6.1.1函數(shù)的平均變化率課件高二下學期數(shù)學人教B版選擇性

6.1.1函數(shù)的平均變化率第六章人教B版

數(shù)學選擇性必修第三冊課標定位素養(yǎng)闡釋1.理解函數(shù)平均變化率的含義,會求函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率.2.領(lǐng)會以直代曲的方法.3.會求位移函數(shù)在某段時間內(nèi)的平均速度,理解平均變化率的物理意義.4.通過對平均變化率的理解與運用,提升數(shù)學抽象、直觀想象與數(shù)學運算的核心素養(yǎng).自主預習新知導學一、平均變化率的概念1.假設一座山的剖面示意圖如圖所示,建立平面直角坐標系,A是出發(fā)點,H是山頂.爬山路線用函數(shù)y=f(x)表示.自變量x表示某爬山者的水平位置,函數(shù)值y=f(x)表示此時爬山者所在的高度.設點A的坐標為(x1,y1),點B的坐標為(x2,y2).(1)若爬山者從點A爬到點B,自變量x和函數(shù)值y的改變量分別是多少?提示:自變量x的改變量為x2-x1,記作Δx,函數(shù)值的改變量為y2-y1,記作Δy.(2)根據(jù)y的改變量的大小能否判斷山路的陡峭程度?提示:不能.山路的陡峭程度也與自變量x的改變量有關(guān).(3)怎樣用數(shù)量刻畫彎曲山路AB的陡峭程度?2.一般地,若函數(shù)y=f(x)的定義域為D,且x1,x2∈D,x1≠x2,y1=f(x1),y2=f(x2),則稱Δx=x2-x1為

自變量

的改變量;稱Δy=y2-y1(或Δf=f(x2)-f(x1))為相應的

因變量

3.Δx的取值一定是正值嗎?提示:不一定.Δx可以為正,也可以為負.4.公式中,若將Δx改為x1-x2,則Δf是否還是f(x2)-f(x1)?提示:若Δx=x2-x1,則Δf=f(x2)-f(x1);若Δx=x1-x2,則Δf=f(x1)-f(x2).5.已知函數(shù)f(x)=2x+1,則函數(shù)f(x)在以x0和x0+Δx為端點的閉區(qū)間上的平均變化率為(

)A.-2 B.2

C.3

D.不確定解析:f(x0+Δx)-f(x0)=2(x0+Δx)+1-2x0-1=2Δx,故平均變化率為

答案:B二、平均變化率的幾何意義1.如圖,觀察函數(shù)y=f(x)的圖象,你能說出它在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率提示:直線AB的斜率,其中A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)).2.函數(shù)在一個區(qū)間內(nèi)的平均變化率,等于這個區(qū)間端點對應的函數(shù)圖象上兩點連線的

斜率

.如圖,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率,等于直線AB的

斜率

,其中A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)).3.如圖,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]上的平均變化率最大的一個區(qū)間是

[x3,x4].三、以直代曲已知函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過A(1,1),B(3,9)兩點,則該函數(shù)在區(qū)間[1,3]上的平均變化率是多少呢?你能估計出當x=2時y的值嗎?提示:

=4.直線AB的方程為y-1=4(x-1),即y=4x-3.當x=2時,y=5,故估計y的值為5.四、平均速度與平均變化率1.如果物體運動的位移xm與時間ts的關(guān)系為x=h(t),則物體在[t1,t2](t1<t2時)或[t2,t1](t2<t1時)這段時間內(nèi)的平均速度為

.這就是說,物體在某段時間內(nèi)的平均速度等于x=h(t)在該段時間內(nèi)的平均變化率.2.若質(zhì)點A運動的位移s與時間t的函數(shù)為s=3t2,則質(zhì)點A在以3和3+Δt為端點的閉區(qū)間上的平均速度為(

)A.6+3Δt B.18+3Δt C.54+3Δt D.81+3Δt答案:B【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)平均變化率中的Δx可以是任意實數(shù).(×)(2)在平均變化率公式

中,Δf不能為零.(×)(3)函數(shù)的平均變化率只能說明函數(shù)在x1變化到x2時的平均變化情況.(√)合作探究釋疑解惑探究一函數(shù)的平均變化率【例1】

求函數(shù)f(x)=3x2+2在以x0和x0+Δx為端點的閉區(qū)間上的平均變化率,并求當x0=2,Δx=0.1時的平均變化率.延伸探究若本例中其他條件不變,求當x0=2,Δx=-0.1時的平均變化率.解:當x0=2,Δx=-0.1時,平均變化率為6×2+3×(-0.1)=11.7.反思感悟求函數(shù)平均變化率的主要步驟:(1)求Δx:計算自變量的改變量Δx=x1-x0.(2)求Δf:計算因變量的改變量Δf=f(x1)-f(x0).【變式訓練1】

求函數(shù)f(x)=2x2+3x-5在下列區(qū)間上的平均變化率.(1)[4,5];(2)[4,4.1].探究二平均變化率的物理意義及應用【例2】

已知一物體運動的位移s(單位:m)是時間t(單位:s)的函數(shù),且當t=3時,s=29;當t=5時,s=77.(1)求物體在時間段[3,5]上的平均速度;(2)估計出t=4時物體的位移.(2)由題意知,過點(3,29),(5,77)的直線方程為s-29=24(t-3),即s=24t-43.當t=4時,s=53.故t=4時,估計物體的位移為53

m.反思感悟求運動物體的平均速度的三個步驟(1)求時間t的改變量Δt.(2)求位移s的改變量Δs.【變式訓練2】

某物體在發(fā)射后的一段時間內(nèi),其高度h(單位:m)與時間t(單位:s)的關(guān)系為h=f(t)=5t3+30t2+45t+4.(1)f(0),f(1)分別表示什么?(2)求該物體在第1s內(nèi)高度的平均變化率.解:(1)f(0)表示該物體未發(fā)射時的高度,f(1)表示該物體發(fā)射1

s時的高度.隨堂練習1.函數(shù)f(x)=x2-1在以x0和x0+Δx為端點的閉區(qū)間上的平均變化率為(

)A.2x0-1 B.2x0+ΔxC.2x0Δx+(Δx)2

D.(Δx)2-Δx+1答案:B2.若質(zhì)點M運動的位移s與時間t的關(guān)系為s=3+t2,則在[2,2.1]這段時間內(nèi)的平均速度是(

)A.4 B.4.1

C.0.41

D.3答案:B3.某手機配件生產(chǎn)流水線共有甲、乙兩條,產(chǎn)量s(單位:個)與時間t(單位:天)的關(guān)系如圖所示,則接近t0天時,下列結(jié)論正確的是(

)A.甲的日生產(chǎn)量大于乙的日生產(chǎn)量B.甲的日生產(chǎn)量小于乙的日生產(chǎn)量C.甲的日生產(chǎn)量等于乙的日生產(chǎn)量D.無法判定甲的日生產(chǎn)量與乙的日生產(chǎn)量的大小答案:B4.在雨季潮汛期間,某水文觀察員觀察某湖水位的變化,在24h內(nèi)發(fā)現(xiàn)水位從102.7m上漲到105.1m,則水位漲幅的平均變化率是

m/h.

答案:0.15.已知某物體做直線運動,且位移s與時間t的關(guān)系為s=f(t)=3t2+2t+1.求該物體在以2和2+Δt為端點的閉區(qū)間上的平均速度,并分別求當