河北獅州市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題

PAGEPAGE15河北省定州市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.請(qǐng)將正確答案的序號(hào)填涂在答題卡上.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D2.已知復(fù)數(shù)與為共輒復(fù)數(shù)，其中，i為虛數(shù)單位，則（）A.1 B.5 C. D.3.下列命題中，正確的是（）A.，B.，C.命題“，，使得”的否定形式是“，使得D.方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根的充要條件是4.已知函數(shù)，若對(duì)隨意，且，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.5.設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，若，則（）A. B. C. D.6.設(shè)，若“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.7.如圖是一個(gè)底面半徑和高都是1的圓錐形容器，勻速給容器注水，則容器中水的體積V是水面高度x的函數(shù)，若正數(shù)a，b滿意，則的最小值為（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，若不等式對(duì)隨意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.請(qǐng)將正確答案的序號(hào)填涂在答題卡上.）9.已知i是虛數(shù)單位，以下四個(gè)說(shuō)法中正確的是（）A.B.復(fù)數(shù)的虛部為C.若復(fù)數(shù)z滿意，則z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限D(zhuǎn).已知復(fù)數(shù)z滿意，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為一條直線10.設(shè)正實(shí)數(shù)，滿意，則（）A. B.C. D.11.函數(shù)的定義域?yàn)镽，且與都為奇函數(shù)，則（）A.為奇函數(shù) B.為周期函數(shù)C.為奇函數(shù) D.為偶函數(shù)12..半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美。二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形構(gòu)成（如圖所示），若它的全部棱長(zhǎng)都為，則（）A.平面EABB.該二十四等邊體的體積為C.該二十四等邊體外接球的表面積為D.與平面EBFN所成角的正弦值為第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的橫線上）13.不等式的解集是，則______________.14.已知一個(gè)正四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)是9cm，表面積等于144cm2，則該正四棱柱的側(cè)面積為_(kāi)__________cm2.15.已知函數(shù)，，若對(duì)于隨意的，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)______________.16.一個(gè)正三棱柱恰好有一個(gè)內(nèi)切球（球與三棱柱的兩個(gè)底面和三個(gè)側(cè)面都相切）和一個(gè)外接球（球經(jīng)過(guò)三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)），則此正三棱柱的內(nèi)切球與外接球表面積之比為_(kāi)______________.四、解答題（本大題共6小題，共70.分：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.已知集合，集合.（1）若，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2）若函數(shù)在上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.19.已知正實(shí)數(shù)、滿意.（1）求的最小值；（2）求的最小值；（3）求的最小值.20.如圖所示的幾何體中，，，都是等腰直角三角形，，且，.（1）求證：平面；（2）若F為線段BC的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.21.定州市民小王新購(gòu)置了一套住房，擬對(duì)新居進(jìn)行裝修.在裝修中需滿意如下5要求：①窗戶面積應(yīng)小于地板面積；②窗戶面積不小于地板面積的；③窗戶面積與地板面積的比值越大，采光效果越好.設(shè)窗戶面積為m平方米，地板面積為n平方米，已知，其中k為常數(shù).已知當(dāng)窗戶和地板的總面積為22平方米時(shí)，窗戶面積恰好是地板面積的.（1）求實(shí)數(shù)k的值；（2）在滿意裝修的要求下，求窗戶面積可以取到的范圍；（3）當(dāng)采光效果最好時(shí)，求窗戶的面積.22.如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，，，，.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)，當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求的值定州市2024-2025學(xué)年其次學(xué)期高二期中考試數(shù)學(xué)答案考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第I卷（非選擇題）兩部分.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.請(qǐng)將正確答案的序號(hào)填涂在答題卡上.）1.【答案】D【解析】由題意知集合A為點(diǎn)集，集合B為數(shù)集，所以，故選：D.2.【答案】B【解析】由題意得，解得，，所以，，則.故選：B.3.【答案】C【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，恒成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，依據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，則命題“，”，使得的否定形式是“，，使得”，故C正確；對(duì)于D，方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，設(shè)為，，則充要條件是，解之得，故D錯(cuò)誤.故選：C.4.【答案】C【解析】由題意隨意，且，即為，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，又函數(shù)為二次函數(shù)，故其開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸在區(qū)間的左側(cè)，即，解得.故選：C.5.【答案】C【解析】∵是定義在R上的奇函數(shù)，∴，由得，∴.故選：C.6.【答案】A【解析】由，得當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，或，因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以“”是不等式的解集的真子集，所以或，即.故選：A7.【答案】A【解析】因?yàn)榘霃胶透叨际?，所以水的半徑和高都是x，∴而，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào).故選：A.8.【答案】D【解析】由，∴為R上的偶函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，和都為增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由不等式對(duì)隨意恒成立，得在上恒成立，即，也即即，解得.故選：D.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.請(qǐng)將正確答案的序號(hào)填涂在答題卡上.）9.【答案】AD【解析】A選項(xiàng)，，故A正確；B選項(xiàng)，z的虛部為-1，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)，，則，所以有，解之得或即或，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為或，即z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限或第三象限，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，表示z到和兩點(diǎn)的距離相等，故z的軌跡是線段AB的垂直平分線，故D正確.故選：AD.10.【答案】BCD【解析】設(shè)正實(shí)數(shù)、滿意.對(duì)于A選項(xiàng)，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，而，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故D正確，故選：BCD.11.【答案】ABC【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，且與都為奇函數(shù)，∴，∴，∴，所以函數(shù)是一個(gè)周期為2的周期函數(shù)，故B正確；所以為奇函數(shù)、故A正確；所以為奇函數(shù)，故C正確；所以為奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：ABC12.【答案】BCD【解析】將二十四等邊體補(bǔ)形成正方體如下圖對(duì)于A選項(xiàng)，正方體的體對(duì)角線平面EAB，而B(niǎo)F與RS是異面直線，不平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，該二十四等邊體的全部棱長(zhǎng)為，則對(duì)應(yīng)正方體的棱長(zhǎng)為2，所以，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，該二十四等邊體的外接球的球心即為正方體的中心，到正方體六個(gè)表面的距離都為1，所以，即，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，PN與平面EBFN所成角即PN與正方體前面的表面所成的角，為45°，故D正確.故選：BCD第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的橫線上.）13.【答案】-10【解析】由題意知解得，所以.14.【答案】72或112【解析】設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，則，聯(lián)立消可得，即，解得或，當(dāng)或，當(dāng)時(shí)，側(cè)面積，當(dāng)時(shí)，側(cè)面積，故答案為：72或11215.【答案】【解析】不等式等價(jià)于，若對(duì)于隨意的，總存在，使得成立，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，先減再增，所以，，所以有，解之得.16.【答案】【解析】設(shè)正三棱柱底面正三角形的邊長(zhǎng)為a，其內(nèi)切球的半徑為r當(dāng)球內(nèi)切于正三棱柱時(shí)，球的半徑r等于正三棱柱的底面正三角形的中心到對(duì)邊的距離即，又正三棱柱的高是其內(nèi)切球半徑的2倍，故正三棱柱的高為，球外接正三棱柱時(shí)，球的球心是正三棱柱高的中點(diǎn)，且球的球心與正三棱柱兩個(gè)底面正三角形構(gòu)成兩個(gè)正三棱錐，頂點(diǎn)在底面上的投影恰好是底面三角形的中心，到頂點(diǎn)的距離，棱錐的高為。故正三棱錐外接球的半徑滿意，∴內(nèi)切球與外接球表面積之比為.故答案為：四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.【解析】由己知得：集合，集合（1）因?yàn)?，所以，所以，即；?），因?yàn)?，所以或，所以?18.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以.（2）由題意得在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，.設(shè)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，又，，∴∴，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍.19.【解析】，即，，，，，（1）因?yàn)椤⑹钦龑?shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為2.（2）因?yàn)?，，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為25.（3）因?yàn)椋?，，所以?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.20.【解析】（1）證明：因?yàn)椋堑妊苯侨切?，，所以，所以，所以，又因?yàn)槭堑妊苯侨切危?，所以，因?yàn)?，且，平面，所以平面；?）解：如圖，以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB，EC所在的直線分別為x軸，y軸，垂直于平面BEC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè).則，，，，，，，，，設(shè)平面ADE的法向量為由，得令，得平面ADE的一個(gè)法向量為，設(shè)平面ADF的法向量由，得令，得平面ADF的一個(gè)法向量為，，因?yàn)槎娼菫殁g二面角，所以二面角的余弦值為.21.【解析】（1）由，得，解得，所以，則；（2）由題意上，即，解得；（3），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以采光效果最