換路定律和初始條件的計算 一階動態(tài)電路的零輸入

11.1

換路定律和初始條件的計算11.2

一階動態(tài)電路的零輸入響應11.3

一階動態(tài)電路的零狀態(tài)響應

11.4一階電路的全響應及其分解

11.5

一階電路的三要素法

11.6一階電路的階躍響應

11.7

一階動態(tài)電路分析的應用

11.8小結

第11章一階動態(tài)電路分析返回下一頁上一頁1電路分析第11章一階動態(tài)電路分析返回下一頁上一頁教學提示：當電路在接通、斷開或參數(shù)、結構發(fā)生變化時，電路的狀態(tài)就可能會從一種穩(wěn)定的狀態(tài)向另一種穩(wěn)定的狀態(tài)變化，這個變化過程是暫時的，稱為瞬態(tài)或過渡過程。本章就是分析含有動態(tài)元件的電路中的電壓、電流與時間的函數(shù)關系，主要是分析只含一個動態(tài)元件的線性電路的電壓、電流，也就是一階動態(tài)電路分析。211.1換路定律和初始條件的計算在電路理論中，把電路中支路的接通和切斷、元件參數(shù)的改變、電源電壓或電流波動等，統(tǒng)稱為換路(switching)，并認為換路是瞬時完成的。一般情況下，換路的瞬間記為計時起點，即該時刻的，并把換路前的最后一瞬間記作、換路后的最初一瞬間記作。11.1.1換路

返回下一頁上一頁下一節(jié)上一節(jié)電路分析第11章一階動態(tài)電路分析3在換路瞬間，電容元件的電流值為有限時，其電壓不能躍變；電感元件電壓值為有限時，其電流不能躍變，這一結論稱為換路定律。11.1.2換路定律電路分析11.1換路定律和初始條件的計算

(11.1)電路中其余的各個電量均可發(fā)生躍變，例如，電容電流、電感電壓、電阻的電壓和電流、電流源的電壓、電壓源的電流等。4對于一階電路，所謂的初始值(initialvalue)，就是在電路換路后的第一個瞬間，即時的電路中各電量的數(shù)值，初始值組成求解動態(tài)電路的初始條件。11.1.3初始值及其計算電路分析11.1換路定律和初始條件的計算電路中電壓和電流的初始值分為兩類

(2)另一類初始值是可以躍變的量，如電容電流、電感電壓、電阻電流及電阻電壓，它們要根據(jù)獨立初始條件及電路的基本定律來求解。(1)電容電壓和電感電流的初始值，在時刻求出、之后，根據(jù)換路定律、獨立初始條件5簡單電路的初始條件的求解，可以直接在原電路中進行，而對于含有多個動態(tài)元件電路初始條件的求解，若在原電路中求解則比較麻煩。11.1.3初始值及其計算電路分析11.1換路定律和初始條件的計算在求得(2)電感元件代以電流為的電流源，(1)將電路中的電容元件代以電壓源之后建立了電路在的等效電路，它是一個純電阻電路，6例11.1

解：在如圖11.1(a)所示的電路中，時已穩(wěn)定。在t=0時刻開關S合上，假設開關合上前電容電壓為零。試求換路后各元件電流、電壓的初始值。11.1.3初始值及其計算開關合上前電容電壓為零(電容元件用短路代替)

作的等效電路圖，如圖11.1(b)所示。7例11.1

解：8例11.2

解：在如圖11.2(a)所示的電路中電路原已穩(wěn)定。在t=0時刻，開關S合上，求開關合上前，電路原已穩(wěn)定，處于直流狀態(tài)，電感相當于短路、電容相當于開路，t=0_時等效電路如圖11.2(b)所示。，

+-9例11.2

根據(jù)換路定律可得，

的等效電路圖，如圖11.2(c)所示，將電感和電容分別看作電流源和電壓源1011.2

一階動態(tài)電路的零輸入響應如果在換路瞬間動態(tài)元件原來就儲存有能量，根據(jù)換路定律可知，即使電路中并無外施電源存在，換路后電路中仍將有電流、電壓.動態(tài)電路在沒有獨立源作用的情況下，由初始儲能產(chǎn)生的響應稱為零輸入響應(zero-inputresponse)。。11.2.1零輸入響應返回下一頁上一頁電路分析第11章一階動態(tài)電路分析11只含一個動態(tài)元件的線性時不變電路,這種電路是用常系數(shù)微分方程來描述的稱為一階電路uc(t)iC-+-+Ruoc(t)uRo

(t)uciC-+-+R含源電阻網(wǎng)絡iN1N2iSC(t)i(t)uC(t)-+GOC電路分析第11章一階動態(tài)電路分析12電路在無輸入激勵情況下，由儲能元件的初始儲能引起的響應，稱為零輸入響應。RC電路的零輸入響應+iCuC--+uRRU0S(t=0)1、定量分析電路分析11.2一階動態(tài)電路的零輸入響應11.2.2RC電路的零輸入響應13齊次方程通解為:特征方程為:特征根為:

根據(jù)初始值求得i0uC

,iuC2、結果分析uR、uC、i按同一指數(shù)規(guī)律變化，最后趨于零。11.2.2RC電路的零輸入響應143、時間常數(shù)

1）定義：

=RC

單位：s2）

的大小決定了電路響應變化的快慢，

小，衰減快；

大，衰減慢。3）放電過程中的衰減情況3—5認為過渡過程結束。i0uC

,iuC11.2.2RC電路的零輸入響應15例11.3

解：如圖11.6(a)所示電路原已處于穩(wěn)態(tài)。在t=0時刻開關S由位置1接至位置2，電容C通過電阻放電。11.2.2RC電路的零輸入響應換路前RC電路處于穩(wěn)態(tài)，根據(jù)電容在直流電路中相當于開路的特點可知，電容上的電壓與電源電壓相同，如圖11.6(b)所示。試求：(1)換路后的；(2)放電到0.05s時的電容電壓。++根據(jù)換路定律，電容電壓不能躍變，即16例11.3

換路之后的電路如圖11.6(c)，電路的時間常數(shù)為。+放電到0.05s時，電容的電壓為17如圖11.7(a)所示電路中開關S原來閉合，電路已處于穩(wěn)定狀態(tài)，電感中流過的電流為。當t=0時，開關S斷開，如圖11.7(b)所示。

這時電感L將通過電阻R釋放換路前儲存的能量，在電路中將產(chǎn)生電流和電壓。該電路中產(chǎn)生的響應是由電感L的初始儲能產(chǎn)生的，因此也是零輸入響應。電路分析11.2一階動態(tài)電路的零輸入響應11.2.3RL電路的零輸入響應181、定量分析解得：0uRiuL11.2.3RL電路的零輸入響應192、結果分析電感儲能：與RC電路基本相同，唯一不同點是時間常數(shù)

。RC電路中，

=RC，

RC；RL電路中，，

L，反比于R。3、能量關系電阻耗能:電感的初始儲能，在過渡過程中，全部被電阻吸收而轉換成熱能。11.2.3RL電路的零輸入響應20例11.4：電路如圖。已知U0=35V，R=0.2

，L=0.4H，RV=5k,

量程為100V。t=0開關S斷開后求(1)換路后電路的時間常數(shù)；（2）(3)開關斷開瞬間，電壓表兩端的電壓。解:S-URuV+-LRV+iV

(1)電路的時間常數(shù)為

(2)開關斷開前，電路原已穩(wěn)定，電感相當于短路，此時電感上的電流為2111.3一階動態(tài)電路的零狀態(tài)響應動態(tài)電路中所有動態(tài)元件的

均為零的情況，稱零狀態(tài)。零狀態(tài)的動態(tài)電路在外施激勵作用下的響應，稱為零狀態(tài)響應(zero-stateresponse)。11.3.1零狀態(tài)響應返回下一頁上一頁電路分析第11章一階動態(tài)電路分析222、數(shù)學分析1、物理分析11.3一階動態(tài)電路的零狀態(tài)響應11.3.2RC電路的零狀態(tài)響應023根據(jù)初始值定K，K=-US非齊次微分方程的解為：—非齊次微分方程的特解—齊次微分方程的通解電路達到穩(wěn)態(tài)后的電容電壓值為非齊次方程的特解。uR+uC-iC+-RS(t=0)+-uS設11.3.2RC電路的零狀態(tài)響應243、結果分析結論：零狀態(tài)響應由穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量組成為強制分量，也稱穩(wěn)態(tài)分量為自由分量，也稱暫態(tài)分量0US-US11.3.2RC電路的零狀態(tài)響應253、結果分析電容充電過程中，電容電壓由零按照指數(shù)規(guī)律逐漸增加，最終趨近于外加電源電壓US。電路中的電流則開始充電時最大，為US/R，然后逐漸減小，最終減小到零，電阻上的電壓則與變化規(guī)律相反。電容充電結束后，電路達到新的穩(wěn)態(tài)，相當于直流電路中的電容元件，即，電容儲存的磁場能量為。11.3.2RC電路的零狀態(tài)響應26例11.5

解：如圖11.10所示電路中，已知11.3.2RC電路的零狀態(tài)響應(1)電路的時間常數(shù)為電容的初始電壓為零。當t=0時合上開關S，試求：(1)電路的時間常數(shù)；(2)電容上電壓和電流；(3)開關合上后時的電壓和電流值。(2)27例11.5

解：11.3.2RC電路的零狀態(tài)響應(3)開關合上后時的電壓和電流值。(3)28例11.6

解：電路如圖11.10所示，設，電容初始電壓為零。外加電源如圖11.12(a)所示。試求換路后電容上的電壓和電流。11.3.2RC電路的零狀態(tài)響應t在0～2s時電容相當于從零開始被充電(并未充電到10V)；t>2s時，Us=0，此時外施激勵為零，而電容卻儲存有電能，相當于RC電路的零輸入響應。根據(jù)RC電路的零狀態(tài)響應公式得

29例11.6

解：根據(jù)RC電路的零輸入響應公式得電容開始放電，需計算出t=2s時電容的電壓，即求出負號說明電流方向與參考方向相反302、數(shù)學分析1、物理分析11.3一階動態(tài)電路的零狀態(tài)響應11.3.3RL電路的零狀態(tài)響應031RL電路的零狀態(tài)響應解得：0-—強制分量(穩(wěn)態(tài)分量)—自由分量(暫態(tài)分量)3、結果分析324、波形分析電感電流由零按照指數(shù)規(guī)律逐漸增大，最終接近于穩(wěn)定值。電感電壓開始時最大，為電源電壓，然后逐漸減小，最終衰減到零，電阻電壓變化則與電感電壓變化規(guī)律相反。電路達到新的穩(wěn)態(tài)后，電感相當于短路，其儲存的能量為RL電路的零狀態(tài)響應3311.4一階電路的全響應及其分解

初始值為非零狀態(tài)的電路在獨立源作用下的響應稱全響應(completeresponse)。11.4.1全響應返回下一頁上一頁電路分析第11章一階動態(tài)電路分析全響應=零輸入響應+零狀態(tài)響應34為了求得電容電壓的全響應，以uC(t)為變量，列出電路的微分方程11.4.1RC電路全響應iCRt=0

+Us-

+uC(0-)=U0-35其解為

代入初始條件uC(0+)=uC(0-)=U0，可得

求得

則：11.4.1RC電路全響應全響應=暫態(tài)響應+穩(wěn)態(tài)響應36全響應=穩(wěn)態(tài)響應+暫態(tài)響應

11.4.2全響應的兩種分解全響應=強制分量+自由分量

1、全響應分解為穩(wěn)態(tài)響應與暫態(tài)響應之和

37也就是說電路的完全響應等于零輸入響應與零狀態(tài)響應之和。這是線性動態(tài)電路的一個基本性質，是響應可以疊加的一種體現(xiàn)。式可改寫為全響應=零輸入響應+零狀態(tài)響應11.4.2全響應的兩種分解1、全響應分解為零輸入響應和零狀態(tài)響應之和

38*電路中其它響應也是兩種響應的疊加。

*波形uCtuCuCtuCU0USU0US零狀態(tài)響應零輸入響應零狀態(tài)響應零輸入響應11.4.2全響應的兩種分解39按照相同的方法來分析RL電路的全響應，在圖11.13所示電路中，設電感，

2、RL電路全響應40則：

2、RL電路全響應全響應=穩(wěn)態(tài)響應+暫態(tài)響應

4111.5一階電路的三要素法

一階電路的全響應等于穩(wěn)態(tài)響應和暫態(tài)響應之和，且暫態(tài)響應總為，即一階電路的全響應電路分析第11章一階動態(tài)電路分析全響應=穩(wěn)態(tài)響應+暫態(tài)響應同一個一階電路中各響應的時間常數(shù)τ都是相同的。含電阻和電容的電路，時間常數(shù)；含電阻和電感的電路，時間常數(shù)，是換路后從C或L看過去的戴維南等效電路的等效電阻。42*三要素：穩(wěn)態(tài)值（特解）、初始值、時間常數(shù)。已知三要素，響應即可求得。*三要素法不僅適應全響應，也適用于零輸入響應和零狀態(tài)響應。所以一般形式t=0若激勵為交流電源11.5一階電路的三要素法

43在直流輸入的情況下，t

時，fh(t)

0，fp(t)為常數(shù)，則有因而得到

f(0+)——響應的初始值f(

)——響應的終值，

——時間常數(shù)

=RC,=L/R三要素：11.5一階電路的三要素法

44（1）

直流激勵；（2）一階電路任一支路的電壓或電流的（全）響應；（3）適合于求零輸入響應和零狀態(tài)響應。注意：11.5一階電路的三要素法

4511.5一階電路的三要素法

46三要素法求直流激勵下響應的步驟：1.初始值f(0+)的計算（換路前電路已穩(wěn)定）(2)由換路定則，確定電容電壓或電感電流初始值，即uC(0+)=uC(0-)和iL(0+)=iL(0-)。(3)畫0+圖，求其它初始值——用數(shù)值為uC(0+)的電壓源替代電容或用iL(0+)的電流源替代電感，得電阻電路再計算11.5一階電路的三要素法

(1)畫t=0-圖，求初始狀態(tài)：電容電壓uC(0-)或電感電流iL(0-)。47根據(jù)t>0電路達到新的穩(wěn)態(tài)，將電容用開路或電感用短路代替，得一個直流電阻電路，再從穩(wěn)態(tài)圖求穩(wěn)態(tài)值f(

)。先計算與電容或電感連接的電阻單口網(wǎng)絡的輸出電阻Ro，然后用公式

=RoC

或

=L/Ro計算出時間常數(shù)。4，將f(0+),f(

)和

代入三要素公式得到響應的一般表達式。2，穩(wěn)態(tài)值f(

)的計算(畫終了圖)3，時間常數(shù)

的計算(開關已動作)48例11.7：電路如圖，求開關S閉合后的電流UC和i2。

解：AA11.5一階電路的三要素法

1、求全響應的初始值開關閉合前電路已處于直流穩(wěn)態(tài)，電容相當于開路，，根據(jù)換路定律需通過作出如圖11.17(b)所示t=0+時的等效電路圖來求i2(0+)，在t=0+的等效電路中，電容相當于一個的電壓源，根據(jù)歐姆定律49例11.7：電路如圖，求開關S閉合后的電流UC和i2。

解：

A(2)求穩(wěn)態(tài)響應當t=

時的等效電路如圖11.17(c)所示，此時電容相當于開路，其兩端的電壓就是電阻兩端的電壓，即(3)求時間常數(shù)。50例11.7：電路如圖，求開關S閉合后的電流UC和i2。

解：

(4)根據(jù)三要素公式求uc(t)和i2。51[例

11.8]

電路如圖

11.19(a)所示，已知直流電壓源的電壓US=6，電流源IS=2A，，，。電路原已穩(wěn)定，試求換路后電感電流和電阻上的電壓。

解：1、求全響應的初始值電路原直流穩(wěn)態(tài)，電感相當于短路需通過作出如圖11.18(b)所示t=0+時的等效電路圖來求u(0+)，在t=0+的等效電路中，電感相當于一個電流源，，，

52

解：

(2)求穩(wěn)態(tài)響應在直流穩(wěn)態(tài)電路中，電感相當于短路(3)求時間常數(shù)。53例11.8

解：

(4)根據(jù)三要素公式求i(t)和u。54t01、單位階躍函數(shù)1定義2、延遲單位階躍函數(shù)t01t0階躍函數(shù)可描述開關的動作，如圖。CR+-u(t)1V11.6一階電路的階躍響應

11.6.1、階躍函數(shù)55t03、單位階躍函數(shù)的起始作用t0t0t011.6一階電路的階躍響應

56t04、用單位階躍函數(shù)表示矩形脈沖t01t0t0t01-111.6一階電路的階躍響應

5711.6.2一階電路的階躍響應電路對單位階躍函數(shù)輸入的零狀態(tài)響應稱為電路的單位階躍響應，用s(t)表示。iCuC-+S(t=0)-+uSR當電壓源為直流電源US時，零狀態(tài)響應為

當電壓源為時，uCiC-+-+R階躍響應為：11.6一階電路的階躍響應

58階躍響應為：uciC-+-+R電壓源為，

1t

1uC

0

2t0

階躍響應為：11.6.2一階電路的階躍響應591:寫出所加信號(由表示）例11.9電路如圖11.22所示，已知iS(t)作用于電路，uC(0)=0，求：uC(t)

解2：求出一階電路階躍響應60例11.9電路如圖11.22所示，已知iS(t)作用于電路，uC(0)=0，求：uC(t)

解3：利用1的表達式，依照比例性，時不變性和疊加定理寫出相應輸入下的零狀態(tài)響應。疊加定理6111.7.1微分電路11.7一階動態(tài)電路的應用

輸出電壓u2

的波形同電路的時間常數(shù)τ和脈沖寬tp的大小有關。6211.7.1微分電路

[例11.10]

在圖11.24所示的電路中，R=20k，C=100pF輸入信號u1為一矩形脈沖如圖11.26所示，其幅值U=6V，脈沖寬度tp=50。試分析和作出輸出電壓u2的波形，設電容元件原先未儲能