北京市門頭溝區(qū)2024年中考數(shù)學模擬試卷

北京市門頭溝區(qū)2024年中考數(shù)學模擬試卷

一.選擇題（滿分16分，每小題2分）

1.下列說法不正確的是（）

A.三角形的三條高線交于一點

B.直角三角形有三條高

C.三角形的三條角平分線交于一點

D.三角形的三條中線交于一點

2.若代數(shù)式x-1有意義,則x的取值范圍是（）

A.x>-1且xWlB.xN-1C.xWlD.xe-1且xWl

3.如圖是由幾個相同的正方體搭成的一個幾何體，從正面看到的平面圖形是（)

4?

A.N1=N2B.N3=N4C.Nl+N3=180°D.Z3+Z4=180°

5.下列所給的汽車標記圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（

1

6.如圖，數(shù)軸上表示實數(shù)加，的點可能是（）

PQRS

-----------------1----?；???1???

-2-1012345

A.點PB.點QC.點RD.點S

7.甲、乙兩超市在1月至8月間的盈利狀況統(tǒng)計圖如圖所示，下面結論不正確的是（）

A.甲超市的利潤逐月削減

B.乙超市的利潤在1月至4月間逐月增加

C.8月份兩家超市利潤相同

D.乙超市在9月份的利潤必超過甲超市

8.小明從家步行到校車站臺，等候坐校車去學校，圖中的折線表示這一過程中小明的路程

S（km）與所花時間t（min）間的函數(shù)關系；下列說法：①他步行了1km到校車站臺；②他

步行的速度是100m/min；③他在校車站臺等了6min；④校車運行的速度是200m/min；其中

二.填空題（滿分16分，每小題2分）

9.若△ABCs/XDEF,請寫出2個不同類型的正確的結論、.

10.把兩個同樣大小的含45°角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個三角尺的銳角

2

頂點與另一個的直角頂點重合于點A,且另三個銳角頂點B,C,D在同始終線上.若AB=J2

則CD=_________

12.你喜愛足球嗎？下面是對某學校七年級學生的調查結果:

男同學女同學

喜愛的人數(shù)7524

不喜愛的人數(shù)1536

則男同學中喜愛足球的人數(shù)占全體同學的百分比是.

13.如圖，AB是。。的直徑，C是。。上的點，過點C作。。的切線交AB的延長.線于點D.若

14.A,B兩市相距200千米，甲車從A市到B市，乙車從R市到A市，兩車同時動身，已

知甲車速度比乙車速度快15千米/小時，且甲車比乙車早半小時到達目的地.若設乙車的速

度是x千米/小時，則依據(jù)題意，可列方程.

15.如圖，線段AB=4,M為AB的中點，動點P到點M的距離是1,連接PB,線段

PB繞點P逆時針旋轉90°得到線段PC,連接AC,則線段AC長度的最大值是.

16.閱讀下面材料：

在數(shù)學課上，老師提出如下問題：

尺規(guī)作圖：作RtZ\ABC,使其斜邊AB=c,一條直角邊BC=a.

3

已知線段a,c如圖.

小蕓的作法如下：

①取AB=c,作AB的垂直平分線交AB于點0；

?②以點。為圓心，0B長為半徑畫圓；

③以點B為圓心，a長為半徑畫弧，與。。交于點C；

④連接BC,AC.

貝ijRtAABC即為所求.

老師說：“小蕓的作法正確

請回答：小蕓的作法中推斷NACB是直角的依據(jù)是

I

三.解答題(共12小題，滿分68分)

17.(5分)計算：(2)-2-V9+(V3-4)0-,&COS45。.

r2x+l>-l

18.(5分)解不等式組b+l>4(x-2)

19.(5分)如圖，ZiABC中，ZA=30°,ZB=62°,CE平分/ACB.

(1)求NACE；

(2)若CDLAB于點D,NCDF=74°,證明：Z\CFD是直角三角形.

20.(5分)如圖，已知反比例函數(shù)y=X的圖象與一次函數(shù)y=x+b的圖象交于點A(1,4),

點B(-4,n).

(1)求n和b的值；

(2)求△OAB的面積；

(3)干脆寫出一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值的自變量x的取值范圍.

-21.(5分)如圖，?已知AC是矩形ABCD的對角線，AC的垂直平分線EF分別交BC.AD于點

E和F,EF交AC于點0.

(1)求證：四邊形AECF是菱形；

(2)若AC=8,EF=6,求BC的長.

22.(5分)已知關于x的方程x2-2mx+m2+m-2=0有兩個不相等的實數(shù)根.

(1)求m的取值范圍.

(2)當m為正整數(shù)時，求方程的根.

23.(5分)如圖，AB為。0的直徑，C為。0上一點，經過點C的切線交AB的延長線于點E,

ADXEC交EC的延長線于點D,AD交。0于F,FMXAB于H,分別交。0、AC于M、N,連接

MB,BC.

(1)求證：AC平分NDAE；

4_

(2)若COSM=5,BE=1,①求00的半徑；②求FN的長.

5

24.（5分）某商場甲、乙兩名業(yè)務員10個月的銷售額（單位：萬元）如下:

甲7.29.69.67.89.346.58.59.99.6

乙5.89.79.76.89.96.98.26.78.69.7

依據(jù)上面的數(shù)據(jù)，將下表補充完整:

4.0<x<5.0WxW6.0WxW7.0WxW8.0WxW9.0WxW

4.95.96.97.98.910.0

甲101215

乙

（說明：月銷售額在8.0萬元及以上可以獲得獎金，7.0?7.9萬元為良好，6.0?6.9萬元

為合格，6.0萬元以下為不合格）

兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如表所示：

人員平均數(shù)（萬元）中位數(shù)（萬元）眾數(shù)（萬元）

甲8.28.99.6

乙8.28.49.7

結論（1）估計乙業(yè)務員能獲得獎金的月份有個；

（2）可以推斷出—-業(yè)務員的銷售業(yè)績好，理由為.（至少從兩個不同的角度說明

推斷的合理性）

25.（6分）如圖，在AABC中，ZC=60°,BC=3厘米，AC=4厘米，點P從點B動身，沿

B-C-A以每秒1厘米的速度勻速運動到點A.設點P的運動時間為x秒，B..P兩點間的距

離為y厘米.

小新依據(jù)學習函數(shù)的閱歷，對函數(shù)y隨自變量x的改變而改變的規(guī)律進行了探究.

下面是小新的探究過程，請補充完整：

（1）通過取點、畫圖、測量，得到了x與y的幾組值，如下表：

(s)01234567

(cm)01.02.03.02.72.7m3.6

經測量m的值是（保留一位小數(shù)）.

（2）建立平面直角坐標系，描出表格中全部各對對應值為坐標的點，畫出該函數(shù)的圖象，；

（3）結合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：在曲線部分的最低點時，在4ABC中畫出點P所在

6

的位置.

26.(7分)有一個二次函數(shù)滿意以下條件：①函數(shù)圖象與x軸的交點坐標分別為A(1,0),

B(x2,y2)(點B在點A的右側)；②對稱軸是x=3；③該函數(shù)有最小值是-2.

(1)請依據(jù)以上信息求出二次函數(shù)表達式；

(2)將該函數(shù)圖象中x>x2部分的圖象向下翻折與原圖象未翻折的部分組成圖象“G”，試

27.(7分)在AABC中，AB=BC=2,ZABC=120°,將AABC繞點B順時針旋轉角a(0

<a<120°),得△A1BC1,交AC于點E,AC分別交A1C1.BC于D.F兩點.

(1)如圖①，視察并猜想，在旋轉過程中，線段EA1與FC有怎樣的數(shù)量關系？并證明你的

結論；

(2)如圖②，當a=30°時，試推斷四邊形BC1DA的形態(tài)，并說明理由；

(3)在(2)的狀況下，求ED的長.

7

4_

28.(8分)如圖，已知一次函數(shù)y=5x+4與x軸交于點A,與y軸交于點C,一次函數(shù)y

=-x+b經過點C與x軸交于點B.

(1)求直線BC的解析式；

(2)點P為x軸上方直線BC上一點，點G為線段&P的中點，點F為線段AB的中點，連

接GF,取GF的中點M,射線PM交x軸于點H,點D為線段PH的中點，點E為線段AH的

中點，連接DE,求證：DE=GF；

(3)在(2)的條件下，延長PH至Q,使PM=MQ,連接AQ、BM,若NBAQ+NBMQ=NDEB,

求點P的坐標.

8

參考答案

一.選擇題

1.解：A.三角形的三條高線所在的直線交于一點，錯誤；

B.直角三角形有三條高，正確；

C.三角形的三條角平分線交于一點，正確；

D.三角形的三條中線交于一點，正確；

故選：A.

2.解：由題意得：x+l2O,且x-IWO,

解得：x2-l,且xWl,

故選:D.

3.解：從正面看第一層是三個小正方形，其次層在中間位置一個小正方形，故D符合題意,

故選：D.

4.解：如圖，VAB/7CD,

；./3+/5=180°,

又：N5=N4,

.?.Z3+Z4=180°,

故選：D.

5.解：A.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤;

B.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項正確；

C.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

D.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤.

故選：B.

6.解:V2<V5<3,

數(shù)軸上表示實數(shù)掂的點可能是點Q.

故選：B.

7.解：A.甲超市的利潤逐月削減，此選項正確;

9

B.乙超市的利潤在1月至4月間逐月增加，此選項正確；

C.8月份兩家超市利潤相同，此選項正確；

D.乙超市在9月份的利潤不肯定超過甲超市，此選項錯誤;

故選：D.

8.解：依據(jù)題意得：

小明用了10分鐘步行了1km到校站臺，

即小明步行了1km到校車站臺，①正確，

10004-10=100m/min,

即他步行的速度是100m/min,②正確，

小明在校車站臺從第lOmin等到第16min,

即他在校車站臺等了6min,③正確，

小明用了14min的時間坐校車，走了7km的路程，

70004-14=500m/min,

即校車運行的速度是500m/min,④不正確，

即正確的是①②③，

故選：C.

二.填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

9.解：:△ABCs△DEF,

ABACBC

.1.ZABC=ZDEF,DE=DF=EF,

ABACBC

故答案為：ZABC=ZDEF；DE=DF=EF.

10.解：如圖，過點A作AFJ_BC于F,

在RtZXABC中，NB=45°,

返

；.BC=V^AB=2,BF=AF=2AB=1,

???兩個同樣大小的含45。角的三角尺，

；.AD=BC=2,

在Rt^ADF中，依據(jù)勾股定理得，DF=JAD2-AF2=?

；.CD=BF+DF-BC=1+V3-2=73-1,

故答案為：Vb-1.

10

E

A.

BFCD

m~~31

11.解：原式=(/3)(m-3)="3,

1

故答案為：IIH-3.

12.解：由題可得，男同學中喜愛足球的人數(shù)占全體同學的百分比是:

75

75+15+24+36x100%=50%,

故答案為：50%.

13.解:連接03

由圓周角定理得，NC0D=2NA=64°,

：CD為。。的切線，

.,.0C±CD,

.1.ZD=90°-/COD=26°，

14.解：設乙車的速度是x千米/小時，則依據(jù)題意，可列方程：

2002001

x-x+15=2.

2002001

故答案為：x-x+15=2.

15.解：如圖所示：過點C作CD，y軸，垂足為D,過點P作PELDC,垂足為E,延長EP

：AB=4,0為AB的中點,

11

；.A(-2,0),B(2,0).

設點P的坐標為(x,y),則x2+y2=l.

VZEPC+ZBPF=90°,ZEPC+ZECP=90°,

/.ZECP=ZFPB.

由旋轉的性質可知：PC=PB.

在AECP和AEPB中，

'NECP二NFPB

-ZPEC=ZPFB

PC=PB,

.?.△ECP^AFPB.

；.EC=PF=y,FB=EP=2-x.

；.C(x+y,y+2-x).

VAB=4,0為AB的中點，

AC=V(x+y+2)2+(y+2-x)2=V2x2+2y2+8y+8.

Vx2+y2=1,

.1.AC=V10+8y.

*.*-IWyWl,

.?.當y=l時，AC有最大值，AC的最大值為5=3點.

故答案為：3、歷.

16.解：小蕓的作法中推斷NACB是直角的依據(jù)是直徑所對的圓周角為直角.

故答案為直徑所對的圓周角為直角.

三.解答題(共12小題，滿分68分)

返

17.?解：原式=4-3+1-V2X2

=2-1

=1.

18.解：解不等式2x+12-1,得：x2-1,

解不等式x+l>4(x-2),得：xV3,

則不等式組的解集為-1WXV3.

12

19.解：(1)VZA=30°,NB=62°,

：.ZACB=180°-ZA-ZB=88°,

VCE平分NACB,

1

/.ZACE=ZBCE=2ZACB=44°；

(2)VCDXAB,

.?.ZCDB=90°,

.?.ZBCD=90°-ZB=28°,

.?.ZFCD=ZECB-ZBCD=16°,

VZCDF=74°,

.?.ZCFD=180°-ZFCD-ZCDF=90°,

???△CFD是直角三角形.

k

20.解：(1)把A點(1,4)分別代入反比例函數(shù)y=x,一次函數(shù)丫=乂+1),

得k=lX4,1+b—4,

解得k=4,b=3,

,點B(-4,n)也在反比例函數(shù)y=x的圖象上，

4

；.n=-4=-1；

(2)如圖，設直線y=x+3與y軸的交點為C,

當x=0時，y=3,

AC(0,3),

11

S△AOB=SAAOC+SABOC=2X3X1+2X3X4=7.5；

(3)VB(-4,-1),A(1,4),

.?.依據(jù)圖象可知：當x>l或-4<x<0時，一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值.

13

21.(1)證明：???四邊形ABCD是矩形

，AD〃BC,

,NDAC=NACB,

???EF垂直平分AC,

???AF=FC,AE=EC,

/.ZFAC=ZFCA,

???NFCA=NACB,

VZFCA+ZCFE=90°,ZACB+ZCEF=90°,

???NCFE=NCEF,

???CE=CF,

???AF=FC=CE=AE,

**?四邊形AECF是菱形.

證法二：???四邊形ABCD是矩形

AAD/7BC,

NDAC=ZACB,NAFO=ZCEO,

VEF垂直平分AC,

???OA=OC,

???AAOF^ACOE,

???OE=OF,

???四邊形AECF是平行四邊形，

VAC1EF,

???四邊形AECF是菱形.

(2)解：:四邊形AECF是菱形

14

11

.?.0C=2AC=4,OE=2EF=3

,CE=V0E2+0C2=V32+42=5,

：NC0E=NABC=90,ZOCE=ZBCA,

.'.△COE^ACBA,

OCCE

BC4=AC,

互

BC=8,

32

：.BC=5.

22.解：(1)?.,關于x的方程x2-2mx+m2+m-2=0有兩個不相等的實數(shù)根,

；.△=(-2m)2-4(m2+m-2)>0.

解得m<2；

(2)由Cl)知,m<2.

有m為正整數(shù)，

??m=:1,

將m=l代入原方程，得

x2-2x=0

x(x-2)=0,

解得xl=0,x2=2.

23.(1)證明：連接0C,如圖,

??,直線DE與。。相切于點C,

.\OC±DE,

XVADXDE,

???OC〃AD.

：.Z1=Z3

15

VOA=OC,

AZ2=Z3,

AZ1=Z2,

.,.AC平方NDAE；

(2)解：①TAB為直徑，

???NAFB=90°,

而DE±AD,

，BF〃DE,

.\OC±BF,

.\S=BC,

.?.ZCOE=ZFAB,

而/FAB=NM,

.?.ZCOE=ZM,

設。。的半徑為r,

PC1工1

在Rt/XOCE中，cos/C0E=OE=5,即r+l=5,解得r=4,

即。。的半徑為4；

②連接BF,如圖，

AF

在RtZkAFB中，cosZFAB=AB,

4_32

/.AF=8X5=5

在RtZXOCE中,0E=5,0C=4,

CE=3,

VAB1FM,

AM=AF,

???N5=N4,

\,FB〃DE,

???N5=NE=N4,

vCF=BC,

?N1=N2,

16

.?.△AFN^>AAEC,

32

FNAFFNV

CE=AE,即3=9,

32

/.F-N=15.

(2)可以推斷出甲業(yè)務員的銷售業(yè)績好，理由為：甲的銷售額的，中位數(shù)較大，并且甲月銷

售額在9萬元以.上的月份多.

故答案為0,1,3,0,2,4；6；甲，甲的銷售額的中位數(shù)較大，并且甲月銷售額在9萬元

以上的月份多.

25.解:(1)經測量，當t=6時，BP=3.0.

(當t=6時，CP=6-BC=3,

；.BC=CP.

?.,ZC=60°,

...當t=6時，ZXBCP為等邊三角形.)

故答案為：3.0.

17

(2)描點、連線，畫出圖象，如圖1所示.

(3)在曲線部分的最低點時，BP1AC,如圖2所示.

26.解：(1)由上述信息可知該函數(shù)圖象的頂點坐標為：(3,-2),

設二次函數(shù)的表達式為：y=a(x-3)2-2.

..?該函數(shù)圖象經過點A(1,0),

.?.0=a(x-3)2-2,

解得a=1

二次函數(shù)解析式為：y=5(x-3)2-2.

(2)如圖所示：

當m>0時，直線y=m與G有一個交點；

當m=0時，直線y=m與G有兩個交點；

當-2<m<0時，直線y=m與G有三個交點;

當m=-2時，直線y=m與G有兩個交點；

當m<-2時，直線y=m與G有一個交點.

27.解:(1)EA1=FC.理由如下：

:AB=BC,/.ZA=ZC,

18

:△ABC繞點B順時針旋轉角a得△A1BC1,

/.ZABE=ZC1BF,AB=BC=A1B=BC1,

?AB=BC1

在AABE和△C1BF中，I/杷E=/C[BF,

.,.△ABE^ACIBF(ASA),

；.BE=BF,

AAIB-BE=BC-BF,

即EA1=FC；

(2)四邊形BC1DA是菱形.理由如下：

:旋轉角a=30°,

ZABC=120°,

:.ZABCl=ZABC+a

=120°+30°=150°,

VZABC=120°,AB=BC,

；.NA=/C=2(180°-120°)=30°,

.?.ZABC1+ZC1=15O°+30°=180°,

ZABC1+ZA=15O°+30°=180°,

；.AB〃C1D,AD/7BC1,

/?四邊形BC1DA是平行四邊形，

XVAB=BC1,

四邊形BC1DA是菱形；

(3)過點E作EG_LAB,

VZA=ZABA1=3O°,

1

；?AG=BG=2AB=1,

AG]273

在RtZkAEG中，AE=cos/A=cos30°=3,

由(2)知AD=AB=2,

19

W3

,