2025高考數(shù)學一輪復習 用樣本估計總體 專項訓練【原卷版】

2025高考數(shù)學一輪復習-92用樣本估計總體-專項訓練【原卷版】

[A級基礎達標J

1.給定一組數(shù)據(jù)5,5,4,3,3,3,2,2,2,1，則這組數(shù)據(jù)（）

A.眾數(shù)為2B.平均數(shù)為2.5C.方差為1.6D,標準差為4

2.[2023?廣東茂名聯(lián)考]已知甲組數(shù)據(jù)為：5,12,16,21,25,37,乙組數(shù)

據(jù)為：1,6,14,18,38,39,則甲、乙的平均數(shù)、極差及中位數(shù)相同的是

（）

A.極差B.平均數(shù)C.中位數(shù)D.都不相同

3.[2023?青海海東一模]某高校甲、乙兩位同學大學四年選修課程的考試成績等級

（選修課的成績等級分為1,2,3,4,5，共五個等級）的條形圖如圖所示，則

A.3,5B.3,3C.3.5,5D.3.5,4

4.[2023?貴州遵義模擬]2022年4月23日至25日，以“閱讀新時代,查進新征程”

為主題的首屆全民閱讀大會勝利召開，目的是弘揚全民閱讀風尚，共建共享書香中國.

某學校共有學生2000人，其中高一800人,高二、高三各600人,學校為了解學生

在暑假期間每天的讀書時間（單位：時），按照分層隨機抽樣的方法從全校學生中抽

取100人，其中高一、高二、高三學生每天讀書時間的平均數(shù)分別為君=2.7,為=

3.1,%3=3.3,每天讀書時間的方差分別為s；=1應=2a=3,則下列說法錯

誤的是（）

A.從高一學生中抽取40人

B.抽取的高二學生的總閱讀時間是93時

C.被抽取的學生每天的讀書時間的平均數(shù)為2.8時

D.估計全體學生每天的讀書時間的方差為s2=1.966

5.（多選）下表為2022年某煤炭公司PIO月份的煤炭生產(chǎn)量：

月份12345678910

產(chǎn)量（單位：萬噸）23252417.517.52126293027

則下列結論正確的是（）

A.極差為12.5萬噸B.平均數(shù)為24萬噸C.中位數(shù)為24萬噸D.

眾數(shù)為17.5萬噸

6.從甲、乙、丙三個廠家生產(chǎn)的同一種產(chǎn)品中各抽取8件產(chǎn)品，對其使用壽命（單位:

年）跟蹤調(diào)查結果如下：

甲：3,4,5,6,8,8,8,10；

乙：4,6,6,6,8,9,12,13；

丙：3,3,4,7,9,10,11,12.

三個廠家在廣告中都稱該產(chǎn)品的使用壽命是8年，請根據(jù)結果判斷廠家在廣告中分別

運用了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)中的哪一種集中趨勢的特征數(shù)：甲乙______,

丙_____________.

7.[2023?山東東營模擬]如圖所示,某市5月1日至10SPM2.5的日均值（單位：

Mg/m3）變化的折線圖,則該組數(shù)據(jù)第64百分位數(shù)為.

8.已知一個樣本的樣本容量為10,平均數(shù)為15,方差為3,現(xiàn)從樣本中去掉一個數(shù)

據(jù)15,此時樣本的平均數(shù)為元,方差為s2，貝女=,s2=.

9.靈活就業(yè)的崗位主要集中在近些年興起的主播、自媒體、配音，還有電競、電商這

些新興產(chǎn)業(yè)上.只要有網(wǎng)絡、有電腦，隨時隨地都可以辦公.這些崗位出現(xiàn)的背后都離

不開互聯(lián)網(wǎng)的加速發(fā)展和短視頻時代的大背景.甲、乙兩人同時競聘某公司的主播崗位,

其中10種表現(xiàn)得分如下表：

甲897976101086

乙1098687978a

(1)若甲和乙所得平均分相等，求a的值；

(2)在(1)的條件下，判斷甲、乙兩人誰的表現(xiàn)更穩(wěn)定.

[B級綜合運用1

10.[2023?四川南江中學一模]有一組樣本數(shù)據(jù)久1,%2...xn，由這組數(shù)據(jù)得

到新樣本數(shù)據(jù)為，，…，yn，其中％=Xi+到=1,2,...,H),C為非零常數(shù)，則

()

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本方差相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本眾數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

11.［2023?重慶第一學期考試］（多選）創(chuàng)新，是一個民族進步的靈魂，是一個國家

興旺發(fā)達的不竭源泉.為支持中小企業(yè)創(chuàng)新發(fā)展，國家決定對部分創(chuàng)新型企業(yè)的稅收進

行適當減免，現(xiàn)在全國調(diào)查了100家中小企業(yè)年收入情況，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣

本的頻率分布直方圖，則下列結論正確的是（）

0100200300400500600700年收入/萬元

A.樣本中年收入在［500,600）的中小企業(yè)約有16家

B.樣本的中位數(shù)大于400萬元

C.估計全國中小企業(yè)年收入的平均數(shù)為376萬元

D.樣本在區(qū)間［500,700］內(nèi)的頻數(shù)為18

12.［2023?云南昆明模擬］為了解某種作物的生長情況，抽取該作物植株高度（單位：

cm）的一個隨機樣本，整理得到樣本頻率分布直方圖如圖所示.由此樣本估計，該作

物植株高度的80%分位數(shù)約為cm.

13.某班成立了A,B兩個數(shù)學興趣小組，4組10人，B組3。人，經(jīng)過一周的補

習后進行了一次測試，在該測試中,A組的平均成績?yōu)?30分,方差為115,B組的

平均成績?yōu)?10分，方差為215.則在這次測試中全班學生的平均成績和方差分別

為,.

14.某種治療新冠感染的中藥產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標值衡量，質(zhì)量指標值越大表明

質(zhì)量越好.為了提高中藥產(chǎn)品的質(zhì)量，我國醫(yī)療科研專家攻堅克難，研發(fā)出a,B兩

種新配方，在這兩種新配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取數(shù)量相同的樣本，測量這些產(chǎn)品的

質(zhì)量指標值，規(guī)定質(zhì)量指標值小于85為廢品,在［85,115）內(nèi)為一等品,不小于115

為特等品.現(xiàn)把測量數(shù)據(jù)整理如下，其中B配方的樣本中有6件廢品.

A配方的頻率分布表

質(zhì)量指標值[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125]

頻數(shù)8a36248

B配方的頻率分布直方圖

（2）試確定A配方和B配方哪一種更好.（說明：在統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用

該組區(qū)間的中點值作代表）

[C級素養(yǎng)提升1

15.（多選）某環(huán)保局對轄區(qū)內(nèi)甲、乙、丙、丁四個地區(qū)的環(huán)境治理情況進行檢查督

導,若連續(xù)10天,每天空氣質(zhì)量指數(shù)（單位：pg/m3）不超過100，則認為該地區(qū)環(huán)

境治理達標，否則認為該地區(qū)環(huán)境治理不達標.根據(jù)連續(xù)10天檢查所得數(shù)據(jù)的數(shù)字特

征推斷，環(huán)境治理一定達標的地區(qū)是（）

A.甲地區(qū)：平均數(shù)為80,方差為40B.乙地區(qū)：平均數(shù)為50,眾數(shù)為40

C.丙地區(qū)：中位數(shù)為50,極差為60D.丁地區(qū)：極差為10,80%分位數(shù)為90

16.[2022?新高考卷1口在某地區(qū)進行流行病學調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患

者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

頻率/組距

0.023

0.020

0.017

0.012

0.006

0.002

0.001

(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為

代表)；

(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70)的概率；

(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50)的人口

占該地區(qū)總人口的16%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50),求

此人患這種疾病的概率(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡

位于該區(qū)間的概率,精確到0.0001).

2025高考數(shù)學一輪復習-9.2-用樣本估計總體■專項訓練【解析版】

級基礎達標1

1.給定一組數(shù)據(jù)5,5,4,3,3,3,2,2,2,1，則這組數(shù)據(jù)(C)

A.眾數(shù)為2B.平均數(shù)為2.5C.方差為1.6D.標準差為4

5+5++2+1

［解析］選C.由題中數(shù)據(jù)可得，眾數(shù)為2和3,故A錯誤；平均數(shù)為元=io=3

故B錯誤；方差s2=(5-3尸+(5.3)2+；。+(2一3尸+(1一3)2=,標準方差為,o4,故C正

確，D錯誤.

2.［2023?廣東茂名聯(lián)考］已知甲組數(shù)據(jù)為：5,12,16,21,25,37,乙組數(shù)

據(jù)為：1,6,14,18,38,39，則甲、乙的平均數(shù)、極差及中位數(shù)相同的是

(B)

A.極差B.平均數(shù)C.中位數(shù)D.都不相同

［解析］選B.由題中數(shù)據(jù)的分布,可知極差不同,甲的中位數(shù)為券=185,乙的中

/_14+183—5+12+16+21+25+3758—1+6+14+18+38+3958匚

位數(shù)為=16,%甲=-------------=y，%乙=------g----------=y，所以

甲、乙的平均數(shù)相同.

3.［2023?青海海東一模］某高校甲、乙兩位同學大學四年選修課程的考試成績等級

(選修課的成績等級分為1,2,3,4,5,共五個等級)的條形圖如圖所示，則

A.3,5B.3,3C.3.5,5D.3.5,4

［解析］選C.由條形圖可得，甲同學共有10門選修課，將這10門選修課的成績等級從

低到高排序后，第5,6門的成績等級分別為3,4,故中位數(shù)為個=3.5,乙成績

等級的眾數(shù)為5.故選C.

4.［2023?貴州遵義模擬］2022年4月23日至25日，以“閱讀新時代,查進新征程”

為主題的首屆全民閱讀大會勝利召開，目的是弘揚全民閱讀風尚，共建共享書香中國.

某學校共有學生2000人，其中高一800人，高二、高三各600人,學校為了解學生

在暑假期間每天的讀書時間（單位：時），按照分層隨機抽樣的方法從全校學生中抽

取100人，其中高一、高二、高三學生每天讀書時間的平均數(shù)分別為何=2.7,笈2=

3.1,%3=3.3,每天讀書時間的方差分別為巧=1遙=2f=3,則下列說法錯

誤的是（C）

A.從高一學生中抽取40人

B.抽取的高二學生的總閱讀時間是93時

C.被抽取的學生每天的讀書時間的平均數(shù)為2.8時

D.估計全體學生每天的讀書時間的方差為s2=1.966

[解析]選C.對A,根據(jù)分層隨機抽樣，分別從高一、高二、高三學生中抽取40人、30

人、30人，故A正確；對B,抽取的高二學生的總閱讀時間是亂X30=93（時），

故B正確；對C,被抽取的學生每天的讀書時間的平均數(shù)為凸x2.7+券x3.1+益x

3.3=3（時），故C錯誤；對D,被抽取的學生每天的讀書時間的方差為喘x[l+

（2.7-3）2]+^x[2+（3.1-3）2]+器X[3+（3.3-3）2]=1.966,所以估計全體學

生每天的讀書時間的方差為s2=1.966,故D正確.故選C.

5.（多選）下表為2022年某煤炭公司P10月份的煤炭生產(chǎn)量：

月份12345678910

產(chǎn)量（單位：萬噸）23252417.517.52126293027

則下列結論正確的是（ABD）

A.極差為12.5萬噸B.平均數(shù)為24萬噸C.中位數(shù)為24萬噸D.

眾數(shù)為17.5萬噸

[解析]選ABD.將表格中的數(shù)據(jù)由小到大排列依次為17.5,17.5,21,23,24,

25,26,27,29,30.極差為30-17.5=12.5（萬噸），A正確；平均數(shù)為

17.5x2+21+23+24+25+26+27+29+30=24（萬噸），B正確；中位數(shù)為上/=24.5（萬

10

噸），C錯誤；眾數(shù)為17.5萬噸，D正確.

6.從甲、乙、丙三個廠家生產(chǎn)的同一種產(chǎn)品中各抽取8件產(chǎn)品，對其使用壽命（單位:

年）跟蹤調(diào)查結果如下：

甲：3,4,5,6,8,8,8,10；

乙：4,6,6,6,8,9,12,13；

丙：3,3,4,7,9,10,11,12.

三個廠家在廣告中都稱該產(chǎn)品的使用壽命是8年，請根據(jù)結果判斷廠家在廣告中分別

運用了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)中的哪一種集中趨勢的特征數(shù)：甲眾數(shù)，乙平均數(shù)，丙

中位數(shù).

［解析］甲、乙、丙三個廠家從不同角度描述了一組數(shù)據(jù)的特征，甲：該組數(shù)據(jù)8出現(xiàn)

4+6x3+8+9+12+13

的次數(shù)最多；乙：該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)元=8；丙：該組數(shù)據(jù)的中位

8

數(shù)是子=8.

7.［2023?山東東營模擬］如圖所示，某市5月1日至10BPM2.5的日均值（單位：

Rg/m3）變化的折線圖，則該組數(shù)據(jù)第64百分位數(shù)為48.

［解析］該市5月1日至10日PM2.5的日均值，從小到大依次為

30,32,34,40,41,45,48,60,78,80,又10X0.64=6.4，所以第64百

分位數(shù)為48.

8.已知一個樣本的樣本容量為10,平均數(shù)為15,方差為3,現(xiàn)從樣本中去掉一個數(shù)

據(jù)15,此時樣本的平均數(shù)為歹,方差為s2,貝吸=空，s2=日.

［解析］設10個數(shù)據(jù)為％1,%2，…，％9,15，

Y22_(%1-15)2+(%2-15)2+...+(%9-15/(勺―15)2+(%2-15)2+…+(%9-15)2+(15—15)2_Q

乂S-9，10一，

所以S2=m=￡.

9.靈活就業(yè)的崗位主要集中在近些年興起的主播、自媒體、配音，還有電競、電商這

些新興產(chǎn)業(yè)上.只要有網(wǎng)絡、有電腦，隨時隨地都可以辦公.這些崗位出現(xiàn)的背后都離

不開互聯(lián)網(wǎng)的加速發(fā)展和短視頻時代的大背景.甲、乙兩人同時競聘某公司的主播崗位,

其中10種表現(xiàn)得分如下表：

甲897976101086

乙1098687978a

(1)若甲和乙所得平均分相等，求a的值；

［答案］解：根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)，元甲=^x(8+9+7+9+7+6+10+10+8+

6)=8,

乙=Gx(10+9+8+6+8+7+9+7+8+a)=8,解得a=8.

(2)在(1)的條件下，判斷甲、乙兩人誰的表現(xiàn)更穩(wěn)定.

［答案］s：='><(0+1+1+1+1+4+4+4+0+4)=2,

s2=—X(4+1+0+4+0+1+1+1+0+0)=7，

乙10'75

由2>g,得乙的表現(xiàn)更穩(wěn)定.

［B級綜合運用］

10.［2023?四川南江中學一模］有一組樣本數(shù)據(jù)久1，犯....xn，由這組數(shù)據(jù)得

到新樣本數(shù)據(jù)為，丫2，…，yn，其中％=Xi+到=1,2,...,71）,C為非零常數(shù),則

（A）

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本方差相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本眾數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

［解析］選A.因為原來樣本平均數(shù)元=［（/+冷+…+0），新樣本平均數(shù)歹=其為+

22

y2+...+yj=%+c,C錯誤;原來樣本方差為sj=，［（%1-x）+（%2-x）+...+

（馬一元）2］,新樣本方差為s|一歹）2+仇一歷2+…+（即一歹）2］=S；,人正

確；設原樣本眾數(shù)為a，則新樣本眾數(shù)為a+c,B錯誤；設原樣本中位數(shù)為匕，則

新樣本中位數(shù)為b+c,D錯誤.故選A.

11.［2023?重慶第一學期考試］（多選）創(chuàng)新，是一個民族進步的靈魂，是一個國家

興旺發(fā)達的不竭源泉.為支持中小企業(yè)創(chuàng)新發(fā)展，國家決定對部分創(chuàng)新型企業(yè)的稅收進

行適當減免，現(xiàn)在全國調(diào)查了100家中小企業(yè)年收入情況，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣

本的頻率分布直方圖，則下列結論正確的是（CD）

八頻率/組距

0.0026--------------------------

0.002---------------

0.001

0.0004________________________

ol____________——-

0100200300400500600700年收入/萬元

A.樣本中年收入在［500,600）的中小企業(yè)約有16家

B.樣本的中位數(shù)大于400萬元

C.估計全國中小企業(yè)年收入的平均數(shù)為376萬元

D.樣本在區(qū)間［500,700］內(nèi)的頻數(shù)為18

［解析］選CD.由題圖，得(0.001+0.002+0,0026+0,0026+%+0.0004)X100=1,

解得x=0.0014.

年收入在［500,600)的中小企業(yè)約有0.0014X100X100=14(家)，故A不正確；

因為

(0.001+0,002)X100=0.3<0.5,(0.001+0.002+0.0026)X100=0,56>0,5,

所以樣本的中位數(shù)小于400萬元，故B不正確；

由題圖可知，樣本中中小企業(yè)年收入的平均數(shù)為［0。01x150+0.002x250+

0.0026X(350+450)+0.0014X550+0.0004X650］X100=376(萬元)，所以

估計全國中小企業(yè)年收入的平均數(shù)為376萬元，故C正確；

樣本在區(qū)間［500,700］內(nèi)的頻數(shù)為(0.0014+0.0004)X100X100=18，故D正確.

綜上所述，選CD.

12.［2023?云南昆明模擬］為了解某種作物的生長情況，抽取該作物植株高度(單位：

cm)的一個隨機樣本，整理得到樣本頻率分布直方圖如圖所示.由此樣本估計，該作

物植株高度的80%分位數(shù)約為皿cm.

［解析］由題圖可知，前三組從左到右矩形的面積為0.2,0.4,0.25,因為0.2+

0.4+0.25=0.85>0.8,所以80%分位數(shù)位于第3個矩形，設80%分位數(shù)為%,

所以％=70+-6xio=78.

13.某班成立了A,B兩個數(shù)學興趣小組，4組10人，B組30人，經(jīng)過一周的補

習后進行了一次測試，在該測試中,A組的平均成績?yōu)?30分,方差為115,B組的

平均成績?yōu)?10分，方差為215.則在這次測試中全班學生的平均成績和方差分別為

115,265.

［解析］依題意私=130,sj-115,xB-110,si-215，所以元=x130+

AD1U+3U

贏x110=115(分)，所以全班學生的平均成績?yōu)?15分.全班學生成績的方差為

s2=3-［s；+(x-元)2］+口一［sl+(x-1)2］=3一x(115+225)+3-x

10+30*■4'AA7J10+30LBBJ10+30'，10+30

(215+25)=85+180=265.

14.某種治療新冠感染的中藥產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標值衡量，質(zhì)量指標值越大表明

質(zhì)量越好.為了提高中藥產(chǎn)品的質(zhì)量，我國醫(yī)療科研專家攻堅克難，研發(fā)出a,B兩

種新配方，在這兩種新配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取數(shù)量相同的樣本，測量這些產(chǎn)品的

質(zhì)量指標值,規(guī)定質(zhì)量指標值小于85為廢品,在［85,115)內(nèi)為一等品,不小于115

為特等品.現(xiàn)把測量數(shù)據(jù)整理如下，其中B配方的樣本中有6件廢品.

A配方的頻率分布表

質(zhì)量指標值[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125]

頻數(shù)8a36248

B配方的頻率分布直方圖

（1）求實數(shù)a,

［答案］解：依題意，2,B兩種配方的樣本容量相同，設為n.

由B配方的樣本中有6件廢品，結合B配方的頻率分布直方圖，警=0.006x10,

n

解得n-100.

所以a=100—(8+36+24+8)=24.

由(0.006+b+0.038+0.022+0,008)x10=1，得匕=0.026.

所以實數(shù)a,b的值分別為24,0.026.

（2）試確定A配方和B配方哪一種更好.（說明：在統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用

該組區(qū)間的中點值作代表）

［答案］由（1）及4配方的頻數(shù)分布表得,

80x8+90x24+100x36+110x24+120x8

配方質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)表==100,

A100

A配方質(zhì)量指標值的樣本方差耳=+x[(-20)2x8+(-10)2x24+0義36+1。2x

24+202X8]=112.

由（1）及B配方的頻率分布直方圖得,

B配方質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)盤=80X0.06+90X0.26+100X0.38+110X

0.22+120x0.08=100,

B配方質(zhì)量指標值的樣本方差用=（-20）2x0.06+（-10）2x0.26+0x0.38+

102x0.22+202x0.08=104.

綜上,XA=XB,S：>s/,

即2,B兩種配方質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)相等，但2配方質(zhì)量指標值沒有B配方

質(zhì)量指標值穩(wěn)定.

所以B配方更好.

［C級素養(yǎng)提升1

15.（多選）某環(huán)保局對轄區(qū)內(nèi)甲、乙、丙、丁四個地區(qū)的環(huán)境治理情況進行檢查督

導,若連續(xù)10天,每天空氣質(zhì)量指數(shù)（單位：pg/n?）不超過100，則認為該地區(qū)環(huán)

境治理達標，否則認為該地區(qū)環(huán)境治理不達標.根據(jù)連續(xù)10天檢查所得數(shù)據(jù)的數(shù)字特

征推斷，環(huán)境治理一定達標的地區(qū)是（AD）

A.甲地區(qū)：平均數(shù)為80,方差為40B.乙地區(qū)：平均數(shù)為50,眾數(shù)為40

C.丙地區(qū)：中位數(shù)為50,極差為60D.丁地區(qū)：極差為10,80%分位數(shù)為90

［解析］選AD.設每天的空氣質(zhì)量指數(shù)為%4=1,2，…,10）,則方差s2=之￡&-元尸.

10i=l

11010

對于A,由22a—80）2=40，得2（陽—80）2=400,如果這10天中有1天的

10i=li=l

10

空氣質(zhì)量指數(shù)超過100,則必有2a-80）2>400矛盾,所以這10天每天的空氣質(zhì)

i=l

量指數(shù)都不超過100,A正確.對于B,如果有8天為40,有1天為150,有1天為30,

此時平均數(shù)為50,眾數(shù)為40，但該地區(qū)環(huán)境治理不達標,B錯誤.對于C,第1天為

H0,后面9天為50