2022年新高考數(shù)學模擬題分項匯編(第四期)專題04立體幾何(原卷版+解析)

專題04立體幾何1．（2021·重慶市涪陵實驗中學校高三期中）北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和，例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在各頂點的曲率為，故其總曲率為，則四棱錐的總曲率為（）A． B． C． D．2．（2021·重慶市第十一中學校高三月考）正四棱臺上、下底面邊長分別為，，側(cè)棱長，則棱臺的側(cè)面積為（）A． B． C． D．3．（2021·福建福清西山學校高三期中）若一個圓錐的母線長為4，且其側(cè)面積為其軸截面面積的4倍，則該圓錐的高為（）A． B． C． D．14．（2021·山東省青島第十七中學高三期中）如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，且BC1⊥AC，過C1作C1H⊥底面ABC，垂足為H，則點H在（）A．直線AC上 B．直線AB上C．直線BC上 D．△ABC內(nèi)部5．（2021·湖南永州一中高三月考）已知，，是三個不同的平面，，是兩條不同的直線，下列命題為真命題的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則6．（2021·湖南郴州二中高三月考）已知圓錐的母線長為2，側(cè)面展開圖扇形的面積為，那么該圓錐的體積是（）A． B． C． D．7．（2021·廣東龍崗一中高三期中）如圖，在中，，，為的中點，將沿折起到的位置，使得二面角為，則三棱錐的體積為（）A． B．4 C． D．28．（2021·廣東中山中學模擬）四個半徑為2的球剛好裝進一個正四面體容器內(nèi)，此時正四面體各面與球相切，則這個正四面體外接球的表面積為（）A． B．C． D．9．（2021·廣東惠州一中高三月考）已知，為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，則10．（2021·江蘇海安高級中學高三月考）三棱錐中，，，的面積為，則此三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．11．（2021·福建泉州科技中學高三月考）為弘揚中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某學校組織了《誦經(jīng)典，獲新知》的演講比賽，本次比賽的冠軍獎杯由一個銅球和一個托盤組成，如圖①，已知球的體積為，托盤由邊長為的正三角形銅片沿各邊中點的連線垂直向上折疊而成，如圖②.則下列結(jié)論正確（）A．經(jīng)過三個頂點的球的截面圓的面積為B．異面直線與所成的角的余弦值為C．多面體的體積為D．球離球托底面的最小距離為12．（2021·福建福州三中高三月考）如圖，已知圓錐的軸截面PAB為等腰直角三角形，底面圓O的直徑為2．C是圓O上異于A，B的一點，D為弦AC的中點，E為線段PB上異于P，B的點，以下正確的結(jié)論有（）A．直線平面PDO B．CE與PD一定為異面直線C．直線CE可能平行于平面PDO D．若，則的最小值為13．（2021·山東煙臺一中高三月考）如圖，為圓錐的底面直徑，點是圓上異于，的動點，，則下列結(jié)論正確的是（）A．圓錐的側(cè)面積為B．三棱錐體積的最大值為C．的取值范圍是D．若，為線段上的動點，則的最小值為14．（2021·湖北武漢二中高三月考）為弘揚中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某學校組織了《誦經(jīng)典，獲新知》的演講比賽，本次比賽的冠軍獎杯由一個銅球和一個托盤組成，如圖①，已知球的體積為，托盤由邊長為4的正三角形銅片沿各邊中點的連線向上折疊成直二面角而成，如圖②.則下列結(jié)論正確的是（）A．經(jīng)過三個頂點A，B，C的球的截面圓的面積為B．平面平面ADEC．直線AD與平面DEF所成的角為D．球面上的點離球托底面DEF的最小距離為15．（2021·湖南郴州一中高三月考）如圖，在直三棱柱中，，，，?分別是?的中點，是上的動點，則下列結(jié)論中正確的是（）A．直線，所成的角的大小隨點的位置變化而變化B．三棱錐的體積是定值C．直線與平面所成的角的余弦值是D．三棱柱的外接球的表面積是16．（2021·廣東普寧市華僑中學高三期中）已知正方體的棱長為，點分別棱的中點，下列結(jié)論正確的是（）A．平面 B．四面體的體積等于C．與平面所成角的正切值為 D．平面17．（2021·廣東福田一中高三月考）如圖，已知正方體的棱長為2，，，分別為，，的中點，以下說法正確的是（）A．三棱錐的體積為2B．平面C．異面直線EF與AG所成的角的余弦值為D．過點，，作正方體的截面，所得截面的面積是18．（2021·廣東順德一模）如圖，已知圓錐OP的底面半徑，側(cè)面積為，內(nèi)切球的球心為，外接球的球心為，則下列說法正確的是（）A．外接球的表面積為B．設內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則C．過點P作平面截圓錐OP的截面面積的最大值為D．設圓錐OP有一內(nèi)接長方體，該長方體的下底面在圓錐底面上，上底面的四個頂點在圓錐的側(cè)面上，則該長方體體積的最大值為19．（2021·廣東金山中學高三期中）已知直三棱柱中，，，為的中點．點滿足，其中，則（）A．對時，都有B．當時，直線與所成的角是30°C．當時，直線與平面所成的角的正切值D．當時，直線與相交于一點，則20．（2021·廣東惠州一中高三月考）如圖所示，從一個半徑為（單位：）的圓形紙板中切割出一塊中間是正方形，四周是四個正三角形的紙板，以此為表面（舍棄陰影部分）折疊成一個正四棱錐，則以下說法正確的是（）A．四棱錐的體積是B．四棱錐的外接球的表面積是C．異面直線與所成角的大小為D．二面角所成角的余弦值為21．（2021·江蘇揚州中學高三月考）已知正三棱錐的底面邊長為6，側(cè)棱長為，則下列說法中正確的有（）A．側(cè)棱與底面所成的角為B．側(cè)面與底面所成角的正切值為C．正三棱錐外接球的表面積為D．正三棱錐內(nèi)切球的半徑為22．（2021·福建福清西山學校高三期中）如圖，已如平面四邊形ABCD，，，，.沿直線AC將翻折成，則______；當平面平面ABC時，則異面直線AC與所成角余弦值是______.23．（2021·湖北武漢二中高三期中）如圖，已如平面四邊形ABCD，，，，.沿直線AC將翻折成，則___________；當平面平面ABC時，則異面直線AC與所成角余弦值是___________.24．（2021·湖南長郡中學高三月考）如圖，在一個底面邊長為2，側(cè)棱長為的正四棱錐中，球內(nèi)切于該四棱錐，球與球及四棱錐的四個側(cè)面相切，球與球及四棱錐的四個側(cè)面相切，依次作球與球及四棱錐的四個側(cè)面相切，則球的表面積為________．球，球，，球的表面積之和為________．25．（2021·河北唐山一中高三期中）魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴絲合縫的十字立方體，其上下?左右?前后完全對稱.從外表上看，六根等長的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90°榫卯起來，如圖，若正四棱柱體的高為6，底面正方形的邊長為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進一個球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積的最小值為___________.（容器壁的厚度忽略不計）專題04立體幾何1．（2021·重慶市涪陵實驗中學校高三期中）北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和，例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在各頂點的曲率為，故其總曲率為，則四棱錐的總曲率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點的曲率之和，因為四棱錐有5個頂點，5個面，其中4個三角形，1個四邊形，所以四棱錐的表面內(nèi)角和由4個三角形和1個四邊形組成，所以面角和為，故總曲率為．故選：B.2．（2021·重慶市第十一中學校高三月考）正四棱臺上、下底面邊長分別為，，側(cè)棱長，則棱臺的側(cè)面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，，，可得正四棱臺的斜高為，所以棱臺的側(cè)面積為．故選：D．3．（2021·福建福清西山學校高三期中）若一個圓錐的母線長為4，且其側(cè)面積為其軸截面面積的4倍，則該圓錐的高為（）A． B． C． D．1【答案】B【解析】如圖所示，設圓錐的高為h，底面半徑為r，則側(cè)面積為，軸截面為等腰三角形PAB，面積為，其側(cè)面積為其軸截面面積的4倍，所以，解得：故選：B4．（2021·山東省青島第十七中學高三期中）如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，且BC1⊥AC，過C1作C1H⊥底面ABC，垂足為H，則點H在（）A．直線AC上 B．直線AB上C．直線BC上 D．△ABC內(nèi)部【答案】B【解析】連接AC1，如圖.∵∠BAC=90°，∴AC⊥AB，∵BC1⊥AC，BC1∩AB=B，∴AC⊥面ABC1，又AC在平面ABC內(nèi)，∴由面面垂直的判定知，面ABC⊥面ABC1，由面面垂直的性質(zhì)知，在平面ABC1內(nèi)一點C1向平面ABC作垂線，垂足必落在交線AB上.故選：B.5．（2021·湖南永州一中高三月考）已知，，是三個不同的平面，，是兩條不同的直線，下列命題為真命題的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】C【解析】對于選項A：若，，則與平行或相交，故選項A不正確；對于選項B：若，，則與可平行、異面、或相交，故選項B不正確；對于選項C：若，，則，垂直于同一平面的兩個直線平行，故選項C正確；對于選項D：若，，則與平行或相交，故選項D不正確.故選：C6．（2021·湖南郴州二中高三月考）已知圓錐的母線長為2，側(cè)面展開圖扇形的面積為，那么該圓錐的體積是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設圓錐底面半徑為，高為，，，，故選：D7．（2021·廣東龍崗一中高三期中）如圖，在中，，，為的中點，將沿折起到的位置，使得二面角為，則三棱錐的體積為（）A． B．4 C． D．2【答案】A【解析】由，，由旋轉(zhuǎn)前后對應邊，對應角相等可得：，又二面角為，即，故為等邊三角形，作中點，連接，可得，又，所以平面，所以，即平面，結(jié)合幾何關(guān)系可得，故.故選：A8．（2021·廣東中山中學模擬）四個半徑為2的球剛好裝進一個正四面體容器內(nèi)，此時正四面體各面與球相切，則這個正四面體外接球的表面積為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖1所示，正四面體ABCD中，AH⊥底面BCD，E、F、G、K為四個球的球心，M為CD中點，連接BM，AM，易知B、H、M三點共線，直線AH交平面EFG于點，連接，交GF于點N，則N為GF的中點，因為內(nèi)切球半徑為2，故EF=4，畫出截面ABM如圖2所示，正四棱錐EFGK外接球球心設為O，則正四面體ABCD的外接球球心與正四面體EFGK外接球球心重合，設正四面體ABCD的外接球半徑為R，正四面體EFGK外接球半徑為r，在圖2中，EK=4，，，，所以由，即，解得：所以過點E作EP⊥BM于點P，則EP=2則△BEP∽△∴，解得：∴∴正四面體ABCD的外接球表面積故選：A9．（2021·廣東惠州一中高三月考）已知，為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，則【答案】D【解析】選項A：有可能出現(xiàn)的情況；選項B：和有可能異面；選項C：和有可能相交；選項D：由，，得直線和平面沒有公共點，所以，故選：D10．（2021·江蘇海安高級中學高三月考）三棱錐中，，，的面積為，則此三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，又，，則，取中點，連接，又由的面積為，可得的高，則可得，在中，由余弦定理，，解得，則，可得，，，根據(jù)球的性質(zhì)可得為三棱錐外接球的直徑，則半徑為1，故外接球的表面積為.故選：A.11．（2021·福建泉州科技中學高三月考）為弘揚中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某學校組織了《誦經(jīng)典，獲新知》的演講比賽，本次比賽的冠軍獎杯由一個銅球和一個托盤組成，如圖①，已知球的體積為，托盤由邊長為的正三角形銅片沿各邊中點的連線垂直向上折疊而成，如圖②.則下列結(jié)論正確（）A．經(jīng)過三個頂點的球的截面圓的面積為B．異面直線與所成的角的余弦值為C．多面體的體積為D．球離球托底面的最小距離為【答案】BCD【解析】設球的半徑為，則，解得，A：經(jīng)過A、B、C的球的截面圓，如下圖即為等邊△的外接圓，若其半徑為，則，所以面積為，故錯誤；B：如下圖，過作且，則為異面直線與所成角，且△△，為中點，∴，故，故正確；C：將幾何體補全為直三棱柱，如下圖示，∴多面體的體積為直三棱柱體積減去三個相同的三棱錐，∴由下圖知：，故正確.D：如下圖為球體縱向軸截面，為球面上過A、B、C的截面圓直徑，則，∴球離球托底面的最小距離為，故正確.故選：BCD12．（2021·福建福州三中高三月考）如圖，已知圓錐的軸截面PAB為等腰直角三角形，底面圓O的直徑為2．C是圓O上異于A，B的一點，D為弦AC的中點，E為線段PB上異于P，B的點，以下正確的結(jié)論有（）A．直線平面PDO B．CE與PD一定為異面直線C．直線CE可能平行于平面PDO D．若，則的最小值為【答案】ABD【解析】對于A項：在中，，D為AC中點，所以，又PO垂直于圓O所在的平面，所以，因為，所以平面PDO，故A正確．對于B項：由于P，C，E共面，且D在平面PCE外，所以CE與PD異面，故B正確．對于C項：因為可得平面PDO，若直線平面PDO，則有平面平面PDO，這與兩平面有公共點P矛盾，故C錯．對于D項：在三棱錐中，將側(cè)面PBC繞PB旋轉(zhuǎn)至平面，使之與平面PAB共面，如圖所示，則當A，E，共線時，取得最小值，因為，，所以，由余弦定理可得，即的最小值為，故D對．故選：ABD．13．（2021·山東煙臺一中高三月考）如圖，為圓錐的底面直徑，點是圓上異于，的動點，，則下列結(jié)論正確的是（）A．圓錐的側(cè)面積為B．三棱錐體積的最大值為C．的取值范圍是D．若，為線段上的動點，則的最小值為【答案】ABC【解析】在中，，則圓錐的母線長，半徑，對于選項A：圓錐的側(cè)面積為：，故選項A正確；對于選項B：當時，的面積最大，此時，則三棱錐體積的最大值為：，故選項B正確；對于選項C：當點與點重合時，為最小角，當點與點重合時，，達到最大值，又因為與不重合，則，又，可得，故選項C正確；對于選項D：由，得，又，則為等邊三角形，則，將以為軸旋轉(zhuǎn)到與共面，得到，則為等邊三角形，，如圖：則，因為，則，故選項D錯誤；故選：ABC14．（2021·湖北武漢二中高三月考）為弘揚中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某學校組織了《誦經(jīng)典，獲新知》的演講比賽，本次比賽的冠軍獎杯由一個銅球和一個托盤組成，如圖①，已知球的體積為，托盤由邊長為4的正三角形銅片沿各邊中點的連線向上折疊成直二面角而成，如圖②.則下列結(jié)論正確的是（）A．經(jīng)過三個頂點A，B，C的球的截面圓的面積為B．平面平面ADEC．直線AD與平面DEF所成的角為D．球面上的點離球托底面DEF的最小距離為【答案】ACD【解析】因為與全等且所在的面平行，所以截面圓就是的外接圓與的外接圓相同，由題意可知，的邊長為1，其外接圓的半徑為，則經(jīng)過，，三點的球的截面圓的面積為，故選項A正確；由圖形的形成，知，，三點在底面上的射影分別是三邊中點，，，如圖，與全等且平行，又，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以與平面相交，故與平面相交，所以平面平面錯誤，故B錯誤；由平面與平面垂直可知，在平面內(nèi)的射影是，所以為直線與平面所成的角，則，所以直線與平面所成的角為，故選項C正確；如圖3，，，，所以球離球托底面的最小距離為，所以D正確．故選：ACD15．（2021·湖南郴州一中高三月考）如圖，在直三棱柱中，，，，?分別是?的中點，是上的動點，則下列結(jié)論中正確的是（）A．直線，所成的角的大小隨點的位置變化而變化B．三棱錐的體積是定值C．直線與平面所成的角的余弦值是D．三棱柱的外接球的表面積是【答案】BC【解析】對于A，在直三棱柱中，平面，平面，所以，因為，即，是的中點，所以，又，所以平面，又平面，所以，故A錯誤；對于B，因為?分別是?的中點，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，所以點到平面的距離即為點到平面的距離，為定值，即三棱錐的高為定值，又的面積也為定值，即三棱錐的底面積為定值，所以三棱錐的體積是定值；對于C，因為平面，所以即為直線與平面所成的角的平面角，在中，，所以，即直線與平面所成的角的余弦值是，故C正確；對于D，在直三棱柱中，，所以矩形的對角線即為三棱柱的外接球的直徑，矩形的對角線為，即三棱柱的外接球的半徑為，所以三棱柱的外接球的表面積是，故D錯誤.故選：BC.16．（2021·廣東普寧市華僑中學高三期中）已知正方體的棱長為，點分別棱的中點，下列結(jié)論正確的是（）A．平面 B．四面體的體積等于C．與平面所成角的正切值為 D．平面【答案】ABC【解析】對于，正方體中，，，又，平面，平面，，同理，，又，平面，故正確；對于，以為原點，建立空間直角坐標系，則，0，，，，，，0，，，，，，，，，，，，0，，設平面的法向量，，，則，取，得，1，，到平面的距離，四面體的體積：．故正確；對于，，0，，，，，，，，平面的法向量，0，，設與平面所成角為，則，，，與平面所成角的正切值為，故正確；對于，，，，，，，，，，，0，，，，，設平面的法向量，，，則，取，得，1，，，與平面不平行，故錯誤．故選：ABC．17．（2021·廣東福田一中高三月考）如圖，已知正方體的棱長為2，，，分別為，，的中點，以下說法正確的是（）A．三棱錐的體積為2B．平面C．異面直線EF與AG所成的角的余弦值為D．過點，，作正方體的截面，所得截面的面積是【答案】BD【解析】對A，，故A錯誤；對B，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，，，則，，，，，則平面，B正確；對C，，，，故C錯誤；對D，作中點，的中點，的中點，連接，則正六邊形為對應截面面積，正六邊形邊長為，則截面面積為：，故D正確.故選：BD18．（2021·廣東順德一模）如圖，已知圓錐OP的底面半徑，側(cè)面積為，內(nèi)切球的球心為，外接球的球心為，則下列說法正確的是（）A．外接球的表面積為B．設內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則C．過點P作平面截圓錐OP的截面面積的最大值為D．設圓錐OP有一內(nèi)接長方體，該長方體的下底面在圓錐底面上，上底面的四個頂點在圓錐的側(cè)面上，則該長方體體積的最大值為【答案】AD【解析】由底面半徑，側(cè)面積為可得：，求得，即圓錐母線長為2，則高，設圓錐外接球半徑為，則對由勾股定理得，即，，外接球面積為，故A正確；設內(nèi)切球的半徑為，垂直于交于點，則對，，即，解得，故B項錯誤；過點P作平面截圓錐OP的截面面積的最大時，因為，故恰好為等腰直角三角形時取到，點在圓錐底面上，，故C項錯誤；設圓錐OP有一內(nèi)接長方體，其中一個上頂點為，上平面中心為，，則，，當長方形上平面為正方形時，上平面面積最大，長方體體積為，，當時，,時，，故，故D正確，故選：AD19．（2021·廣東金山中學高三期中）已知直三棱柱中，，，為的中點．點滿足，其中，則（）A．對時，都有B．當時，直線與所成的角是30°C．當時，直線與平面所成的角的正切值D．當時，直線與相交于一點，則【答案】AD【解析】∵直三棱柱中，∴以B為坐標原點，BA所在直線為x軸，BC所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標系，設則，，，，，∵為的中點．點滿足，其中∴，A選項：，則，∴對時，都有A選項正確；B選項：當時，，.則故直線與所成的角是不是30°選項B錯誤；C選項：當時，，設平面的法向量，直線與平面所成的角為則，所以選項C錯誤；選項D：當時，，∴，，則，∴∥，則當時，直線與相交于一點，則故選項D正確.故選：AD20．（2021·廣東惠州一中高三月考）如圖所示，從一個半徑為（單位：）的圓形紙板中切割出一塊中間是正方形，四周是四個正三角形的紙板，以此為表面（舍棄陰影部分）折疊成一個正四棱錐，則以下說法正確的是（）A．四棱錐的體積是B．四棱錐的外接球的表面積是C．異面直線與所成角的大小為D．二面角所成角的余弦值為【答案】BCD【解析】設正方形邊長為，則有，所以，解得，折疊而成正四棱錐如圖所示，其中為外接球的球心，四棱錐的高，所以四棱錐的體積，所以選項A錯誤；設四棱錐外接球的半徑為，球心到底面的距離為，則有，解得，所以四棱錐外接球表面積，因為，所以異面直線與所成角為，取的中點，連接，，如圖，因為，均為等邊三角形，所以，，所以為二面角所成角的平面角，在中，由余弦定理得，故正確答案為BCD.故選：BCD21．（2021·江蘇揚州中學高三月考）已知正三棱錐的底面邊長為6，側(cè)棱長為，則下列說法中正確的有（）A．側(cè)棱與底面所成的角為B．側(cè)面與底面所成角的正切值為C．正三棱錐外接球的表面積為D．正三棱錐內(nèi)切球的半徑為【答案】BC【解析】若分別是的中點，連接，易知為側(cè)棱與底面所成角，由題設，，，，則，∴，故A錯誤；若是底面中心，易知：面，連接、，則側(cè)面與底面所成角為，又，，則，故B正確.若外接球的半徑為，則，解得，∴正三棱錐外接球的表面積為，故C正確.由題設易知：，若內(nèi)切球的半徑為，則，又，，則，故D錯誤.故選：BC22．（2021·福建福清西山學校高三期中）如圖，已如平面四邊形ABCD，，，，.沿直線AC將翻折成，則______；當平面平面ABC時，則異面直線AC與所成角余弦值是______.【答案】2【解析】由題可知，，由幾何關(guān)系可知，，，，，故，則；設異面直線AC與所成角為，