湖北省某中學(xué)2024屆高三第四次模擬考試（5月）數(shù)學(xué)試卷

湖北省黃岡中學(xué)2024屆高三第四次模擬考試（5月）數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:..姓名:.班級(jí):考號(hào):

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)2=±,[表示Z的共軌復(fù)數(shù)，則同=（

A,正6

Br(D.72

4-I2

N=|yy=x+±x>o1,

2.已知集合M=｛前型2（尤T）V0｝，則McN=()

A.0B.(1,2]C.{2}D.[2同

3.己知向量。=(1,若)，6=(sind,cosd),6>e(O,7r),若貝!]。=)

A.171

BD.

6-r~6

4.為了解高中學(xué)生每天的體育活動(dòng)時(shí)間，某市教育部門隨機(jī)抽取1000高中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，把

每天進(jìn)行體育活動(dòng)的時(shí)間按照時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘）分成6組:[30,40）,[40,50）,[50,60）,[60,70）,

[70,80）,[80,90].然后對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則可估計(jì)這1000名

學(xué)生每天體育活動(dòng)時(shí)間的第25百分位數(shù)為（）

C.43.5D.42.5

2222

5.橢圓|y+/=：l（a>6>0）的離心率記為％,雙曲線方一,1的離心率記為g,若

4e；=2,則雙曲線的漸近線方程為（）

A.y=±—xB.y=±%C.y=±A/2XD.y=±2x

2

6.函數(shù)/(%)=cos（ox+協(xié)（0>0）的圖象向左平移T個(gè)單位后得到g（x）=sin（5+°）的圖

象，若是/（X）的一個(gè)零點(diǎn)，則。的可能取值為（）

722

7.已知〃=ln《，b=cos］，c=—,則。也c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b

8.己知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)4=（，且滿足%+1=，"，若'+'+'+…+’<1000,則滿

足條件的最大整數(shù)〃=（）

A.8B.9C.10D.11

二、多選題

9.下列說法中正確的是（）

A.8道四選一的單選題，隨機(jī)猜結(jié)果，猜對(duì)答案的題目數(shù)X~3（8,0.25）

B.100件產(chǎn)品中包含5件次品，不放回地隨機(jī)抽取8件，其中的次品數(shù)3（8,0.05）

C.設(shè)隨機(jī)變量J~N（0,22）,"Ng）,則P（用W1）>P（網(wǎng)Wl）

D.設(shè)為兩個(gè)事件，已知尸（N）=0.4,P（M）=0.5,P（N\M）=0.2,則尸（M町=0.6

10.已知函數(shù)〃則（）

A.x<0時(shí)，/（x）>0B./（尤）在。,+<?）上單調(diào)遞增

C./（X）的極大值為1D.的極大值為

II.如圖，正方體ABC。-A4G，的棱長(zhǎng)為3,點(diǎn)E、F,G分別在棱DA，2G，A|A上,

D.ED.F1

滿足若■=黑=公，AG=%4A,記平面跳G與平面44。的交線為/,貝U（）

7111J

A.V2e（0,l）,AC〃平面EFG

B.平面跖G截正方體所得截面圖形為六邊形的充分不必要條件是2e（0,1）

試卷第2頁，共4頁

2

C.丸=；時(shí)，三棱錐4-的外接球表面積為24兀

D.幾=段時(shí)，直線/與平面A3C。所成角的正弦值為漁

36

三、填空題

12.在(2-岡s的展開式中，V的系數(shù)為.

13.已知圓。:爐+()；-2)2=1和圓。：/+,2-61-10、+30=0,M、N分別是圓C、。上的

動(dòng)點(diǎn)，尸為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|+|PN|的最小值是.

14.函數(shù)/⑺=sin2024x+cos2024x,xeR,則的值域?yàn)?

四、解答題

15.已知函數(shù)/(x)=(x+l)lnx-奴+2.

⑴當(dāng)°=1時(shí)，求〃x)的圖象在。/⑴)處的切線方程；

⑵若函數(shù)“X)在(1,+8)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

16.如圖，在四面體ABCD中，ABMACMADMBCMBDBCLBRE,尸分別為AB,AC的

中點(diǎn).

(1)證明：平面ACDJL平面3CD；

(2)求平面3。尸與平面CDE夾角的余弦值.

17.手中有5把鑰匙，其中有3把能打開房門，每次隨機(jī)選取一把試驗(yàn)，試驗(yàn)完后就分開放

在一邊.

(1)求第二次才能打開房門的概率；

(2)為了甄別出能打開房門的三把鑰匙，需要試驗(yàn)X次，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).

18.如圖，A,8是拋物線C：V=4x上兩點(diǎn)，滿足（。是坐標(biāo)原點(diǎn)），過點(diǎn)。作直

線AB的垂線，垂足為。，記。的軌跡為

⑴求M的方程;

⑵設(shè)尸是〃上一點(diǎn)，從產(chǎn)出發(fā)的平行于無軸的光線被拋物線C反射，證明：反

射光線必過拋物線C的焦點(diǎn).

19.空間內(nèi)一點(diǎn)P可用三個(gè)有次序的數(shù)任,。,0）來確定，其中廠為原點(diǎn)。與點(diǎn)尸間的距離；e

為有向線段。尸與Z軸正向的夾角；，為從正z軸來看自無軸按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到所轉(zhuǎn)過的

角，這里M為點(diǎn)P在xQy面上的投影，這樣的三個(gè)數(shù)廠,。,。叫做點(diǎn)尸的球面坐標(biāo)，其中

re［O,-H?）,。€［0,兀］,0仁［0,2可，如圖所示.球面距離是指球面上兩點(diǎn)之間的最短路徑長(zhǎng)

度，這條路徑是通過這兩點(diǎn)的大圓上的劣弧（大圓是過球心的平面與球面相交形成的圓）.

⑴己知A［吟牛求A,3間的球面距離；

（2）若尸（五知域）,。（&%/），記尸,Q間的球面距離為d,證明:

cos—=cos^cos02+sin〃singeos（協(xié)-內(nèi)）.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.c

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出Z,再利用共軌復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)模的意義求解即得.

-11

【詳解】=--i,

所以?zi=J(-;y+(_；y=當(dāng).

故選：C

2.C

【分析】先分別求出M,N,運(yùn)用交集定義求出McN即可.

【詳解】由log2(x-l)<。得。解得

當(dāng)了〉0時(shí)，y=x+—>2.XX—=2,當(dāng)％=1時(shí)等號(hào)成立,

XVX

所以M=(l,2],N=[2,+”)，則M-N={2}

故選:C.

3.B

【分析】根據(jù)平面垂直向量的坐標(biāo)表示可得tan。=-若，即可求解.

【詳解】由題意知，〃/=sin6+限os6=0,

貝I」tan6=—V§\又夕￡（0,兀），

所以，避2兀

故選：B

4.A

【分析】根據(jù)第25百分位數(shù)的概念，知道它在第二組［40,50）里.運(yùn)用概率之和為0.25,構(gòu)造

方程，解出即可.

【詳解】第25百分位數(shù)設(shè)為x,而0.1<0.25<0.1+0.2,則所求百分位數(shù)在第二組，

貝U可歹!J方程。1+。。2（無一40）=0.25,解得x=47.5.

故選:A.

5.A

【分析】設(shè)出雙曲線漸近線方程〉=±2匕據(jù)橢圓離心率的公式G=Q,雙曲線離心率的公

aa

答案第1頁，共11頁

式，構(gòu)造方程組，解出2即可.

ba

b

【詳解】設(shè)雙曲線的漸近線方程為y=±X尤,

a

記橢圓和雙曲線的半焦距分別為9,，因?yàn)閑；-4e；=2,

貝IJ(S)2一4X(S)2=§-4X]=《4￡—4X^^a21.b2

=77+1-4(Z1一一^)=2,

bababab-a

A21

令勺=%(o＜人＜1),則+1—4(1—幻=2,

cik

解得左=J,k=\(舍去)，故2=工，雙曲線漸近線方程為：y=土!x.

4a22

故選:A.

6.B

【分析】依題利用平移變換得到方程35(如+曰g+0)=5皿5：+0)，從中求得

?=4fc-l^eN,,將其代入另一條件，整理得°=(加+Q兀+;即可判斷結(jié)果.

【詳解】依題意，(X)=cos(<^x+^CD+(p)=sm[(Dx+(p),則50=2而一3，解得

刃二4左一1,左wN*；

jrTT

又cos(——+(p)=0即得cos(—左兀+—+(p)—0,kGN*,

貝”得一%兀+烏+/=烏+"2兀,"/EN*,(p=(m+k\n+—,kGN*,meZ.

42''4

故選：B.

7.B

【分析】利用切線放縮公式：ln(l+x)Vx比較上J再由三角函數(shù)，=cosx的單調(diào)性，比較

c,b.

【詳解】由ln(l+x)W%,當(dāng)％=0時(shí)等號(hào)成立，知。<。，???0<|<曰<5，.??

2兀12,

cos—>cos—=—>—,;.c<b.

5325

故選：B.

8.B

711

【分析】令么=一,根據(jù)構(gòu)造法求得a=2"T+1,結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)求和公式建立不等式

即可求解.

答案第2頁，共11頁

I21I

【詳解】---=------1,令27=一，

〃用an冊(cè)

則以「1=2（2—1）,又偽—1=：-1=1,

所以｛2-1｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

得2-1=2"1,所以么=2'~+1,

2l

：.b,+b2+---+bn^l+2+2+---+2"-+n^2"+n-l,

由2"+〃-1<1000,解得“W9.

故選：B

9.ACD

【分析】對(duì)于A,由二項(xiàng)分布的概念可判斷；對(duì)于B,由超幾何分布的概念可判斷；對(duì)于C,

由正太分布曲線的特點(diǎn)即可判斷；對(duì)于D,由條件概率即可判斷.

【詳解】對(duì)于A,8道四選一的單選題，隨機(jī)猜結(jié)果，猜對(duì)答案的題目數(shù)X服從二項(xiàng)分布:

X?8（8,0.25）,故A正確；

對(duì)于B,100件產(chǎn)品中包含5件次品，不放回地隨機(jī)抽取8件，其中的次品數(shù)丫服從超幾何

分布，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,設(shè)隨機(jī)變量1M0,22）,7j~N（O,3）,而于<3"這表明4在。附近的數(shù)據(jù)集中

一些，從而尸（閭Wl）>尸佃區(qū)1）,故C正確;

對(duì)于D,P（ACV）=P（M）P（Af|M）=0.5x0.2=0.1,

P（MN^=P（N）-P（MN）=0.4-0.1=0.3,

故選：ACD.

10.AC

【分析】對(duì)于A,由函數(shù)解析式直接判斷，對(duì)于BCD,對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求出

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的極值.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)x<0時(shí)，ex>0,2x-l<0,x-l<0,所以/⑺=［（2-1）>0,所以人

正確,

答案第3頁，共11頁

對(duì)于BCD,由/（x）=e'（2x_l）,得:⑺=半三獸（中）

x-1（X-1）

由制x）>0,得x<0或由r（x）<0,得0<x<l或l<x<=,

所以/（X）在（-8，。），上單調(diào)遞增，在（0,1）,卜,0上單調(diào)遞減,

（e,2x3-l]3

所以〃x）的極大值為/（0）=1,極小值為/|=12）=,

2~

所以BD錯(cuò)誤，C正確,

故選：AC

11.ACD

【分析】根據(jù)線面平行的判定定理判斷A；畫出截面即可判斷B；建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

確定球心和半徑即可判斷C；作出截面，如圖，確定交線，利用空間向量法求解線面角即可

判斷D.

【詳解】A：由題設(shè)及正方體結(jié)構(gòu)特征，有AC〃砂且ACU平面所G,EFu平面EFG,

故AC//平面EPG,故A正確；

B：當(dāng)2e（0,1）時(shí)，平面屏6截正方體所得截面圖形為五邊形或六邊形，

如圖，所以充分性不成立，故B錯(cuò)誤:

C：以。為原點(diǎn)，以D4,DC,。，所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐

標(biāo)系，

當(dāng)2時(shí)，5（3,3,0）,G（0,3,3）,G（3,0,l）,E（l,0,3）,—0,1,3）,

外接球的球心在過線段EG的中點(diǎn)，且垂直于平面A2DA的直線上，

EG的中點(diǎn)M（2,0,2）,可記球心0（2/2）,外接球的半徑/'引。目=|。川，

答案第4頁，共11頁

所以J1+產(chǎn)+1=小4+”1)2+1,解得t=2,r=^6,

所以三棱錐A-由6的外接球表面積為24兀，故C正確;

D：作出截面圖形,交AQ于"(2,0,2),交于咀3口，

直線/即為直線MN,=又平面"CO的法向量為”=(0,0,1),

?,\MN-n\-^6

則I與平面ABCD所成的角。滿足sin。=\cosMN,n\=,=/故D正確.

\MN\\n\2+9+2~6~

\44

故選：ACD

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化

為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：

(1)定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心

到接點(diǎn)的距離相等且為半徑;

(2)作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面(要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元

素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系)，達(dá)到空間問題平面化的目的;

(3)求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.

12.10

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理寫出通項(xiàng)公式，令廠=4即可求V的系數(shù).

答案第5頁，共11頁

【詳解】（2-&『展開式的第廠+1項(xiàng)為乙=仁"，卜五）’，

令廠=4,貝IJ?=C；X2X2=10X2.

故答案為：10

13.屈一3

【分析】先得到怛明+|印以尸C|+|PD|-3,當(dāng)且僅當(dāng)P,M,C三點(diǎn)共線，且P,N,。三點(diǎn)共

線時(shí)，等號(hào)成立，設(shè)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C'（O,-2）,求出|尸。+|尸"的最小值，進(jìn)而得到

1PM+|PN|的最小值.

【詳解】C:Y+（y_2）2=l的圓心為C（0,2）,半徑為1,

￡）:尤2+丁—6x—10y+30=0=＞（尤—3）2+（y—5y=4,圓心為￡）（3,5）,半徑為2,

結(jié)合兩圓位置可得，|PM|+|PN閆月。-|。圖+仍力—|。兇=忸。+|，犯—3,

當(dāng)且僅當(dāng)尸,MC三點(diǎn)共線，且P,N,。三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，

設(shè)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)。'（0,-2）,連接C'D,與x軸交于點(diǎn)尸，此點(diǎn)即為所求,

此時(shí)C'D=J（3-0）2+（5+2）2=屈，

故屈即為「C+|PD|的最小值，

故忸閭+|PN|的最小值為國(guó)-3

故答案為：758-3

14.[2-1011,1].

【分析】由題得出函數(shù)周期為T，借助導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性，進(jìn)而求出值域.

答案第6頁，共11頁

【詳解】由解析式，易知/卜+曰=”2，則是了⑺的周期，考慮xe"今,

求導(dǎo)/(%)=2024sin202\cos尤-2024cos2023尤sinx=2024sinxcosXsin2022x-cos2022x),

在0,；上/'(x)<0,〃x)遞減，在±/，(x)>0,遞增，

則/(x)值域?yàn)閇2-叫1].

故答案為：[2T°u,l]

15.(i)y=%

(2)a<2.

【分析】(1)求出切點(diǎn)為(1,1),直接寫出切線方程；

(2)轉(zhuǎn)化為ra”o對(duì)于%?i,+⑹恒成立，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

【詳解】(1)當(dāng)4=1時(shí),/(x)=(x+l)lnx-x+2,(x>0),

/(力=1皿+/,r(i)=i,

所以“X)的圖象在％=1處的切線方程為：丁二%.

(2)jT(x)=lnxH----\-\-a,

若函數(shù)八工)在+。)上單調(diào)遞增，則r⑴2o對(duì)于％?1,+。)恒成立,

即QWlnx+L+1對(duì)于%￡(1,+8)恒成立，

令g(x)=Inx+—+l,(x>1),

當(dāng)x>l時(shí)，g，(x)=±J>0,

則函數(shù)g(x)在(1,+。)上單調(diào)遞增，所以g(x)>g(l)=2,

故a?2.

16.(1)證明見解析；

⑵胃

【分析】(1)取8的中點(diǎn)0,借助勾股定理逆定理證得03,04,再利用線面垂直、面面

答案第7頁，共11頁

垂直的判斷推理即得.

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面3D歹與平面CDE的法向量，再利

用面面角的向量求法求解即得.

【詳解】(1)取8的中點(diǎn)0,連接Q4,0B,因?yàn)?c=3。，所以O(shè)3LCD,且08=—,

2

y.AC=AD=BC=BD,所以Q4JLCD,ACDg△BCD,則/CW=NCBD=90,有

因?yàn)锳8=8C=^C￡),所以則O3_LQA,

2

又。4CD=O,。/4,8(=平面4(7￡),所以03_1_平面ACD,

又OBu平面BCD,所以平面ACD_L平面BCD.

(2)由(1)知，0D,08,04兩兩垂直,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線0D,0B,Q4分別為％MZ軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

設(shè)CD=4,則A(o,0,2),B(0,2,0),C(-2,0,0),￡>(2,0,0),

因?yàn)镋,尸分別為A3,AC的中點(diǎn)，所以E(0,1,1),戶(-1,0,1),

則BD=(2,-2,0),BF=(-1,-2,1),CD=(4,0,0),CE=(2,1,1),

/、m-BD=2x,-2y,=0

設(shè)平面由加的法向量為初=(%,如zj,則，,令尤1=1,得加=(1,1,3),

m-BF=一玉一2%+Z]=0

/、ri-CD=4x=0

設(shè)平面CDE的法向量為〃=(%,%，z2)，則｛?一，令%=1，得"=(。」,-1)，

n-CE=2X2+y2+z2=0

..m-n1-3A/22

cos(m,n)=-；—j-；————產(chǎn)=-----,

|m||n|a(Tx逝11

所以平面BDF與平面CDE夾角的余弦值為叵.

11

3

17.(1)—

10

答案第8頁，共11頁

7

⑵分布列見解析，萬

【分析】（1）先將所有情況算出來是A；種，再將第二次能打開的情況算出來:C；xc；種，根

據(jù)古典概型公式求出概率即可.

（2）先確定X可取2,3,4三種，后按照（1）的方法求出對(duì)應(yīng)概率，列出分布列，利用期望

公式求出數(shù)學(xué)期望即可.

【詳解】（1）總的基本事件數(shù)為A：,第二次才能打開包含的基本事件數(shù)為C；xC；,

C1vf13

由古典概型公式得所求事件的概率P=三尹=W.

A：10

（2）依題意X可取2,3,4,

p（X=2）=±」P（X=3）=田+3X2X2=p（x=4）=如笠蟲■=?

（）A；10-nA刃A；A；10'"JAl5'

X的分布列為：

X234

133

P

10105

1337

E（X）=2x——+3x——+4x—=

101052

18.(l)(x-2)2+/=4(x^0)

⑵證明見解析

【分析】（1）設(shè)=聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理和平面向量數(shù)量積

的坐標(biāo)表示解出乩則A5過定點(diǎn)石（4,0）,進(jìn)而確定點(diǎn)”的軌跡，即可求解;

⑵易知若切線的傾斜角。號(hào)或去反射光線的方程為若。記,設(shè)從產(chǎn)出發(fā)

的平行于無軸的光線與拋物線C的交點(diǎn)為。過。的切線設(shè)為y—聯(lián)

立拋物線方程，由A=o得公=2.利用點(diǎn)斜式方程表示反射光線方程，即可證明.

答案第9頁，共11頁

【詳解】（1）易知Ki。，設(shè)45:%=沖+6。70）,聯(lián)立拋物線C得/一4777y-46=0,

?,?%+%=4m,yAyB=-4b,由。4J_03得

22

2

6A-OB=xAxB+yAyB=^--+yAyB=b-4b=0,

：.b=4,故AB過定點(diǎn)E（4,0）.：OD」DE,

二。的軌跡是以。E為直徑的圓（除去原點(diǎn)），

即知的方程為（尤-2『+y2=4（