函數(shù)的奇偶性講義 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

3.2.2函數(shù)的奇偶性知識(shí)點(diǎn)梳理重點(diǎn)1函數(shù)的奇偶性1.奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義函數(shù)的性質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的奇偶性如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)=－f(x),那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù)．（1）利用定義（要先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱）（2）利用圖象（圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱）如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)．（1）利用定義（要先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱）（2）利用圖象（圖象關(guān)于y軸對稱）函數(shù)奇偶性的運(yùn)算性質(zhì)設(shè)f（x）與g（x）的定義域分別是,在它們的公共定義域上，有下列結(jié)論：f（x）g（x）f（x）+g（x）f（x）-g（x）f（x）g（x）偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)f（x）g（x）f（x）+g（x）f（x）-g（x）f（x）g（x）奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)復(fù)合函數(shù)的奇偶性復(fù)合函數(shù)的奇偶性如下表：f（x）g（x）F（x）偶偶偶偶奇偶奇偶偶奇奇奇（注：在f（g（x））中，g（x）的值域是f（x）定義域的子集.）理解函數(shù)奇偶性的注意點(diǎn)：定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱.無論是奇函數(shù)還是偶函數(shù)定義域一定關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，如果不對稱這個(gè)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).例如f（x）是偶函數(shù)且定義域?yàn)椋╝，b），則可以得到a+b=0（或a=-b）滿足定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，可能是奇函數(shù)或偶函數(shù)，也可以既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)（例如f（x）=0，既滿足f（x）=f（-x）又滿足f（-x）=-f（x）），或者是非奇非偶函數(shù)（例如y=2x+1）.奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義，則f（0）=0.例1.若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則=__________.答案：5補(bǔ)充練習(xí)：已知函數(shù)為奇函數(shù)，則a=____________.重點(diǎn)2奇、偶函數(shù)圖象的特征奇函數(shù)的圖象特征若一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以原點(diǎn)位對稱中心的中心對稱圖形；反之也成立.偶函數(shù)的圖象特征若一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形；反之也成立.奇偶函數(shù)的單調(diào)性奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性.偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的最大（?。┲?，取最值時(shí)的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時(shí)的自變量也互為相反數(shù).例2.已知函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象與x軸有4個(gè)交點(diǎn)，則的所有實(shí)根之和等于____________.答案：0例3.（分段函數(shù)奇偶性的判斷）判斷函數(shù)的奇偶性.例4.（抽象函數(shù)奇偶性的判斷）（1）已知函數(shù),若對于任意實(shí)數(shù)a，b，都有.求證：為奇函數(shù).（2）設(shè)函數(shù)定義在上，求證：，是奇函數(shù).例5.（利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值）（1）已知，且，則等于__________.解析：令，易知是R上的奇函數(shù)，所以，又，∴，∴∴補(bǔ)充練習(xí)：（2）已知，，則________.例6.（利用奇偶性求函數(shù)的解析式）（1）已知函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)f（x）____________.答案：補(bǔ)充練習(xí)：（2），當(dāng)，，則析式為_______________.例7.（函數(shù)