2025高考數(shù)學一輪復習：正弦定理與余弦定理 專項訓練【含解析】

2025高考數(shù)學一輪復習-正弦定理與余弦定理-專項訓練【原卷版】

基礎(chǔ)鞏固練

1.在△4BC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,若也=誓，則B的大小

ab

為().

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.在△ABC中，若4=30。，AB=2,且AaBC的面積為后，則△ABC外接圓的

半徑為().

A.這B.手C.2D.4

3

3.(改編)在△ABC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,若2==碼/二

3cosC

2sin力sinB,且b=6,貝!jc=().

A.2B.3C.4D.6

4.在aABC中，角48,C所對的邊分別為a,b,c,且爐=ac,a2+be=c2+ac,

則的值為().

bsinB

A-1B-TC.2D.警

5.在△ABC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,若也==(b+c+a)(b+

sinBc

c-a)=3bc,則△ABC的形狀為().

A.直角三角形B.等腰非等邊三角形

C.等邊三角形D.鈍角三角形

6.(改編)已知AZBC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,且5=

a(cosC+《sinC),a—2,c=誓，則。=().

AA.—3TT一

4B.

7.(改編)設(shè)在△ABC中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,若滿足a=省力=

=三的AZBC不唯一，則實數(shù)m的取值范圍為().

6

A.弓,V3)B.(O,V3)C.?凈D.(1,1)

8.秦九韶是我國南宋數(shù)學家，其著作《數(shù)書九章》中的大衍求一術(shù)、三斜求積

術(shù)和秦九韶算法是具有世界意義的重要貢獻.秦九韶把三角形的三條邊分別稱為

小斜、中斜和大斜，三斜求積術(shù)即已知三邊長求三角形面積的方法，用公式表示

如下：S&ABC=J'a2c2_,2+：功2)2],其中附9是△.C的內(nèi)角2,B,C的對邊.

已知在△ABC中，-=cosB+V3cosC,叵=匕立空當則△.C面積的最大值

cccosC

為（）.

A/B,速C.始D.史

2448

綜合提升練

9.（多選題）在△ABC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足sinB（l+

2cosc）=2sinAcosC+cosAsinC,則下列結(jié)論可能成立的是（）.

A.a=2bB.b=2aC.2=2BD.C=90°

10.（多選題）在△ABC中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,則下列結(jié)論正確的

是（）.

A.若￡=—1=￡,則AZBC為等邊三角形

cosAcosBcosC

B.若（a+b+c）（a+b—c）—3ab,則C=60°

C.若a=7,b=4?c=V13,則最小內(nèi)角的度數(shù)為30。

D.若a=5,4=60。，b=4,則此三角形有兩解

11.在AZBC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,滿足2塊—3c2-ac=0,

sin(4+B)=2sin2,則cosC—.

12.(雙空題)在AaBC中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a=3,sinB=

sin2A.

b

①的值為

cosA

②若a>c,則匕的取值范圍是

應用情境練

13.我國南宋著名數(shù)學家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》卷五“田域類”里記載

了這樣一個題目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，

大斜一十五里，里法三百步，欲知為田幾何這道題講的是有一塊三角形的沙田，

三邊長分別為13里，14里，15里，假設(shè)1里按500米計算，則該沙田的面積為

平方千米.

14.在△4BC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c.從下面①②③中選取兩個作

為條件，證明另外一個成立.

（T）a2—c2—be；@b+bcosA—V3asinB；③sinA—V3sinC.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

創(chuàng)新拓展練

15.在a中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,若acosB—c—1=0,a2=|bc,

b>c9貝壯=

c

16.△ABC的內(nèi)角a,B,C的對邊分別為a,b,c.已知(b—c)sinB=bsinQl—C).

(i)求角a；

(2)若△ABC為銳角三角形，且△ABC的面積為S,求立片的取值范圍.

2025高考數(shù)學一輪復習-正弦定理與余弦定理-專項訓練【解析版】

基礎(chǔ)鞏固練

1.在△ABC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,若也=?，則B的大小

ab

為（B）.

A.30°B.45°C.60°D.90°

［解析］由題意知，當cosB

sinB

??.sinB=cosB,B=45°.故選B.

2.在△ABC中，若4=30。，AB=2,且AaBC的面積為后，則△ABC外接圓的

半徑為（C）.

A,也B.手C.2D.4

3

［解析］由題意知，S-BC=1^45--sin71=|x2x^AC=W,解得ZC=2V3,

由余弦定理得Be?=44-12-2X2X273X^=4,故BC=2.

設(shè)△ABC外接圓的半徑為R,

由正弦定理得2R=2=4,故R=2.故選C.

sinA

3.（改編）在AaBC中，角a,B,C的對邊分別為a,b,c,若2=二照竺

3cosC

2sin?lsin5,且力=6,貝！Jc=（C）.

A.2B.3C.4D.6

［解析］由余弦定理得小=b2+c2—2bcx-=b2+c2—be,又3sm0=

2cosC

nr2n2，h2_r2

?,?由正弦定理可得——=-------，即小+b2-2即力+c2—

2sin/sin2ab2ab4c=0,2

be+b2—4c2=0.

又b=6,??.c2+2c—24=0,解得c=4（負值舍去）.故選C.

4.在aABC中，角力，8,C所對的邊分別為a,b,c,且爐=ac,a2+be=c2+ac,

的值為（）.

則bsinBD

A.-B.—C.2D.—

223

2222

［解析］由爐=ac,a+be=c+ac9得爐+c—a=be,

???cosA=匕貝【JsinA=—.

2bc22

^b2=ac得sir^B=sin/sinC,=—^—

9sinzBsmA9

」一=sin。==迪故選D.

bsinBsinBsinBsin43

5.在△ABC中，角a,B,C的對邊分別為a,b,c,若也=2,(b+c+a)(b+

sinBc

c-a)=3bc,則△力BC的形狀為(C).

B.等腰非等邊三角形

C.等邊三角形D.鈍角三角形

［解析］???嗯a

sinBc

又(b+c+a)(6+c—a)=3bc,

77j.匕2+。2一be1

????

?=be,?cosA=----2--b-c---=——2bc=2

???/e(o,7T),.??力=或??.△/BC是等邊三角形.故選c.

6.(改編)已知AABC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,且5=

a(cosC+gsinC),a—2,c=誓，則。=(D).

A.—B.E或到C.-D.-

44464

［解析『?,b=a(cosC+日sinC),?,?由正弦定理可得sinB=sin力cosC+

今sin/sinC.又sinB=sinQ4+C)=sinAcosC+cosAsinC,???cos4sinC=

當sin力sinC.由sinCW0,可得sinA=V3cosA,:.tanA=V3,AX=^.

va=2,c=乎，，由正弦定理可得sinC==中，，由cV可得C=%

故選D.

7.(改編)設(shè)在△力BC中，角力，8,C所對的邊分別為a,b,c,若滿足Q=百乃=

=工的AZBC不唯一，則實數(shù)m的取值范圍為（A）.

6

A.(y,V3)B.(0,V3)C.D(打)

[解析]由正弦定理^=卷,即烹=會得”=魯?

2

因為△ABC不唯一，即△ABC有兩解，所以E<2<以且4#二即乙<sinA<1,

6622

所以l<2sinZ<2,所以工<」一<1,即立故選A.

22smA2

8.秦九韶是我國南宋數(shù)學家，其著作《數(shù)書九章》中的大衍求一術(shù)、三斜求積

術(shù)和秦九韶算法是具有世界意義的重要貢獻.秦九韶把三角形的三條邊分別稱為

小斜、中斜和大斜，三斜求積術(shù)即已知三邊長求三角形面積的方法，用公式表示

如下：S-BC=4[a2c2_,2+：#）2],其中a,b,c是AZBC的內(nèi)角a,B,C的對邊.

已知在△ABC中，-=cosB+V3cosC,叵=匕立空當則△.C面積的最大值

cccosC

為(B).

A/B.速C.洶D.四

2448

［解析六:=cosB+V3cosC,a=c(cosB+V3cosC),

???sin力=sinC(cosB+V3cosC),

即sinCeosB+V3sinCeosC=sin(B+C)=sinSeosC+cosBsinC,

即V^sinCeosC=sinBcosC,又CE(0,11),且。W

???sinB=V3sinC,:?b=V3c.

V3aa-y［3cosA^.八

v——=----------,???V3(acosC+ccosA)=ac,

ccosC

則同安+修)=卬即ac—y/3b,a—3,

???S="2一(W^

=［?一9)2+竽

當C=3時，Smax=%.故選B.

4

綜合提升練

9.(多選題)在△ABC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足sinB(l+

2cosc)=2sinAcosC+cosZsinC,則下列結(jié)論可能成立的是(AD).

A.a=2匕B.匕=2aC.A=2BD.C=90°

［解析］因為sinB(1+2cosC)—2sinAcosC+cosAsinC,

所以2sinZcosC+cosAsinC—2sinBcosC+sin(4+C)=2sinBcosC+

sinAcosC+cosAsinC,

所以sinZcosC—2sinBcosC=0,即cosC(sinA-2sinB)—0,

所以cosC=0或sinZ=2sinB.因為0°<C<180°,所以C=90°或a=25.故

選AD.

10.(多選題)在△ABC中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,則下列結(jié)論正確的

是(ABC).

A.若高=—、=￡,則△ABC為等邊三角形

cosAcosBcosC

B.若(a+b+c)(a+b—c)=3ab,則C=60°

C.若。=7,=4V3,C=713,則最小內(nèi)角的度數(shù)為30°

D.若a=5,2=60。，5=4,則此三角形有兩解

b_csinAsinB

［解析］對于A，若總=,則把上，即tanA=tanB=

cosBcosCcosAcosBcosC

tanC,即4=B=C,即△力BC是等邊三角形，故A正確.

對于B,由(a+b+c)(a+h-c)=3ab,可得彥+b2-c2=ab,

2I_62i

則cosC===因為。<C<180。，所以C=60°,故B正確.

2ab2

對于C,因為a=7,b=4A/3,C=V13,所以c<b<a,所以C<B<4所以

cosC=土廬-c?=7?+(4阿-盧j=四，因為0。<C<180°,所以C=30°,故

2ab2X7X4V32

c正確.

對于D,因為a=5,力=60°,b=4,——一，所以卷=」一，解得sinB=—<

sinAsinB宜sinB5

2

弓.因為b<a,所以所以三角形只有一解，故D錯誤.故選ABC.

11.在AaBC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,滿足2爐—3c?—ac=0,

sin(i4+B)=2sin2,貝UcosC—手.

［解析］:sin(71+B)=2sin4:.sinC=2sin4,

???由正弦定理得c=2a.

v2b2—3c2—ac=0,???b2=7a2,b=夕a,

〃+匕2_。2a2+7a2-4a2_2夕

則cosC=

2ab2a?VYa7

12.（雙空題）在△力BC中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a=3,sinB=

sin2A.

①y的值為6；

cosA一

［解析］由sin3=sin2A,得sinB=2sinAcosA,

由正弦定理得b=2acosA,即「一=2a=6.

cosA

②若a>c,則b的取值范圍是(3,3或).

［解析］由余弦定理，a2=b2+c2—2bccosA,

結(jié)合①得cos力=

6

所以3?=b2+c2—卓，

所以27=(3-C)Z)2+3C2,

即爐=如-3c=9+3c.

3-c

因為a>c,所以0Vc<3,9<9+3c<18,

所以9<b2<18,即3<b<3V2.

應用情境練

13.我國南宋著名數(shù)學家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》卷五“田域類”里記載

了這樣一個題目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，

大斜一十五里，里法三百步，欲知為田幾何這道題講的是有一塊三角形的沙田，

三邊長分別為13里，14里，15里，假設(shè)1里按500米計算，則該沙田的面積為

2L平方千米.

［解析］設(shè)在中，a=13里，b=14里，c=15里，

132+142-152140_5

所以cosC=所以sinC=青故△4BC的面積為|x

2X13X142X13X14-13'

13x14x—x5002x-^―=21（平方千米）.

1310002

14.在AZBC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c.從下面①②③中選取兩個作

為條件，證明另外一個成立.

①a2—。2=be；（2）b+bcosA—V3asinB；③sinA—V3sinC.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

［解析］選①②作條件，③為結(jié)論：

由②得sinB+sinBcosA—V3sinZsinB,而sinB>0,

所以1+cosA=V3sinA,即KsinA-cosA—1,

根據(jù)輔助角公式可得sin0<2<兀，

所以4=則M=/)2+c2-2bccosA=b2+c2-bc

39

由①知。2=。2+A，代入可得b=2c,所以a=V^c,

由正弦定理得sinA=V3sinC.

選①③作條件，②為結(jié)論：

由③得Q=V3c,又由①知“2=C2+be,

所以3c2=c2+be,則力=2c,

所以cosA=0<A<7i,所以力=

2bc23

由③sinA=V3sinC,

得sinC=￥^=A又0<C<TT,且。<力,所以。=匕所以8=匕

V3262

所以b+bcosA=2c+c=3c=y/3xV3c=V3a=V3asinB.

選②③作條件，①為結(jié)論：

由②得sinB+sinBcosA=V3sin力sinB,而sinB>0,

所以1+cosA=V3sinA,即gsinA—cosA=1,

根據(jù)輔助角公式可得sin(a—印=$又o<a<兀，所以a=最

由③知sin4=V3sinC,

所以sin。=詈=$又0<CVTT且C<力,所以C=所以B=p

所以sin力=V3sinC,sinB=2sinC,則a=V3c,b=2c,

即彥—c2=be.

創(chuàng)新拓展練

15.在aABC中，角43,C的對邊分別為a,b,c,若acosB—c--=0,a2=-be,

b>c9則2=2.

c-

［解析］由QcosB~c0及正弦定理，可得sin力cosB—sinC—三四=0.因為

sinC=sinQ4+B)=sinAcosB+cos力sinB,所以-三—cos力sin3=0.因為

sinBW0,所以cos4=—又0V4<TT，所以4=皆.由余弦定理得M