有限元法介紹

有限元法

學(xué)院：機(jī)械電子工程學(xué)院專(zhuān)業(yè)：機(jī)械制造及其自動(dòng)化姓名：李淑磊

班級(jí)：17-1班

學(xué)號(hào)：201782050009一、有限元法的概念二、基本計(jì)算步驟三、發(fā)展與應(yīng)用基本思想一、幾個(gè)基本概念有限元法是把要分析的連續(xù)體假想地分割成有限個(gè)單元所組成的組合體，簡(jiǎn)稱(chēng)離散化。這些單元僅在頂角處相互聯(lián)接，稱(chēng)這些聯(lián)接點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)。離散化的組合體與真實(shí)彈性體的區(qū)別在于：組合體中單元與單元之間的聯(lián)接除了結(jié)點(diǎn)之外再無(wú)任何關(guān)聯(lián)。但是這種聯(lián)接要滿(mǎn)足變形協(xié)調(diào)條件，即不能出現(xiàn)裂縫，也不允許發(fā)生重疊。顯然，單元之間只能通過(guò)結(jié)點(diǎn)來(lái)傳遞內(nèi)力。通過(guò)結(jié)點(diǎn)來(lái)傳遞的內(nèi)力稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)力，作用在結(jié)點(diǎn)上的荷載稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)荷載。當(dāng)連續(xù)體受到外力作用發(fā)生變形時(shí)，組成它的各個(gè)單元也將發(fā)生變形，因而各個(gè)結(jié)點(diǎn)要產(chǎn)生不同程度的位移，這種位移稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)位移。單元節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)力節(jié)點(diǎn)荷載節(jié)點(diǎn)位移在有限元中，常以結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量。并對(duì)每個(gè)單元根據(jù)分塊近似的思想，假設(shè)一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)近似地表示單元內(nèi)位移的分布規(guī)律，再利用力學(xué)理論中的變分原理或其他方法，建立結(jié)點(diǎn)力與位移之間的力學(xué)特性關(guān)系，得到一組以結(jié)點(diǎn)位移為未知量的代數(shù)方程，從而求解結(jié)點(diǎn)的位移分量。然后利用插值函數(shù)確定單元集合體上的場(chǎng)函數(shù)。顯然，如果單元滿(mǎn)足問(wèn)題的收斂性要求，那么隨著縮小單元的尺寸，增加求解區(qū)域內(nèi)單元的數(shù)目，解的近似程度將不斷改進(jìn)，近似解最終將收斂于精確解。有限元法的基本計(jì)算步驟物體離散化單元特性分析分析單元的力學(xué)性質(zhì)選擇位移模式計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)力單元組集求解未知節(jié)點(diǎn)位移物體離散化單元選擇：應(yīng)根據(jù)連續(xù)體的形狀選擇最能完滿(mǎn)地描述連續(xù)體形狀的單元。常見(jiàn)的單元有：桿單元，梁?jiǎn)卧?，三角形單元，矩形單元，四邊形單元，曲邊四邊形單元，四面體單元，六面體單元以及曲面六面體單元等等。單元?jiǎng)澐郑哼M(jìn)行單元?jiǎng)澐?，單元?jiǎng)澐滞戤吅?，要將全部單元和結(jié)點(diǎn)按一定順序編號(hào)，每個(gè)單元所受的荷載均按靜力等效原理移植到結(jié)點(diǎn)上，并在位移受約束的結(jié)點(diǎn)上根據(jù)實(shí)際情況設(shè)置約束條件。3維實(shí)體的4面體單元?jiǎng)澐制矫娴娜切螁卧獎(jiǎng)澐?維實(shí)體的6面體單元?jiǎng)澐謱⒛硞€(gè)工程結(jié)構(gòu)離散為由各種單元組成的計(jì)算模型，這一步又稱(chēng)作單元剖分或網(wǎng)格劃分。離散后單元于單元之間利用單元的節(jié)點(diǎn)相互連接起來(lái)；單元節(jié)點(diǎn)的設(shè)置、性質(zhì)、數(shù)目等應(yīng)視問(wèn)題的性質(zhì)，描述變形形態(tài)的需要和計(jì)算進(jìn)度而定。用有限元分析計(jì)算所獲得的結(jié)果只是近似的。如果劃分單元數(shù)目非常多而又合理，則所獲得的結(jié)果就與實(shí)際情況相符合。網(wǎng)格劃分的好壞將直接影響到計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性和計(jì)算進(jìn)度，甚至?xí)驗(yàn)榫W(wǎng)格劃分不合理而導(dǎo)致計(jì)算不收斂。網(wǎng)格的劃分主要取決于專(zhuān)業(yè)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)積累。一個(gè)水平高的FEA工程師，80%的時(shí)間是用在網(wǎng)格劃分上。對(duì)于一般的問(wèn)題，各種FEA均能自動(dòng)的進(jìn)行合理的網(wǎng)格劃分。hypermesh最目前好的劃分網(wǎng)格工具。單元特性分析分析單元的力學(xué)性質(zhì)根據(jù)單元的材料性質(zhì)、形狀、尺寸、節(jié)點(diǎn)數(shù)目、位置及其含義等，找出單元節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式，這是單元分析中的關(guān)鍵一步。此時(shí)需要應(yīng)用彈性力學(xué)中的幾何方程和物理方程來(lái)建立力和位移的方程式，從而導(dǎo)出單元?jiǎng)偠染仃?，這是有限元法的基本步驟之一。平面問(wèn)題的三角形單元的例子：?jiǎn)卧腥齻€(gè)結(jié)點(diǎn)I、J、M，每個(gè)結(jié)點(diǎn)有兩個(gè)位移u、v和兩個(gè)結(jié)點(diǎn)力U、V。節(jié)點(diǎn)位移節(jié)點(diǎn)力取決于材料性質(zhì)、形狀、尺寸選擇位移模式：在反映力和位移的關(guān)系式中，依據(jù)那一個(gè)量是未知量，可建立不同的模型。位移法：選擇節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量稱(chēng)為位移法；力法：選擇節(jié)點(diǎn)力作為基本未知量時(shí)稱(chēng)為力法；混合法：取一部分節(jié)點(diǎn)力和一部分節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量時(shí)稱(chēng)為混合法。位移法易于實(shí)現(xiàn)計(jì)算自動(dòng)化，所以，在有限單元法中位移法應(yīng)用范圍最廣。計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)力：將外在的負(fù)載力等效到各個(gè)節(jié)點(diǎn)上。物體離散化后，假定力是通過(guò)節(jié)點(diǎn)從一個(gè)單元傳遞到另一個(gè)單元。但是，對(duì)于實(shí)際的連續(xù)體，力是從單元的公共邊傳遞到另一個(gè)單元中去的。因而，這種作用在單元邊界上的表面力、體積力和集中力都需要等效的移到節(jié)點(diǎn)上去，也就是用等效的節(jié)點(diǎn)力來(lái)代替所有作用在單元上得力。彈性體有限元模型有限元法的基本計(jì)算步驟單元組集利用結(jié)構(gòu)力的平衡條件和邊界條件把各個(gè)單元按原來(lái)的結(jié)構(gòu)重新連接起來(lái)，形成整體的有限元方程。對(duì)由各個(gè)單元組成的整體進(jìn)行分析，建立節(jié)點(diǎn)外載荷與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系，以解出節(jié)點(diǎn)位移，這個(gè)過(guò)程為整體分析。i節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)力：

i節(jié)點(diǎn)的平衡方程：集中力單元節(jié)點(diǎn)力單元組集

最終，將所有單元組合起來(lái)得到整體的方程：[K]{δ}={R}

[K]——整體剛度矩陣；{δ}——全部結(jié)點(diǎn)位移組成的列陣；{R}——全部結(jié)點(diǎn)荷載組成的列陣。

在位移法中，只有{δ}是未知的，求解該線(xiàn)性方程組就可得到各結(jié)點(diǎn)的位移。將結(jié)點(diǎn)位移代入相應(yīng)方程中可求出單元的應(yīng)力分量。有限元法不僅可以求結(jié)構(gòu)體的位移和應(yīng)力，還可以對(duì)結(jié)構(gòu)體進(jìn)行穩(wěn)定性分析和動(dòng)力分析。例如，結(jié)構(gòu)體的整體動(dòng)力方程：

[M]{δ}+[C]{δ}+[K]{δ}={F}

[M]——整體質(zhì)量矩陣；[C]——整體阻尼矩陣；[K]——整體剛度矩陣；{δ}——整體結(jié)點(diǎn)位移向量；{F}——整體結(jié)點(diǎn)荷載向量。

求出結(jié)構(gòu)的自激振動(dòng)頻率、振型等動(dòng)力響應(yīng)，以及動(dòng)變形和動(dòng)應(yīng)力等。求解未知節(jié)點(diǎn)位移

可以根據(jù)方程組的具體特點(diǎn)來(lái)選擇合適的計(jì)算方法。傳統(tǒng)有限元分析的數(shù)值計(jì)算方法之中，有直接計(jì)算法（DirectSolver）與迭代法（Iterative）兩種。由于在過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)中，迭代法一直無(wú)法直接而有效的保證數(shù)值計(jì)算的收斂性，因此，直接計(jì)算法在多數(shù)有限元素分析軟件中，仍然是一種主流的計(jì)算方法。線(xiàn)性靜力分析的基本矩陣方程單元?jiǎng)偠染仃?/p>

[K]=剛度矩陣{F}=力向量(已知){u}=由{F}引起的未知位移向量

總體剛度矩陣F=10000磅L=10英寸YINL=10英寸面積A=1.5英寸2彈性模量E=10×106磅/英寸2面積A=2.0英寸2彈性模量E=10×106磅/英寸2例子：1、建立結(jié)構(gòu)有限元模型

L=10英寸A=1.5英寸2L=10英寸A=2.0英寸2結(jié)點(diǎn)3#結(jié)點(diǎn)1#結(jié)點(diǎn)2#單元②單元①2、形成單元?jiǎng)偠染仃?、總裝剛度矩陣4、施加邊界條件5、施加作用載荷6、求解矩陣方程7、計(jì)算單元應(yīng)力三、有限元法的發(fā)展與與應(yīng)用在大力推廣CAD技術(shù)的今天，從自行車(chē)到航天飛機(jī)，所有的設(shè)計(jì)制造都離不開(kāi)有限元分析計(jì)算，F(xiàn)EA在工程設(shè)計(jì)和分析中將得到越來(lái)越廣泛的重視。國(guó)際上早在20世紀(jì)50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力開(kāi)發(fā)具有強(qiáng)大功能的有限元分析程序。其中最為著名的是由美國(guó)國(guó)家宇航局（NASA）在1965年委托美國(guó)計(jì)算科學(xué)公司和貝爾航空系統(tǒng)公司開(kāi)發(fā)的NASTRAN有限元分析系統(tǒng)。該系統(tǒng)發(fā)展至今已有幾十個(gè)版本，是目前世界上規(guī)模最大、功能最強(qiáng)的有限元分析系統(tǒng)。目前應(yīng)用較多的通用有限元軟件如下表所列：另外還有許多針對(duì)某類(lèi)問(wèn)題的專(zhuān)用有限元軟件，例如金屬成形分析軟件Deform、Autoform。軟件名稱(chēng)簡(jiǎn)介MSC/Nastran著名結(jié)構(gòu)分析程序，最初由NASA研制MSC/Dytran動(dòng)力學(xué)分析程序MSC/Marc非線(xiàn)性分析軟件ANSYS通用結(jié)構(gòu)分析軟件ADINA非線(xiàn)性分析軟件ABAQUS非線(xiàn)性分析軟件轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)支架的強(qiáng)度分析（劉道勇，東風(fēng)汽車(chē)工程研究院動(dòng)，用MSC/Nastran完成）金屬成形過(guò)程分析（用Deform軟件完成）:分析金屬成形過(guò)程中的各種缺陷

型材擠壓成形的分析。型材在擠壓成形的初期，容易產(chǎn)生形狀扭曲螺旋齒輪成形過(guò)程的分析T形鍛件的成形分析焊接殘余應(yīng)力分析（用Sysweld完成）結(jié)構(gòu)與焊縫布置焊接過(guò)程的溫度分布與軸向殘余應(yīng)力有限元方法的應(yīng)用BMW曲軸的感應(yīng)淬火（用SysWeld軟件完成）有限元方法的應(yīng)用復(fù)雜形狀工件的組織轉(zhuǎn)變預(yù)測(cè)（石偉，用NSHT3D完成）：預(yù)測(cè)工件的組織分布和機(jī)械性能二分之一工件的有限元模型淬火3.06min時(shí)的溫度分布淬火3.06min時(shí)的馬氏體分布其他的應(yīng)用還包括：電磁學(xué)、流體力學(xué)、電磁場(chǎng)等等等等等等等等等…1、從單純結(jié)構(gòu)力學(xué)計(jì)算發(fā)展到求解許多物理場(chǎng)問(wèn)題有限元分析方法最早是從結(jié)構(gòu)化矩陣分析發(fā)展而來(lái)，逐步推廣到板、殼和實(shí)體等連續(xù)體固體力學(xué)分析，實(shí)踐證明這是一種非常有效的數(shù)值分析方法。有限元方法已發(fā)展到流體力學(xué)、溫度場(chǎng)、電傳導(dǎo)、磁場(chǎng)、滲流和聲場(chǎng)等問(wèn)題的求解計(jì)算，最近又發(fā)展到求解幾個(gè)交叉學(xué)科的問(wèn)題。

例如當(dāng)氣流流過(guò)一個(gè)很高的鐵塔產(chǎn)生變形，而塔的變形又反過(guò)來(lái)影響到氣流的流動(dòng)……這就需要用固體力學(xué)和流體動(dòng)力學(xué)的有限元分析結(jié)果交叉迭代求解，即所謂"流固耦合"的問(wèn)題。發(fā)展趨勢(shì)：2、由求解線(xiàn)性工程問(wèn)題進(jìn)展到分析非線(xiàn)性問(wèn)題線(xiàn)性理論已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿(mǎn)足設(shè)計(jì)的要求。例如：航天和動(dòng)力工程的高溫部件存在熱變形和熱應(yīng)力，要考慮材料的非線(xiàn)性問(wèn)題；諸如塑料、橡膠和復(fù)合材料等各種新材料的出現(xiàn)，只有采用非線(xiàn)性有限元算法才能解決。非線(xiàn)性的數(shù)值計(jì)算是很復(fù)雜的，很難為一般工程技術(shù)人員所掌握。為此近年來(lái)國(guó)外一些公司花費(fèi)了大量的人力和投資開(kāi)發(fā)諸如MARC、ABQUS和ADINA等專(zhuān)長(zhǎng)于求解非線(xiàn)性問(wèn)題的有限元分析軟件，并廣泛應(yīng)用于工程實(shí)踐。3、增強(qiáng)可視化的前置建模和后置數(shù)據(jù)處理功能隨著數(shù)值分析方法的逐步完善，尤其是計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度的飛速發(fā)展，整個(gè)計(jì)算系統(tǒng)用于求解運(yùn)算的時(shí)間越來(lái)越少，而數(shù)據(jù)準(zhǔn)備和運(yùn)算結(jié)果的表現(xiàn)問(wèn)題卻日益突出。在現(xiàn)在的工程工作站上，求解一個(gè)包含10萬(wàn)個(gè)方程的有限元模型只需要用幾十分鐘。工程師在分析計(jì)算一個(gè)工程問(wèn)題時(shí)有80%以上的精力都花在數(shù)據(jù)準(zhǔn)備和結(jié)果分析上。與CAD軟件的無(wú)縫集成當(dāng)今有限元分析系統(tǒng)的另一個(gè)特點(diǎn)是與通用CAD軟件的集成使用，即：在用CAD軟件完成部件和零件的造型設(shè)計(jì)后，自動(dòng)生成有限元網(wǎng)格并進(jìn)行計(jì)算，如果分析的結(jié)果不符合設(shè)計(jì)要求則重新進(jìn)行造型和計(jì)算，直到滿(mǎn)意為止，從而極大地提高了設(shè)計(jì)水平和效率。當(dāng)今所有的商業(yè)化有限元系統(tǒng)商都開(kāi)發(fā)了和著名的CAD軟件（例如Pro/ENGINEER、Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks、IDEAS、Bentley和AutoCAD等）的接口。有限元軟件使用的基本步驟三個(gè)步驟：前處理（PREPROCESSION），求解（SOLUTION