山東省師范大學附屬中學2025屆高三數(shù)學6月模擬檢測試題含解析

PAGE29-山東省師范高校附屬中學2025屆高三數(shù)學6月模擬檢測試題（含解析）本試卷共6頁，22小題．考試用時120分鐘．留意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求出集合，然后再利用集合的交運算即可求解.【詳解】由集合，，所以.故選：B【點睛】本題考查了集合的交運算、一元二次不等式的解法，屬于基礎題.2.已知復數(shù)z滿意z(1+2i)=i，則復數(shù)在復平面內對應點所在的象限是（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式變形，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求出的坐標得答案．【詳解】解：由，得，所以復數(shù)在復平面內對應的點的坐標為，在第四象限．故選：D．點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎題．3.已知向量，，則“m＜1”是“，夾角為鈍角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由題意結合平面對量數(shù)量積的學問可得若，夾角為鈍角，則且，再由且結合充分條件、必要條件的概念即可得解.【詳解】若，夾角為鈍角，則且，由可得，解得且，由且可得“m＜1”是“，夾角為鈍角”的必要不充分條件.故選：B.【點睛】本題考查了利用平面對量數(shù)量積解決向量夾角問題，考查了充分條件、必要條件的推斷，屬于中檔題.4.甲、乙、丙3人站到共有6級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法總數(shù)是（）A.90 B.120 C.210 D.216【答案】C【解析】【分析】依據題意：分為兩類：第一類，甲、乙、丙各自站在一個臺階上；其次類，有2人站在同一臺階上，剩余1人獨自站在一個臺階上，算出每類的站法數(shù)，然后再利用分類計數(shù)原理求解.【詳解】因為甲、乙、丙3人站到共有6級的臺階上，且每級臺階最多站2人，所以分為兩類：第一類，甲、乙、丙各自站在一個臺階上，共有：種站法；其次類，有2人站在同一臺階上，剩余1人獨自站在一個臺階上，共有：種站法；所以每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置的不同的站法總數(shù)是.故選：C【點睛】本題主要考查排列組合的應用以及分類計數(shù)原理的應用，還考查了分析求解問題的實力，屬于中檔題.5.已知定義在上的函數(shù)，，，，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先推斷函數(shù)在時的單調性，可以推斷出函數(shù)是奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質可以得到，比較三個數(shù)的大小，然后依據函數(shù)在時的單調性，比較出三個數(shù)的大小.【詳解】當時，，函數(shù)在時，是增函數(shù).因為，所以函數(shù)是奇函數(shù)，所以有，因為，函數(shù)在時，是增函數(shù)，所以，故本題選D.【點睛】本題考查了利用函數(shù)的單調性推斷函數(shù)值大小問題，推斷出函數(shù)的奇偶性、單調性是解題的關鍵.6.對個不同的實數(shù)、、、可得個不同的排列，每個排列為一行寫成一個行的數(shù)陣．對第行、、、，記，、、、、．例如用、、可得數(shù)陣如下，對于此數(shù)陣中每一列各數(shù)之和都是，所以．那么，在用、、、、形成的數(shù)陣中，等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】計算出每列數(shù)之和為，進而可求得的值.【詳解】由題意可知，在用、、、、形成的數(shù)陣中，一共有行，，所以，數(shù)陣的每一列中、、、、都是個，所以，每一列數(shù)字之和為，因此，.故選：C.【點睛】本題考查歸納推理，解答的關鍵在于計算出每一列數(shù)的和，考查推理實力與計算實力，屬于中等題.7.已知中，，，，為所在平面上一點，且滿意.設，則的值為（）A.2 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】由由，得：點是的外心，由向量的投影的概念可得：，再代入運算，即可【詳解】解：由，得：點是的外心，又外心是中垂線的交點，則有：，即，又，，，所以，解得：，即，故選：．【點睛】本題考查了外心是中垂線的交點，投影的概念，平面對量的數(shù)量積公式，屬中檔題.8.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=BB1=1，M是AC的中點，則三棱錐B1－ABM的外接球的表面積為（A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據題意找到三棱錐B1－ABM的外接球球心為中點,即可求出其半徑,則可求出其表面積.【詳解】如圖所示：取中點為，中點為.并連接,則平面,所以所以三棱錐B1－ABM的外接球球心為中點.所以,所以三棱錐B1－ABM的外接球的表面積為.故選:B【點睛】本題考查三棱錐的外接球表面積,屬于基礎題.解本題的關鍵在于畫出三棱柱，找到三棱錐的外接球球心.二、多項選擇題：本題共4小題．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．9.Keep是一款具有社交屬性的健身APP，致力于供應健身教學、跑步、騎行、交友及健身飲食指導、裝備購買等一站式運動解決方案.Keep可以讓你隨時隨地進行熬煉，記錄你每天的訓練進程.不僅如此，它還可以依據不同人的體質，制定不同的健身安排.小明依據Keep記錄的2024年1月至2024年11月期間每月跑步的里程(單位：十公里)數(shù)據整理并繪制了下面的折線圖.依據該折線圖，下列結論正確的是（）A.月跑步里程最小值出現(xiàn)在2月B.月跑步里程逐月增加C.月跑步里程的中位數(shù)為5月份對應的里程數(shù)D.1月至5月的月跑步里程相對于6月至11月波動性更小【答案】ACD【解析】【分析】依據折線圖，依次分析月跑步里程的最小值，中位數(shù)，改變趨勢，波動性即得解【詳解】由折線圖可知，月跑步里程的最小值出現(xiàn)在2月，故A正確；月跑步平均里程不是逐月增加的，故B不正確；月跑步里程數(shù)從小到大排列分別是：2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月，故5月份對應的里程數(shù)為中位數(shù)，故C正確；1月到5月的月跑步平均里程相對于6月至11月波動性更小，改變比較平穩(wěn)，故D正確.故選：ACD【點睛】本題考查了統(tǒng)計圖表折線圖的應用，考查了學生綜合分析，數(shù)形結合，數(shù)據處理實力，屬于基礎題10.已知函數(shù)，下列結論正確的是（）A.函數(shù)圖像關于對稱B.函數(shù)上單調遞增C.若，則D.函數(shù)的最小值為【答案】A【解析】【分析】本題首先可以去肯定值，將函數(shù)變成分段函數(shù)，然后依據函數(shù)解析式繪出函數(shù)圖像，最終結合函數(shù)圖像即可得出答案.【詳解】由題意可得：，即可繪出函數(shù)圖像，如下所示：故對稱軸為，A正確；由圖像易知，函數(shù)在上單調遞增，上單調遞減，B錯誤；要使，則，由圖象可得或、或，故或或，C錯誤；當時，函數(shù)取最小值，最小值，D錯誤，故選：A．【點睛】本題考查三角函數(shù)的相關性質，主要考查三角函數(shù)的對稱軸、三角函數(shù)的單調性以及三角函數(shù)的最值，考查分段函數(shù)，考查數(shù)形結合思想，是難題.11.已知正方體棱長為，如圖，為上的動點，平面.下面說法正確的是（）A.直線與平面所成角的正弦值范圍為B.點與點重合時，平面截正方體所得的截面，其面積越大，周長就越大C.點為的中點時，若平面經過點，則平面截正方體所得截面圖形是等腰梯形D.己知為中點，當?shù)暮妥钚r，為的中點【答案】AC【解析】【分析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可推斷A選項的正誤；證明出平面，分別取棱、、、、、的中點、、、、、，比較和六邊形的周長和面積的大小，可推斷B選項的正誤；利用空間向量法找出平面與棱、的交點、，推斷四邊形的形態(tài)可推斷C選項的正誤；將矩形與矩形延展為一個平面，利用、、三點共線得知最短，利用平行線分線段成比例定理求得，可推斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，則點、、設點，平面，則為平面的一個法向量，且，，，所以，直線與平面所成角的正弦值范圍為，A選項正確；對于B選項，當與重合時，連接、、、，在正方體中，平面，平面，，四邊形是正方形，則，，平面，平面，，同理可證，，平面，易知是邊長為的等邊三角形，其面積為，周長為.設、、、、、分別為棱、、、、、的中點，易知六邊形是邊長為的正六邊形，且平面平面，正六邊形的周長為，面積為，則的面積小于正六邊形的面積，它們的周長相等，B選項錯誤；對于C選項，設平面交棱于點，點，，平面，平面，，即，得，，所以，點為棱的中點，同理可知，點為棱的中點，則，，而，，且，由空間中兩點間的距離公式可得，，，所以，四邊形為等腰梯形，C選項正確；對于D選項，將矩形與矩形延展為一個平面，如下圖所示：若最短，則、、三點共線，，，，所以，點不是棱的中點，D選項錯誤.故選：AC.【點睛】本題考查線面角正弦值的取值范圍，同時也考查了平面截正方體的截面問題以及折線段長的最小值問題，考查空間想象實力與計算實力，屬于難題.12.函數(shù)f(x)=ex+asinx，x∈(－π，+∞)，下列說法正確的是（）A.當a=1時，f(x)在(0，f(0))處的切線方程為2x－y+1=0B.當a=1時，f(x)存在唯一微小值點x0且－1＜f(x0)＜0C.對隨意a＞0，f(x)在(－π，+∞)上均存在零點D.存在a＜0，f(x)在(－π，+∞)上有且只有一個零點【答案】ABD【解析】【分析】逐一驗證選項，選項A，通過切點求切線，再通過點斜式寫出切線方程，選項B通過導數(shù)求出函數(shù)極值并推斷極值范圍，選項C、D，通過構造函數(shù)，將零點問題轉化推斷函數(shù)與直線y＝a的交點問題．【詳解】選項A，當時，，，所以，故切點為，，所以切線斜率，故直線方程為：，即切線方程為：，選項A正確.選項B，當時，，，恒成立，所以單調遞增，又,,所以，即，所以所以存，使得，即則在上，，在上，，所以在上，單調遞減，在上，單調遞增.所以存在唯一的微小值點.,則，，所以B正確.對于選項C、D，，令，即，所以,則令,,令,得由函數(shù)的圖像性質可知:時，，單調遞減.時，，單調遞增.所以時，取得微小值，即當時取得微小值，又,即又因為在上單調遞減，所以所以時，取得微小值，即當時取得極大值，又，即所以當時，所以當，即時，f(x)在(－π，+∞)上無零點，所以C不正確.當，即時，與的圖象只有一個交點即存在a＜0，f(x)在(－π，+∞)上有且只有一個零點，故D正確.故選：ABD

．【點睛】本題考查函數(shù)的切線、極值、零點問題，含參數(shù)問題的處理，考查數(shù)學運算，邏輯推理等學科素養(yǎng)的體現(xiàn)，屬于難題題．三、填空題：本題共4小題．13.的綻開式中的常數(shù)項為____________________.(用數(shù)字作答)【答案】240【解析】【分析】在二項綻開式的通項公式中，令的冪指數(shù)等于0，求出的值，即可求得常數(shù)項．【詳解】解：綻開式的通項公式為，令，求得，可得綻開式中的常數(shù)項為，故答案為：240．【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，二項綻開式的通項公式，求綻開式中某項的系數(shù)，二項式系數(shù)的性質，屬于基礎題．14.一個不透亮的箱中原來裝有形態(tài)、大小相同的1個綠球和3個紅球.甲、乙兩人從箱中輪番摸球，每次摸取一個球，規(guī)則如下：若摸到綠球，則將此球放回箱中可接著再摸；若摸到紅球，則將此球放回箱中改由對方摸球，甲先摸球，則在前四次摸球中，甲恰好摸到兩次綠球的概率是________.【答案】【解析】【分析】先定義事務，，，，從而得到事務“甲恰好摸到兩次綠球的狀況為事務，利用事務的獨立性進行概率計算，即可得到答案?！驹斀狻吭O“甲摸到綠球”的事務為，則，“甲摸到紅球”的事務為，則，設“乙摸到綠球”的事務為，則，“乙摸到紅球”的事務為，則，在前四次摸球中，甲恰好摸到兩次綠球的狀況是，所以.故答案為：【點睛】本題考查相互獨立事務同時發(fā)生的概率，考查邏輯推理實力和運算求解實力，求解的關鍵是精確定義相關事務。15.己知a，b為正實數(shù)，直線y=x－a與曲線y=ln(x+b)相切于點(x0，y0)，則的最小值是_______________.【答案】4【解析】【分析】由題意結合導數(shù)的幾何意義、導數(shù)的運算可得、，進而可得，再利用，結合基本不等式即可得解.【詳解】對求導得，因為直線y=x－a與曲線y=ln(x+b)相切于點(x0，y0)，所以即，所以，所以切點為，由切點在切線y=x－a上可得即，所以，當且僅當時，等號成立.所以的最小值是.故答案為：.【點睛】本題考查了導數(shù)的運算、導數(shù)幾何意義的應用，考查了基本不等式求最值的應用及運算求解實力，屬于中檔題.16.已知雙曲線，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的左右兩個焦點，P在雙曲線上且在第一象限，圓M是△F1PF2的內切圓.則M的橫坐標為_________，若F1到圓M上點的最大距離為，則△F1PF2的面積為___________.【答案】(1).1(2).【解析】【分析】利用雙曲線的定義以及內切圓的性質，求得的橫坐標.由F1到圓M上點的最大距離，求得圓的半徑，求得直線的方程，由此求得點的坐標，從而求得，進而求得△F1PF2的面積.【詳解】雙曲線的方程為，則.設圓分別與相切于，依據雙曲線的定義可知，依據內切圓的性質可知①，而②.由①②得：，所以,所以直線的方程為，即的橫坐標為.設坐標為，則到圓M上點的最大距離為，即，解得.設直線的方程為，即.到直線的距離為，解得.所以線的方程為.由且在第一象限，解得.所以，.所以△F1PF2的面積為.故答案為：；【點睛】本小題主要考查雙曲線的定義，考查圓的幾何性質、直線和圓的位置關系，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.四、解答題：本題共6小題．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知數(shù)列的前項和為，且（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，數(shù)列的前項和，且對隨意恒成立，求范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）因為，所以，兩式相減，整理得，令，求出，進而得解；（2）求出數(shù)列的通項公式，通過裂項相消法進行求和，將與0比較，推斷出的單調性，求出的最小值，從而得解.【詳解】（1）因為①所以②由①式②式得，即，又當時，，解得，所以是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以.（2），，，所以單調遞增，所以，所以.【點睛】本題考查了數(shù)列的遞推公式的應用、裂項相消法求和及確定數(shù)列中的最大（?。╉?，考查學生的邏輯推理實力和運算求解實力，屬于中檔題.當數(shù)列出現(xiàn)前后項差的時候，可考慮裂項相消求和法.運用裂項法求和時，要留意正負項相消時，消去了哪些項，保留了哪些項，切不行漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點.18.平面四邊形ABCD中，邊BC上有一點E，∠ADC=120°，AD=3，，，（1）求AE的長：（2）己知∠ABC=60°求△ABE面積的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）在中利用正弦定理可得，依據邊角關系可得，進而可得，利用勾股定理計算即可；（2）先利用余弦定理算出，再通過三角形面積公式計算即可.【詳解】（1）在中由正弦定理可得，即，因為，所以是銳角，故，又∠ADC=120°，在直角三角形中，；（2）在中，，由余弦定理可得：，因為，當且僅當時等號成立，從而，.所以△ABE面積的最大值為.【點睛】本題考查正弦定理，余弦定理解三角形，考查面積公式的應用，是中檔題.19.在直角梯形中，，，，點是的中點．將沿折起，使，連接、、，得到三棱錐．（1）求證：平面平面；（2）若，二面角的余弦值為，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）推導出平面，可得出，結合以及線面垂直的判定定理得出平面，然后利用面面垂直的判定定理可得出平面平面；（2）由（1）可知平面，可得二面角的平面角為，由，可求得，進而可求得的長，然后以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法以及同角三角函數(shù)的基本關系可求得二面角的正弦值.【詳解】（1）在直角梯形中，，，則，在三棱錐中，，，，所以平面，平面，所以，因為，，所以平面，平面，所以平面平面；（2）由（1）可知平面，、平面，，，所以二面角的平面角即為．由（1）可知，平面，平面，，在中，，，故，，在直角梯形中，設，則，在三棱錐中，，，易知，得到，即，解得，所以，，以、所在直線為、軸，過點作平面的垂線，以其為軸，建立空間直角坐標系，易得、、、，平面的一個法向量為，設平面的一個法向量，，，由，得，得，令，則，所以，，，因此，二面角的正弦值為．【點睛】本題考查面面垂直的證明，同時也考查了利用空間向量法求二面角，以及利用二面角的定義取線段長度，考查推理實力與計算實力，屬于中等題.20.從年底起先，非洲東部的肯尼亞等國家爆發(fā)出了一場嚴峻的蝗蟲災情.目前，蝗蟲已抵達烏干達和坦桑尼亞，并向西亞和南亞等地區(qū)擴散.蝗蟲危害大，主要危害禾本科植物，能對農作物造成嚴峻損害，每只蝗蟲的平均產卵數(shù)和平均溫度有關，現(xiàn)收集了以往某地的組數(shù)據，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.平均溫度平均產卵數(shù)個表中，.（1）依據散點圖推斷，與（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個更相宜作為平均產卵數(shù)關于平均溫度的回來方程類型？（給出推斷即可，不必說明理由）并由推斷結果及表中數(shù)據，求出關于的回來方程.（結果精確到小數(shù)點后第三位）（2）依據以往統(tǒng)計，該地每年平均溫度達到以上時蝗蟲會造成嚴峻損害，須要人工防治，其他狀況均不須要人工防治，記該地每年平均溫度達到以上的概率為.①記該地今后年中，恰好須要次人工防治的概率為，求取得最大值時相應的概率；②依據①中的結論，當取最大值時，記該地今后年中，須要人工防治的次數(shù)為，求的數(shù)學期望和方差.附：對于一組數(shù)據、、、，其回來直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為：，.【答案】（1）更相宜；；（2）①；②，.【解析】【分析】（1）利用圖象可得出更相宜作為平均產卵數(shù)關于平均溫度的回來類型，對，兩邊取自然對數(shù)，求出關于的回來方程，進而可得出關于的回來方程；（2）①對函數(shù)求導數(shù)，利用導數(shù)推斷該函數(shù)的單調性，求出函數(shù)取最值時對應的的值；②由取最大值時對應的的值，得出，由二項分布的數(shù)學期望和方差公式可得出、的值.【詳解】（1）由散點圖可以推斷，更相宜作為平均產卵數(shù)關于平均溫度的回來類型，對兩邊取自然對數(shù)得，令，，，則.因為，，所以，關于的回來方程為，所以，關于的回來方程為；（2）①由，，且，當時，；當時，.所以，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，所以，函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值，；②由①可知，當時，取最大值，又，則，由題意可知，，.【點睛】本題考查非線性回來方程的求解，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，同時也考查了利用二項分布求隨機變量的數(shù)學期望和方差，考查計算實力，屬于中