二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布-2025年高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)

第十章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布

第7講二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布

課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)

1.了解伯努利試驗(yàn)，2021天津T14；2019天津

二項(xiàng)分布

掌握二項(xiàng)分布及其數(shù)T16

字特征，并能解決簡(jiǎn)超幾何分本講常以生產(chǎn)生活

2021浙江T15

單的實(shí)際問(wèn)題.布實(shí)際情境為載體考

2,了解超幾何分布及查二項(xiàng)分布、超幾

其均值，并能解決簡(jiǎn)何分布及正態(tài)分布

單的實(shí)際問(wèn)題.的應(yīng)用，解題時(shí)注

3.通過(guò)誤差模型，了意對(duì)相關(guān)概念的理

解服從正態(tài)分布的隨解及相關(guān)公式的應(yīng)

正態(tài)分布2022新高考卷IIT13；2021

機(jī)變量.通過(guò)具體實(shí)用.在2025年高考備

及其應(yīng)用新高考卷IIT6

例，借助頻率分布直考時(shí)注意對(duì)不同分

方圖的幾何直觀，了布模型的理解和應(yīng)

解正態(tài)分布的特征.用.

4.了解正態(tài)分布的均

值、方差及其含義.

R學(xué)生用書(shū)P243

1.〃重伯努利試驗(yàn)

(1)定義：把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn).將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)

進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱(chēng)為n重伯努利試驗(yàn).

(2)特征：a.同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做〃次；b.各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.

2.二項(xiàng)分布

(1)定義：一般地，在〃重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件/發(fā)生的概率為p(0<p<

1),用X表示事件/發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為尸(X=A)=①臉/(1—。)k=

0,1,2,…，兒如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分

布，記作②X?B"p).特別地,當(dāng)”=1時(shí)，此時(shí)的二項(xiàng)分布為兩點(diǎn)分布.

(2)期望與方差：若X?B(〃，p),則￡(X)=③3,D(X)=@np(1-

3—?

3.超幾何分布

（1）定義：一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取〃

件（不放回），用X表示抽取的〃件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為尸（X=k）=⑤―

—會(huì)典_，k~m,加+1,m+2,…，r.其中"，N,M￡N*,MWN,力WN,m=max{0,n

-N+M],r=min{?,"}.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱(chēng)隨機(jī)變量X

服從超幾何分布.

（2）期望：E（X）=?_=_.

注意二項(xiàng)分布是有放回抽取問(wèn)題，超幾何分布是不放回抽取問(wèn)題.

4.正態(tài)分布

2

4_（%―〃）

（1）定義：若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為/G）=急/x￡R,其中

〃￡R,0>0為參數(shù)，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為⑦X~N（“，/）.特別地,

當(dāng)〃=0,（7=1時(shí)，稱(chēng)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

（2）正態(tài)曲線的特點(diǎn)

a.曲線是單峰的，它關(guān)于直線⑧對(duì)稱(chēng).

b.曲線在⑨處達(dá)到峰值高.

C.當(dāng)IXI無(wú)限增大時(shí)，曲線無(wú)限接近X軸.

d.曲線與x軸之間的面積為⑩1.

e.當(dāng)。取定值時(shí)，曲線的位置由〃確定，且隨著〃的變化而沿x軸平移，如圖1所示.

￡當(dāng)〃取定值時(shí)，曲線的形狀由c確定“越小，曲線越“?瘦高”,表示總體的分布越?.

集中；。越大，曲線越“?矮胖”,表示總體的分布越?分散，如圖2所示.

說(shuō)明從圖1,圖2可以發(fā)現(xiàn)參數(shù)〃反映了正態(tài)分布的集中位置，。反映了隨機(jī)變量的分布

相對(duì)于均值〃的離散程度.

（3）正態(tài)分布三個(gè)常用數(shù)據(jù)

P—o'WXWJu+<7）七0.6827,

P（〃一2cWXW〃+2。）p0.9545,

P（〃—〃+3。）-0.9973.

說(shuō)明在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N（〃，W）的隨機(jī)變量X只取[〃一3c,〃十

34中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱(chēng)為為原則.

(4)正態(tài)分布的期望與方差：若X?N(洶，公)，則E(X)=?〃，D(X)=?一

I仁正

1.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(A)

A.某射手擊中目標(biāo)的概率為0.9,從開(kāi)始射擊到擊中目標(biāo)所需的射擊次數(shù)X服從二項(xiàng)分布

B.從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布

C.n重伯努利試驗(yàn)中各次數(shù)試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立

D.正態(tài)分布是對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量而言的

2(多選］若袋子中有2個(gè)白球，3個(gè)黑球(球除了顏色不同，沒(méi)有其他任何區(qū)別)，現(xiàn)從袋

子中有放回地隨機(jī)取球4次，每次取一個(gè)球，取到白球記1分，取到黑球記0分，記4次

取球的總分?jǐn)?shù)為X,則(BCD)

bX?B(4,B.P(X=3)=二

5625

C.E(X)=-D.D(X)=-

525

解析由題意知，每次取到白球的概率為提取到黑球的概率為a由于取到白球記1分，

取到黑球記0分，所以X為4次取球取到白球的個(gè)數(shù)，易知X?8(4,1),故A錯(cuò)誤；

P(X=3)=Cl(|)3x|=^,故B正確；

55625

E(X)=4X|=1,故C正確；

D(X)=4X^X|=||,故D正確.故選BCD.

3.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,1),且尸(X>2c-1)=P(X<c+3),貝!］c=_

4

3-,

解析?隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,1),且尸(x>2c—l)=P(X<c+3),

4.［教材改編］生產(chǎn)方提供一批產(chǎn)品50箱，其中有2箱不合格產(chǎn)品.采購(gòu)方接收該批產(chǎn)品的準(zhǔn)

則是：從該批產(chǎn)品中任取5箱產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，若至多有1箱不合格產(chǎn)品，便接收該批產(chǎn)品.

則該批產(chǎn)品被接收的概率是—祟

245

解析用X表示“5箱中不合格產(chǎn)品的箱數(shù)”，則X服從超幾何分布，且N=50,M=2,n

=5.

因?yàn)檫@批產(chǎn)品被接收的條件是5箱全部合格或只有1箱不合格,

所以該批產(chǎn)品被接收的概率是尸(XW1)=零+翠=注|.

C50C50245

6學(xué)生用書(shū)P245

命題點(diǎn)1二項(xiàng)分布

例1⑴已知隨機(jī)變量45(?,p),E(X)=2,D(X)=|,則P(X22)=

(A)

A.—B.-C.—D.—

2732727

?(np=2，

解析由隨機(jī)變量X?5(n,p),E(X)=2,D(X)得］/、？解得

3(np(1—p)

n=3,

(p=§2,

所以尸(X22)=\-p(X=l)-p(X=0)=l-c|x(|)'X(1-|)3-1-c^x(|)°x

(1，)3-0=1，_工="

392727

(2)為了解觀眾對(duì)2023年央視春晚小品節(jié)目《坑》的評(píng)價(jià)，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取10位觀眾對(duì)

其打分(滿分10分)，得到如下表格：

觀眾序號(hào)12345678910

評(píng)分7.88.98.67.48.58.59.59.98.39.1

①求這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)；

②將頻率視為概率，現(xiàn)從觀眾中隨機(jī)抽取3人對(duì)節(jié)目《坑》進(jìn)行評(píng)價(jià)，記抽取的3人中評(píng)

分超過(guò)9.0的人數(shù)為X,求X的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差.

解析①將這組數(shù)據(jù)從小到大排列，為7.4,7.8,8.3,8.5,8.5,8.6,8.9,9.1,9.5,

9.9,

所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為9.1.

②樣本中評(píng)分超過(guò)9.0的有3個(gè)，所以評(píng)分超過(guò)9.0的頻率為0.3.

把頻率視為概率，則評(píng)分超過(guò)9.0的概率為0.3.

依題意，X的所有可能取值為0,1,2,3,且A3(3,0.3),

貝IP(X=0)=C^X0.73=0.343,

P(X=l)=(^X0.3X0.72=0.441,

P(X=2)=C|X0.32X0.7=0.189,

P(X=3)=?><0.33=0.027,

所以X的分布列為

X0123

P0.3430.4410.1890.027

(注意根據(jù)分布列中所有可能取值的概率之和為1檢驗(yàn)所求的分布列是否正確)

所以E(X)=3X03=0.9,

D(X)=3X0.3X0.7=0.63.

方法技巧

二項(xiàng)分布問(wèn)題的解題關(guān)鍵

1.定型

(1)在每一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同.

(2)各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的.

(3)在每一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)，即發(fā)生與不發(fā)生.

2.定參：確定二項(xiàng)分布中的兩個(gè)參數(shù)〃和0,即試驗(yàn)發(fā)生的次數(shù)和試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率.

訓(xùn)練1［天津高考］設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為|,假定

甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.

(1)用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和

數(shù)學(xué)期望；

(2)設(shè)M為事件”上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30

之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件/發(fā)生的概率.

解析(1)因?yàn)榧淄瑢W(xué)上學(xué)期間的三天中每天到校情況相互獨(dú)立，且每天7:30之前到校

的概率均為|,故X?B(3,1),從而尸(X=k)=或(|)k(1)3~k,k=0,1,2,3.

所以隨機(jī)變量X的分布列為

X0123

1248

P

279927

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=3X|=2.

(2)設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中每天7：30之前到校的天數(shù)為匕則F?3(3,|),且

M={X=3,y=i}u{x=2,y=o}.

由題意知事件{x=3,y=i}與{x=2,y=o}互斥，且事件{x=3}與{y=i},事件{x=2}

與{Y=0}均相互獨(dú)立，從而由(1)知P(M)=P({X=3,丫=1}U{X=2,丫=0})=

p({x=3,丫=1})+p({x=2,y=o})=p({x=3})p({y=i］)+p({x=2})p({y=o})=

82,4120

—X—I-X—=.

279927243

命題點(diǎn)2超幾何分布

例2［2023北京市朝陽(yáng)區(qū)質(zhì)檢］某數(shù)學(xué)教師組織學(xué)生進(jìn)行線上答題交流活動(dòng)，規(guī)定從8道備

選題中隨機(jī)抽取題目作答，假設(shè)在8道備選題中，學(xué)生甲答對(duì)每道題的概率都是|,且每道

題答對(duì)與否互不影響，學(xué)生乙、丙都只能答對(duì)其中的6道題.

(1)若甲、乙兩人分別從8道備選題中隨機(jī)抽取1道作答，求至少有1人能答對(duì)的概率；

(2)若學(xué)生丙從8道備選題中隨機(jī)抽取2道作答，以X表示其中丙能答對(duì)的題數(shù)，求X的

分布列及數(shù)學(xué)期望.

解析(1)由題意可知隨機(jī)抽取1道試題作答，乙能答對(duì)的概率為?，

4

則甲、乙兩人都不能答對(duì)的概率尸=(1-7)X=三，

4312

所以甲、乙兩人至少有1人能答對(duì)的概率為1一尸=￡.

(2)X的所有可能取值為0,1,2,

P(x=0)=Si=J-p(x=1)=S1S1=2p(x=2)=4=竺

"⑺C|28'八"UCl7'八*Cl28,

X的分布列為

X012

1315

P

28728

解法一所以E(X)=OX^-+1X|+2X^=1.

Zo/ZoL

解法二因?yàn)閄服從超幾何分布〃(8,6,2),所以E(X)=號(hào)=：.

82

方法技巧

1.超幾何分布描述的是不放回抽樣問(wèn)題，隨機(jī)變量為抽到的某類(lèi)個(gè)體的個(gè)數(shù).

2.超幾何分布的特征是：(1)考查對(duì)象分兩類(lèi)；(2)已知各類(lèi)對(duì)象的個(gè)數(shù)；(3)從中抽

取若干個(gè)個(gè)體，考查某類(lèi)個(gè)體數(shù)X的概率分布.

3.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類(lèi)別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型.

訓(xùn)練2［天津高考］已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采用分

層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.

(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工中分別抽取多少人？

(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一

步的身體檢查.

(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(ii)設(shè)N為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件

N發(fā)生的概率.

解析(1)由已知，甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工人數(shù)之比為3：2：2.由于采用分層隨機(jī)抽

樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工中分別抽取3人，2人，2人.

(2)(i)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3,且服從超幾何分布，則P(X=k)=

所以隨機(jī)變量X的分布列為

X0123

112184

P

35353535

所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望￡(X)=0乂++1*||+2乂||+3義￡=苫.(也可直接由超幾

何分布的期望計(jì)算公式￡(X)=與求解)

(ii)設(shè)事件2為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；事

件。為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，則/=

BUC,且2與C互斥.由(i)知，P(2)=P(X=2),P(C)=P(X=l),

故尸(/)=P(5UC)=P(X=2)+P(X=l)=*

所以事件/發(fā)生的概率為自

命題點(diǎn)3正態(tài)分布及其應(yīng)用

例3(1)［2021新高考卷n］某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10,〃)，則下列結(jié)論

中不正確的是(D)

Ao越小，該物理量一次測(cè)量結(jié)果落在(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大

B.該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于10的概率為0.5

C.該物理量一次測(cè)量結(jié)果小于9.99的概率與大于10.01的概率相等

D.該物理量一次測(cè)量結(jié)果落在(9.9,10.2)內(nèi)的概率與落在(10,10.3)內(nèi)的概率相等

解析設(shè)該物理量一次測(cè)量結(jié)果為X,

對(duì)于A,。越小，說(shuō)明數(shù)據(jù)越集中在10附近，所以X落在(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大，所

以選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B,根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性可得，P(X>10)=0.5,所以選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C,根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性可得，P(X>10,01)=P(X<9.99),所以選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D,根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性可得，P(9.9<X<10.2)~P(10<^<10.3)=P(9.9<

X<10)-P(10.2<^<10.3),又尸(9.9VXV10)>P(10.2<X<10.3),所以P(9.9<

X<10.2)>P(10<X<10.3),所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選D.

(2)某工廠制造的某種機(jī)器零件的尺寸X(單位：mm)近似服從正態(tài)分布N(100,

0.01),現(xiàn)從中隨機(jī)抽取10000個(gè)零件，尺寸在［99.8,99.9］內(nèi)的個(gè)數(shù)約為(附：若隨機(jī)變

量X?No2),則P一^0.6827,P-217WXW〃+2cr)七0.9545)

(B)

A.2718B.1359C.430D.215

解析?N(100,0.01),...“=100,(7=0,1,則P(99.8WXW99.9)=P(〃一

〃-a)=g［P(〃-ZcrWXW"+Z。)一P(〃一(TWXW〃+<7)］^］義(0.9545—0.682

7)=0.1359.故隨機(jī)抽取的

10000個(gè)零件中尺寸在［99.8,99.9］內(nèi)的個(gè)數(shù)約為10000X0.1359=1359.

方法技巧

解決正態(tài)分布問(wèn)題的思路

1.把給出的區(qū)間或范圍與參數(shù)〃，0■進(jìn)行對(duì)比計(jì)算，確定它們屬于［〃一0,〃+，［4-2)7,"

+2<r］,一3c,〃+3<r］中的哪一個(gè).

2.利用正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性轉(zhuǎn)化所求概率，常用結(jié)論如下：

(1)P(XN〃)=P(X<〃)=0.5；

(2)對(duì)任意的a,有尸(X〈廠a)=P(X>〃+a)；

(3)P(X<xo)=1一尸(XNxo)；

(4)P(a〈X〈b)=P(XCb)~P(XWa).

訓(xùn)練3(1)［2022新高考卷II］已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,〃),且尸(2<

XW2.5)=0.36,則P(X>2.5)=0.14.

解析因?yàn)閄-N(2,勿)，所以P(X>2)=0.5,

所以尸(X>2.5)=P(X>2)~P(2<XW2.5)=0.5-0.36=0.14.

(2)［2023廣州市階段測(cè)試］某品牌手機(jī)的電池使用壽命X(單位：年)服從正態(tài)分布，且

使用壽命不少于1年的概率為0.9,使用壽命不少于9年的概率為0.1,則該品牌手機(jī)的電

池使用壽命不少于5年且不多于9年的概率為0.4.

解析由題意知P(X21)=0.9,P(X29)=0.1,

所以P(X<1)=1—0,9=0.1=P(XN9),所以正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=U=5.

因?yàn)槭?1WXW9)=0.9—0.1=0.8,所以P(5WXW9)=三=0.4,即該品牌手機(jī)的電池

使用壽命不少于5年且不多于9年的概率為0.4.

1.［命題點(diǎn)1］據(jù)悉強(qiáng)基計(jì)劃的?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，校考過(guò)程中達(dá)到筆試優(yōu)秀才能進(jìn)

入面試環(huán)節(jié).已知甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門(mén)考試科目且每門(mén)科目是否達(dá)到優(yōu)秀

相互獨(dú)立.若某考生報(bào)考甲大學(xué)，每門(mén)科目達(dá)到優(yōu)秀的概率均為g若該考生報(bào)考乙大學(xué)，

三門(mén)科目達(dá)到優(yōu)秀的概率依次為；，n,其中

65

(1)若〃=/分別求出該考生報(bào)考甲、乙兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好有一門(mén)科目達(dá)到優(yōu)秀

的概率；

(2)強(qiáng)基計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過(guò)程中達(dá)到優(yōu)秀科目個(gè)數(shù)的

期望為依據(jù)作出決策，該考生更希望進(jìn)入甲大學(xué)的面試環(huán)節(jié)，求〃的范圍.

解析(1)設(shè)該考生報(bào)考甲大學(xué)恰好有一門(mén)筆試科目?jī)?yōu)秀為事件N,

則尸(A)=Cjxjx(|)2.

設(shè)該考生報(bào)考乙大學(xué)恰好有一門(mén)筆試科目?jī)?yōu)秀為事件8,則尸(3)=ix|x-+-X^X-+

653653

5V31_41

65390

(2)該考生報(bào)考甲大學(xué)達(dá)到優(yōu)秀科目的個(gè)數(shù)設(shè)為X,

根據(jù)題意可知，X?B(3,1),則E(X)=3x［=L

該考生報(bào)考乙大學(xué)達(dá)到優(yōu)秀科目的個(gè)數(shù)設(shè)為y,則隨機(jī)變量y的可能取值為0,1,2,3.

p(y=o)=-x-x(I-M),p(y=i)=ix-x(i—〃)+-x-x(1一〃)+-x-?

652656565

_13+2n

30-J

P(￥=2)=-X-M+ix-?+ix-X(1-M)p(y=3)=lx

65656530'653015’

隨機(jī)變量丫的分布列為

Y0123

1—n13+2九2+llnn

P

2303015

1713+2n_1_c72+lln?n_17+30n

E(y)=ox--h1X---------十zX---------十3Xv-----------------,

因?yàn)樵摽忌ＭM(jìn)入甲大學(xué)的面試環(huán)節(jié)，所以E(y)<E(X),即解得

13

30,

所以〃的取值范圍為(0,|1).

2.［命題點(diǎn)2/浙江高考］袋中有4個(gè)紅球，加個(gè)黃球，〃個(gè)綠球.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出

的紅球數(shù)為?若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為［一紅一黃的概率為［則加一“=_

63

「，E(匕)=_|_,

解析由題意可得，P(自=2)=-2^-=——化簡(jiǎn)得("?+")2+7(m+

^4+rn+n(4+m+n)(3+m+n)6

〃)-60=0,得〃?+〃=5,取出的兩個(gè)球一紅一黃的概率尸=「y"'=翳=9,解得加=3,

C4+m+n363

故力=2,所以加一〃=1.易知自服從超幾何分布，則￡(自)=5^=*

3.［命題點(diǎn)3/2023四省聯(lián)考］某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布N(100,〃).質(zhì)

量指標(biāo)介于99至101之間的產(chǎn)品為良品，為使這種產(chǎn)品的良品率達(dá)到95.45%,則需調(diào)整

生產(chǎn)工藝，使得a至多為0.5.(若X?N(〃，射),則尸(IX—〃I<28?0,9545)

解析由題知，〃=100.根據(jù)題意以及正態(tài)曲線的特征可知，IX—100I<2。的解集/三

100—2d>99

一'解

{100+2d<101,

得cW0.5,故0至多為0.5.

(---------------------:練習(xí)幫練透好題精準(zhǔn)分層----------------------------

。學(xué)生用書(shū)?練習(xí)幫P393

■砒排赤工石口

1.設(shè)隨機(jī)變量7?3(2,P),〃?3(4,P),若P(。21)=1,則尸(〃22)的值為

(B)

解析因?yàn)殡S機(jī)變量??3(2,p),

所以尸(會(huì)1)=1一尸(。=0)=1—(1—p)2=|,解得p=g,

所以〃?2(4,1),則P(〃\2)=1一尸(〃=0)-P(〃=1)=1—(1-1)4-C|(1-

i)3乂工=±故選B.

3327

2.已知隨機(jī)變量X?2(4,,則下列表達(dá)式正確的是(C)

4.

AP(*=2)=-B.E(3X+1)=4

C.D(3X+1)=8D.D(X)

解析因?yàn)閄?8(4,,

所以尸(X=2)=CjX2X(1-i)2=捺,E(X)=4x|=pD(X)=4x1x(1-

AO

所以￡(3X+1)=3￡(X)+1=3X計(jì)1=5,D(3X+1)=32-D(X)=9X^=8,

所以A,B,D不正確，C正確.故選C.

3.［2024貴州貴陽(yáng)一中模擬］若隨機(jī)變量X?N(10,22),則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是(D)

A.尸(XN10)=0.5

B.P(XW8)+P(XW12)=1

C.P(8WXW12)=2P(8WXW10)

D.D(2X+1)=8

解析根據(jù)隨機(jī)變量X?N(10,22)可知〃=10,s=2,所以P(XN10)=0.5,故A正

確，

P(XW8)+P(XW12)=P(XN12)+P(XW12)=1,故B正確，

P(8WXW12)=2P(8WXW10),C正確，

D(2X+1)=4。(X)=16,故D錯(cuò)誤，故選D.

4.［2024河北邢臺(tái)模擬］若X?8(16,p)(0<p<l),且D(aX)=16,貝?。?B)

A”的最小值為4Bd的最小值為4

C.a的最大值為4D.02的最大值為4

解析因?yàn)閄-2(16,p),所以。(aX)=16。力(1一°)=16,則/=

——,因?yàn)閜(1—p)W(P+,P)2=1(當(dāng)且僅當(dāng)p=:時(shí)，等號(hào)成立)，所以層24,

p(1—p)242

則層的最小值為4.故選B.

5.攣生素?cái)?shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題之一，該問(wèn)題可以直觀描述

為：存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)0,使得p+2是素?cái)?shù).素?cái)?shù)對(duì)(p,p+2)稱(chēng)為攣生素?cái)?shù).從8個(gè)數(shù)對(duì)

(3,5),(5,7),(7,9),(9,11),(11,13),(13,15),(15,17),

(17,19)中任取3個(gè)，設(shè)取出的李生素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)為X,則E(X)=(C)

313

A.-B.-C.-D.3

822

解析解法一由題意可知，這8個(gè)數(shù)對(duì)中只有(3,5),(5,7),(11,13),

(17,19)是攣生素?cái)?shù)，則X的可能取值為0,1,2,3,

故尸(X=0)=萼=工，

或14，

P(X=l)=等=/

P(X=2)=萼=*

P(X=3)=萼=上，

Ca14，

-1OO1o

所以￡(X)=0X—+1X-+2X-+3X—=-.

1477142

解法二直接利用超幾何分布的期望公式得E(X)=3X9=；

82

6.[2024貴陽(yáng)市模擬]已知隨機(jī)變量X,Y,其中X?8(6,,Y?N(〃，拉).若E(X)

=E(y),p(IyI<2)=0.3,則尸(y^6)=0.2.

解析.：E(X)=6嗎=2,E(y)=〃，(IyI<2)=P(—2<y<2)=

0.3,二結(jié)合正態(tài)曲線知，P(2<y<6)=0.3,故P(y26)=0.5一尸(2<y<6)=0.2.

7.己知某科技公司員工發(fā)表論文獲獎(jiǎng)的概率都為p,且各員工發(fā)表論文是否獲獎(jiǎng)相互獨(dú)立.

若X為該公司的6名員工發(fā)表論文獲獎(jiǎng)的人數(shù)，D(X)=0.96,E(X)>2,則°=寺

解析由已知可得X?8(6,p),則。(X)=6p(1—p)=0.96,即2502—250+4=0,

解得0=3或°=若P=g,則￡(X)=6X1<2,不符合題意；若p=：,則E(X)=

6X2=g>2,符合題意.故0=:

8.若X?8(20,1),則P(X=k)(0W左W20,左GN)取得最大值時(shí)，k=6或7.

解析由題意知，X服從二項(xiàng)分布，

所以P(X=Q=臉k-(1-1)2°r=C%(|)k(|)2or,0WZ20且后GN.

由不等式Pdi+i'V(0W左W19且左GN),得竽=X*l,解得左26.

P(X=k)k+12

所以當(dāng)左，6時(shí)，P(X=k)三尸(X=bM);當(dāng)左<6時(shí)，P(X=4+l)>P(X=左).

因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)左=6時(shí)，P(X="H)=P(X=k),所以當(dāng)左=6或左=7時(shí)，P(X=k)

取得最大值.

9.[2024云南昆明模擬]某商場(chǎng)在周年慶活動(dòng)期間為回饋新老顧客，采用抽獎(jiǎng)的形式領(lǐng)取購(gòu)

物卡.該商場(chǎng)在一個(gè)紙箱里放15個(gè)小球(除顏色外其余均相同)，包括3個(gè)紅球、5個(gè)黃球

和7個(gè)白球.每個(gè)顧客均不放回地從15個(gè)小球中拿3次，每次拿1個(gè)球，每拿到一個(gè)紅球獲

得一張/類(lèi)購(gòu)物卡，每拿到一個(gè)黃球獲得一張3類(lèi)購(gòu)物卡，每拿到一個(gè)白球獲得一張C類(lèi)

購(gòu)物卡.

（1）已知某顧客在3次拿球中只有1次拿到白球，求其至多有1次拿到紅球的概率；

（2）設(shè)某顧客抽獎(jiǎng)獲得4類(lèi)購(gòu)物卡的數(shù)量為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解析（1）記事件/為“在3次拿球中只有1次拿到白球”，事件3為“在3次拿球中至

多有1次拿到紅球”，則事件為“在3次拿球中只有1次拿到白球，其他兩次至多1次

拿到紅球”.

解法一所以尸（/）=孽=彳，p（AB）=受卑受1=2尸（8=心%=纂

C1565C1513P（A）28

解法二p（Bi/）

n\A）c7c<8Zo

（2）依題意得X的所有可能取值為0,1,2,3.

則尸比=°）=今得「「I）=臂=搭「伊=2）=瞽=券P（.3）=總

1

一礪，

所以X的分布列為

X0123

44198361

P

91455455455

解法一所以￡（X）=^XO+^|X1+^X2+-1-X3=^|=|.

914554554554555

解法二因?yàn)閄服從超幾何分布〃（15,3,3）,

所以￡（X）=等=|.

10.[2024福建龍巖質(zhì)檢]杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至10月8日在杭州舉辦.

為了讓中學(xué)生了解亞運(yùn)會(huì)，某市舉辦了一次亞運(yùn)會(huì)知識(shí)競(jìng)賽，分預(yù)賽和復(fù)賽兩個(gè)環(huán)節(jié)，現(xiàn)

從參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機(jī)抽取100人的預(yù)賽成績(jī)作為樣本，得到頻率分布表（見(jiàn)下

表）.

分組（百分制）頻數(shù)頻率

[0,20)100.1

[20,40)200.2

[40,60)300.3

[60,80)250.25

[80,100]150.15

合計(jì)1001

（1）由頻率分布表可認(rèn)為該市參加預(yù)賽的全體學(xué)生的預(yù)賽成績(jī)X服從正態(tài)分布N（〃，

〃）（<7>0）,其中〃可近似視為樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績(jī)的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間的中點(diǎn)值代替），且^=342.利用該正態(tài)分布，求尸（XN90）.

(2)預(yù)賽成績(jī)不低于80分的學(xué)生將參加復(fù)賽，現(xiàn)用樣本估計(jì)總體，將頻率視為概率，從

該市參加預(yù)賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，記進(jìn)入復(fù)賽的人數(shù)為匕求y的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù)：V342^18.5,P(IX-/2IW2b)?0.9545.

解析(1)由題意知，樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績(jī)的平均值為10X0.1+30X0.2+

50X0.3+70X0.25+90X0.15=53,由〃=342得c=^18.5,

所以P(X290)=P(X2〃+2。)=1x[1-P(〃一〃+2。)]?0.02275.

(2)由題意得，隨機(jī)抽取2人進(jìn)入復(fù)賽的人數(shù)卜?3(2,輸)，且￥的所有可能取值為

0,1,2.

(i--)2=—,

p(y=o)=c2gx20400

p(口)=心喝義—梟=親

p(y=2)超義得)占治.

所以y的分布列為

Y012

289519

P

400200400

所以y的數(shù)學(xué)期望為￡(y)=OX^+IX^+2X^=A

鮑力博—：三工|

11.[多選]某計(jì)算機(jī)程序每運(yùn)行一次都會(huì)隨機(jī)出現(xiàn)一個(gè)五位二進(jìn)制數(shù)/=。同2a3a4。5(例如

10100),其中/的各位數(shù)中，01=1,嬴(左=2,3,4,5)出現(xiàn)0的概率為蘇出現(xiàn)1的概

率為記入=02+。3+。4+。5,貝U(AC)

AX服從二項(xiàng)分布B.P(X=2)=當(dāng)

ol

C.E(X)=-D.D(X)=-

33

解析由二進(jìn)制數(shù)4的特點(diǎn)，知后4位上的數(shù)字的填法有5類(lèi)：

①后4位上的數(shù)字均為0,則X=0,P(X=0)=G)4=上

②后4位上的數(shù)字中只出現(xiàn)1個(gè)1,則X=l,P(X=l)=C\(|)1(,)3=充

③后4位上的數(shù)字中出現(xiàn)2個(gè)1,則X=2,P(X=2)=鬣(|)2(|)2=掾；

④后4位上的數(shù)字中出現(xiàn)3個(gè)1,則X=3,P(X=3)=瑞(|)30)1=券

⑤后4位上的數(shù)字均為1,則X=4,P(X=4)=(-)4=竺.由上述可知X?8(4,-),

3813

故A正確；易知B錯(cuò)誤；E(X)=4X|=|,故C正確；D(X)=4x|x1=|,故D錯(cuò)誤.

故選AC.

12.某同學(xué)騎自行車(chē)上學(xué)，第一條路線較短但擁擠，路途用時(shí)X(單位：min)服從正態(tài)分

布N(5,1)；第二條路線較長(zhǎng)但不擁擠，路途用時(shí)蒞(單位：min)服從正態(tài)分布

N(6,0.16).若有一天他出發(fā)時(shí)離上課時(shí)間還有7min,則P(蒞?7)—P(XW7)=0.016

6.(精確到0.0001)(參考數(shù)據(jù)：P(〃一(7<XW〃+c)P0.6827,P(〃-1.5<7<XW〃+

1.5。)心0.8664,P(〃-2c<XW〃+2。)N0.9545,P(〃-2.5o<XW〃+2.5。)-0.987

6,P(〃-3C<XW〃+3<7)仁0.9973)

解析因?yàn)閄i?N(5,1),即〃i=5,ai=l,所以尸(XiW7)=P(XW5)+P(5<

X1W7)=弓+步(//1-2ffi<Xi^/ZI+ZCTI)^^+3義0.9545=0.97725.因?yàn)閯?N(6,

0.16),即〃2=6,<72=0.4,所以P(XiW7)=P(X2W6)+P(6<不忘7)=|+1p(思一

2.5(72<EW〃2+2.5O2)?|+|x0.9876=0.9938,所以「(X2<7)-P(X1<7)=0.9938-

0.97725x0.0166.

13.[2024河北張家口統(tǒng)考]某校舉辦乒乓球顛球比賽，現(xiàn)從高一年級(jí)1000名學(xué)生中隨機(jī)選

出40名學(xué)生統(tǒng)計(jì)成績(jī)(單位：個(gè))，其中24名女生的平均成績(jī)?cè)?70,標(biāo)準(zhǔn)差s女=4；

16名男生的平均成績(jī)歹男=80,標(biāo)準(zhǔn)差s禺=6.

(1)高一年級(jí)全員參加顛球比賽的成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N(〃，〃)，若用這40名參

賽同學(xué)的樣本平均數(shù)封口標(biāo)準(zhǔn)差s(四舍五入取整數(shù))分別作為〃，。，估計(jì)高一年級(jí)顛球成

績(jī)不超過(guò)60個(gè)的人數(shù)(四舍五入取整數(shù))；

(2)顛球比賽決賽采用5局3勝制，甲、乙兩名同學(xué)爭(zhēng)奪冠、亞軍，如果甲每局比賽獲勝

的概率為“在甲獲勝的條件下，求其前2局獲勝的概率.

附：若X?N(〃，*),則尸(IX-fiIWo)-0.6827,P(IX—〃IW2。)-0.9545,

P(IX-nIW3。)^0.9973.

解析(1)依題意，±=7OX24：8OX16=74,即“=74,

40

22

§2一24X[42+(74-70)]+16x[62+(74-80)]

=48,

40

所以S=W值七7,即0=7.

因?yàn)閄?N(74,72),且P(lx—〃IW2c)七0.9545,

所以P(XW60)?；=0.02275,

所以0.02275X1000=22.75^23,

即估計(jì)高一年級(jí)顛球成績(jī)不超過(guò)60個(gè)的人數(shù)為23.

(2)設(shè)事件/表示“甲獲勝”，事件3表示“甲前2局獲勝”，

所以尸(A)=(|)3+C|x|x(|)3+鬣X(1)2X0尸=黑

PQB)=0)3+*(|)3+(1)2X(|)3=黑

所以尸(SU)="第=葛

所