2022年新高考數學模擬題分項匯編(第四期)專題15函數與導數解答題(原卷版+解析)

專題15函數與導數解答題1．（2021·河北衡水中學高三月考）已知：（1）若在上單調遞增，求實數m的取值范圍；（2）若，試分析，的根的個數.2．（2021·河北唐山市第十中學高三期中）若．（1）當．時，討論函數的單調性；（2）若，且有兩個極值點，，證明．3．（2021·福建寧德一中高三期中）已知函數.（1）求函數在上的最小值；（2）證明：當時，.4．（2021·福建省龍巖第一中學高三月考）設函數（）.（1）求函數的單調區(qū)間；（2）若有兩個零點，，求的取值范圍，并證明：.5．（2021·福建省福州外國語學校高三月考）已知函數，a∈R（1）當a=1時，求曲線y=f(x)在點(0，f(0))處的切線的方程（2）若曲線y=f(x)與x軸有且只有一個交點，求a的取值范圍.6．（2021·福建三明一中高三月考）已知函數，其中為奇函數，為偶函數．（1）求與的解析式；（2）當時，有解，求實數的取值范圍．7．（2021·遼寧實驗中學高三期中）已知函數.（1）若在處取得極值，求的值及函數的單調區(qū)間；（2）請在下列兩問中選擇一問作答，答題前請標好選擇.如果多寫按第一個計分.①若恒成立，求的取值范圍.②若僅有兩個零點，求的取值范圍.8．（2021·山東德州一中高三期中）已知函數是奇函數.（1）若，求的取值范圍；（2）若的解集為，求的值.9．（2021·山東師范大學附中高三月考）設函數，，其中為實數.（1）若在處的切線方程為，求實數的值；（2）若在上是單調增函數，試求的零點個數，并證明你的結論.10．（2021·山東師范大學附中高三月考）已知函數.（1）若，求的取值范圍；（2）若是以為周期的奇函數，且當時，有，求函數的解析式.11．（2021·湖北石首市第一中學高三月考）已知函數且.（1）判斷并證明f（x）的奇偶性；（2）求滿足f（x）的實數的取值范圍.12．（2021·湖北武漢二中高三期中）已知函數.（1）討論函數的單調性；（2）當時，判斷函數的零點個數.13．（2021·湖南長郡中學高三月考）已知函數，．（1）若函數在定義域上單調遞增，求實數的取值范圍；（2）當時，若，存在公切線，求的范圍（表示不大于的最大的整數）．14．（2021·湖南永州一中高三月考）已知函數.（1）當時，求的單調區(qū)間；（2）若有三個極值點、、.（i）求實數的取值范圍；（ii）證明：為定值.15．（2021·廣東深圳福田中學高三月考）已知函數．（1）討論函數的單調性；（2）若對任意的，都有成立，求的取值范圍．16．（2021·廣東肇慶一中模擬）已知函數.（1）若成立，求的值；（2）若有兩個不同的零點，證明：.17．（2021·江蘇海安高級中學高三月考）已知函數，（1）若在處取極值，求k的值；（2）若有兩個零點，，求證：．18．（2021·重慶八中高三月考）已知.（1）當時，求證：函數在上單調遞增；（2）若只有一個零點，求的取值范圍.專題15函數與導數解答題1．（2021·河北衡水中學高三月考）已知：（1）若在上單調遞增，求實數m的取值范圍；（2）若，試分析，的根的個數.【答案】（1）（2）無實根【解析】（1）由于在上遞增得：在上恒成立，即在上恒成立令，，則，故在上遞減，于是，故；（2），，故在上遞增，又，，故唯一，使得在上遞減，在上遞增.故且故，令，則故在上遞減當時，由遞減知，故，即，從而有在上恒成立.故時，無實根.2．（2021·河北唐山市第十中學高三期中）若．（1）當．時，討論函數的單調性；（2）若，且有兩個極值點，，證明．【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】（1）當時，，令，或，當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減在上單調遞增；當時，，故函數在上單調遞增；當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減在單調遞增；（2）證明：當時，．∵函數有兩個極值點，∴方程有兩個根，∴，且，解得，由題意得，令，則，∴在上單調遞減，∴，∴3．（2021·福建寧德一中高三期中）已知函數.（1）求函數在上的最小值；（2）證明：當時，.【答案】（1）當時，；當時，；當時，.（2）見詳解【解析】（1）由，得，，令，得，即，因此函數在上單調遞減，在上單調遞增.①當，即時，函數在上單調遞減，因此；②當時，函數在上單調遞增，因此；③當，即時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，因此.綜上所述，當時，；當時，；當時，.（2）證明：設，，則，易得函數在上單調遞減，在上單調遞增，因此，故恒成立.要證，只需證，因為，所以，故只需證（因時，左邊小于右邊，所以可以帶等號），即.令，則，易得函數在上單調遞減，在上單調遞增，因此，故.因此當時，.4．（2021·福建省龍巖第一中學高三月考）設函數（）.（1）求函數的單調區(qū)間；（2）若有兩個零點，，求的取值范圍，并證明：.【答案】（1）當時，在上單調遞增；當時，在單調遞減，在單調遞增（2）證明見解析【解析】（（1）由，，可得，.當時，，所以在上單調遞增；當時，令，得，令，得，所以在單調遞減，在單調遞增；（2）證明：（2）因為函數有兩個零點，由（1）得，此時的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，有極小值.所以，可得.所以.由（1）可得的極小值點為，則不妨設.設，，可得，，所以在上單調遞增，所以，即，則，，所以當時，，且.因為當時，單調遞增，所以，即.設，，則，則，即.所以，所以.設，則，所以在上單調遞減，所以，所以，即綜上，.5．（2021·福建省福州外國語學校高三月考）已知函數，a∈R（1）當a=1時，求曲線y=f(x)在點(0，f(0))處的切線的方程（2）若曲線y=f(x)與x軸有且只有一個交點，求a的取值范圍.【答案】（1）（2）或【解析】（1）當時，，，∴，∴曲線y=f（x）在點(0，f(0))處的切線的方程為.（2）由得，，當時，，函數在R上單調遞增，此時，所以當時，曲線y=f（x）與x軸有且只有一個交點；當時，令得，，∴單調遞增，單調遞減，∴當時，函數有極大值，若曲線y=f（x）與x軸有且只有一個交點，則，解得，綜上所述，當或時，曲線y=f（x）與x軸有且只有一個交點.6．（2021·福建三明一中高三月考）已知函數，其中為奇函數，為偶函數．（1）求與的解析式；（2）當時，有解，求實數的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因為，①所以，又因為為奇函數，為偶函數，所以，，所以，②聯(lián)立①②得，解得．（2）有解，即有解，令，設，則，因為，且在上為單調遞增函數，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以，故實數的取值范圍為．7．（2021·遼寧實驗中學高三期中）已知函數.（1）若在處取得極值，求的值及函數的單調區(qū)間；（2）請在下列兩問中選擇一問作答，答題前請標好選擇.如果多寫按第一個計分.①若恒成立，求的取值范圍.②若僅有兩個零點，求的取值范圍.【答案】（1）單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.（2）選擇①時，；選擇②時，【解析】（1）定義域為，，在處取得極值，則，所以，此時，可以看出是個增函數，且，所以當時，，單調遞減，當時，，單調遞增.故的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.（2）①選擇若恒成立，若恒成立，即，整理為，即設函數，則上式為：因為恒成立，所以單調遞增，所以所以，令，.，當時，，當時，，故在處取得極大值，，故1，解得：故當時，恒成立.②選擇若僅有兩個零點，即有兩個根，整理為，即設函數，則上式為：因為恒成立，所以單調遞增，所以=所以只需有兩個根，令，.，當時，，當時，，故在處取得極大值，，要想有兩個根，只需，解得：，所以的取值范圍為8．（2021·山東德州一中高三期中）已知函數是奇函數.（1）若，求的取值范圍；（2）若的解集為，求的值.【答案】（1）；（2）4.【解析】（1）是奇函數，則，即，即，則，得，解得：或，當時，，此時無意義，不符合題意；當時，是奇函數，符合題意；所以，若，則，即，解得：，所以時，的取值范圍為.（2）由于，解得：，所以的定義域為，若，即，得，變形得，即，，則可得方程的兩根分別為和，由題可知的解集為，即方程的兩個根為和，所以得，，解得：，所以.9．（2021·山東師范大學附中高三月考）設函數，，其中為實數.（1）若在處的切線方程為，求實數的值；（2）若在上是單調增函數，試求的零點個數，并證明你的結論.【答案】（1）（2）2，答案見解析【解析】（1）由題，因為切線方程為，即切線斜率為，，∴.（2）由題在上恒成立，∴在上恒成立，∴，由得，令，則的零點個數等價于和的交點個數，則，當時，，遞增，當時，，遞減，∴時，最大值為，又時，；時，，據此作出的大致圖象，由圖知：當或時，的零點有1個；當時，的零點有2個.10．（2021·山東師范大學附中高三月考）已知函數.（1）若，求的取值范圍；（2）若是以為周期的奇函數，且當時，有，求函數的解析式.【答案】（1）（2）【解析】（1）因為，所以所以，可得.由得.因為，所以，解得：.由可得：，所以的取值范圍為（2）當時，有，當時，，因此.11．（2021·湖北石首市第一中學高三月考）已知函數且.（1）判斷并證明f（x）的奇偶性；（2）求滿足f（x）的實數的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）當時x的取值范圍是；當時x的取值范圍是．【解析】（1）根據題意，，則有，解可得，則函數的定義域為，又由，則是奇函數；（2）由得①當時，，解得；②當時，，解得；當時x的取值范圍是；當時x的取值范圍是．12．（2021·湖北武漢二中高三期中）已知函數.（1）討論函數的單調性；（2）當時，判斷函數的零點個數.【答案】（1）答案見解析（2）兩個【解析】（1）函數的定義域為，，當時，，，當且僅當時，，在單調遞增；當時，或，，在，單調遞增，在單調遞減；當時，或，，在，單調遞增，在單調遞減；綜上所述：當時，在單調遞增；當時，在，單調遞增，在單調遞減；當時，在，單調遞增，在單調遞減；（2），，，設，，所以在單調遞增，，，∴，，，當時，，當時，，∴在單調遞減，在單調遞增，∴，，設，，∴在單調遞減，∴，∴在成立，∵在單調遞減，在單調遞增，∴，取，設，，∴，，∴，，取，設，∴，∴，∴，，∴，，∴在定義域內有兩個零點.13．（2021·湖南長郡中學高三月考）已知函數，．（1）若函數在定義域上單調遞增，求實數的取值范圍；（2）當時，若，存在公切線，求的范圍（表示不大于的最大的整數）．【答案】（1）（2）【解析】（1）由題意，在上恒成立．即在上恒成立．令，則，所以在上單調遞增．于是，所以．（2）當時，設公切線在上的切點為，則切線方程為：．設公切線在上的切點為，則切線方程為：，，又，．令．．又在上單調遞減，而，，滿足，即，在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減．，．14．（2021·湖南永州一中高三月考）已知函數.（1）當時，求的單調區(qū)間；（2）若有三個極值點、、.（i）求實數的取值范圍；（ii）證明：為定值.【答案】（1）單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；（2）（i）；（ii）證明見解析.【解析】（1）當時，，該函數的定義域為，，且，當時，，，此時，當時，，，此時，所以，當時，函數的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；（2）（i）因為，該函數的定義域為，則，令，則函數在上有三個零點、、.，且.①當時，對任意的，，此時函數在上單調遞增，又因為，此時函數有且只要一個零點，不合乎題意；②當時，設，則.若，即當時，對任意的，且不恒為零.此時函數在上單調遞減，又因為，此時函數有且只有一個零點，不合乎題意；若，即當時，令，可得，，當或時，，當時，，此時，函數的單調遞減區(qū)間為、，單調遞增區(qū)間為.因為，所以，，，當時，，當時，，此時，函數在、上各有一個零點，又因為，故函數有三個零點，合乎題意.綜上所述，實數的取值范圍是；（ii）由（i）可知，當時，，則，因為，則，因為，從而，因為函數在上有且只有一個零點，則，故，因此，.15．（2021·廣東深圳福田中學高三月考）已知函數．（1）討論函數的單調性；（2）若對任意的，都有成立，求的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）由已知定義域為，當，即時，恒成立，則在上單調遞增；當，即時，（舍）或，所以在上單調遞減，在上單調遞增.所以時，在上單調遞增；時，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）由（1）可知，當時，在上單調遞增，若對任意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立；當時，若，即，則在上單調遞增，又，所以成立；若，則在上單調遞減，在上單調遞增，又，所以，，不滿足對任意的恒成立.所以綜上所述：.16．（2021·廣東肇慶一中模擬）已知函數.（1）若成立，求的值；（2）若有兩個不同的零點，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由得：，即；令，則；①當時，，在上單調遞減，又時，，不合題意；②當時，令，解得：，當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增，，；令，則，當時，；當時，；在上單調遞增，在上單調遞減，，有唯一解：；綜上所述：.（2）由題意得：，則，由（1）知：，若有兩個零點，則；則當時，，，，不妨設，要證，只需證，即證；，，，即證；，，即證，即證，令，則，只需證，即，令，則，，當時，，在上單調遞增，，在上單調遞增，，即，原不等式得證.17．（2021·江蘇海安高級中學高三月考）已知函數，（1）若在處取極值，求k的值；（2）若有兩個零點，，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）由題意，函數，可得，因為在處取極值，可得，解得，由時，可得當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，因此在處取極大值，滿足題意．（2）由題意，函數有兩個零點，，即，，所以，可得要證，即證，即證，即證，不妨設，記，則，即證，即證，令，，可得，因此在上單調遞增，所以，即結論成立．18．（2021·重慶八中高三月考）已知.（1）當時，求證：函數