，有兩個交點；當=0時，直線與拋物線相切，有一個交點；當<0時，直線與拋物線相離，無交點.②若k=0，直線與拋物線只有一個交點，此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.因此直線與拋物線只有一個交點是直線與拋物線相切的必要不充分條件.【題型1判斷直線與拋物線的位置關(guān)系】【例1】（2023·全國·高三專題練習）直線y=kx?1+2與拋物線x2=4y的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【變式1-1】（2022·高二課時練習）“直線與拋物線相切”是“直線與拋物線只有一個公共點”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-2】（2023春·上海虹口·高二校考期中）已知拋物線方程y2=4x，過點P1,2A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【變式1-3】（2022·全國·高二專題練習）已知拋物線C1：y＝a（x+1）2﹣3過圓C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圓心，將拋物線C1先向右平移1個單位，再向上平移3個單位，得到拋物線C3，則直線l：x+16y﹣1＝0與拋物線C3的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相切C．相離 D．以上都有可能【題型2根據(jù)直線與拋物線的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍】【例2】（2022·高二課時練習）若直線y＝kx＋2與拋物線y2＝x只有一個公共點，則實數(shù)k的值為（

）A．18 C．18或0 【變式2-1】（2023·高二課時練習）直線y=kx+b與拋物線y2=4x有且只有一個公共點，則k，b滿足的條件是（A．kb=1 B．k=0，b∈C．b≠0，k=0 D．kb=1或k=0【變式2-2】（2022秋·高二課時練習）已知拋物線C的方程為x2=12y，過點A0,?1和點Bt,3的直線lA．?∞,?2C．?∞,?22【變式2-3】（2023·山東·統(tǒng)考二模）已知拋物線C:y2=4x，若過點P(?2,0)作直線l與拋物線C交A，B兩個不同點，且直線l的斜率為k，則kA．?22,0∪0,22 B．【知識點2拋物線的弦長與焦點弦問題】1．弦長問題設直線與拋物線交于A,B兩點，則

|AB|==或

|AB|==(k為直線的斜率，k≠0).2．拋物線的焦點弦問題拋物線=2px(p>0)上一點A與焦點F(,0)的距離為|AF|=，若MN為拋物線=2px(p>0)的焦點弦，則焦點弦長為|MN|=++p(,分別為M,N的橫坐標).設過拋物線焦點的弦的端點為A,B，則四種標準方程形式下的弦長公式為：標準方程弦長公式y(tǒng)2=2px(p>0)|AB|=x1+x2+py2=-2px(p>0)|AB|=p-(x1+x2)x2=2py(p>0)|AB|=y1+y2+px2=-2py(p>0)|AB|=p-(y1+y2)【題型3拋物線的弦長問題】【例3】（2023·河南安陽·統(tǒng)考三模）已知拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l，過點F的直線交拋物線于A、B兩點，且點A到l的距離為4，則AB=A．4 B．5 C．163 D．【變式3-1】（2023秋·陜西西安·高二?？计谀┰O經(jīng)過點F1,0的直線與拋物線y2=4x相交于A,B兩點，若線段AB中點的橫坐標為3，則ABA．6 B．8 C．10 D．12【變式3-2】（2023秋·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）過拋物線y2=2pxp>0的焦點F作直線，交拋物線于Ax0,y1，A．1 B．2 C．3 D．4【變式3-3】（2023·遼寧朝陽·朝陽市?？寄M預測）過拋物線C：y2=2px焦點F的直線與C交于A，B兩點，過點B向拋物線C的準線作垂線，垂足為D?1,?1，則ABA．174 B．254 C．18【題型4拋物線的焦點弦問題】【例4】（2023·全國·高三專題練習）已知過拋物線C:y=x28的焦點F，且傾斜角為π3的直線l交拋物線C于A，B兩點，則A．32 B．323 C．283【變式4-1】（2023秋·高二單元測試）過拋物線x2=6y焦點的直線與拋物線交于點M,N，若MN=12，則直線MNA．2x+2y+3=0 B．2x+2y?3=0C．2x?2y+3=0或2x+2y+3=0 D．2x?2y+3=0或2x+2y?3=0【變式4-2】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線x2a2?y2b2=1a>0,b>0的離心率為2，拋物線y2=4x的焦點為F，過A．16 B．83 C．8 D．【變式4-3】（2023·廣西南寧·南寧三中?？家荒＃┮阎獟佄锞€C:y2=4x的焦點為F，過點F作兩條互相垂直的直線l1，l2，且直線l1，l2分別與拋物線C交于A，B和DA．32 B．64 C．128 D．256【知識點3拋物線的切線】1．拋物線的切線過拋物線=2px(p>0)上的點P的切線方程是.

拋物線=2px(p>0)的斜率為k的切線方程是(k≠0).【題型5拋物線中的切線問題】【例5】（2023·河南開封·開封高中?？寄M預測）已知點P(4,?2)在拋物線C:x2=2py(p>0)的準線上，過點P作C的兩條切線，切點分別為A，B，則直線ABA．x?y+2=0 B．2x?y+2=0 C．3x?y+2=0 D．x?2y+4=0【變式5-1】（2023·全國·高三專題練習）已知F為拋物線C:y2=4x的焦點，O為坐標原點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A,B兩點，直線l2(1)當A的縱坐標為4時，求拋物線C在點A處的切線方程；(2)四邊形ADBE面積的最小值.【變式5-2】（2023秋·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線C:x2=2pyp>0的焦點為F，直線y=2與拋物線C在第一象限的交點為(1)求拋物線C的方程；(2)過直線x?y?3=0上的點B作拋物線C的兩條切線，設切點分別為P，Q，求點C?2,0到直線PQ【變式5-3】（2023春·云南曲靖·高一校考期末）已知A、B是拋物線C:y2=8x上的兩點，M是線段AB的中點，過點A和B分別作C的切線l1(1)證明：PM⊥y軸：(2)若點P的坐標為?4,2，求△PAB的面積.注：拋物線y2=2px在點x0【題型6拋物線中的面積問題】【例6】（2023秋·湖北荊州·高二?？计谀┮阎獟佄锞€C:y(1)經(jīng)過點M(?1,1)作直線l，若l與拋物線C有且僅有一個公共點，求l的方程；(2)設拋物線C的準線與x軸的交點為N，直線m過點P(1,0)，且與拋物線C交于A,B兩點，AB的中點為Q，若QN=33，求△ANB【變式6-1】（2023春·貴州黔南·高二統(tǒng)考期末）已知直線2x?y?1=0與拋物線C:x2=2pyp＞(1)求p的值；(2)設F為拋物線C的焦點，M,N為拋物線C上兩點，F(xiàn)M?FN=0【變式6-2】（2023春·河南南陽·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線E：y2=x的焦點為F，過x軸正半軸上一點M的直線l與拋物線E交于A、B兩點，O為坐標原點，且(1)求點M的坐標；(2)設點F關(guān)于直線OB的對稱點為C，求四邊形OABC面積的最小值.【變式6-3】（2023春·江西上饒·高二校聯(lián)考階段練習）已知坐標原點為O，拋物線為G:x2=2py(p>0)與雙曲線y23?x(1)求拋物線G的方程；(2)已知點M(?2,?1)，過點M作拋物線G的兩條切線，切點分別為A，B，切線MA，MB分別交x軸于C，D，求△MAB與△MCD的面積之比．【題型7拋物線中的定點、定值、定直線問題】【例7】（2023春·江西贛州·高二?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼祒Oy中，頂點在原點，以坐標軸為對稱軸的拋物線C經(jīng)過點2,4.(1)求C的方程；(2)若C關(guān)于x軸對稱，焦點為F，過點(4,2)且與x軸不垂直的直線l交C于M,N兩點，直線MF交C于另一點A，直線NF交C于另一點B，求證：直線AB過定點.【變式7-1】（2023·湖北襄陽·?？寄M預測）過拋物線x2=2py(p>0)內(nèi)部一點Pm,n作任意兩條直線AB,CD，如圖所示，連接AC,BD延長交于點Q，當P為焦點并且AB⊥CD

(1)求拋物線的方程；(2)若點P1,1，證明Q【變式7-2】（2023·海南省直轄縣級單位·文昌中學校考模擬預測）已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F，準線為l，過點F且傾斜角為π6的直線交拋物線于點M（M在第一象限），MN⊥l，垂足為N，直線NF交x(1)求p的值.(2)若斜率不為0的直線l1與拋物線C相切，切點為G，平行于l1的直線交拋物線C于P,Q兩點，且∠PGQ=π2，點F到直線【變式7-3】（2023春·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點為F，點A2,m(1)求拋物線C的標準方程；(2)直線l與拋物線C相交于M、N兩點，以MN為直徑的圓過點P1,2，作PD⊥MN，D為垂足．是否存在定點Q，使得DQ為定值？若存在，求出點Q【題型8拋物線中的最值問題】【例8】（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，直線y=8與拋物線C交于點P(1)求拋物線C的方程；(2)過點F作拋物線C的兩條互相垂直的弦AB，DE，設弦AB，DE的中點分別為P，Q，求PQ的最小值．【變式8-1】（2023春·山西太原·高三?？茧A段練習）已知拋物線E:x2=2pyp>0的焦點為F，直線x=4分別與x軸交于點P，與拋物線E交于點(1)求拋物線E的方程；(2)如圖，設點A,B,C都在拋物線E上，若△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，求AB?【變式8-2】（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線C：x2=2pyp>0，F(xiàn)為拋物線C的焦點，Mx0(1)求拋物線C的方程；(2)過平面上一動點Pm,m?2作拋物線C的兩條切線PA，PB（其中A，B為切點），求1【變式8-3】（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，過拋物線y2=4x的焦點F作互相垂直的直線l1，l2，l1交拋物線于A，B兩點（A在x軸上方），l2交拋物線于（1）求四邊形ACBD的面積的最小值；（2）若直線AN與x軸的交點為Q，求△AQB面積的最小值．

專題3.7直線與拋物線的位置關(guān)系【八大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1判斷直線與拋物線的位置關(guān)系】 1【題型2根據(jù)直線與拋物線的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍】 3【題型3拋物線的弦長問題】 5【題型4拋物線的焦點弦問題】 7【題型5拋物線中的切線問題】 9【題型6拋物線中的面積問題】 13【題型7拋物線中的定點、定值、定直線問題】 18【題型8拋物線中的最值問題】 24【知識點1直線與拋物線的位置關(guān)系】1．直線與拋物線的位置關(guān)系(1)直線與拋物線的三種位置關(guān)系：(2)設直線l:y=kx+m，拋物線:=2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，整理成關(guān)于x的方程.①若k≠0，當>0時，直線與拋物線相交，有兩個交點；當=0時，直線與拋物線相切，有一個交點；當<0時，直線與拋物線相離，無交點.②若k=0，直線與拋物線只有一個交點，此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.因此直線與拋物線只有一個交點是直線與拋物線相切的必要不充分條件.【題型1判斷直線與拋物線的位置關(guān)系】【例1】（2023·全國·高三專題練習）直線y=kx?1+2與拋物線A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【解題思路】直線y=kx?1+2過定點1,2，在拋物線【解答過程】直線y=kx?1+2過定點∵12∴1,2在拋物線x2∴直線y=kx?1+2與拋物線故選：A．【變式1-1】（2022·高二課時練習）“直線與拋物線相切”是“直線與拋物線只有一個公共點”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)直線與拋物線的位置關(guān)系可得答案.【解答過程】“直線與拋物線相切”可得“直線與拋物線只有一個公共點”，“直線與拋物線只有一個公共點”時，直線可能與對稱軸平行，此時不相切，故“直線與拋物線相切”是“直線與拋物線只有一個公共點”的充分不必要條件.故選：A.【變式1-2】（2023春·上海虹口·高二?？计谥校┮阎獟佄锞€方程y2=4x，過點P1,2A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【解題思路】考慮直線斜率存在k=0，k≠0和不存在三種情況，設直線方程為y=kx?1+2，聯(lián)立方程，根據(jù)【解答過程】點P在拋物線上，易知當直線斜率不存在時不滿足；當直線斜率k=0時，易知y=2滿足條件；當直線斜率存在且k≠0時，設直線方程為y=kx?1+2，即y=kx?k+2y2=4xΔ=?42?4k?4k+8綜上所述：滿足條件的直線有2條.故選：C.【變式1-3】（2022·全國·高二專題練習）已知拋物線C1：y＝a（x+1）2﹣3過圓C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圓心，將拋物線C1先向右平移1個單位，再向上平移3個單位，得到拋物線C3，則直線l：x+16y﹣1＝0與拋物線C3的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相切C．相離 D．以上都有可能【解題思路】先求出拋物線C1的方程，再利用平移變換得出拋物線C3，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，根據(jù)根的判別式即可得出結(jié)論．【解答過程】解：圓C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圓心坐標為（﹣2，1），代入拋物線C1：y＝a（x+1）2﹣3，可得1＝a﹣3，∴a＝4，∴拋物線C1：y＝4（x+1）2﹣3．將拋物線C1先向右平移1個單位，再向上平移3個單位，得到拋物線C3：y＝4x2，聯(lián)立x+16y?1=0y2=4x，消xΔ=256+1=257>0所以直線l與拋物線C3相交，故選：A．【題型2根據(jù)直線與拋物線的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍】【例2】（2022·高二課時練習）若直線y＝kx＋2與拋物線y2＝x只有一個公共點，則實數(shù)k的值為（

）A．18 C．18或0 【解題思路】由直線方程與拋物線方程聯(lián)立，方程組只有一解，注意k=0的情形．【解答過程】解：由y=kx+2y2=x得ky2若k＝0，直線與拋物線只有一個交點，則y＝2；若k≠0，則Δ＝1－8k＝0，所以k＝18綜上可知k＝0或18故選：C．【變式2-1】（2023·高二課時練習）直線y=kx+b與拋物線y2=4x有且只有一個公共點，則k，b滿足的條件是（A．kb=1 B．k=0，b∈C．b≠0，k=0 D．kb=1或k=0【解題思路】當k=0時，直線y=b符合題意；當k≠0時，聯(lián)立直線與拋物線方程消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，由Δ=0即可得k，b的關(guān)系，進而可得正確答案.【解答過程】當k=0時，直線y=b與拋物線y2當k≠0時，由y=kx+by2=4x若直線y=kx+b與拋物線y2則Δ=2kb?42?4k2綜上所述：kb=1或k=0，故選：D.【變式2-2】（2022秋·高二課時練習）已知拋物線C的方程為x2=12y，過點A0,?1和點Bt,3的直線lA．?∞,?2C．?∞,?22【解題思路】首先求直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用Δ<0，即可求解t【解答過程】當t=0時，直線l:x=0，與拋物線x2=1設直線AB的方程為y=4聯(lián)立直線與拋物線方程，得y=4tx?1由于直線與拋物線無公共點，即方程2x2?4tx+1=0無解，故有故選：A.【變式2-3】（2023·山東·統(tǒng)考二模）已知拋物線C:y2=4x，若過點P(?2,0)作直線l與拋物線C交A，B兩個不同點，且直線l的斜率為k，則kA．?22,0∪0,22 B．【解題思路】假設直線l的方程為y=kx+2，然后分k=0和k≠0【解答過程】易得直線l的斜率存在，故設直線l的方程為y=kx+2當k=0時，直線l與拋物線只有一個交點，不適合題意；當k≠0時，將直線l代入拋物線C:y2=4x因為直線l與拋物線C有兩個交點，所以Δ=16k2?12此時?22<k<0綜上，k的取值范圍是?2故選：A.【知識點2拋物線的弦長與焦點弦問題】1．弦長問題設直線與拋物線交于A,B兩點，則

|AB|==或

|AB|==(k為直線的斜率，k≠0).2．拋物線的焦點弦問題拋物線=2px(p>0)上一點A與焦點F(,0)的距離為|AF|=，若MN為拋物線=2px(p>0)的焦點弦，則焦點弦長為|MN|=++p(,分別為M,N的橫坐標).設過拋物線焦點的弦的端點為A,B，則四種標準方程形式下的弦長公式為：標準方程弦長公式y(tǒng)2=2px(p>0)|AB|=x1+x2+py2=-2px(p>0)|AB|=p-(x1+x2)x2=2py(p>0)|AB|=y1+y2+px2=-2py(p>0)|AB|=p-(y1+y2)【題型3拋物線的弦長問題】【例3】（2023·河南安陽·統(tǒng)考三模）已知拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l，過點F的直線交拋物線于A、B兩點，且點A到l的距離為4，則AB=A．4 B．5 C．163 D．【解題思路】分析可知，直線AB不與x軸重合，設直線AB的方程為x=my+1，設點Ax1,y1、Bx2,y2，將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，根據(jù)已知條件求出【解答過程】拋物線y2=4x的焦點為F1,0，準線為l:x=?1，設點A若直線AB與x軸重合，則直線AB與拋物線y2設直線AB的方程為x=my+1，聯(lián)立x=my+1y2=4xΔ=16m2+16>0，由韋達定理可得y點A到直線l的距離為x1+1=4，則x1因此，AB=故選：C.【變式3-1】（2023秋·陜西西安·高二?？计谀┰O經(jīng)過點F1,0的直線與拋物線y2=4x相交于A,B兩點，若線段AB中點的橫坐標為3，則ABA．6 B．8 C．10 D．12【解題思路】利用拋物線焦點弦長公式直接求解即可.【解答過程】由拋物線方程知：F1,0為拋物線y設Ax∵線段AB中點的橫坐標為3，∴x∵直線AB過拋物線的焦點F1,0，∴故選：B.【變式3-2】（2023秋·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）過拋物線y2=2pxp>0的焦點F作直線，交拋物線于Ax0,y1，A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】如圖所示，由題得F(p2,0)【解答過程】如圖所示，由題得F(p2,0)所以AB=|AF|+|BF|=故選：C.【變式3-3】（2023·遼寧朝陽·朝陽市?？寄M預測）過拋物線C：y2=2px焦點F的直線與C交于A，B兩點，過點B向拋物線C的準線作垂線，垂足為D?1,?1，則ABA．174 B．254 C．18【解題思路】依題意拋物線的準線為x=?1，即可求出p，從而求出拋物線方程，再由yB=?1，求出xB，從而求出直線AB【解答過程】依題意拋物線的準線為x=?1，即?p2=?1所以拋物線方程為y2=4x，則焦點為F1,0，又yB=?1所以B1所以kBF=?114由y2=4xy=?43x?1，消去y整理得即xA所以AB=故選：B.【題型4拋物線的焦點弦問題】【例4】（2023·全國·高三專題練習）已知過拋物線C:y=x28的焦點F，且傾斜角為π3的直線l交拋物線C于A，B兩點，則A．32 B．323 C．283【解題思路】由題意可得直線l的方程為y=3x+2，聯(lián)立直線l與拋物線的方程得x2【解答過程】解：因為拋物線C:x所以F(0,2)，p=4，所以直線l的方程為y=3由y=3x+2x顯然Δ>0設A(則有x1所以y1由拋物線定義可知|AB|=y故選：A.【變式4-1】（2023秋·高二單元測試）過拋物線x2=6y焦點的直線與拋物線交于點M,N，若MN=12，則直線MNA．2x+2y+3=0 B．2x+2y?3=0C．2x?2y+3=0或2x+2y+3=0 D．2x?2y+3=0或2x+2y?3=0【解題思路】由拋物線方程得焦點坐標和準線方程，設過焦點的直線斜率為k，把直線方程代入拋物線方程，由韋達定理代入弦長公式算出直線斜率，得直線方程.【解答過程】拋物線x2=6y焦點F0,設直線MN的方程為y=kx+32，由y=kx+32x設Mx1,y1，N則焦點弦長MN=y1所以直線MN的方程為y=±x+32，即2x?2y+3=0或故選：D.【變式4-2】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線x2a2?y2b2=1a>0,b>0的離心率為2，拋物線y2=4x的焦點為F，過A．16 B．83 C．8 D．【解題思路】現(xiàn)根據(jù)雙曲線的離心率，求出漸近線的斜率，繼而根據(jù)點斜式求得直線AB的方程，聯(lián)立直線和拋物線方程，結(jié)合韋達定理和焦點弦公式，即可求解.【解答過程】解：由題意得e=c故雙曲線的漸近線方程為y=±b又l與雙曲線的一條漸近線平行，不妨設直線l的斜率為3，又F1,0故l的直線方程為：y=3x?3所以xA+x故選：D.【變式4-3】（2023·廣西南寧·南寧三中?？家荒＃┮阎獟佄锞€C:y2=4x的焦點為F，過點F作兩條互相垂直的直線l1，l2，且直線l1，l2分別與拋物線C交于A，B和DA．32 B．64 C．128 D．256【解題思路】設出直線l1，l2的方程，聯(lián)立拋物線，利用韋達定理和拋物線的定義求出弦長，再根據(jù)四邊形【解答過程】由題意拋物線的焦點為F1,0，顯然l1，設直線l1方程為x=ty+1，設Ax1,y1，則y1+y設直線l2的方程為x=?1ty+1，設則y3+y∴S=1當且僅當t2=1故選：A．【知識點3拋物線的切線】1．拋物線的切線過拋物線=2px(p>0)上的點P的切線方程是.

拋物線=2px(p>0)的斜率為k的切線方程是(k≠0).【題型5拋物線中的切線問題】【例5】（2023·河南開封·開封高中校考模擬預測）已知點P(4,?2)在拋物線C:x2=2py(p>0)的準線上，過點P作C的兩條切線，切點分別為A，B，則直線ABA．x?y+2=0 B．2x?y+2=0 C．3x?y+2=0 D．x?2y+4=0【解題思路】根據(jù)條件可得拋物線方程，然后求導可得過Ax1,y1【解答過程】因為拋物線C:x2=2py(p>0)所以?p2=?2故拋物線C:x2=8y設切點為Ax1,y1則切線PA的方程為：y?y1=切線PB的方程為：y?y2=由P(4,?2)是PA、PB交點可知：?2=x1?可得過A、B的直線方程為?2=x?y，即x?y+2=0故選：A.【變式5-1】（2023·全國·高三專題練習）已知F為拋物線C:y2=4x的焦點，O為坐標原點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A,B兩點，直線l2(1)當A的縱坐標為4時，求拋物線C在點A處的切線方程；(2)四邊形ADBE面積的最小值.【解題思路】（1）易知焦點F1,0，且A4,4，設出切線方程與拋物線方程聯(lián)立即可得切線方程為x?2y+4=0；（2）由題意可得直線l1，l2的斜率均存在，設出l1，l2的方程并與拋物線聯(lián)立，利用焦點弦公式可求得AB=4【解答過程】（1）根據(jù)題意可得焦點F1,0，當A的縱坐標為4時可得A設拋物線C在點A處的切線方程為x?4=my?4聯(lián)立y2=4xx?4=m由題意知方程y2?4my+16m?1解得m=2；所以切線方程為x?2y+4=0.（2）如下圖所示：易知直線l1，l可設l1的方程為l1聯(lián)立直線l1和拋物線y2=4x易知Δ>0，設A所以x1+x同理設Dx可得x3+x所以四邊形ADBE的面積S=1當且僅當k=±1時，等號成立；所以四邊形ADBE面積的最小值為32.【變式5-2】（2023秋·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線C:x2=2pyp>0的焦點為F，直線y=2與拋物線C在第一象限的交點為(1)求拋物線C的方程；(2)過直線x?y?3=0上的點B作拋物線C的兩條切線，設切點分別為P，Q，求點C?2,0到直線PQ【解題思路】（1）根據(jù)拋物線的定義和AF=3（2）聯(lián)立方程，根據(jù)相切可求切線方程，進而得到PQ的方程，利用點到直線的距離公式可求答案.【解答過程】（1）拋物線C:x2=2py由拋物線定義得：AF=2??p2=3，解得p=2（2）記Px1,y1由y=kx+y1?kx1則由題意得Δ=16又x12=4所以直線BP的方程為y=x12x?y若設Bt,t?3t∈R，則所以直線PQ的方程為t?3=x2t?y所以點C?2,0到直線PQ的距離d=4t?6t當d2?16=0，即d=4時，當d2?16≠0時，因為t∈即d4?25d2≤0綜上，0≤d≤5.所以點C?2,0到直線PQ的距離d【變式5-3】（2023春·云南曲靖·高一?？计谀┮阎狝、B是拋物線C:y2=8x上的兩點，M是線段AB的中點，過點A和B分別作C的切線l1(1)證明：PM⊥y軸：(2)若點P的坐標為?4,2，求△PAB的面積.注：拋物線y2=2px在點x0【解題思路】（1）設點Ax1,y1、Bx2,y2，寫出直線（2）求出點M的橫坐標，根據(jù)點P的坐標求出y1+y2、【解答過程】（1）證明：設Ax1,y1、Bx2,y所以，x1≠x2，且由題意可知，直線l1的方程為y1y=4x+x聯(lián)立直線l1、l2的方程得y1所以，點P、M的縱坐標相等，故PM⊥y軸.（2）解：因為點P的坐標為?4,2，由（1）可知，xM=yy1+y由于PM⊥y軸，則S=1即△PAB的面積為54.【題型6拋物線中的面積問題】【例6】（2023秋·湖北荊州·高二?？计谀┮阎獟佄锞€C:y(1)經(jīng)過點M(?1,1)作直線l，若l與拋物線C有且僅有一個公共點，求l的方程；(2)設拋物線C的準線與x軸的交點為N，直線m過點P(1,0)，且與拋物線C交于A,B兩點，AB的中點為Q，若QN=33，求△ANB【解題思路】（1）判斷當直線l平行于拋物線的對稱軸x時，符合題意，當直線l與拋物線C:y（2）設Ax1,y1,Bx2,y2，直線m【解答過程】（1）由題意知點M(?1,1)在拋物線C:y2=8x外部，直線l不會垂直于x軸（此時l當直線l平行于拋物線的對稱軸x軸時，l與拋物線C有且僅有一個公共點，此時直線l的方程為y=1；當直線l與拋物線C:y可設l的方程為y?1=k(x+1),k≠0，由y?1=kx+1y2由Δ=64?4k(8k+8)=0，解得k=?2則l的方程為y?1=?2(x+1)與y?1=x+1，即2x+y+1=0與x?y+2=0，綜上：l的方程是y=1或2x+y+1=0或x?y+2=0.（2）設Ax1,y1將直線m的方程與拋物線方程聯(lián)立，x=ny+1y得y2?8ny?8=0，Δ′=64n所以x1+x又拋物線C的準線為x=?2,所以N?2,0則QN=(4n2解得n2=1則S=3【變式6-1】（2023春·貴州黔南·高二統(tǒng)考期末）已知直線2x?y?1=0與拋物線C:x2=2pyp＞(1)求p的值；(2)設F為拋物線C的焦點，M,N為拋物線C上兩點，F(xiàn)M?FN=0【解題思路】（1）利用直線與拋物線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線和拋物線方程求出弦長即可得出p；（2）設直線MN：y=kx+b，Mx1,y1,Nx【解答過程】（1）設Ax由2x?y?1=0x2=2py由Δ=16p2所以xA所以AB=5化簡得2p所以p=2或p=?3因為p＞12（2）因為F0,1，顯然直線MN設直線MN：y=mx+n，Mx由x2=4yy=mx+n所以x1Δ=16因為FM?FN=0即x1亦即m2將x14m2=所以n≠1，且n2?6n+1≥0，解得n≥3+22設點F到直線MN的距離為d，所以d=n?1因為x1所以MN=21+所以△MFN的面積S=1而n≥3+22或n≤3?2當n=3?22時，△MFN的面積

【變式6-2】（2023春·河南南陽·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線E：y2=x的焦點為F，過x軸正半軸上一點M的直線l與拋物線E交于A、B兩點，O為坐標原點，且(1)求點M的坐標；(2)設點F關(guān)于直線OB的對稱點為C，求四邊形OABC面積的最小值.【解題思路】（1）設直線l的方程為x=my+n，聯(lián)立拋物線方程，可得根與系數(shù)關(guān)系式，結(jié)合數(shù)量積的坐標表示，列式計算，即得答案.（2）利用S△OBC=S【解答過程】（1）設直線l的方程為x=my+n，聯(lián)立y2可得y2?my?n=0，需滿足Δ=則y1+y由OA?OB=6解得n=3或n=?2（舍去），則x=my+3過x軸正半軸上一點(3,0)，即點M的坐標為(3,0).（2）由題意知F(14,0)不妨設y1則S△OAB由于C,F關(guān)于OB對稱，故S△OBC故S四邊形當且僅當4y1=故四邊形OABC面積的最小值為313【變式6-3】（2023春·江西上饒·高二校聯(lián)考階段練習）已知坐標原點為O，拋物線為G:x2=2py(p>0)與雙曲線y23?x(1)求拋物線G的方程；(2)已知點M(?2,?1)，過點M作拋物線G的兩條切線，切點分別為A，B，切線MA，MB分別交x軸于C，D，求△MAB與△MCD的面積之比．【解題思路】（1）首先求出雙曲線的上焦點，設PxP,yP，xP>0,yP（2）設點Ax1,y1，Bx2,y2，利用導數(shù)表示出MA的方程，即可求出C點坐標，同理可得D，再將M代入MA，即可得到AB的方程，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達定理，即可求出【解答過程】（1）雙曲線y23?x23=1由已知得：S△OPF=1代入雙曲線方程可得yP23?623又因為P在拋物線上，所以6=2p×3，解得p=1，故拋物線G的方程為x2（2）設點Ax1,y1，B則切線MA的方程為y?y由x12=2令y=0，則x=x12，即C將M(?2,?1)代入直線MA可得：2x同理可求得直線MB的方程：2x所以A，B的直線方程2x+y?1=0．聯(lián)立y=1?2xy=x22消去則韋達定理：x1則弦長AB=點M到直線AB的距離d=|2×(?2)+(?1)?1|所以S△MAB又S△MCD故S△MAB【題型7拋物線中的定點、定值、定直線問題】【例7】（2023春·江西贛州·高二?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼祒Oy中，頂點在原點，以坐標軸為對稱軸的拋物線C經(jīng)過點2,4.(1)求C的方程；(2)若C關(guān)于x軸對稱，焦點為F，過點(4,2)且與x軸不垂直的直線l交C于M,N兩點，直線MF交C于另一點A，直線NF交C于另一點B，求證：直線AB過定點.【解題思路】（1）分類討論C的焦點在x或y軸上，設出拋物線的方程，將點2,4代入即可得出答案；（2）設My128,y1,Ny228,【解答過程】（1）若C的焦點在x軸上，設拋物線C的方程為y2將點2,4代入，得42=4p，解得p=4，故C的方程為若C的焦點在y軸上，設拋物線C的方程為x2將點2,4代入，得22=8p，解得p=12，故綜上，C的方程為y2=8x或（2）證明：由（1）知拋物線C的方程為y2若直線l不過點F，如圖，

設My由題意可知直線MN的斜率存在且不為0，則直線MN的斜率kMN所以直線MN的方程為y?y1=同理直線AM,BN的方程分別為8x?y由直線MN過定點4,2，可得2y由直線AM,BN過焦點F2,0，可得y直線AB的方程為8x?y由y1y3所以8y即y1又因為2y1+令x+y=0,y+1=0,解得x=1,y=?1,故直線AB恒過定點若直線l過點F，直線AB即為直線MN，其方程為y?0=2?04?2x?2，即y=x?2綜上，直線AB過定點1,?1.【變式7-1】（2023·湖北襄陽·?？寄M預測）過拋物線x2=2py(p>0)內(nèi)部一點Pm,n作任意兩條直線AB,CD，如圖所示，連接AC,BD延長交于點Q，當P為焦點并且AB⊥CD

(1)求拋物線的方程；(2)若點P1,1，證明Q【解題思路】（1）設直線AB:y=kx+p2，聯(lián)立方程組求得x1+x（2）由A,P,B和C,P,D共線，得到x1x2+4=x1+x2，x3x【解答過程】（1）解：設Ax設直線AB:y=kx+p2，聯(lián)立方程組y=kx+p可得x1所以AB=同理可得CD=2p所以SABCD=1所以p=2，所以拋物線的方程為x2（2）解：當P為1,1時，Qx由A,P,B共線，可得x124?1同理由C,P,D共線x3x又由A,C,Q共線，可得x124?同理由B,D,Q共線，可得x2x由①③得x1即x0?1又由②④得x4即x0?1由⑤⑥得4?x即4?x0=x0?4y【變式7-2】（2023·海南省直轄縣級單位·文昌中學?？寄M預測）已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F，準線為l，過點F且傾斜角為π6的直線交拋物線于點M（M在第一象限），MN⊥l，垂足為N，直線NF交x(1)求p的值.(2)若斜率不為0的直線l1與拋物線C相切，切點為G，平行于l1的直線交拋物線C于P,Q兩點，且∠PGQ=π2，點F到直線【解題思路】（1）利用圖中的幾何關(guān)系以及拋物線的定義求解；（2）直線PQ的方程為y=kx+mk≠0以及點P,Q,G的坐標，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立由韋達定理以及∠PGQ=π2得到k與m的關(guān)系式，利用直線l1與拋物線C相切求出直線l1的方程，用點到直線的距離公式即可求出點F【解答過程】（1）如圖所示，過點F作FA⊥MN，垂足為A,MN交x軸于點E，由題得∠AFM=π6，所以因為MF=MN，所以△因為O是FB的中點，所以DF=故FM=所以MN=8，AN=4，所以OF=12

（2）由（1）可知拋物線的方程是x2設直線PQ的方程為y=kx+mk≠0，P因為∠PGQ=π2，所以即x1+x又y′=k=x04聯(lián)立y=kx+mx2=8y，消去y，得x則x1所以?8m+32k2+16設點F到直線PQ和直線l1的距離分別為d則由l1∥PQ得所以點F到直線PQ與到直線l1【變式7-3】（2023春·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點為F，點A2,m(1)求拋物線C的標準方程；(2)直線l與拋物線C相交于M、N兩點，以MN為直徑的圓過點P1,2，作PD⊥MN，D為垂足．是否存在定點Q，使得DQ為定值？若存在，求出點Q【解題思路】（1）利用拋物線的定義結(jié)合兩點間的距離公式可得出關(guān)于p的方程，解出p的值，即可得出拋物線C的標準方程；（2）分析可知，直線MN不與y軸垂直，設直線MN的方程為x=ty+n，設點Mx1,y1、Nx2,y2，將直線MN的方程與拋物線C的方程聯(lián)立，列出韋達定理，根據(jù)已知條件得出PM?【解答過程】（1）解：拋物線C的準線方程為x=?p2，由拋物線的定義可得將點A的坐標代入拋物線方程可得m2所以，AO=所以，AFAO=2+p2因此，拋物線C的標準方程為y2（2）解：若直線MN⊥y軸，則直線MN與拋物線C只有一個公共點，不合乎題意，設直線MN的方程為x=ty+n，設點Mx1,聯(lián)立x=ty+ny2=4x可得y2?4ty?4n=0由韋達定理可得y1+yPM=x1因為以MN為直徑的圓過點P1,2，則PM所以，116顯然y1≠2且y2即y1y2+2y所以，直線MN的方程為x=ty+2t+