高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型與專項(xiàng)訓(xùn)練：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算與幾何意義題型戰(zhàn)法

第三章導(dǎo)數(shù)

3.1.1導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算與幾何意義(題型戰(zhàn)法)

知識(shí)梳理

一導(dǎo)數(shù)的公式及運(yùn)算

1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表：

y=/(x)y'=f'M

y-cV=o

y=xa(6Z>0,2W0,2￡Q)V=CW"T,cr為有理數(shù)

y=ax(Q>0,QW1)y'=優(yōu)ina

y'=^~

y=logflx(a>0,owl,x>0)

xlna

y=exy'=ex

y=Inxy'=-

X

y=sinxyf=cosx

y=cosxyr=—sinx

2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：

(1)函數(shù)和(或差)的求導(dǎo)法則：設(shè)了0),g(x)是可導(dǎo)的，則(/(%)土g(%)y=尸(*)±，(%)；

(2)函數(shù)積的求導(dǎo)法則：設(shè)/(%),g(x)是可導(dǎo)的，貝(J"(%)g(%)]'=fXx)g(x)+f(x)g\x);

(3)函數(shù)的商的求導(dǎo)法則：設(shè)/⑺，g(x)是可導(dǎo)的，g(x)wo,則「生4=g(x)1(x)「/(x)g'(x)；

_g(x)」g-(x)

二導(dǎo)數(shù)的幾何意義

由導(dǎo)數(shù)意義可知，曲線y=f(x)在點(diǎn)(尤0,/(尤0))的切線的斜率等于-(%).

曲線y=/(x)在點(diǎn)(%0，/(x。))處的切線方程為：、-/(與)=f'(.x0)(x-x0)

題型戰(zhàn)法

題型戰(zhàn)法一導(dǎo)數(shù)定義中的極限計(jì)算

則lim〃2+Ax)T(2)=(

典例1.已知函數(shù)仆）=^+1,)

-Ax

A.2B.4C.6D.8

變式1-1.已知函數(shù)〃尤）=2',則113上皿（）,

m―一?！?Ax

A.1B.-1C.In2D.-In2

變式12若函數(shù)〃尤）在與處可導(dǎo)，且1加〃/+2二,"/）=1,則/'5)=()

-2Ax

A.1B.-1C.2D*

變式13設(shè)函數(shù)〃x）=e+ln尤，則近“1+一）-"1）=（)

20Ax

A.eB.1C.-1D.-e

變式14設(shè)函數(shù)/⑺滿足螞2個(gè)小',則廣㈤二（）

A.-1B.1C.-2D.2

題型戰(zhàn)法二導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算

典例2.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）

A.fx+—=1+占B.（log3x）=

{xjx2xln3

X

C.（2"）=2log2eD.（fsinx）=2xcosx

變式2-1.下列求導(dǎo)正確的是（）

A.g'=]B.（e，+l）'="+l

C.（cosx）r=-sinxD.（xln%）'=lnx

變式2-2.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）

A.（log2x）=———B.，+工]=1+-^

xln2x）x2

X

C.（3，）=3log3eD.（x'cosx）=-2xsinx

變式2-3.若/（x）在R上可導(dǎo)，/。）=3元2一5-（2）元-2則/'（-1）=（）

A.16B.54C.-25D.-16

變式2-4.已知〃力=%2+2仃(1),則r⑶等于()

A.-4B.2C.1D.-2

題型戰(zhàn)法三導(dǎo)數(shù)的復(fù)合運(yùn)算

典例3.設(shè)例x)=ln(2x-l),若/(x)在％處的導(dǎo)數(shù)尸(%)=1,則%的值為()

e+1_3_._3

A.B.—C.1D.

24

變式3-1.已知函數(shù)/（x）=sin[2x+T，貝"]口等于（）

A.-2B.2C.-1D.1

變式3-2.函數(shù)y=xln（2x+5）的導(dǎo)數(shù)為（）

0Y

A.y=ln（2x+5）-^-^B./=ln（2x+5）+-------

（72x+5

C.y=21n（2x+5）D.y-

2x+5

變式3-3.函數(shù)y=的導(dǎo)數(shù)為（）

,1

A.y'="2、By=--------C.v=—2/xD.y'=（—2%）二日

.ln（-2x）

變式34函數(shù)y=（2x+iy的導(dǎo)數(shù)為（）

A.y=3（2x+l）3B.y=3（2x+l）2C.y=6（2x+l）2D.V=6（2X+1）3

題型戰(zhàn)法四求曲線切線的斜率（傾斜角）

典例4.曲線y=cosx在x=￡處的切線的斜率為（）

O

A.BB.一也C.-

222

變式4-1.曲線丁=-/+以+3在點(diǎn)（1,6）處的切線的傾斜角為（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

變式4-2.過(guò)函數(shù)/（x）=ge2x-元圖像上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)作函數(shù)的切線，則切線領(lǐng)斜角范圍為（）

變式4-3.函數(shù)y=〃x）的圖象如圖所示，尸（%）是函數(shù)〃x）的導(dǎo)函數(shù)，則下列大小關(guān)系正確的是（）

A.2/（（4）＜/（4）-/（2）＜2/（（2）B.2[⑵＜〃4）-〃2）＜2廣（4）

C.2r（4）＜2以2）＜〃4）一”2）D.〃4）-/（2）＜2-（4）＜21（2）

變式4-4.已知函數(shù)/（無(wú)）在R上可導(dǎo)，其部分圖象如圖所示，設(shè)y/1）”則下列不等式正

A.r（i）＜?＜/,（2）B.a</，（D</，（2）

C.f'（2）＜f'（l）＜aD.r（i）<r（2）<a

題型戰(zhàn)法五“在”一點(diǎn)求曲線的切線方程

典例5.曲線y=d+l在點(diǎn)(-1,0)處的切線方程為()

A.y=3x+3B.y=3x+1C.y=-3x-]D.y=-3x-3

變式5-l.曲線y=lnx+l在橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)處的切線方程為（）

A.%+y—l=0B.%+y+l=0C.%+y=0D.x-y=0

變式5-2.曲線y=xln（2%+5）在％=—2處的切線方程為（）

A.4x—y+8=0B.4x+y+8=0C.3x—y+6=0D.3x+y+6=0

變式5-3.函數(shù)y=cosx在點(diǎn)唱,o）處的切線方程是（）

變式5-4.曲線>在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸、直線x=2所圍成的三角形的面積為()

題型戰(zhàn)法六“過(guò)”一點(diǎn)求曲線的切線方程

典例6.過(guò)點(diǎn)(0,?1)作曲線〃x)=xlnx的切線，則切線方程為

A.x+y+l=0B.x-y-l=0

C.%+2y+2=0D.2x-y-l=0

變式6-1.已知/(x)=V,則過(guò)點(diǎn)尸(J,0)且與曲線y=/(x)相切的直線方程為()

A.>=。B.4x+y+4=0

C.y=0或4x+y+4=。D.y=0或4x—y+4=0

變式6-2.若過(guò)點(diǎn)尸（1,0）作曲線y=d的切線，則這樣的切線共有（）

A.。條B.1條C.2條D.3條

變式6-3.已知函數(shù)〃x）=e）過(guò)原點(diǎn)作曲線＞=/（元）的切線/,則直線/與曲線＞=〃尤）及y軸圍成

的圖形的面積為（）

e+1

A.殳'B.絲匚C.匕D.

222~r

變式64已知函數(shù)/。）=［叱—x+—2］）x；x1＜。0'若函數(shù)g（x）=/（x）-…加+2耳有四個(gè)零點(diǎn)'則實(shí)數(shù)"的取

值范圍是()

-2<?(2(--2、

A.-,e3B.-,e3C.-,e3D.e\-

3333

L7k7\7、JJ

題型戰(zhàn)法七已知切線（斜率）求參數(shù)

典例7.若曲線/（x）=lnx+?在點(diǎn)（I"⑴）處的切線的斜率為T,則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.2B.1C.0D.-2

變式7-1.若函數(shù)〃x）=尤-alnx的圖象在％=1處的切線斜率為3,則”（）

A.-2B.-1C.1D.2

變式72若曲線y=/+alnx在點(diǎn)(1,1)處的切線與直線x-2y+2=0平行，則實(shí)數(shù)。的值為()

A.eB.-C.--D.--

ee2

變式7-3.若曲線y=/+ox+b在點(diǎn)(0,6)處的切線方程為x-y+l=O,則。+6=()

A.2B.0C.-1D.-2

變式7-4.若曲線、=/(力=/+^+。在點(diǎn)(1,加))的切線為3元->-2=。，則有()

A.a=—l9b=lB.a=l,b=—l

C.a=-2,b=lD.a=2,b=—l

題型戰(zhàn)法八兩條切線垂直、平行、重合(公切線)問(wèn)題

典例8.已知函數(shù)F(x)=Hnx,g(x)=cv^-x.若經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(l,0)存在一條直線/與曲線y=/(x)和

y=g(x)都相切，則。=()

A.-1B.1C.2D.3

變式8-1.已知曲線y=W在點(diǎn)(l,e)處的切線與曲線尸。1!1犬+2在點(diǎn)(1,2)處的切線平行，則。=()

A.1B.2C.eD.2e

變式82曲線片與曲線y—的公切線方程為()

A.y=-4x+4B.y=4x-4

C.y=-2x+4D.y=2x-4

變式8-3.若曲線y=lnx與曲線:y二f一%有公切線，則實(shí)數(shù)%的最大值為()

A711c-70

A.—+—ln2B.---ln2C.—+—ln2D.—+—ln2

82822222

變式8-4.對(duì)于三次函數(shù)AM,若曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線與曲線y=對(duì)?⑺在點(diǎn)(1,2)處點(diǎn)的切

線重合，則/(2)=()

A.-34B.-14C.-4D.14

第三章導(dǎo)數(shù)

3.1.1導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算與幾何意義（題型戰(zhàn)法）

知識(shí)梳理

一導(dǎo)數(shù)的公式及運(yùn)算

2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表：

y=/(x)y'=f'(x)

產(chǎn)Cy=o

y=xa(cr>0,a^O,crGQ)y="為有理數(shù)

y-ax(Q>0,QW1)yf=axIna

y=logx(a>0,awl,x>0)

axina

y=exyr=ex

y=\nx,1

y=X-

y=sinxy'=cosx

y=cosxyr=—sinx

2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：

(1)函數(shù)和(或差)的求導(dǎo)法則：設(shè)/(X),g(x)是可導(dǎo)的，則(/(X)土g(x)y=f'(x)±g'(x);

(2)函數(shù)積的求導(dǎo)法則:設(shè)f(x),g(x)是可導(dǎo)的，則"(x)g(x)］，=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);

⑶函數(shù)的商的求導(dǎo)法則：設(shè)f(x),g(尤)是可導(dǎo)的，g(x)wO,則

l(x)=g(x)/'(x)-7'(x)g，(x).

_g(x)Jg2(x)

二導(dǎo)數(shù)的幾何意義

由導(dǎo)數(shù)意義可知，曲線y=/(x)在點(diǎn)(尤0,7(%))的切線的斜率等于/(%).

曲線y=f(尤)在點(diǎn)(%，〃%))處的切線方程為：，-/(%)=/(%)(工-％)

題型戰(zhàn)法

題型戰(zhàn)法一導(dǎo)數(shù)定義中的極限計(jì)算

典例1.已知函數(shù)〃x)=f+l,則lim〃2+竺k/(2)=()

—Ax

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)的定義和求導(dǎo)公式進(jìn)行求解.

【詳解】

由題意lim/(2+.)-/(2)=八4，

—Ax

因?yàn)椤?爐+1,所以八%)=2%,即八2)=4；

故選：B.

變式1-1.已知函數(shù)〃x)=2，，則典"1+啜"1)=().

A.1B.-1C.In2D.-In2

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解即可.

【詳解】

由/(x)=2*n_f(x)=2xin2,

所以+⑴=-l/,(l)=-lx21n2=-ln2,

Ar->0-2Ax22

故選：D

變式12若函數(shù)〃x)在與處可導(dǎo)，且￡,“工。+2氏-則廣(%)=(

)

A.1B.-1C.2D.1

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】

由導(dǎo)數(shù)定義可得lim/仇+2y-”、=,

v7

Ax->02Ax

所以廣(*=L

故選：A.

變式1-3.設(shè)函數(shù)〃x)=e+lnx,則lim，0十八9--⑴=()

-Ax

A.eB.1C.-1D.—e

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)極限的運(yùn)算法則，直接計(jì)算得出結(jié)果.

【詳解】

由題意廣(》)=：,所以r⑴=1,

所以原式等于+=

A-V-v7

故選：B.

變式14設(shè)函數(shù)4>滿足lim-2『)一/(無(wú)。)=2,則八尤。)=()

-Ax

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】A

【解析】

【分析】

利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義求解.

【詳解】

解：因?yàn)閘im/(為一2?)一/5),

-Ax

=_2lim/(x0-2Ar)-/(x0)>

-2Ar->0-2\x

,

=-2/(%0)=2,

所以尸(%)=—1,

故選：A

題型戰(zhàn)法二導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算

典例2.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()

A=1+(1g3%)，=

-[T7B.°^3

r

C.(2y=2"log2eD.(Ysinx)=2xcosx

【答案】B

【解析】

【分析】

利用求導(dǎo)公式進(jìn)行求解，判斷四個(gè)選項(xiàng).

【詳解】

[■X+口=1y>A錯(cuò)誤;

(logX)B正確；

3xin3

(2")=2rIn2,C錯(cuò)誤；

(fsinx)=2xsinx+x2cosx,D錯(cuò)誤

故選：B

變式2-1.下列求導(dǎo)正確的是（）

A.(?y=qB.ex+l]=ex+l

C.(cosx)'=-sinxD.(xlnx)'=lnx

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則直接計(jì)算即可.

【詳解】

=*=上故A錯(cuò)誤;

對(duì)A,(y/x)'=

7

對(duì)B,（靖+1）=蜻，故B錯(cuò)誤;

對(duì)c,(cosx)'=-sinx,故C正確;

對(duì)D,(xlnx/=l-lnx+x--=lnx+l,故D錯(cuò)誤.

x

故選：C.

變式2-2.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（)

1=1+4-

A.(log2x)'=B.

xln2X

12

C.(3)=3^1og3eD.Xcosxj=-2xsinx

【答案】A

【解析】

【分析】

由初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則直接判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】

1

對(duì)于A,由對(duì)數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則知：（iogxy，A正確;

2xln2

1

對(duì)于B,=1y，B錯(cuò)誤;

XX

對(duì)于C,(3]=31n3,C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,(Ycosx)=2xcosx-x2sinx,D錯(cuò)誤.

故選：A.

變式2-3.若AM在R上可導(dǎo)，/(X)=3X2-5r(2)了-2則尸(一1)=()

A.16B.54C.-25D.-16

【答案】D

【解析】

【分析】

先求導(dǎo)函數(shù)，即可求出尸(2)=2,再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)即可求解.

【詳解】

解：解x)=6x-51(2),則:⑵=12-5;⑵，解得:八2)=2,

掰-1)=6?(1)-10=-16,

故選:D.

變式24已知〃力=#+2+/，(1),則式⑶等于()

A.-4B.2C.1D.-2

【答案】B

【解析】

【分析】

先求導(dǎo)，求出尸(1)=-2,得到制x)=2x-4,從而求出八3)=6-4=2.

【詳解】

1(x)=2x+2〃l),令x=l得：1⑴=2+2廣⑴,

解得：/⑴=-2,

所以用x)=2x-4,

廣⑶=6-4=2

故選：B

題型戰(zhàn)法三導(dǎo)數(shù)的復(fù)合運(yùn)算

典例3.設(shè)例x)=ln(2x—1),若f(x)在與處的導(dǎo)數(shù)(國(guó))=1,則%的值為

【答案】B

【解析】

直接求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由/（%）=1列式求解飛的值.

【詳解】

2

由—（21）,得廣（幻==

23

由"不）=ifn=i，解得：

立人0—12

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，關(guān)鍵是不要忘記對(duì)內(nèi)層函數(shù)求導(dǎo)，是基礎(chǔ)題.

變式?已知函數(shù)71

3L/(x)=sin12x+mj,貝U-等于（)

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】A

【解析】

【分析】

利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即可求解.

【詳解】

由已知得r(x)=2cos(2x+|J,

/，()=2cS2x+

i°[Jj)=-2,

故選：A.

變式3-2.函數(shù)y=xln（2x+5）的導(dǎo)數(shù)為()

7r

A./=ln(2x+5)---------B.y=ln(2x+5)+-------

v)2%+5'72x+5

X

C.y=21n(2x+5)n，

D?廠不

【答案】B

【解析】

【分析】

利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則以及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算可求得結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)閥=xln（2x+5）,貝lj

y'=x'ln（2尤+5）+xln（2尤+5）=ln（2尤+5）+x----!（2x+5）'=ln（2x+5）H——^―

2x+5v7v72x+5

故選：B.

變式3-3.函數(shù)y=e%的導(dǎo)數(shù)為（）

A.""B.

C.尸-2jD.y'=（-2x）e-2x-I

【答案】C

【解析】

利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，直接進(jìn)行求算即可得答案.

【詳解】

?.*y'=e-2xx（-2x）'=-2e-2x.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，考查運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意負(fù)號(hào)問(wèn)題.

變式34函數(shù)y=（2尤+以的導(dǎo)數(shù)為（）

A.y=3（2x+l）3B./=3（2%+1）2

C.y'=6（2尤+1）2D./=6（2x+l）3

【答案】C

【解析】

直接求導(dǎo)得到答案.

【詳解】

y=（2x+l）3,則,=3（2X+1）2X2=6（2X+1）2.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題.

題型戰(zhàn)法四求曲線切線的斜率（傾斜角）

典例4.曲線y=cosx在x=g處的切線的斜率為（）

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義與求導(dǎo)公式，即可求解.

【詳解】

TTTT1

由尸8$%,得爐=_sinx,故曲線、=8$%在工=二處的切線的斜率4=-sin^=-不

o62

故選：D.

變式4-1.曲線'=-d+4苫+3在點(diǎn)(1,6)處的切線的傾斜角為()

A.30°B.45°C.60°D.120°

【答案】B

【解析】

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.

【詳解】

解：因?yàn)閥=-/+4x+3,

所以丫'=-3/+4,則尤=1時(shí)，當(dāng)y'=l,

設(shè)在點(diǎn)(1,6)處的切線的傾斜角為a,

則tana=1,

因?yàn)?。m&<180。，

所以夕=45。，

故選：B

變式4-2.過(guò)函數(shù)/(x)=；e2,-x圖像上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)作函數(shù)的切線，則切線領(lǐng)斜角范圍

為()

【答案】B

【解析】

【分析】

求得廣（x）=e2'-l,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得到小-1＞-1,即切線的斜率上＞-1,進(jìn)

而得到tan6＞-l,即可求解.

【詳解】

由題意，函數(shù)=可得/（x）=/「l,

因?yàn)閑2*＞0,所以e2-l＞-l,即切線的斜率左＞-1,

設(shè)切線的傾斜角為凡貝Utan。＞-!

又因?yàn)?4。＜萬(wàn)，所以04＜9＜g或（萬(wàn)，

24

即切線的傾斜角的范圍為。，31。萬(wàn)］

故選：B.

變式4-3.函數(shù)y=/（x）的圖象如圖所示，廣⑺是函數(shù)〃尤）的導(dǎo)函數(shù)，則下列大小

關(guān)系正確的是（）

A.2^（4）＜/（4）-/（2）＜2/^（2）B.2r⑵＜〃4）-"2）＜2廣（4）

C.2r（4）＜2廣⑵＜〃4）二”2）D./（4）-/（2）＜2/（（4）＜2/（（2）

【答案】B

【解析】

【分析】

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷

【詳解】

故r（2）＜.?一（⑵＜r（4）,即2r（2）＜/（4）-/（2）＜2/-（4）

4-2

故選：B

變式4-4.已知函數(shù)/（X）在R上可導(dǎo)，其部分圖象如圖所示,-CI

2-1

B.a</,(l)</,(2)

C./,（2）＜/，（l）＜aD.f'(V)<f'(2)<a

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)圖象在［L2］上函數(shù)的增長(zhǎng)越來(lái)越快，再結(jié)合"誓=”求解.

Z—1

【詳解】

因?yàn)椋?,2］函數(shù)的增長(zhǎng)越來(lái)越快，所以函數(shù)在該點(diǎn)的斜率越來(lái)越大,

又于所以"1）＜。＜/'（2）,

，一1

故選：A

題型戰(zhàn)法五“在”一點(diǎn)求曲線的切線方程

典例5.曲線y=/+l在點(diǎn)（-1,0）處的切線方程為（）

A.y=3x+3B.y=3x+lC.y=-3x-lD.y=-3x-3

【答案】A

【解析】

【分析】

求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式即可得解.

【詳解】

解：y'=3-,

當(dāng)x=T時(shí)，賊=3,

所以切線方程為y=3（x+l）,即y=3x+3.

故選：A.

變式5-1.曲線y=lnx+l在橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)處的切線方程為（）

A.x+y-\=0B.x+y+l=0C.x+y=0D.x-y=0

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.

【詳解】

解：因?yàn)閥=/（x）=lnx+l,所以r（x）=L,

X

所以切線的斜率上=（。）=1,

又/■（l）=lnl+l=l,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1）,

所以切線方程為y-i=i?G1）,即x-y=o,

故選：D.

變式52曲線y=xln（2x+5）在x=_2處的切線方程為（）

A.4x—y+8=0B.4x+y+8=0

C.3x~y+6=0D.3x+y+6=0

【答案】B

【解析】

【分析】

將戶-2代入曲線方程求得切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線斜率，利用直線

方程點(diǎn)斜式求解即可.

【詳解】

,2X

解：因?yàn)閥=xln（2尤+5）,所以y=[xln（2x+5）]=ln（2尤+5）+工不，所以八一二-4。

又當(dāng)x=-2時(shí)，y=xlnl=O,故切點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,0）,所以切線方程為4x+y+8=0.

故選：B.

變式5-3.函數(shù)y=cosx在點(diǎn)（-夕0）處的切線方程是（）

r兀

A.j=x--B.y=x+—

-7171

C.>=—%+—D.y=-x~—

2

【答案】B

【解析】

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可

【詳解】

由〉=85彳，得y=_sinx,

所以切線的斜率為g-sin,3=1,

所以所求的切線方程為y=尤+?，

故選：B

變式5-4.曲線>=/在點(diǎn)CM）處的切線與x軸、直線*=2所圍成的三角形的面積為（）

【答案】A

【解析】

【分析】

求導(dǎo)數(shù)，求切線斜率得切線方程后可得切線與x軸和x=2的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得三角

形面積.

【詳解】

y'=3x2,x=l時(shí),y0=3,切線方程為y-l=3（x-1）,即y=3x-2,

22

在y=3x-2中，令＞=。得尤=々，令x=2得y=4,得交點(diǎn)(4,0),(2,4).

1OQ

直線1=2與x軸交點(diǎn)為(2,0)因此三角形面積為S=]X(2-7x4=§.

故選：A.

題型戰(zhàn)法六“過(guò)”一點(diǎn)求曲線的切線方程

典例6.過(guò)點(diǎn)(0,-1)作曲線/■(尤)=xln尤的切線，則切線方程為

A.x+y+l=0B.x-y-l=0

C.x+2y+2=0D.2x-y-l=0

【答案】B

【解析】

設(shè)切點(diǎn)為(/，%),再求出切點(diǎn)坐標(biāo)，即得切線的斜率，再寫出切線的方程即得解.

【詳解】

/(x)=Znx+l,

設(shè)切點(diǎn)為(%%),???，0=%1口%,

.%+1,

「?=lnxo+l,

%

xolnxo+1=xolnxo+xo,xo=1,yo=O,

所以左=r(/)=i,

?二切線方程為y=x-l,即x-y-l=O,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查曲線的切線方程的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些

知識(shí)的理解掌握水平.

變式6-1.已知/(乃=/，則過(guò)點(diǎn)尸(-1,0)且與曲線＞=/(%)相切的直線方程為()

A.y=。B.4x+y+4=0

C.y=0或4x+y+4=0D.y=0或4x—y+4=0

【答案】C

【解析】

設(shè)切點(diǎn)為(毛,為)則切線方程為y-x；=2%(%-毛)，將點(diǎn)尸(T,O)代入解％,即可求切

線方程.

【詳解】

設(shè)切點(diǎn)為(無(wú)0，%)，則%=君,切線斜率為k=/'(%)=2%

所以切線方程為y-x：=2%(x-Xo),因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)尸(TO)則

解得尤。=?；颍?-2,所以切線方程為y=0或4x+y+4=0

故選：C

變式6-2.若過(guò)點(diǎn)尸(1,0)作曲線y=x3的切線，則這樣的切線共有()

A.0條B.1條C.2條D.3條

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)切點(diǎn)為(刈嫣)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線方程，再根據(jù)點(diǎn)尸在切線上，

即可代入切線方程，解得叫,即可得解；

【詳解】

解：設(shè)切點(diǎn)為(為，端)，由y=x3,所以V=3x2,所以九』=3年，

所以切線方程為y-x；=3x02(x_x°),即y=3x02x-2x03,因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)P(l,0),

所以0=3無(wú)；_2%3,

3

解得X。=?；蛴?=5,

所以過(guò)點(diǎn)尸(1,0)作曲線y=v的切線可以作2條，

故選：C

變式6-3.已知函數(shù)/(x)=/,過(guò)原點(diǎn)作曲線y=〃x)的切線/,則直線/與曲線y=/(x)

及y軸圍成的圖形的面積為()

人2e+l八2e-\一_e+1

A.------B.------D.——

222

【答案】C

【解析】

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，可得切線方程，再利用定積分的幾何意義求解

即可.

【詳解】

由/(X)=婷可得/(x)=e，,設(shè)切點(diǎn)為4(尤0,*),

則切線方程為廣洲=泊(》-不)，

把(0,。)代入可得-*=*(-%),故%=1,可得切線方程為丁=”,

則直線/與曲線y=/(x)及y軸圍成的圖形的面積為：(/-夕)公=卜-;ef]e-2

2

故選：C

_^^2),丫JQ<02

,\八”一八，若函數(shù)g(x)=/(尤)-爾-加+;有四個(gè)零點(diǎn),

In(尤+l),x>03

則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

-2(2

33

A.L-3,e)B.I-3,e)

C.「42，e3DD.(e--\-2^1

、3JI3,

【答案】B

【解析】

【分析】

7

轉(zhuǎn)化條件得直線>=加+機(jī)-;與函數(shù)〃尤)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)圖象，結(jié)合

導(dǎo)數(shù)的幾何意義，數(shù)形結(jié)合即可得解.

【詳解】

2fy=〃龍)

g(x)=0<^>f(x)=m(x+l)--<^><2有四個(gè)交點(diǎn)，作出〃x)的圖象，結(jié)合

3y=m^x+1)——

y=Mx+l)\過(guò)定點(diǎn),1,一￡|,則直線應(yīng)在過(guò)此點(diǎn)的y=〃X)切線以及原點(diǎn)的直線之

間，過(guò)原點(diǎn)時(shí)斜率為|;當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，由尸(無(wú))=[ln(x+l)J=占，設(shè)切點(diǎn)

2

(%，%),則切線斜率為左=，=匕，得%=:故ln(x°+l)=；,所以尤。+1=%，

XQ+1XQ+1

則切線斜率為F，故me|,e31

故選：B

y

題型戰(zhàn)法七已知切線（斜率）求參數(shù)

典例7.若曲線〃x）=lnx+￡在點(diǎn)（1,〃功處的切線的斜率為一1,則實(shí)數(shù)“的值為（）

A.2B.1C.0D.-2

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)/。）=-1求解即可.

【詳解】

根據(jù)題意得：r（%）=--4-所以-⑴=：T=T，解得。=2.

XX11

故選：A.

變式7-1.若函數(shù)/（x）=x-alnx的圖象在x=l處的切線斜率為3,則"=（）

A.-2B.-IC.1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】

求/U）導(dǎo)數(shù)，由題可知/⑴=3即可求。的取值.

【詳解】

/（x）=x-a\nx,f（x）=l--,

x

若函數(shù)y（x）=x-alnx的圖象在x=l處的切線斜率為3,

貝U/⑴=1-二=3=＞。=-2.

故選：A.

變式72若曲線y=Y+alnx在點(diǎn)（1,1）處的切線與直線x-2y+2=0平行，則實(shí)數(shù)“

的值為（）

113

A.eB.-C.—D.——

ee2

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合平行線斜率關(guān)系即可求解參數(shù).

【詳解】

由y=f+aInx,得；/=2x+烏，

-x

則曲線y=f+aln尤在點(diǎn)（1,1）處切線的斜率G=y'li=2+a,

因?yàn)榍€在點(diǎn)（LD處的切線與直線x-2y+2=0平行，

13

所以5=2+a,所以“=

故選：D.

變式73若曲線y=Y+ax+b在點(diǎn)（01）處的切線方程為x-y+l=O,貝1Ja+b=（）

A.2B.0C.-1D.-2

【答案】A

【解析】

【分析】

求出導(dǎo)數(shù)，將x=0代入后，可得。=1,將（0力）代入x-y+l=0后可得6=1,進(jìn)而得

至.

【詳解】

由>=尤?+ax+6得；/=2x+a,

又曲線y=d+ax+b在點(diǎn)（0,6）處的切線方程為x-y+l=0,

故當(dāng)x=0時(shí)，y'=a=1

又點(diǎn)（0力）在無(wú)一y+l=。上，貝故。+》=2.

故選:A.

變式7-4.若曲線'=〃力=/+冰+6在點(diǎn)（1,11））的切線為3x-y-2=0,則有（）

A.a=—l,b=lB.a=l,b=—l

C.a=—2,b=1D.a=2fb=—l

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，/⑴=3,由此可求a；根據(jù)切線和y=/U)都過(guò)點(diǎn)(1,式1))

可求b.

【詳解】

%=1代入3x-y-2=0得y=l,則

則l+a+b=l①，

f(x)=x2+ax+b

:.f\x)=2x+a,則尸⑴=3,即2+4=3②

聯(lián)立①②，求得4=1,b=-l.

故選：B.

題型戰(zhàn)法八兩條切線垂直、平行、重合(公切線)問(wèn)題

典例8.已知函數(shù)〃x)=xlnx,g(x)=ax2-x.若經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(1,0)存在一條直線/與曲

線y=/(x)和y=g(x)都相切，貝()

A.-1B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】

先求得"X)在A(LO)處的切線方程，然后與g(x)=&T聯(lián)立，由△=()求解

【詳解】

解析：??"(x)=xlnx,.?.廣(x)=l+lnx,.?./(1)=1+1111=1,.?.左=1,.?.曲線y=

在A(1,O)處的切線方程為y=x-l,由]”,得加-2工+1=0,由A=4-4o=0,解

[y=ax-x

得4=1.

故選：B

變式8-1.已知曲線丫=苫/在點(diǎn)(l,e)處的切線與曲線y=olnx+2在點(diǎn)(1,2)處的切線平

行，貝心=()

A.1B.2C.D.2e

【答案】D

【解析】

【分析】

分別求出兩函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)題意得兩函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在x=l處的導(dǎo)數(shù)值相等即

可求得a.

【詳解】

解：由y=K得—),所以該曲線在點(diǎn)(Le)處的切線斜率為％=2e.

由y=aln尤+2