8.6.2直線與平面垂直第1課時課件高一下學期數(shù)學人教A版

直線與平面垂直第1課時直線與平面垂直的判定[目標導航]課標要求1.理解并掌握直線與平面垂直的定義、判定定理,并能根據(jù)定義和判定定理證明線面垂直和線線垂直的相互轉(zhuǎn)化.2.理解并掌握直線與平面所成角的定義,會求直線與平面所成的角.素養(yǎng)達成通過直線與平面垂直的定義、判定定理的學習,提升邏輯推理和空間想象的核心素養(yǎng).1新知導學素養(yǎng)啟迪1.直線與平面垂直的定義(1)一般地,如果直線l與平面α內(nèi)的

都垂直,我們就說直線l與平面α互相垂直,記作

.(2)過一點作垂直于已知平面的直線,則該點與垂足間的線段,叫做這個點到該平面的

,

叫做這個點到該平面的距離.思考1:過空間一點垂直于已知平面的直線有幾條?答案:過空間一點垂直于已知平面的直線有且只有一條.任意一條直線l⊥α垂線段垂線段的長度2.直線與平面垂直的判定定理(1)文字語言:如果一條直線與一個平面內(nèi)的

,那么該直線與此平面垂直.(2)符號語言:兩條相交直線垂直(3)圖形語言:如圖.思考2:直線與平面內(nèi)的兩條平行線垂直,則直線與該平面垂直嗎?答案:不一定垂直.思考3:直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直,則直線與該平面垂直嗎?答案:不一定垂直.3.直線與平面所成的角(1)斜線:一條直線l與一個平面α相交,但

,這條直線叫做這個平面的斜線.(2)斜足:

.(3)斜線在平面上的射影:過斜線上斜足以外的一點P向平面α引垂線PO,過

叫做斜線在這個平面上的射影.不與這個平面垂直斜線和平面的交點A垂足O和斜足A的直線AO(4)直線與平面所成的角:平面的一條斜線和它在平面上的

所成的角.(5)一條直線垂直于平面,我們說它們所成的角是90°;一條直線和平面平行,或在平面內(nèi),我們說它們所成的角是0°.直線與平面所成的角θ的取值范圍是

.

射影0°≤θ≤90°4.可以直接作為線面垂直判定的兩個結(jié)論(1)如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面,那么另一條直線也垂直于這個平面.(2)如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面,則它必垂直于另一個平面.2課堂探究素養(yǎng)培育題型一線面垂直的判定定理[例1]如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,且PA=PC,判斷直線AC與平面PBD是否垂直,并說明理由.解:直線AC與平面PBD垂直,理由如下:設AC∩BD=O,連接PO,因為底面ABCD是菱形,則AC⊥BD,且O為AC的中點,因為PA=PC,則PO⊥AC,又因為PO∩BD=O,PO,BD?平面PBD,所以AC⊥平面PBD.利用直線與平面垂直的判定定理證明線面垂直的步驟:(1)在平面內(nèi)找到兩條直線,使已知直線與這兩條直線垂直.(2)確定平面內(nèi)的兩條直線是相交直線.(3)根據(jù)判定定理得出結(jié)論.題型二線面垂直定義和判定定理的綜合應用[例2]如圖,P為△ABC所在平面外一點,PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,AE⊥PB于點E,AF⊥PC于點F.求證:證明:(1)因為PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以PA⊥BC.因為∠ABC=90°,所以AB⊥BC.又AB∩PA=A,AB,PA?平面PAB,所以BC⊥平面PAB.(1)BC⊥平面PAB;證明:(2)因為BC⊥平面PAB,AE?平面PAB,所以BC⊥AE.因為PB⊥AE,BC∩PB=B,BC,PB?平面PBC,所以AE⊥平面PBC.(2)AE⊥平面PBC;證明:(3)因為AE⊥平面PBC,PC?平面PBC,所以AE⊥PC.因為AF⊥PC,AE∩AF=A,AE,AF?平面AEF,所以PC⊥平面AEF.(3)PC⊥平面AEF.由線面垂直的定義,知直線與平面內(nèi)的任一直線垂直,應用時,應根據(jù)后續(xù)需證的結(jié)論,找到平面內(nèi)一條合適的直線與之垂直,如(1)由PA⊥平面ABC,可得PA與AB,AC,BC都垂直,但根據(jù)需要,選擇PA⊥BC.[變式與拓展2-1]如圖,在四棱錐E-ABCD中,DA⊥平面ABE,四邊形ABCD是正方形,F為CE上的點,且BF⊥平面ACE.求證:AE⊥平面BCE.證明:因為BF⊥平面ACE,AE?平面ACE,所以BF⊥AE.因為四邊形ABCD為正方形,所以BC∥AD,由DA⊥平面ABE,可知BC⊥平面ABE,又AE?平面ABE,所以BC⊥AE,因為BC∩BF=B,BC,BF?平面BCE,所以AE⊥平面BCE.題型三直線與平面所成的角[例3]在正方體ABCD-A1B1C1D1中,(1)求直線A1C與平面ABCD所成角的正切值;(2)求直線A1B與平面BDD1B1所成的角.求平面的斜線與平面所成的角的步驟:(1)作.過斜線上一點作平面上的垂線,得斜線的射影.(2)證.說明斜線與射影所成的角即為所求線面角.(3)算.在直角三角形中計算這個角,最后得出結(jié)論.1.下列做法可以使旗桿與水平地面垂直的是(

)①過旗桿底部在地面上畫一條直線,使旗桿與該直線垂直;②過旗桿底部在地面上畫兩條直線,使這兩條直線垂直;③在旗桿頂部拴一條長度大于旗桿高度的無彈性的細繩,拉緊在地面上找三點,使這三點到旗桿底部的距離相等.A.①②

B.②③

C.③

D.②√解析:過旗桿底部在地面上畫一條直線,無法確定旗桿與水平地面垂直,故①錯誤.過旗桿底部在地面上畫兩條直線,只有當這兩條直線相交,且旗桿與這兩條直線都垂直時,才能使旗桿與水平地面垂直,故②錯誤.當旗桿與水平地面垂直時,斜線相等時射影相等,能在地面上找三點,使這三點到旗桿底部的距離相等,則旗桿與水平地面垂直,因為過一點有且只有一條直線與已知平面垂直,故③正確.故選C.2.正方體ABCD-A1B1C1D1中與AD1垂直的平面是(

)A.平面DD1C1C B.平面A1DBC.平面A1B1C1D1

D.平面A1DB1√解析:因為AD1⊥A1D,AD1⊥A1B1,A1D∩A1B1=A1,A1D,A1B1?平面A1DB1,所以AD1⊥平面A1DB1.故選D.3.如圖所示,若斜線段AB是它在平面α上的射影BO的2倍,則AB與平面α所成的角是(

)A.60° B.45° C.30° D.120°√4.下列說法中正確的是(

)①過平面外一點有且只有一條直線和已知平面垂直;②過直線外一點有且只有一個平面和已知直線垂直