北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1.3 勾股定理的應(yīng)用 同步測(cè)試（附參考答案）

北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1.3勾股定理的應(yīng)用課堂同步練習(xí)班級(jí)：姓名：一、選擇題1．圖1是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的.若AC＝6，BC＝5，將四個(gè)直角三角形中的邊長(zhǎng)為6的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是（）A．51 B．49 C．76 D．無(wú)法確定2．勾股定理是我國(guó)的偉大數(shù)學(xué)發(fā)明之一.如圖，以Rt△ABC的各邊為邊向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片放入最大的正方形中，三個(gè)陰影部分的面積分別為S1=1，S2=2，A．4 B．5 C．5.5 D．63．如圖，在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形，已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1+S4=（）A．2 B．3 C．4 D．64．《九章算術(shù)》中記錄了這樣一則“折竹抵地”問(wèn)題：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，問(wèn)折者高幾何？意思是：一根竹子，原高一丈，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部4尺遠(yuǎn)（如圖），則折斷后的竹子高度為多少尺？（1丈=10尺）如果我們假設(shè)折斷后的竹子高度為x尺，根據(jù)題意，可列方程為（）A．x2+4C．(10?x)2+45．如圖，長(zhǎng)為12cm的橡皮筋放置在x軸上，固定兩端A和B，然后把中點(diǎn)C向上拉升8cm至D點(diǎn)，則橡皮筋被拉長(zhǎng)了（）A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm6．如圖所示，已知△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M為AD上任一點(diǎn)，則MC2-MB2等于（）A．9 B．35 C．45 D．無(wú)法計(jì)算7．如圖，在“慶國(guó)慶，手拉手”活動(dòng)中，某小組從營(yíng)地A出發(fā)，沿北偏東53°方向走了1200m到達(dá)B點(diǎn)，然后再沿北偏西37°方向走了500m到達(dá)目的地C點(diǎn)，此時(shí)A，C兩點(diǎn)之間的距離為（）A．1000m B．1100m C．1200m D．1300m8．如圖，一棵大樹(shù)在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面10m處折斷倒下，倒下部分的樹(shù)梢到樹(shù)的距離為24m，則這棵大樹(shù)折斷處到樹(shù)頂?shù)拈L(zhǎng)度是（）A．10m B．15m C．26m D．30m9．如圖，有一個(gè)繩索拉直的木馬秋千，繩索AB的長(zhǎng)度為5米.若將它往水平方向向前推進(jìn)3米（即DE=3米），且繩索保持拉直的狀態(tài)，則此時(shí)木馬上升的高度為（）A．1米 B．2米 C．2米 D．4米10．如圖，某超市為了吸引顧客，在超市門口離地高4.5m的墻上，裝有一個(gè)由傳感器控制的門鈴A，如①圖所示，人只要移至該門鈴5m及5m以內(nèi)時(shí)，門鈴就會(huì)自動(dòng)發(fā)出語(yǔ)音“歡迎光臨”.如②圖所示，一個(gè)身高1.5m的學(xué)生走到D處，門鈴恰好自動(dòng)響起，則BD的長(zhǎng)為（）A．3米 B．4米 C．5米 D．7米二、填空題11．如圖，一架梯子AB長(zhǎng)5米，底端離墻的距離BC為3米，當(dāng)梯子下滑到DE時(shí)，AD=1米，則BE＝米.12．如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開(kāi)始時(shí)繩子BC的長(zhǎng)為17米，幾分鐘后船到達(dá)點(diǎn)D的位置，此時(shí)繩子CD的長(zhǎng)為10米，問(wèn)船向岸邊移動(dòng)了米.13．如圖是某路口處草坪的一角，當(dāng)行走路線是A→C→B時(shí)，有人為了抄近道而避開(kāi)路的拐角∠ACB(∠ACB=90°)，于是在草坪內(nèi)走出了一條不該有的捷徑路AB.某學(xué)習(xí)實(shí)踐小組通過(guò)測(cè)量可知，AC的長(zhǎng)約為6米，BC的長(zhǎng)約為8米，為了提醒居民愛(ài)護(hù)草坪，他們想在A，B處設(shè)立“踏破青白可惜，多行數(shù)步無(wú)妨”的提示牌．則提示牌上的“多行數(shù)步”是指多行米．14．如圖，已知點(diǎn)E是長(zhǎng)方形ABCD中AD邊上一點(diǎn)，將四邊形BCDE沿直線BE折疊，折疊后點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C'，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D'，若點(diǎn)A在C'D'上，且AB=10，BC=8，則AE=．15．《九章算術(shù)》中有一道“引葭赴岸”問(wèn)題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問(wèn)水深，葭長(zhǎng)各幾何？”題意是：“有一個(gè)池塘，其底面是邊長(zhǎng)為10尺的正方形，一棵蘆葦AC生長(zhǎng)在它的中央，高出水面部分BC為1尺，如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緾恰好碰到岸邊的C'處，水深和蘆葦長(zhǎng)各是多少尺？”則該問(wèn)題的水深是三、解答題16．如圖，有兩棵樹(shù)，一棵高6m，另一棵高2m，兩樹(shù)相距5m.一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，至少飛了多少米？（結(jié)果精確到0.1m）17．某地一樓房發(fā)生火災(zāi)，消防隊(duì)員決定用消防車上的云梯救人如圖（1）.如圖（2），已知云梯最多只能伸長(zhǎng)到15m（即AB=CD=15m），消防車高3m，救人時(shí)云梯伸長(zhǎng)至最長(zhǎng)，在完成從12m（即BE=12m）高的B處救人后，還要從15m（即DE=15m）高的D處救人，這時(shí)消防車從A處向著火的樓房靠近的距離AC為多少米？（延長(zhǎng)AC交DE于點(diǎn)O，AO⊥DE，點(diǎn)B在DE上，OE的長(zhǎng)即為消防車的高3m）18．如圖，小旭放風(fēng)箏時(shí)，風(fēng)箏掛在了樹(shù)上，他先拉住風(fēng)箏線，垂直于地面，發(fā)現(xiàn)風(fēng)箏線多出1米；把風(fēng)箏線沿直線BC向后拉5米，風(fēng)箏線末端剛好接觸地面，求風(fēng)箏距離地面的高度AB.19．如圖，小穎和她的同學(xué)蕩秋千，秋千AB在靜止位置時(shí)，下端B′離地面0.6m，蕩秋千到AB的位置時(shí)，下端B距靜止位置的水平距離EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的長(zhǎng).四、綜合題20．如圖，在筆直的公路AB旁有一座山，為方便運(yùn)輸貨物現(xiàn)要從公路AB上的D處開(kāi)鑿隧道修通一條公路到C處，已知點(diǎn)C與公路上的?？空続的距離為15km，與公路上另一?？空綛的距離為20km，?？空続、B之間的距離為25km，且CD⊥AB．

（1）求修建的公路CD的長(zhǎng)；（2）若公路CD修通后，一輛貨車從C處經(jīng)過(guò)D點(diǎn)到B處的路程是多少？21．如圖，某火車站內(nèi)部墻面MN上有破損處（看作點(diǎn)A），現(xiàn)維修師傅需借助梯子DE完成維修工作．梯子的長(zhǎng)度為5m，將其斜靠在這面墻上，測(cè)得梯子底部E離墻角N處3m，維修師傅爬到梯子頂部使用儀器測(cè)量，此時(shí)梯子頂部D距離墻面破損處1m．（1）該火車站墻面破損處A距離地面有多高？（2）如果維修師傅要使梯子頂部到地面的距離為4.8m．那么梯子底部需要向墻角方向移動(dòng)多少米？22．如圖，在筆直的公路AB旁有一座山，為方便運(yùn)輸貨物現(xiàn)要從公路AB上的D處開(kāi)鑿隧道修通一條公路到C處，已知點(diǎn)C與公路上的?？空続的距離為15km，與公路上另一停靠站B的距離為20km，停靠站A、B之間的距離為25km，且CD⊥AB．（1）求修建的公路CD的長(zhǎng)；（2）若公路CD修通后，一輛貨車從C處經(jīng)過(guò)D點(diǎn)到B處的路程是多少？23．在一條東西走向的河的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中AB=AC，由于某種原由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H（A、H、B在一條直線上），并新修一條路CH，測(cè)得CB=1.5千米，CH=1.（1）問(wèn)CH是否為從村莊C到河邊的最近路？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明．（2）求原來(lái)的路線AC的長(zhǎng)．

1．【答案】C【解析】【解答】解：依題意，設(shè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”中的四個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為x，則x2＝122+52＝169所以x＝13所以“數(shù)學(xué)風(fēng)車”的周長(zhǎng)是：（13+6）×4＝76.故答案為：C.【分析】設(shè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”中的四個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為x，由勾股定理可得x的值，然后根據(jù)周長(zhǎng)的概念進(jìn)行計(jì)算.2．【答案】D【解析】【解答】解：設(shè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為c，較長(zhǎng)直角邊為a，較短直角邊為b，由勾股定理得，c2∴c2∴S陰影∴S四邊形DEFG∵S1=1，S2∴兩個(gè)正方形重疊部分（四邊形DEFG）的面積=1+2+3=6.故答案為：D.【分析】設(shè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為c，較長(zhǎng)直角邊為a，較短直角邊為b，由勾股定理得c2=a2+b2，則c2-a2-b2=0，根據(jù)面積間的和差關(guān)系推出S四邊形DEFG=S1+S2+S3，據(jù)此計(jì)算.3．【答案】A【解析】【解答】解：如圖：

∵∠ACB＝∠BDE＝∠ABE=90°，

∴∠ABC＋∠BAC＝90°，∠ABC＋∠EBD＝90°，

∴∠BAC＝∠EBD，

在△ABC與△BDE中，

∠ACB＝∠BDE，∠BAC＝∠EBD，AB＝BE，

∴△ABC≌△BDE（AAS），

∴BC＝ED，

∵AB2＝AC2＋BC2，

∴AB2＝AC2＋ED2＝S1＋S2，

即S1＋S2＝1，

同理S2＋S3＝2，S3＋S4＝3，

則S1＋S2＋S3＋S4＝1＋3＝4，

則S1＋S4＝4-2=2．

故答案為：A.

【分析】根據(jù)同角的余角相等得∠BAC＝∠EBD，利用AAS判斷出△ABC≌△BDE，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得BC=ED，運(yùn)用勾股定理可知，每?jī)蓚€(gè)相鄰的正放置正方形面積和都等于中間斜放的正方形面積，據(jù)此即可解答．4．【答案】D【解析】【解答】解：如圖所示：由題意得：∠AOB=90°，設(shè)折斷處離地面的高度OA是x尺，由勾股定理得：x2故答案為：D．【分析】設(shè)折斷處離地面的高度OA是x尺，利用勾股定理可得x25．【答案】C【解析】【解答】解：根據(jù)題意得：CD=8cm，AD=BD，AB=12cm，∵點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，AC=6cm，∴AD=A∴橡皮筋被拉長(zhǎng)了2×10?12=8cm．故答案為：C

【分析】利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)，再計(jì)算即可。6．【答案】C【解析】【解答】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2-AD2，CD2＝AC2-AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2+MD2＝AB2-AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2-AD2+MD2，∴MC2-MB2＝（AC2-AD2+MD2）-（AB2-AD2+MD2）＝AC2-AB2＝45.故答案為：C.【分析】在Rt△ABD、Rt△ADC、Rt△BDM、Rt△CDM中，根據(jù)勾股定理可得BD2=AB2-AD2，CD2=AC2-AD2，BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2，MC2=CD2+MD2=AC2=AD2+MD2，然后作差即可.7．【答案】D【解析】【解答】解：如圖，由題意得：AB=1200m，BC=500m，∠CBD=37°，∠BAF=53°，DE∥AF，∴∠ABE=∠BAF=53°，∴∠ABC=180°?∠CBD?∠ABE=180°?37°?53°=90°，∴AC=A即A，C兩點(diǎn)之間的距離為1300m，故答案為：D．【分析】先求出∠ABC的度數(shù)，再利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)即可。8．【答案】C【解析】【解答】解：如圖所示：∵△ABC是直角三角形，AB=10m，AC=24m，BC=故答案為：C

【分析】利用勾股定理求出BC的長(zhǎng)即可。9．【答案】A【解析】【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，

由題意可知：AB＝AC＝5米，CF＝3米，∠AFC=90°，

∴AF2+CF2＝AC2，即AF2+9=25，

解得：AF＝4米，

∴BF＝AB-AF＝5-4＝1米，

∴此時(shí)木馬上升的高度為1米.

故答案為：A．

【分析】過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，由題意可知：AB＝AC＝5米，CF＝3米，∠AFC=90°，利用勾股定理求得AF的長(zhǎng)，再用AB-AF即可求得木馬上升的高度.10．【答案】B【解析】【解答】解：由題意可知.BE=CD=1.5m，AE=AB?BE=4.5?1.5=3m，AC=5m由勾股定理得BD=CE=5故離門4米遠(yuǎn)的地方，燈剛好打開(kāi).故答案為：B.【分析】由題意可知：BE=CD=1.5m，AE=AB-BE=3m，AC=5m，由勾股定理求出BD、CE，據(jù)此解答.11．【答案】1【解析】【解答】解：∵AB=5，BC=3，∴AC=AB∵AD＝1，∴CD=AC-AD=3，∴CE=DE∴BE=CE-CB=1米，故答案為：1.【分析】在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理可得AC的值，則CD=AC-AD=3，然后在Rt△CDE中，由勾股定理求出CE的值，再根據(jù)BE=CE-CB進(jìn)行計(jì)算.12．【答案】9【解析】【解答】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝BC2?A∵CD＝10（米），∴AD＝CD∴BD＝AB-AD＝15-6＝9（米），答：船向岸邊移動(dòng)了9米，故答案為：9.【分析】分別在Rt△ABC、Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理可得AB、AD的值，然后根據(jù)BD=AB-AD進(jìn)行計(jì)算.13．【答案】4【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，AC的長(zhǎng)約為6米，BC的長(zhǎng)約為8米，∴AB=A∴AC+BC?AB=4米，∴多行4米，故答案為：4．

【分析】利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再利用線段的和差求解即可。14．【答案】5【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，

∴∠D=∠C=∠DAB=90°，AB=DC=10，AD=BC=8，

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：∠D'=∠D=90°，∠C'=∠C=90°，BC'=BC=8，D'C'=DC=10，

∴AC'=AB2?BC'2=6，

∴AD'=D'C'-AC'=10-6=4，

設(shè)DE=D'E=x，則AE=8-x，

∴(8?x)215．【答案】12尺【解析】【解答】解：設(shè)蘆葦長(zhǎng)AC＝AC′＝x尺，則水深A(yù)B＝（x-1）尺，

∵池塘地面是邊長(zhǎng)為10尺的正方形，

∴C′B＝5尺，

在Rt△ABC′中，AC′2=AB2+C′B2，

∴（x-1）2+52＝x2，

解得x＝13，

∴蘆葦長(zhǎng)13尺，水深為12尺.

故答案為：12尺．

【分析】設(shè)蘆葦長(zhǎng)AC＝AC′＝x尺，則水深A(yù)B＝（x-1）尺，由題意易得C′B＝5尺，再利用勾股定理可得AC′2=AB2+C′B2，即（x-1）2+52＝x2，解之即可求得蘆葦長(zhǎng)和水深.16．【答案】解：如圖，設(shè)大樹(shù)高為AC=6m，小樹(shù)高為BD=2m，過(guò)B點(diǎn)作BE⊥AC于E，則EBDC是矩形，連接AB，∴EC=2m，EB=5m，AE=AC-EC=6-2=4m，在Rt△AEB中，AB=AE故小鳥(niǎo)至少飛行6.【解析】【分析】設(shè)大樹(shù)高為AC=6m，小樹(shù)高為BD=2m，過(guò)B點(diǎn)作BE⊥AC于E，則EBDC是矩形，連接AB，則得EC=2m，EB=5m，AE=AC-EC=6-2=4m，在Rt△AEB中，用勾股定理算出AB的長(zhǎng)即可.17．【答案】解：在Rt△ABO中，∵∠AOB=90°AB=15m，OB=12?3=9（m），∴AO=A在Rt△COD中，∵∠COD=90°，CD=15m，OD=15?3=12（m），∴OC=C∴AC=OA?OC=3（m），答：消防車從原處向著火的樓房靠近的距離AC為3m.【解析】【分析】利用已知條件可得到∠AOB=90°，同時(shí)可求出OB的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AO的長(zhǎng)；再在Rt△COD中，可得到OD的長(zhǎng)，利用勾股定理求出OC的長(zhǎng)；然后根據(jù)AC=OA-OC，代入計(jì)算求出AC的長(zhǎng).18．【答案】解：設(shè)AB＝x米，則AC＝（x＋1）米，由圖可得，∠ABC＝90°，BC＝5米，在Rt△ABC中，AB即x2解得x＝12，答：風(fēng)箏距離地面的高度AB為12米.【解析】【分析】設(shè)AB＝x米，則AC＝(x＋1)米，由圖可得：∠ABC＝90°，BC＝5米，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理求解即可.19．【答案】解：設(shè)AB＝AB′＝xm，由題意可得出：B′E＝1.4-0.6＝0.8（m），則AE＝AB-0.8，在Rt△AEB中，∵AE2+BE2＝AB2，∴（x-0.8）2+2.42＝x2解得：x＝4，答：秋千AB的長(zhǎng)為4m.【解析】【分析】設(shè)AB＝AB′＝xm，由題意可得B′E＝1.4-0.6＝0.8m，則AE＝AB-0.8，然后在Rt△AEB中，利用勾股定理計(jì)算即可.20．【答案】（1）解：∵AC=15km，BC=20km，AB=25km，

152+202=252，∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，∵12AC×BC=1∴CD=AC×BC÷AB=12（km）．故修建的公路CD的長(zhǎng)是12km；（2）解：在Rt△BDC中，BD=BC一輛貨車從C處經(jīng)過(guò)D點(diǎn)到B處的路程=CD+BD=12+16=28（km）．故一輛貨車從C處經(jīng)過(guò)D點(diǎn)到B處的路程是28km．【解析】【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理可得△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，再結(jié)合三角形的面積求出CD的長(zhǎng)即可；

（2）先利用勾股定理求出BD的長(zhǎng)，再利用線段的和差求解即可。21．【答案】（1）解：根據(jù)題意，得在Rt△DEN中，DE=5m，EN=3m，由勾股定理，得DN=D∵AD=1m，∴AN=AD+DN=1+4=5(m)．答：該火車站墻面破損處A距離地面的高