河北省淶水波峰中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期第三次質(zhì)檢試題含解析

PAGE15-河北省淶水波峰中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期第三次質(zhì)檢試題（含解析）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共100分．考試時間90分鐘．第Ⅰ卷一、單項選擇題（每小題4分，共32分．下列每小題所給選項只有一項符合題意，請將正確答案的序號填涂在答題卡上）1.現(xiàn)有六名學(xué)生平均分成兩個志愿者小組到校外參與兩項活動，則三人恰好參與同一項活動的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】求得基本領(lǐng)件的總數(shù)為，其中乙丙兩人恰好參與同一項活動的基本領(lǐng)件個數(shù)為,利用古典概型及其概率的計算公式，即可求解.【詳解】解：由題意，現(xiàn)有，6名學(xué)生平均分成兩個志愿者小組到校外參與兩項活動，基本領(lǐng)件的總數(shù)為，其中三人恰好參與同一項活動的基本領(lǐng)件個數(shù)為，所以a,b,c三人恰好參與同一項活動概率為.故選：B.【點睛】本題主要考查了排列組合應(yīng)用，以及古典概型及其概率的計算問題，其中解答中合理應(yīng)用排列、組合的學(xué)問求得基本領(lǐng)件的總數(shù)和所求事務(wù)所包含的基本領(lǐng)件的個數(shù)，利用古典概型及其概率的計算公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解實力，屬于基礎(chǔ)題.2.已知在中，，推斷的形態(tài)為（）.A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】左邊切化弦，右邊用正弦定理化邊為角可解【詳解】，，或或等腰或直角三角形故選：C．【點睛】推斷三角形形態(tài)的常用技巧若已知條件中既有邊又有角，則(1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而推斷三角形的形態(tài)．(2)化角：通過三角恒等變換，得出內(nèi)角關(guān)系，從而推斷三角形的形態(tài)．此時要留意應(yīng)用這個結(jié)論．3.某校有高一學(xué)生n名，其中男生數(shù)與女生數(shù)之比為6∶5，為了解學(xué)生的視力狀況，現(xiàn)要求按分層抽樣的方法抽取一個樣本容量為的樣本，若樣本中男生比女生多9人，則（）A.990 B.1320 C.1430 D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)分層抽樣的性質(zhì)結(jié)合已知進行求解即可.【詳解】因為按分層抽樣的方法抽取一個樣本容量為的樣本，男生數(shù)與女生數(shù)之比為6∶5，所以抽取的男生數(shù)與女生數(shù)分別為：，又因為樣本中男生比女生多9人，所以有.故選：D【點睛】本題考查了分層抽樣的有關(guān)性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.4.某次文藝匯演為，要將這七個不同節(jié)目編排成節(jié)目單，依次演出，假如兩個節(jié)目要相鄰，且都不排為第3個節(jié)目演出，那么節(jié)目單上不同的排序方式有（）A.192種 B.144種 C.960種 D.720種【答案】C【解析】【分析】由題意知兩個節(jié)目要相鄰，可以把這兩個元素看做一個，再讓他們兩個元素之間還有一個排列，都不排在第3號位置，那么兩個節(jié)目可以排在1，2兩個位置，可以排在4，5兩個位置，可以排在5，6兩個位置，可以排在6，7兩個位置，其余五個位置剩下的五個元素全排列【詳解】解：由題意知兩個節(jié)目要相鄰，且都不排在第3號位置，可以把這兩個元素看做一個，再讓他們兩個元素之間還有一個排列，兩個節(jié)目可以排在1，2兩個位置，可以排在4，5兩個位置，可以排在5，6兩個位置，可以排在6，7兩個位置，∴這兩個元素共有種排法，其他五個元素要在剩下的五個位置全排列，∴節(jié)目單上不同的排序方式有，故選：C．【點睛】本題主要考查了排列、組合的綜合應(yīng)用，其中解答的常見方法：要先排限制條件多的元素，把限制條件比較多的元素排列后，再排沒有限制條件的元素，最終要用分步計數(shù)原理得到結(jié)果，著重考查了分析問題和解答問題的實力，屬于基礎(chǔ)題.5.已知一組數(shù)據(jù)丟失了其中一個，另外六個數(shù)據(jù)分別是10，8，8，9，18，8，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)依次成等差數(shù)列，則丟失數(shù)據(jù)的全部可能值的和為（）A.4 B.19 C.25 D.27【答案】A【解析】【分析】設(shè)丟失的數(shù)據(jù)是，求出平均值和眾數(shù)，然后依據(jù)的大小得出中位數(shù)，依據(jù)已知等差數(shù)列求出的全部可能值，相加后得出結(jié)論．【詳解】設(shè)丟失的數(shù)據(jù)是，則這組數(shù)據(jù)的平均值是，眾數(shù)明顯是8，因為平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)依次成等差數(shù)列，所以中位數(shù)是，把已知的六個數(shù)據(jù)排序，依據(jù)的大小可知中位數(shù)可能為8，9，或當(dāng)時，，當(dāng)時，，時，全部可能值的和為．故選：A．【點睛】本題考查平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的概念，考查等差數(shù)列的性質(zhì)．駕馭平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的概念是解題關(guān)鍵．6.把16個相同的小球放到三個編號為1，2，3的盒子中，且每個盒子內(nèi)的小球數(shù)要多于盒子的編號數(shù)，則共有多少種放法（）A.18 B.28 C.36 D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，先在1號盒子里放1個球，在2號盒子里放2個球，在3號盒子里放3個球，則原問題可以轉(zhuǎn)化為將剩下的10個小球，放入3個盒子，每個盒子至少放1個的問題，由擋板法分析可得答案．【詳解】依據(jù)題意，個相同的小球放到三個編號為的盒子中，且每個盒子內(nèi)的小球數(shù)要多于盒子的編號數(shù)，先在號盒子里放個球，在號盒子里放個球，在號盒子里放個球，則原問題可以轉(zhuǎn)化為將剩下的個小球，放入個盒子，每個盒子至少放個的問題，將剩下的個球排成一排，有個空位，在個空位中任選個，插入擋板，有種不同的放法，即有個不同的符合題意的放法；故選：C．【點睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，關(guān)鍵是將原問題轉(zhuǎn)化為將個球放入個盒子，每個盒子至少放個的問題，屬于基礎(chǔ)題．7.設(shè)不等式表示的平面區(qū)域為，在區(qū)域內(nèi)隨機取一個點，則的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】不等式表示的平面區(qū)域為圓心為半徑為2的圓內(nèi)部，面積為；滿意的平面區(qū)域的面積為8，即可得出結(jié)論．【詳解】依題意得，如下圖，分別畫出和表示的區(qū)域，不等式表示的平面區(qū)域是圓心為半徑為2的圓內(nèi)部，所以面積為；而表示的區(qū)域為邊長的正方形內(nèi)部，面積為8，要滿意且滿意表示的平面區(qū)域的面積為，得出所求概率為．故選：．【點睛】本題考查幾何概型，其中運用了線性規(guī)劃表示的平面區(qū)域和圓的方程，考查對圖形的理解實力，正確求出面積是關(guān)鍵．8.斐波那契數(shù)列（Fibonaccisequence）又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契（LeonardodaFibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”．在數(shù)學(xué)上，斐波納契數(shù)列被以下遞推的方法定義：數(shù)列滿意：，，現(xiàn)從數(shù)列的前2024項中隨機抽取1項，能被3整除的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依次寫出數(shù)列各項除以3所得余數(shù)，找尋后可得結(jié)論．【詳解】依據(jù)斐波納契數(shù)列的定義，數(shù)列各項除以3所得余數(shù)依次為：，余數(shù)數(shù)列是周期數(shù)列，周期為8，，所以數(shù)列的前2024項中能被3整除的項有，所求概率為．故選：C．【點睛】本題考查古典概型，考查斐波納契數(shù)列，考查數(shù)列的周期性．解題關(guān)鍵是依次寫出波納契數(shù)列各項除以3所得余數(shù)形成的新數(shù)列．二、多項選擇題（每小題5分，共10分．下列每小題所給選項可能有多項符合題意，請將正確答案的序號填涂在答題卡上）9.2024年起先，我省將試行“”的一般高考新模式，即除語文、數(shù)學(xué)，外語3門必選科目外，考生再從物理、歷史中選1門，從化學(xué)、生物、地理、政治中選2門作為選考科目．為了幫助學(xué)生合理選科，某中學(xué)將高一每個學(xué)生的六門科目綜合成果按比例均縮放成5分制，繪制成雷達圖．甲同學(xué)的成果雷達圖如圖所示，下面敘述肯定正確的是（）A.甲的物理成果相對他其余科目領(lǐng)先年級平均分最多B.甲有2個科目的成果低于年級平均分C.甲的成果從高到低的前3個科目依次是物理、化學(xué)、地理D.對甲而言，物理、化學(xué)、生物是最志向的一種選科結(jié)果【答案】AB【解析】【分析】依據(jù)圖表依次對所給選項進行推斷即可.【詳解】依據(jù)雷達圖可知甲同學(xué)物理、化學(xué)、地理成果領(lǐng)先年級平均分，其中，物理、化學(xué)地理成果領(lǐng)先年級平均分分別約為1.5分、1分、1分，所以甲同學(xué)物理成果領(lǐng)先年級平均分最多,故A項敘述正確，C項敘述錯誤；B項，依據(jù)雷達圖可知，甲同學(xué)的歷史、政治成果低于年級平均分，故B項敘述正確；所以對甲而言，物理、化學(xué)、地理是比較志向的一種選科結(jié)果，故D項敘述不正確.故選：AB．【點睛】本題考查命題真假的推斷，涉及到統(tǒng)計中雷達圖的識別及應(yīng)用，考查學(xué)生識圖實力、數(shù)據(jù)分析實力，是一道中檔題.10.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：隨意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知的頂點，其歐拉線方程為，則頂點C的坐標(biāo)可以是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】依據(jù)三角形重心坐標(biāo)公式進行求解推斷即可.【詳解】設(shè)頂點C的坐標(biāo)為，所以重心坐標(biāo)為，因為歐拉線方程為，所以.A：當(dāng)頂點C的坐標(biāo)為時，明顯不滿意；B：當(dāng)頂點C的坐標(biāo)為時，明顯滿意；C：當(dāng)頂點C的坐標(biāo)為時，明顯滿意；D：當(dāng)頂點C的坐標(biāo)為時，明顯不滿意，故選：BC【點睛】本題考查了三角形重心坐標(biāo)公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)閱讀實力和數(shù)學(xué)運算實力.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（每題5分，共15分）11.在某地區(qū)某高傳染性病毒流行期間，為了建立指標(biāo)顯示疫情已受限制，以便向該地區(qū)居民顯示可以過正常生活，有公共衛(wèi)生專家建議的指標(biāo)是“連續(xù)7天每天新增感染人數(shù)不超過5人”，依據(jù)連續(xù)7天的新增病例數(shù)計算，下列各個選項中，肯定符合上述指標(biāo)的是______________①平均數(shù)；②平均數(shù)且標(biāo)準(zhǔn)差；③平均數(shù)且極差小于或等于2；④眾數(shù)等于1且極差小于或等于4．【答案】②③④【解析】【分析】依據(jù)各個選項，分別分析新增人數(shù)的最大值是否可能大于5，即可得結(jié)論．【詳解】僅僅平均值不大于3，有可能其中某個值大于5，①不符合；平均數(shù)時，若7天中有一個數(shù)值大于5，則方差，因此在標(biāo)準(zhǔn)差時，7天的數(shù)據(jù)都不超過5，②符合指標(biāo)；平均數(shù)且極差小于或等于2，最大值必不大于5，③符合指標(biāo)；眾數(shù)等于1且極差小于或等于4時，最大值必不大于5，否則極差大于6－1＝5，④符合指標(biāo)．故答案為：②③④【點睛】本題考查平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，極差，眾數(shù)等概念，駕馭這些概念，能用反證法是解題關(guān)鍵．12.從A，B，C，D，a，b，c，d中任選5個字母排成一排，要求按字母先后依次排列（即按先后依次，但大小寫可以交換位置，如或都可以），這樣的狀況有__________種．（用數(shù)字作答）【答案】160【解析】【分析】先依據(jù)A、B、C、D選取的個數(shù)分為四類：第一類:A、B、C、D中取四個，a、b、c、d中取一個；其次類:A、B、C、D中取三個，a、b、c、d中取二個；第三類:A、B、C、D中取二個,a、b、c、d中取三個；第四類:A、B、C、D中取一個,a、b、c、d中取四個.【詳解】分為四類狀況：第一類：在A、B、C、D中取四個，在a、b、c、d中取一個，共有；其次類：在A、B、C、D中取三個，在a、b、c、d中取兩個，分兩種狀況：形如AaBbC(大小寫有兩個字母相同)共有，形如AaBCd（大小寫只有一個字母相同）共有；第三類：在A、B、C、D中取兩個，在a、b、c、d中取三個，取法同其次類狀況；第四類：在A、B、C、D中取一個，在a、b、c、d中取四個，取法同第一類狀況；所以共有：2(8++)=160【點睛】本題考查了分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理，對學(xué)生的思維實力要求較高，其中有序排列給題目增加了分類的難度，在解題時須要耐性細致，仔細思索分類標(biāo)準(zhǔn).13.，動直線過定點，動直線過定點，則點坐標(biāo)為__________；若直線與相交于點（異于點,），則周長的最大值為__________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】分別求出兩條直線過的定點，依據(jù)兩直線的位置關(guān)系兩得直線垂直，是直角三角形，由不等式得到答案.【詳解】由條件知直線過定點，直線過定點，所以，又因為，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，故周長的最大值為故答案為：①；②.【點睛】本題主要考直線查過定點，兩直線的位置關(guān)系與垂直時滿意，不等式的應(yīng)用.四、解答題（本大題共4小題，第14、15、16題每題10分，17題13分，共43分，解答出文字說明、證明過程或演算步驟，寫在答題紙的相應(yīng)位置）14.人站成兩排隊列，前排人，后排人.（1）一共有多少種站法；（2）現(xiàn)將甲、乙、丙三人加入隊列，前排加一人，后排加兩人，其他人保持相對位置不變，求有多少種不同的加入方法.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，將7個人全排列，再將其中前3人支配在前排，后面4人支配在后排即可，由排列數(shù)公式計算可得答案；（2）依據(jù)題意，分2步進行分析：①前排3人有4個空，從甲乙丙3人中選1人插入；②對于后排，分2種狀況探討，求出后排的排法數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】（1）依據(jù)題意，將7個人全排列，再將其中前3人支配在前排，后面4人支配在后排即可；則有種排法，（2）依據(jù)題意，分2步進行分析：①前排3人有4個空，從甲乙丙3人中選1人插入，有種排法；②對于后排，若插入的2人不相鄰有種，若相鄰有種，則后排的支配方法有種；則有種排法．【點睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，考查邏輯推理實力、運算求解實力，求解時留意分類探討思想的運用.15.某校從參與高一年級期末考試的學(xué)生中抽出40名學(xué)生，將其成果（均為整數(shù)）分成六段后畫出如下部分頻率分布直方圖，視察圖形的信息，回答下列問題：（1）求第四小組的頻率，以及表示這組數(shù)據(jù)長方形在縱軸上對應(yīng)的坐標(biāo)；（2）估計這次考試的及格率（60分及以上為及格）和中位數(shù)（中位數(shù)用分數(shù)表示即可）；（3）從成果是60～70分及90～100分的學(xué)生中選兩人，記他們的成果為x，y，求滿意“”的概率．【答案】（1）0.3；0.03；（2）0.75；中位數(shù)為；（3）.【解析】【分析】（1）依據(jù)全部組的頻率和為即可求得第四小組的頻率，進而依據(jù)頻率除以組距得.（2）依據(jù)頻率分布直方圖計算第3，4，5，6小組的頻率和即可得及格率，依據(jù)中位數(shù)的定義求解即可；（3）設(shè)“成果滿意”為事務(wù)A，由頻率分布直方圖可求得成果在60~70分及90～100分的學(xué)生人數(shù)分別為6人和2人，分別記為和，再一一列舉出相應(yīng)的基本領(lǐng)件數(shù)，依據(jù)古典概型計算即可得答案.【詳解】解：（1）由頻率分布直方圖可知第1，2，3，5，6小組的頻率分別為：0.1，0.15，0.15，0.25，0.05，所以第4小組的頻率為：．∴在頻率分布直方圖中第4小組的對應(yīng)的矩形的高，（2）∵考試的及格率即60分及以上的頻率.∴及格率為∵前三組的頻率和為：，∴中位數(shù)為（3）設(shè)“成果滿意”為事務(wù)A由頻率分布直方圖可求得成果在60~70分及90～100分的學(xué)生人數(shù)分別為6人和2人，所以設(shè)60~70的6名學(xué)生分別為，90～100分的2名學(xué)生為，則從這8個學(xué)生中選兩人，全部可能狀況為：，共28種，且每種狀況的出現(xiàn)均等可能，若這2人成果要滿意“”，則要求一人選自60~70分數(shù)段，另一個選自90～100分數(shù)段，有如下狀況：，共12種，所以由古典概型概率公式有，即所取2人的成果滿意“”的概率是.【點睛】本題主要考查的是頻率分布直方圖和古典概型問題，屬于中檔題；讀圖肯定要仔細，先依據(jù)圖中的信息得出第一問；頻率分布直方圖中，平均數(shù)的求法為每一組的中位數(shù)乘以頻率，然后再求和，此處是易錯點；古典概型肯定要列舉出全部可能性，以及滿意條件的可能性，比值即為滿意條件的概率16.袋中裝有除顏色外完全相同的黑球和白球共7個，其中白球3個，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪番摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時終止．每個球在每一次被取出的機會是等可能的．（1）求取球3次即終止的概率；（2）求甲取到白球的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依題意甲第一次取到的是黑球，接著乙取到的是黑球，第三次取球甲取到的是白球，即可求出概率；（2）依題意甲只可能在第1次，第3