有理數(shù)的乘法-2024年小升初數(shù)學(xué)無憂銜接 （解析版）

專題11有理數(shù)的乘法

［學(xué)習(xí)小目標(biāo)

1.會正確進(jìn)行有理數(shù)的乘法運(yùn)算。

2.初步體會“分類”與“歸納”的數(shù)學(xué)思想。

3.在運(yùn)算過程中能合理使用乘法運(yùn)算律使運(yùn)算簡便。

4.理解倒數(shù)的意義，并能求出已知數(shù)的倒數(shù)。

］新課輕松導(dǎo)入

［思考1］2023年7月28日將在成都舉行第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動會，何宇鴻同學(xué)為了備戰(zhàn)大運(yùn)會,

沿一條東西方向的跑道，以每秒鐘9米的速度向東跑。記何宇鴻在跑道上的某一位置為點(diǎn)。，那么在點(diǎn)。

的3分鐘后、2秒后、1秒后、0秒、1秒前、2秒前、3秒前，他位于這一點(diǎn)的哪個方向？相距多少米？

提示：向東和向西行進(jìn)的速度都是具有方向的量，如果我們規(guī)定：向東為正，向西為負(fù)。

U?

知識幫你梳理

1.有理數(shù)的乘法

有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘.任何數(shù)同0相乘，都得0.

有理數(shù)乘法的運(yùn)算步驟：先確定積的符號，再確定積的絕對值.

有理數(shù)乘法的應(yīng)用：要得到一個數(shù)的相反數(shù)，只要將它乘-1.

多個有理數(shù)相乘：幾個不是0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積為正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積為

負(fù)數(shù)，即“奇負(fù)偶正”.幾個數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為0,那么積等于0.

注意：有理數(shù)乘法運(yùn)算分兩步走，第一步，定符號，第二步，定數(shù)值；

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2.有理數(shù)乘法運(yùn)算律

乘法交換律：一般地，有理數(shù)乘法中，兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等.ab=ba

乘法結(jié)合律：一般地，有理數(shù)乘法中，三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等.

abc=（?Z?）c=a（bc）

乘法分配律：一般地，有理數(shù)乘法中，一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再

把積相加.a（b+c）=ab+ac

注意：1）當(dāng)用字母表示乘數(shù)時，“X”號可以寫為“?”或省略；

2）在遇到多數(shù)相乘的時候，注意尋找乘數(shù)為“0”或者互為相反數(shù)的因數(shù)，往往會起到事半功倍的效果；

3）公式的正用與逆用。

3.倒數(shù)

1）倒數(shù)的概念：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù).

（1）倒數(shù)是成對出現(xiàn)的，單獨(dú)一個數(shù)不能稱為倒數(shù).（2）0沒有倒數(shù).

（3）互為倒數(shù)的兩個數(shù)的乘積一定是1,即6互為倒數(shù)，則ax6=l；反之亦然.

2）求一個非零有理數(shù)的倒數(shù)，把它的分子和分母顛倒位置即可.

（1）非零整數(shù)可以看作分母為1的分?jǐn)?shù)；（2）帶分?jǐn)?shù)一定要先化成假分?jǐn)?shù)之后再求倒數(shù).

注意：1.注意是乘積為1,要與相反數(shù)的概念區(qū)分開來；2.互為倒數(shù)的兩個數(shù)的符號一定是相同的;

3.倒數(shù)等于本身的數(shù)有：1、-1；

高頻考點(diǎn)

考點(diǎn)1、有理數(shù)的乘法運(yùn)算

【解題技巧】根據(jù)有理數(shù)乘法的法則計算即可。

例1.（2023?山西晉中?統(tǒng)考一模）計算（-2）x,j的結(jié)果是（）

122

A.2—B.—C.—D.6

333

【答案】B

【分析】直接根據(jù)負(fù)數(shù)乘以負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計算即可.

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【詳解】(-2)x,[=2xg=g,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了負(fù)數(shù)乘以負(fù)數(shù)，熟練掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

例2.(2022秋?云南昆明?七年級?？计谥?在-2,3,-4,-5,6這五個數(shù)中，任取兩個數(shù)相乘，得的

積最大的是()

A.10B.30C.20D.18

【答案】C

【分析】根據(jù)兩數(shù)相乘，同號得正，又正數(shù)大于負(fù)數(shù)，所以(-4)x(-5)=20最大.

【詳解】因?yàn)檎龜?shù)大于負(fù)數(shù)，選擇同號且絕對值的積較大的兩數(shù)相乘，只有(-4)x(-5)=20最大.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)大小比較，有理數(shù)乘法，解題的關(guān)鍵是多次嘗試.

變式1.(2023?浙江溫州??？既?計算(-2)x3的結(jié)果是()

A.1B.—1C.6D.―6

【答案】D

【分析】有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘，據(jù)此求出算式的值是多少

即可.

【詳解】解：(-2)X3=-6.故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了有理數(shù)乘法的運(yùn)算方法，要熟練掌握運(yùn)算法則.

2

變式2.(2023?河北保定?統(tǒng)考二模)下列算式中，與有理數(shù)-2§相等的是()

A.(-2)xgB.C,-2+|D.+3

【答案】D

【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減，乘除法法則逐項(xiàng)判斷即可.

74?(2、42

【詳解】A.(-2)X：=-^N-2：,故該選項(xiàng)不符合題意；B.-2x-=--^-2-,故該選項(xiàng)不符合題意;

JJJ

74?(2、2

c.-2+j=-j^-21,故該選項(xiàng)不符合題意；D.-I2+-U-2-,故該選項(xiàng)符合題意.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的加減和乘除運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)相關(guān)運(yùn)算的法則.

變式3.(2022.重慶市.七年級期中)下列計算中錯誤的是()

A.—6x(—5)x(—3)x(—2)=180B.(-36)x(----i)=-6+4+12=10

693

C.(-15)X(-4)X(+1)X(-1)=6D,-3x(+5)-3x(-l)-(-3)x2=-3x(5-l-2)=-6

【答案】C

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【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法法則及乘法的分配律a(b+c)=ab+ac,分別進(jìn)行判斷.

【詳解】解：A、—6x(—5)x(—3)x(—2)=180,正確；

B、(-36)x(1-|-1)=-6+4+12=10,應(yīng)用了乘法分配律，正確；

C、(-15)x(-4)x(+1)x(-1)=6,有三個負(fù)因數(shù)，結(jié)果應(yīng)為負(fù)數(shù)，錯誤；

D、-3x(+5)-3x(-l)-(-3)x2=-3x(5-l-2)=-6,逆用分配律，正確.故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的乘法法則及乘法的分配律，熟練掌握“幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號

由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正”.

考點(diǎn)2、有理數(shù)乘法法則的辨析

【解題技巧】有理數(shù)乘法的法則

①有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘.②任何數(shù)同零相乘，都得0.

③多個有理數(shù)相乘的法則：①幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個

時，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正.②幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0,積就為0.

例1.(2022.安徽亳州市.七年級期中)現(xiàn)有以下五個結(jié)論：①有理數(shù)包括所有正數(shù)、負(fù)數(shù)和0；②若兩個

數(shù)互為相反數(shù)，則它們相乘的積是負(fù)數(shù)；③任何一個有理數(shù)都可以在數(shù)軸上表示；④兩個數(shù)的和為正數(shù)，

則這兩個數(shù)可能異號；⑤幾個有理數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)個數(shù)為奇數(shù)則乘積為負(fù)數(shù)，其中正確的有()

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】A

【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類、數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值的定義、有理數(shù)的乘法的法則分別對每一項(xiàng)進(jìn)行分析

即可.

【詳解】解：①有理數(shù)包括所有正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和0;故原命題錯誤；

②若兩個數(shù)(非0)互為相反數(shù)，則它們相乘的積是負(fù)數(shù)；故原命題錯誤；

③任何一個有理數(shù)都可以在數(shù)軸上表示；故原命題正確；

④兩個數(shù)的和為正數(shù)，則這兩個數(shù)可能異號，故原命題正確；

⑤幾個非零的有理數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)個數(shù)為奇數(shù)則乘積為負(fù)數(shù)，故原命題錯誤....正確的有2個；故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的分類、數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值的定義、有理數(shù)的乘法的法則等知識點(diǎn)的運(yùn)用，

屬于基礎(chǔ)題，注意概念的掌握，及特殊例子的記憶.

例2.(2022秋?浙江金華?八年級?？茧A段練習(xí))若%=0,則下列選項(xiàng)正確的是()

A.a,b,c沒有一個為0B.a,b,c只有一個為0

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C.a,b,c至少一個為0D.a,b,c三個都為0

【答案】C

【分析】根據(jù)任何數(shù)同零相乘，都得0,依此即可求解.

【詳解】解：根據(jù)任何數(shù)同零相乘，都得0,

若abc=0,則a,b,c至少有一個為0,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)任何數(shù)同零相乘，都得零，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2022?成都市溫江區(qū)七年級月考）下列說法中正確的有（）

①同號兩數(shù)相乘，符號不變；②異號兩數(shù)相乘，積取負(fù)號；

③數(shù)。、b互為相反數(shù)，它們的積一定為負(fù)；④絕對值等于本身的數(shù)是正數(shù).

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解題思路】根據(jù)有理數(shù)乘法法則和相反數(shù)，絕對值的性質(zhì)進(jìn)行判斷便可.

【解答過程】解：①同號兩數(shù)相乘，符號為正號，不是符號不變，該小題說法錯誤；

②異號兩數(shù)相乘，積取負(fù)號，這符合乘法法則，該小題說法正確；

③數(shù)以6互為相反數(shù)，它們的積不一定為負(fù)，如。、。都為0,它們互為相反數(shù)，但它們的積為0,不為負(fù)，

該小題說法錯誤；④絕對值等于本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)，包括正數(shù)和0,不一定是正數(shù)，該小題說法錯誤；

故選：A.

變式2.（2022?澧縣七年級月考）下列說法中，不正確的個數(shù)有（）

①符號相反的數(shù)叫相反數(shù)；②四個有理數(shù)相乘，若有兩個負(fù)因數(shù)，則積為正；

③倒數(shù)等于本身的數(shù)只有1;④相反數(shù)等于本身的數(shù)只有0；

A.0個B.1個C.2個D.3個

【解題思路】①根據(jù)相反數(shù)的定義即可求解；②根據(jù)有理數(shù)的乘法法則即可求解；

③根據(jù)倒數(shù)的定義即可求解；④根據(jù)相反數(shù)的定義即可求解.

【解答過程】解：①只有符號相反的數(shù)叫相反數(shù)，故①符合題意；

②四個有理數(shù)（0除外）相乘，若有兩個負(fù)因數(shù)，則積為正，故②符合題意；

③倒數(shù)等于本身的數(shù)有±1,故③符合題意；

④相反數(shù)等于本身的數(shù)只有。是正確的，故④不符合題意.故選：D.

考點(diǎn)3、利用有理數(shù)乘法法則判斷符號

【解題技巧】符號判別方法：①幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)

個時，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正.②幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0,積就為0.

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例1.(2022秋?廣西南寧?七年級統(tǒng)考期中)下列算式中，積為負(fù)數(shù)的是()

A.0x(-5)B.4x(-0.2)x(-10)C.(-2)D.(-3)X「#T

【答案】D

【分析】根據(jù)幾個非零數(shù)相乘，負(fù)號的個數(shù)為奇數(shù)，積為負(fù)，負(fù)號的個數(shù)為偶數(shù)，積為正，任何數(shù)乘0,都

得0,進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：0x(-5)=0,不符合題意；B、4x(-0.2)x(-10),2個負(fù)號，積為正數(shù)，不符合題意;

C,(-1.5)x(-2),2個負(fù)號，積為正數(shù)，不符合題意;

D、3個負(fù)號，積為負(fù)數(shù)，符合題意；故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)乘法的符號法則.熟練掌握同號為正，異號為負(fù)，任何數(shù)乘0,都得0,以及幾個

非零數(shù)相乘，負(fù)號的個數(shù)為奇數(shù)，積為負(fù)，負(fù)號的個數(shù)為偶數(shù)，積為正，是解題的關(guān)鍵.

例2.(2022秋.河北邢臺.七年級?？茧A段練習(xí))如圖，A3兩點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是a,b,下列式

子成立的是()

_________IBI?I4?

-1b01a

A.ab>0B.a+b>0C.(a-l)(Z?+l)<0D.(a+l)(Z?-l)>0

【答案】B

【分析】先根據(jù)數(shù)軸確定a6的取值范圍，再逐一判定即可解答.

【詳解】解：由數(shù)軸可得：-l<b<0<l<a,

ab<0,a+b>0,(a-1乂6+1)>0,(a+l)(b-1)<0,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸確定a,6的取值范圍.

例3.(2022?四川遂寧?七年級?？茧A段練習(xí))若而>0,則必有()

A.a>0,b>0B.a<0,b<0C.a>Q,b<0D.a>0,6>0或者b<0

【答案】D

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法法則求解即可.

【詳解】解：ab>0,與6同號，：.a>0,6>0或者b<0,故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘法法則，解題的關(guān)鍵是掌握：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù).

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變式1.（2022春?山東七年級期中）已知三個實(shí)數(shù)〃，b,c滿足/>0,a+b<c,a+b+c-0,則下列結(jié)論

一定成立的是（）

A.a<0,b<0,c>0B.a>0,b>0,c<0C.a>0,b<0,c>0D.a>09b<Q,c<0

【答案】A

【分析】根據(jù)必>。，可得4和。同號，再根據(jù)a+b<c和〃+b+c=0,即可判斷。，b,。的符號.

【詳解】解：:。方>0,工。和丁同號,

又a+b<c和。+/?+。=0,?<0,b<0,c>Q.故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵是掌握兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)；同號兩

數(shù)相加，取它們相同的符號；異號兩數(shù)相加，取絕對值較大數(shù)的符號.

變式2.（2023秋?福建漳州?七年級統(tǒng)考期末）已知三個數(shù)〃，b,c,這三個數(shù)在數(shù)軸上表示的點(diǎn)的位置如

圖，則下列結(jié)論不正建的是（）

―1---------1-------------------------------1-

cba

A.c<b<aB.（a-c）（c-Z?）<0

C.若a+6+c=0,則同=網(wǎng)+忖D.若同=|c|,則（a+c）6<0

【答案】D

【分析】根據(jù)數(shù)軸、有理數(shù)的大小比較及有理數(shù)的運(yùn)算可得答案.

【詳解】解：由數(shù)軸可知：c<b<a，故A選項(xiàng)正確；.?.（4-c）（c-b）<0,故B選項(xiàng)正確；

；a+6+c=0,，原點(diǎn)在。、6之間，即6<0,c<0,；.同=網(wǎng)+同,故C選項(xiàng)正確；

,.[4=同，.?.原點(diǎn)在6、c之間，即a>0力>0,c<。，且時>卜|,/.（a+c）Z>>0,故D選項(xiàng)錯誤；故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸上有理數(shù)的表示、有理數(shù)的大小比較及有理數(shù)的乘法和加法運(yùn)算，熟練掌握數(shù)

軸上有理數(shù)的表示、有理數(shù)的大小比較及有理數(shù)的乘法、加法法則是解題的關(guān)鍵.

變式3.（2023?江蘇南京?統(tǒng)考二模）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A,8分別表示實(shí)數(shù)。，b,C是線段AB的中點(diǎn).若

同>網(wǎng)且而<0,則原點(diǎn)在（）

BCA

----------------111--------------------->

b---------------------a

A.點(diǎn)A的右邊B.點(diǎn)B的左邊C.線段BC上D.線段C4上

【答案】C

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【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法法則得出a>0〉》，再根據(jù)絕對值的意義可得A離原點(diǎn)距離大于2離原點(diǎn)距離,

即可得出結(jié)論.

【詳解】解：,：ab<0,“和6異號，貝”a>O>b,

?.[4>阿，離原點(diǎn)距離大于8離原點(diǎn)距離，，原點(diǎn)在線段BC上，故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值的意義，有理數(shù)的乘法，解題的關(guān)鍵是掌握：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù).

考點(diǎn)4、有理數(shù)乘法運(yùn)算律

【解題技巧】運(yùn)用運(yùn)算律的一些技巧：

①運(yùn)用結(jié)合律，將能約分的先結(jié)合計算。如：-xlxlO

35

②小數(shù)與分?jǐn)?shù)相乘，一般先將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)。如：i.2x±3

7

52

③帶分?jǐn)?shù)應(yīng)先化為假分?jǐn)?shù)的形式。如：1-x-

73

1234

④幾個分?jǐn)?shù)相乘，先約分，在相乘。如；-X-X-X-

2345

⑤一個數(shù)與幾個數(shù)的和相乘，通常用分配律可簡化計算。如：12義（-+-+-）

234

例1.（2023秋?云南紅河?七年級統(tǒng)考期末）在簡便運(yùn)算時，把12義1-999巳]變形成最合適的形式是（

A.12xj^-1000+^B.12x^-1000-^C.12x^-999-^D.12x^-999+^

【答案】A

【分析】根據(jù)乘法分配律解答即可.

【詳解】A.12x,999￡1=12x（T000+gj=12><（T000）+12x4；B.變形錯誤;

C.12x,999《j=12x1-999-^]=12x（-999）-12x：

D.變形錯誤；顯然A比C計算簡單.故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的簡便運(yùn)算，熟練掌握乘法的分配律是解答本題的關(guān)鍵.

例2.（2022秋?江西宜春?七年級統(tǒng)考期中）計算10x5J時，有以下兩種方法.

方法一：10x5,=10x1=55.

一22

方法二：10x5；=10x15+；1

=10x5+10x-=55.

22

參考以上方法，計算:

(1)19x3—-6x3—；

1313

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(2)20xl71-71

【答案】(1)40(2)6

【分析】(1)逆用乘法的分配律計算即可;

(2)利用乘法的分配律計算即可.

【詳解】(1)19x3、—6x3,

=。9-6)x3、

=13x3—

13

40

=13x—=40.

13

(2)20xj71-71

=20x17+1-7-1

=20x

25

=10-4

=6.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握乘法的分配律是解答本題的關(guān)鍵.

例3.(2022.河南焦作.七年級?？计谥?用簡便方法計算：

(l)4x(-198)x(-0.25)*⑵(一(+H卜仍)

(3)-5*Hg)+7x171^-(-12)x,7j(4)9吟義(-36)

【答案】(1)2(2)一12(3)0(4)-3599：

【分析】(1)利用乘法的交換律求解即可；(2)利用乘法分配律求解即可；(3)利用乘法分配律的逆運(yùn)

算求解即可；(4)把原式變形為[1。。-5]x(-36),然后利用乘法分配律求解即可；

【詳解】(1)解：原式=[4x(-0.25)]x[-198x3]

=2；

731

(2)解：原式=—：x24+—x24——x24

=-28+18-2

第9頁共39頁

=—12；

（3）解：原式=（-5+7+12）

皿"

=0；

（4）解：原式=（100-\]x（-36）

=100x（-36）-^x（-36）

=-3600+-

2

=-3599-.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的簡便計算，熟知有理數(shù)乘法運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2023秋?山西晉中?七年級統(tǒng)考期末）計算

(-0.125)x20x(-8)x(-0.8)=[(-0.125)x(-8)]x[20x(-0.8)]=-16,運(yùn)算中運(yùn)用的運(yùn)算律為().

A.乘法交換律B.乘法分配律C.乘法結(jié)合律D.乘法交換律和乘法結(jié)合律

【答案】D

【分析】解答時，運(yùn)用了乘法交換律和乘法結(jié)合律.

【詳解】二.運(yùn)用的運(yùn)算律為乘法交換律和乘法結(jié)合律，故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了用運(yùn)算律進(jìn)行有理運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算律的使用規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2022秋?廣西七年級期中）計算:

9151515

⑴x(-2.3)x(2)i-i+2_7r("36)⑶一8x+12x-4x

292929

23

【答案】（1）號（2）79（3）0

【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的乘法進(jìn)行計算即可求解；（2）根據(jù)有理數(shù)的乘法分配律進(jìn)行計算即可求解;

（3）根據(jù)有理數(shù)的乘法分配律進(jìn)行計算即可求解.

9

【詳解】（1）解:x(-2.3)x

9238

=—x——x—

4109

=23

一彳；

(2)解:Z-A_HX(-36)

912+26

第10頁共39頁

7511

二§x(-36)--x(-36)+2x(-36)--x(-36)

=—28+15—72+66

=-100+81

=-19

151515

(3)解：-8x+12x-4x

292929

15

x(-8+12-4)

29

-iix0

=0

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘法運(yùn)算，乘法分配律，熟練掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則與運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵.

變式3.（2022秋?重慶七年級期中）利用運(yùn)算律做較簡便的計算:

38

⑴(-3.5)xx⑵H+Mxf);(3)7.307x(-14)+7.307x(-10)+7.307x(+24).

47

z;o

【答案】(l)-3(2)-y(3)0

【分析】（1）將小數(shù)化為分?jǐn)?shù),再利用乘法結(jié)合律計算;

（2）利用乘法分配律展開計算;（3）利用乘法分配律合并計算.

38

【詳解】（1）解：（T5）xX

738

xx

247

378

——x—x—

427

J___1^3_j_

(2)12-36+4-6x(-48)

—"x48

123646j

1131

=—X48Hx48——x48+—x48

123646

4

=4+——36+8

3

68

3

(3)7.307x(-14)+7.307x(-10)+7.307x(+24)

=7.307x(-14-10+24)

第11頁共39頁

=7.307x0

=0

【點(diǎn)睛】本題主要考查了乘法運(yùn)算律，解答的關(guān)鍵是掌握乘法結(jié)合律和分配律.

考點(diǎn)5、有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用

【解題技巧】有理數(shù)運(yùn)算相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題種類較多，但是很多題目只是所給的情境不一樣，解答的方法

并沒有發(fā)生改變。能夠熟練的分析應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系，找準(zhǔn)解題的方法和技巧。

例1.（2023春?廣西南寧?七年級?？奸_學(xué)考試）定義一種新運(yùn)算：。*6=-而，例如l*2=-lx2=-2,那

么（-2）*7的值為（）

A.14B.-14C.5D.-9

【答案】A

【分析】根據(jù)題意列出算式，再進(jìn)一步計算即可.

【詳解】解：（-2）*7=-（-2）x7=14,故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的乘法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是理解題干中的新定義法則.

例2.（2022秋?江蘇淮安?七年級?？计谀┬聛喩虉鲈?023年“元旦”期間舉行促銷活動，根據(jù)顧客按商品

標(biāo)價的一次性購物總額，規(guī)定相應(yīng)的優(yōu)惠方法如下：①如果不超過600元，則不予優(yōu)惠；②如果超過60。

元，但不超過900元，則按購物總額給予8折優(yōu)惠；③如果超過900元，則其中900元給予8折優(yōu)惠，超

過900元的部分給予6折優(yōu)惠，促銷期間，小王和媽媽分別看中一件商品，若各自單獨(dú)付款，則應(yīng)分別付

款560元和640元；若合并付款，則她們總共只需付款元.

【答案】996或1080/1080或996

【分析】根據(jù)題意可知付款560元時，其實(shí)際標(biāo)價為為560或700元，付款640元，實(shí)際標(biāo)價為800元，

分兩種情況分別計算求出一次購買標(biāo)價1360元或1500元的商品應(yīng)付款即可.

【詳解】解：由題意知付款560元，實(shí)際標(biāo)價為560或560、￥=700（元），

付款640元，實(shí)際標(biāo)價為6408孚=800（元），

8

如果一次購買標(biāo)價560+800=1360（元）的商品應(yīng)付款：900x0.8+（1360-900）x0.6=996（元）；

如果一次購買標(biāo)價700+800=1500（元）的商品應(yīng)付款：900x0.8+（1500-900）x0.6=1080（元）.

故答案是：996或1080.

第12頁共39頁

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用，注意顧客付款560元時，要分兩種情況考慮：有可能原

價就是560元，也有可能符合優(yōu)惠②，此時的結(jié)論也會有差別，另外注意計算的準(zhǔn)確性.

例3.（2023秋?山東濱州?七年級統(tǒng)考期中）某自行車廠計劃一周生產(chǎn)自行車1400輛，平均每天生產(chǎn)200

輛，但由于種種原因，實(shí)際每天生產(chǎn)量與計劃量相比有出入.下表是某周的生產(chǎn)情況（超產(chǎn)記為正、減產(chǎn)

記為負(fù)）：

星期一二三四五六日

增減+5-2-4+12-10+16-9

（1）根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知該廠星期六生產(chǎn)自行車多少輛；（2）根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知該廠本周實(shí)際生產(chǎn)自行車多

少輛；（3）產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)最最少的一天多生產(chǎn)自行車多少輛；（4）該廠實(shí)行每周計件工資制，每生產(chǎn)一

輛車可得50元，若超額完成任務(wù)，則超過部分每輛另獎15元；少生產(chǎn)一輛扣20元，那么該廠工人這一周

的工資總額是多少元？

【答案】（1）216輛（2）該廠本周實(shí)際生產(chǎn)1408輛（3）產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最低的一天多26輛（4）該廠工人這

一周工資總額是70520元

【分析】（1）計算平均每天產(chǎn)量與周六與計劃出入的和；

（2）先計算出該廠每天與計劃出入的和，再加上一周的自行車計劃產(chǎn)量；

（3）最高一天的產(chǎn)量減最少一天的產(chǎn)量；

（4）該廠一周工資=實(shí)際自行車產(chǎn)量x50+超額自行車產(chǎn)量X15.

【詳解】（1）解：星期六生產(chǎn)自行車輛數(shù)：200+16=216（輛）；

（2）解：7x200+（5—2-4+12—10+16—9）=1400+8=1408（輛）.

答：該廠本周實(shí)際生產(chǎn)1408輛；

（3）解：16-（-10）=26（輛）.

答：產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最低的一天多26輛；

（4）解：50x1408+15x8=70520（元）.

答：該廠工人這一周工資總額是70520元.

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)運(yùn)算在實(shí)際生活中的應(yīng)用.認(rèn)真審題，準(zhǔn)確的列出式子是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2022秋?廣西柳州?七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）存有酒精溶液容器的蓋子不小心被打開了，第一天酒精

蒸發(fā)了1!，第二天蒸發(fā)了剩下的2彳，這時，容器內(nèi)剩下的酒精占原來的（）

.JD

第13頁共39頁

【答案】D

【分析】根據(jù)題意列出算式再進(jìn)一步計算即可.

1(2142

【詳解】解：1一廠1一4卜大=1——=故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則.

變式2.(2023秋?湖南張家界?七年級統(tǒng)考期末)如圖所示，在這個數(shù)據(jù)運(yùn)算程序中，若開始輸入的尤的值

為2,結(jié)果輸出的是1,返回進(jìn)行第二次運(yùn)算則輸出的是-4,…，則第2020次輸出的結(jié)果是()

A.-1B.3C.6D.8

【答案】A

【分析】先根據(jù)數(shù)據(jù)運(yùn)算程序計算出第1-8次的輸出結(jié)果，再歸納類推出一般規(guī)律，由此即可得.

【詳解】第1次運(yùn)算輸出的結(jié)果為:x2=l,第2次運(yùn)算輸出的結(jié)果為1-5=T,

第3次運(yùn)算輸出的結(jié)果為gx(-4)=-2,第4次運(yùn)算輸出的結(jié)果為gx(-2)=-1,

第5次運(yùn)算輸出的結(jié)果為-1-5=-6,第6次運(yùn)算輸出的結(jié)果為gx(-6)=-3,

第7次運(yùn)算輸出的結(jié)果為-3-5=-8,第8次運(yùn)算輸出的結(jié)果為：義(-8)=-4,

歸納類推得：從第2次運(yùn)算開始，輸出結(jié)果是以-4,-2,-1,-6,-3,-8循環(huán)往復(fù)的，

因?yàn)?020-1=336x6+3,所以第2020次運(yùn)算輸出的結(jié)果與第4次輸出的結(jié)果相同，即為-1,故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了程序圖與有理數(shù)計算的規(guī)律性問題，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵.

變式3.(2022秋?福建泉州?七年級統(tǒng)考期末)國慶期間，商場A和商場B同時做促銷活動.

商場A的活動規(guī)則是全場一律9.5折

商場8的活動規(guī)則如下表：

購物金額優(yōu)惠辦法

購物不超過200元按原價購買

第14頁共39頁

購物超過200元且不超過500元的部分按原價打9折

購物超過500元的部分按原價打8折

（1）小聰去商場A購物300元，按活動規(guī)則實(shí)際應(yīng)付多少元；

（2）小明準(zhǔn)備購物600元，請通過計算幫小明分析，該去哪個商場購買合算.

【答案】（1）285元（2）小明準(zhǔn)備購物600元，該去B商場購買合算.

【分析】（1）根據(jù)A商場優(yōu)惠方案列式計算即可；

（2）根據(jù)兩個商場優(yōu)惠方案列式計算即可求解.

【詳解】（1）解：：商場A的活動規(guī)則是全場一律9.5折.?.實(shí)際應(yīng)付300x0.95=285（元）

（2）去A商場，實(shí)際應(yīng)付600x0.95=570（元）

去8商場，實(shí)際應(yīng)付200+300x0.9+100x0.8=550（元）

550<570，小明準(zhǔn)備購物600元，該去8商場購買合算.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算的應(yīng)用，理解商場優(yōu)惠方案，列出算式是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)6、有理數(shù)乘法的新定義問題

【解題技巧】“新定義”型問題是指在問題中定義了初中數(shù)學(xué)中沒有學(xué)過的一些概念、新運(yùn)算、新符號，

要求學(xué)生讀懂題意并結(jié)合已有知識進(jìn)行理解，而后根據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種題型.它一般分

為三種類型：（1）定義新運(yùn)算；（2）定義初、高中知識銜接“新知識”；（3）定義新概念.這類試題考查

考生對“新定義”的理解和認(rèn)識，以及靈活運(yùn)用知識的能力，解題時需要將“新定義”的知識與己學(xué)知識

聯(lián)系起來，利用己有的知識經(jīng)驗(yàn)來解決問題.

例1.（2022秋?山東日照?七年級?？计谀┮阎橛欣頂?shù)，定義運(yùn)算符號為※：當(dāng)時，a※匕=2a；

當(dāng)a<6時，a※匕=26-a.貝lj6X2-（-3X2）等于（）

A.5B.1C.-6D.10

【答案】A

【分析】原式根據(jù)題中的新定義化簡，計算即可求出值.

【詳解】6派2-（-3x2）=2><6-（2*2-（-3））=12-7=5故選：A

【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵.

ab—1—2

例2.（2023秋?湖南婁底?七年級校聯(lián)考期末）若定義一種新運(yùn)算，規(guī)定"="-歷，則。,.

ca34

【答案】2

第15頁共39頁

【分析】原式利用題中的新定義計算即可求出值.

Qb―1_2/、

【詳解】解：：cd=ad-bc,：.34=-lx4-(-2)x3=2,故答案為：2.

【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

變式1.(2023秋?重慶萬州?七年級統(tǒng)考期末)定義一種新運(yùn)算“?！?，規(guī)定：。區(qū)6=2°-36等式右邊的運(yùn)算

就是加、減、乘、除四則運(yùn)算，例如：20(—3)=2x2—3x(—3)=4+9=13,182=2x1—3x2=2—6=Y.則

(一1慮[3③(一2)]的值是().

A.-2B.-18C.-28D.-38

【答案】D

【分析】根據(jù)新運(yùn)算的運(yùn)算法則，先計算3區(qū)(-2),再計算(-1慮[3③(-2)]即可得解.

【詳解】解：由題意，得：3E(-2)=2x3-3x(-2)=12,

A(-1)?[30(-2)]=(-1)012=2X(-1)-3X12=-38；故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查定義新運(yùn)算.理解并掌握新運(yùn)算的運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵.

變式2.(2022秋?浙江寧波.七年級校考期中)小尚同學(xué)與小志同學(xué)約定了一種新運(yùn)算：對于任意有理數(shù)。和

b,規(guī)定。削?=必僅+1).小尚同學(xué)嘗試計算2+(-3)=2x(-3)x[(-3)+l]=12,現(xiàn)在請小志同學(xué)計算

(-2)☆7=.

【答案】-112

【分析】根據(jù)新定義的含義可得(-2)☆7=(-2)x7x(7+l),再計算即可.

LW1W：'：a^b=ab(b+r),.-.(-2)☆7=(-2)x7x(7+1)-14x8=-112,故答案為:-112.

【點(diǎn)睛】本題考查的是新定義運(yùn)算，理解新定義的含義，再列出正確的運(yùn)算式是解本題的關(guān)鍵.

變式3.(2022秋?浙江湖州?七年級校聯(lián)考階段練習(xí))記符號國表示不超過尤的最大整數(shù),如[3]=3,[2,9]=2,

[-1.5]=-2.⑴分別寫出[4]和[-2』的值；(2)計算：[-0.2]x[4.5]x[-3].

【答案】(1)4,-3⑵12

【分析】(1)利用符號國的意義解答即可；

(2)利用符號[司的意義分別求得三個的值，再利用乘法法則運(yùn)算即可.

第16頁共39頁

【詳解】（1）[4]=4,[-2.1]=-3;

（2）[-0.2]x[4.5]x[-3]=-1x4x（-3）=12.

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的大小比較，有理數(shù)的乘法法則，理解并熟練利用符號[司的意義是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)7、倒數(shù)的概念與運(yùn)用

【解題技巧】倒數(shù)的概念：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù).

（1）倒數(shù)是成對出現(xiàn)的，單獨(dú)一個數(shù)不能稱為倒數(shù).（2）0沒有倒數(shù).

（3）互為倒數(shù)的兩個數(shù)的乘積一定是1,即。，〃互為倒數(shù)，則4X^=1；反之亦然.

例1.（2023?廣東惠州?校聯(lián)考二模）-2023的倒數(shù)是（）

A.2023B.—C.-2023

20232023

【答案】B

【分析】根據(jù)乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)求解即可.

【詳解】解：-2023的倒數(shù)是-乙，故選：B.

2023

【點(diǎn)睛】本題考查倒數(shù)，熟知倒數(shù)的定義是解答的關(guān)鍵.

例2.（2022秋.山東七年級期中）下列說法正確的是（）

A.兩個正數(shù)互為倒數(shù)，其中一個數(shù)必大于1B.一個假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)一定小于本身

C.如果一個數(shù)的倒數(shù)是它本身，那么這個數(shù)一定是1D.如果兩個數(shù)互為倒數(shù)，那么它們的積一定是1

【答案】D

【分析】利用特殊值分別分析再結(jié)合倒數(shù)的定義分析得出答案.

【詳解】A、因?yàn)?的倒數(shù)是1,1和1互為倒數(shù)，故說法錯誤；

B、一個假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)小于或等于本身，故此選項(xiàng)錯誤；

C、一個數(shù)的倒數(shù)是它本身的數(shù)有很多，除1外，還有分子和分母相同的假分?jǐn)?shù)，故此選項(xiàng)錯誤；

D、如果兩個數(shù)互為倒數(shù)，這個就排除了兩個數(shù)不為0的情況，所以如果兩個數(shù)互為倒數(shù)，那么它們的積一

定是1,故此選項(xiàng)正確.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了倒數(shù)的定義，利用特殊值分別分析是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2023春?四川成都?九年級?？茧A段練習(xí)）數(shù)。的相反數(shù)為-2022的倒數(shù)，貝壯的值為（）

A.2022B.-2022C.±2022D.」一

2022

第17頁共39頁

【答案】D

【分析】先求出-2022的倒數(shù)，再求出倒數(shù)的相反數(shù)，可得。值.

【詳解】解：-2022的倒數(shù)為-%工，二的相反數(shù)為°,即為小，故選D.

202220222022

【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)和倒數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握各自的定義和求法.

變式2.（2023?河北唐山?統(tǒng)考模擬預(yù)測）與一互為倒數(shù)的是（

A.——x5B.6x5D.-6x5

6

【答案】B

【分析】根據(jù)互為倒數(shù)的兩數(shù)之積為1,進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解:

A、x5=-=w30,不符合題意；B、6x5=30,符合題意；

66

C、1x5=1^30,不符合題意；D、-6x5=-30/30,不符合題意；故選B.

66

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算，倒數(shù).熟練掌握互為倒數(shù)的兩數(shù)之積為1,是解題的關(guān)鍵.

變式3.（2023?河北滄州??？既＃┤?"=1,則下列說法正確的是（）

A.機(jī)與〃互為倒數(shù)B.機(jī)與〃互為相反數(shù)C.加與“相等D.惻與網(wǎng)相等

【答案】A

【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義求解即可.

【詳解】解：=???，"與〃互為倒數(shù)，故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了倒數(shù)，熟知倒數(shù)是指兩個數(shù)的乘積等于1,那么這兩個數(shù)互為倒數(shù)是解題的關(guān)鍵.

第18頁共39頁

分層練一練

A級（基礎(chǔ)過關(guān)）

1.（2023.天津河?xùn)|.統(tǒng)考二模）計算（-3）x5的結(jié)果等于（）

A.-15B.2C.-2D.15

【答案】A

【分析】按照有理數(shù)的乘法法則計算即可.有理數(shù)的乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕

對值相乘.

【詳解】解：原式=-3x5=-15,故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘法運(yùn)算，掌握有理數(shù)的乘法法則是解題的關(guān)鍵.注意符號不要搞錯.

25

2.（2023?河北石家莊?石家莊市第四十中學(xué)校考二模）下列式子計算結(jié)果和-4,義7相等的是（）

“25「,215"2、5"52

A.-4x-x-B.-4+-x-C.-4--x-D.-4x-+-

37I3）7I3）773

【答案】C

【分析】將各個式子進(jìn)行計算，再對計算結(jié)果進(jìn)行比較即可得出答案.

“2514510,2540-4+1510550

【詳解】解:—4-x—=----x—=------,—4x-x—=------,X—=一X—

37373372173721

20246

一+—

7321,

下歹U式子計算結(jié)果和一4gxm相等的是1_4_g]x.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

3.（2023春?山東泰安.九年級?？茧A段練習(xí)）與實(shí)數(shù)-2023的絕對值的積為-1的是（）

A.2023B.-2023------D.---------

20232023

【答案】D

【分析】先求出-2023的絕對值，再根據(jù)有理數(shù)乘法計算法則求解即可.

【詳解】解：卜2023=2023,

;2023、,/]=-1,.?.與實(shí)數(shù)一2023的絕對值的積為-1的是-焉，故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對值，有理數(shù)乘法，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵.

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4.(2023秋?廣東深圳?七年級統(tǒng)考期末)^a<c<0<b,貝！()0

A.>B.<C.=D.>

【答案】A

【分析】根據(jù)多個有理數(shù)的乘法法則解答即