專題1.3絕對(duì)值的綜合（壓軸題專項(xiàng)講練）（人教版2024）

專題1.3絕對(duì)值的綜合思想方法思想方法數(shù)形結(jié)合思想：所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問題的思想，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合。分類討論思想：當(dāng)問題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，我們就需要對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類，然后對(duì)每一類分別進(jìn)行研究，得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類的結(jié)果，得到整個(gè)問題的解答。分類討論的分類并非是隨心所欲的，而是要遵循以下基本原則：1.不重（互斥性）不漏（完備性）；2.按同一標(biāo)準(zhǔn)劃分（同一性）；3.逐級(jí)分類（逐級(jí)性）。知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、絕對(duì)值1．定義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)的絕對(duì)值，記作a．2．性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0．3．化簡(jiǎn)：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么．4．非負(fù)性：根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性“若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)必為0”，即若a+b=0，則a=0且典例分析典例分析【典例1】請(qǐng)利用絕對(duì)值的性質(zhì)，解決下面問題：（1）已知a，b是有理數(shù)，當(dāng)a>0時(shí)，則aa=；當(dāng)b<0時(shí)，則bb（2）已知a，b，c是有理數(shù)，a+b+c=0，abc<0（3）已知a，b，c是有理數(shù)，當(dāng)abc≠0時(shí)，求aa+【思路點(diǎn)撥】本題考查了絕對(duì)值的意義、分類討論的思想方法：（1）直接根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)求解即可；（2）a+b+c=0，abc<0可知三個(gè)數(shù)中必需有兩個(gè)正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)，可設(shè)a>0，b>0，（3）分a，b，c三個(gè)有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)或兩個(gè)正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)或三個(gè)都為負(fù)數(shù)四種情況討論即可．【解題過程】（1）解：∵a>0，∴a|a|∵b<0，∴b=?b∴b|b|故答案為：1，?1；（2）解：∵a+b+c=0，∴三個(gè)數(shù)中必需有兩個(gè)正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)，可設(shè)a>0∴a=?(b+c)，b=?(a+c)，c=?(a+b)，∴原式=?a（3）解：由題意得：a，b，c三個(gè)有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)或兩個(gè)正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)或三個(gè)都為負(fù)數(shù)．①當(dāng)a，b，c都是正數(shù)，即a>0，則：aa②當(dāng)a，b，c有一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)a>0，則：aa③當(dāng)a，b，c有兩個(gè)為正數(shù)，一個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)a>0，則：a=1+1?1=1；④當(dāng)a，b，c三個(gè)數(shù)都為負(fù)數(shù)時(shí)，則：a=?1?1?1=?3；綜上所述：aa+bb+學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（2324七年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）p、q、r、s在數(shù)軸上的位置如圖所示，若p?r=10，p?s=12，q?s=9，則q?r等于（A．7 B．9 C．11 D．13【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)數(shù)軸判斷p、q、r、s四個(gè)數(shù)的大小，再去絕對(duì)值得出等式，然后整體代入計(jì)算即可．【解題過程】解：由數(shù)軸可知：p<r,p<s,q<s,q<r,∵p?r=10，p?s=12，∴r?p=10，∴q?r=r?q=故選：A．2．（2324七年級(jí)上·福建莆田·階段練習(xí)）已知a與4互為相反數(shù)，b的絕對(duì)值是最小的正整數(shù)，已知m+a+b?n=0，則m+nA．3 B．4 C．5或5 D．3或5【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)相反數(shù)的定義以及絕對(duì)值的定義求得a、b的值，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得m、n的值，然后計(jì)算即可．掌握幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則每個(gè)非負(fù)數(shù)均為零是解題的關(guān)鍵．【解題過程】解：∵a與4互為相反數(shù)，b的絕對(duì)值是最小的正整數(shù)，∴a=?4，∵m+a+∴m?4+1?n=0又∵m?4≥0，1?n≥0或m?4≥0∴m?4=0，1?n=0或∴m=4，n=1或∴m+n=4+1=5或m+n=4?1=3，∴m+n的值為3或5．故選：D．3．（2024七年級(jí)·全國(guó)·競(jìng)賽）使a+3=a+3A．a(chǎn)為任意數(shù) B．a(chǎn)≠0 C．a(chǎn)≤0 D．a(chǎn)≥0【思路點(diǎn)撥】分a≥0，?3＜a＜本題主要考查了含絕對(duì)值符號(hào)的等式．解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，分類討論．【解題過程】解：當(dāng)a≥0時(shí)，a+3=a+3，a等式化為：a+3=a+3，成立；當(dāng)?3＜a+3=a+3，a等式化為：a+3=?a+3，解得：a=0，不符合題意；當(dāng)a≤?3時(shí)，a+3=?a?3，a等式化為：?a?3=?a+3，矛盾．故使a+3=a+3故選：D．4．（2324七年級(jí)上·江西撫州·期末）適合|a+5|+|a?3|=8的整數(shù)a的值有（

）A．5個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)【思路點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)軸，絕對(duì)值的幾何意義，此方程可理解為數(shù)軸上a到?5和3的距離的和，由此可得出a的值，進(jìn)而可得出答案．【解題過程】解：∵a+5+∴|a+5|+|a?3|可理解為數(shù)軸上a到?5和3的距離的和，∵?5和3之間的距離為8，∴當(dāng)?5≤a≤3時(shí)，均滿足|a+5|+|a?3|=8，∵a為整數(shù)，∴a可以為?5，?4，?3，?2，?1，0，1，2，3，共9個(gè)，故選D．5．（2024七年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）若a、b、c均為整數(shù)，且|a?b|+|c?a|=1，則|a?c|+|c?b|+|b?a|的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)a、b、c均為整數(shù)，且|a?b|+|c?a|=1，可得a?b=1，|c?a|=0或|a?b|=0，|c?a|=1，然后分兩種情況分別求出|a?c|+|c?b|+|b?a|【解題過程】解：∵a，b，c均為整數(shù)，且|a?b|+|c?a|=1，∴a?b=1，|c?a|=0或|a?b|=0，①當(dāng)a?b=1，|c?a|=0時(shí)，c=a，a=b±1∴a?c+②當(dāng)|a?b|=0，|c?a|=1時(shí)，a=b，∴a?c+綜上，|a?c|+|c?b|+|b?a|的值為2．故選：B．6．（2223七年級(jí)上·重慶江北·階段練習(xí)）已知有理數(shù)a，c，若a?2=18，且3a?c=A．﹣6 B．2 C．8 D．9【思路點(diǎn)撥】根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)意義對(duì)a?2=18進(jìn)行化簡(jiǎn)，a?2=18或a?2=?18，解得a=20或a=?16有兩個(gè)解，分兩種情況再對(duì)3a?c=c進(jìn)行化簡(jiǎn)，繼而有兩個(gè)不同的絕對(duì)值等式，320?c=c【解題過程】解：∵a?2=18∴a?2=18或a?2=?18，∴a=20或a=?16，當(dāng)a=20時(shí)，3a?c=c等價(jià)于3∴60?3c=c或60?3c=?c，∴c=15或c=30；當(dāng)a=?16時(shí)，3a?c=c等價(jià)于3∴?48?3c=c或?48?3c=?c，∴c=?12或c=?24，故c=15或c=30或c=?12或c=?24，∴所有滿足條件的數(shù)c的和為：15+30+(?12)+(?24)=9．故答案為：D7．（2324七年級(jí)上·湖北武漢·期中）在多項(xiàng)式x?y?z?m?n（其中x>y>z>m>n）中，對(duì)相鄰的兩個(gè)字母間任意添加絕對(duì)值符號(hào)，添加絕對(duì)值符號(hào)后仍只有減法運(yùn)算，然后進(jìn)行去絕對(duì)值運(yùn)算，稱此為“絕對(duì)操作”例如x?y?|z?m|?n=x?y?z+m?n，x?y?z?m?n=x?y?z?m+nA．7 B．6 C．5 D．4【思路點(diǎn)撥】根據(jù)給定的定義對(duì)絕對(duì)操作分析添加一個(gè)和兩個(gè)絕對(duì)值的情況，并將結(jié)果進(jìn)行比較排除相等的結(jié)果，匯總得出結(jié)果，理解題意，熟練掌握絕對(duì)值的化簡(jiǎn)是解題關(guān)鍵．【解題過程】解：當(dāng)添加一個(gè)絕對(duì)值時(shí)，共有4種情況，分別是x?y?z?m?n=x?y?z?m?nx?y?zx?y?|z?m|?n=x?y?z+m?n；x?y?z?m?n當(dāng)添加兩個(gè)絕對(duì)值時(shí)，共有3種情況，分別是x?y?z?m?n=x?y?z+m?nx?y?z共有7種情況；故選：A．8．（2324七年級(jí)上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A、B、C所對(duì)應(yīng)的數(shù)a、b、c都不為0，且C是AB的中點(diǎn)，如果a+b?a?2c+b?2c?

A．A的左邊 B．A與C之間 C．C與B之間 D．B的右邊【思路點(diǎn)撥】可得a+b=2c，從而可得a+b?a?2c+b?2c?a+b?2c=a+b【解題過程】解：∵C是AB的中點(diǎn)，∴a+b=2c，∴a+b===a+bA．在A的左邊，∴a>0，b>0，a+b>0，a+b=a+b?b+a=2a≠0，故此項(xiàng)不符合題意；B．在A與C之間時(shí)，∴a<0，b>0，a+b>0，a+b=a+b?b?a=0，故此項(xiàng)符合題意；C．在C與B之間時(shí)，∴a<0，b>0，a+b<0，a+b=?a?b?b?a=?2a?2b≠0，故此項(xiàng)不符合題意；D．在B的右邊時(shí)，∴a<0，b<0，a+b<0，a+b=?a?b+b?a=?2a≠0，故此項(xiàng)不符合題意；故選：B．9．（2024七年級(jí)·全國(guó)·競(jìng)賽）a、b、c、d為互不相等的有理數(shù)，且c最小，a最大，若a?c?b?c+b?d=【思路點(diǎn)撥】本題考查了有理數(shù)的大小比較，熟練掌握有理數(shù)比較大小法則是解題的關(guān)鍵；作差法比較大小時(shí)，先求出兩個(gè)代數(shù)式的差，然后通過判斷差與0的大小關(guān)系來(lái)確定原代數(shù)式的大小關(guān)系．【解題過程】解：∵a、b、c、d為互不相等的有理數(shù)，且c最小，a最大，∴a?c>0、b?c>0、a?d>0，∴a?c?a?c?即b?d∴b?d>0，即d<b∴從小到大排列順序?yàn)閏<d<b<a，故答案為：c<d<b<a10．（2324七年級(jí)上·四川南充·階段練習(xí)）已知m?6+n+4=6?m，那么【思路點(diǎn)撥】本題考查了絕對(duì)值的意義和代數(shù)式求值，根據(jù)絕對(duì)值的意義進(jìn)行討論得出m，n得值，代入即可求解，解題的關(guān)鍵是正確理解絕對(duì)值的意義．【解題過程】解：由m?6+∵m?6≥0，n+4∴6?m≥0，即m≤6，要使m?6+則6?m=0，n+4=0，解得：m=6，n=?4，∴m?10?故答案為：3．11．（2324七年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）在a，b，c，d，e，f，g，?中，每個(gè)字母的值恰好是?3，0，1這三個(gè)數(shù)值中的一個(gè)，若a+b+c+d+e+f+g+?=?2，則a+b【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是分析判斷5個(gè)字母的值的和為0時(shí)，這5個(gè)字母可能是什么數(shù)．根據(jù)已知條件a,b,c,d,e,f,g,?中，每個(gè)字母的值恰好是?3，0，1這三個(gè)數(shù)值中的一個(gè)，a+b+c+d+e+f+g+?=?2，求出其中5個(gè)字母的值的和為0，進(jìn)行推導(dǎo)即可．【解題過程】解：∵a,b,c,d,e,f,g,?中，每個(gè)字母的值恰好是?3，0，1這三個(gè)數(shù)值中的一個(gè)，a+b+c+d+e+f+g+?=?2，?3+0+1=?2，∴有3個(gè)字母的值分別為?3，0，1，另5個(gè)字母的值的和為0，∴這5個(gè)字母的值分別為：0，0，0，0，0或1，1，1，?3，0，∴這8個(gè)字母的值分別為?3，0，1，1，1，1，?3，0或?3，0，1，0，0，0，0，0，a+=3+1+1+1+1+3，=10；或a=3+1，=4；故答案為：10或4．12．（2024七年級(jí)·全國(guó)·競(jìng)賽）已知a，b，c都為整數(shù)，且a?b2012+c?a2013=1【思路點(diǎn)撥】本題考查了絕對(duì)值的性質(zhì)，代數(shù)式求值，絕對(duì)值方程，根據(jù)題意得到a?b=0，c?a=1或a?b=1，c?a=0，分了討論【解題過程】解：由題意，a?b=0，c?a=1或a?b=1當(dāng)a?b=0，c?a=1時(shí)，則∴b?c=?1，即b?c∴a?b+當(dāng)a?b=1，c?a=0時(shí)，則∴b?c=±1，即b?c=1∴a?b+∴x=x+2解得x=?113．（2024七年級(jí)·全國(guó)·競(jìng)賽）若關(guān)于m的方2m+5?b=5有三個(gè)不同的解，則有理數(shù)b=【思路點(diǎn)撥】本題考查了絕對(duì)值的性質(zhì)和解絕對(duì)值方程等知識(shí)，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)得2m+5?b=±5，再根據(jù)絕對(duì)值性質(zhì)可得2m+5=5+b或【解題過程】解：∵2m+5∴2m+5?b=±5∴2m+5=5+b或2m+5當(dāng)?5+b<0時(shí)，即b<5時(shí)，方程2m+5=?5+b無(wú)解，此時(shí)方程2m+5當(dāng)?5+b=0時(shí)，即b=5時(shí)，方程2m+5=?5+b有一個(gè)解，此時(shí)方程2m+5=5+b有兩個(gè)不同的解，即此時(shí)方程當(dāng)?5+b>0時(shí)，即b>5時(shí)，方程2m+5=?5+b有兩個(gè)不同的解，此時(shí)方程2m+5=5+b有兩個(gè)不同的解，即方程綜上所述，b=5，故答案為：5．14．（2324七年級(jí)上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知(x+1+|x?2)(y?2+y+1)(【思路點(diǎn)撥】x+1+x?2表示數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示?1和2的兩個(gè)點(diǎn)的距離之和，得x+1+x?2≥3．同理，y?2+y+1≥3，z?3+【解題過程】解：x+1+x?2表示數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示∴x+1+同理，y?2+y+1≥3而(x+1∴x+1+x?2=3，y?2∴?1≤x≤2,?1≤y≤2,?1≤z<3．∴?6≤x+2y+3z≤15．故答案為：15，?615．（2324七年級(jí)上·湖南邵陽(yáng)·期末）規(guī)定：fx=x?3，gy=y+2，例如f?2【思路點(diǎn)撥】本題考查求代數(shù)式的最值問題及絕對(duì)值的幾何意義，根據(jù)題意將fx?3和g【解題過程】解：∵fx=∴fx?3∵x?6+x+4可以看作數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)與表示數(shù)6和①當(dāng)x位于點(diǎn)?4左側(cè)時(shí)，即x<?4時(shí)，x?6+②當(dāng)x位于點(diǎn)?4與點(diǎn)6之間時(shí)，即?4≤x≤6時(shí)，x?6+③當(dāng)x位于點(diǎn)6右側(cè)時(shí)，即x>6時(shí)，x?6+綜上可知：x?6+∴當(dāng)?4≤x≤6時(shí)，x?6+x+4有最小值，最小值為故答案為：10．16．（2324七年級(jí)上·浙江寧波·開學(xué)考試）a、b、c都是質(zhì)數(shù)，且滿足a+b+c+abc=99，則1a?【思路點(diǎn)撥】本題考查了質(zhì)數(shù)，奇數(shù)與偶數(shù)，絕對(duì)值，掌握所有的質(zhì)數(shù)中只有2是偶數(shù)是解題關(guān)鍵．先假設(shè)a、b、c都是奇數(shù)，判斷出與已知矛盾，得出a、b、c中必有兩個(gè)偶數(shù)，從而令a=b=2，求出c的值，代入計(jì)算即可．【解題過程】解：若a、b、c都是奇數(shù)，則abc也是奇數(shù)，那么a+b+c+abc為偶數(shù)，與已知矛盾，∴a、b、c中必有一個(gè)偶數(shù)，∵a、b、c都是質(zhì)數(shù)，∴a、令a=2，則b+c+2bc=97，若b、c都是奇數(shù)，則bc也是奇數(shù)，那么b+c+2bc偶數(shù)，與已知矛盾，∴b、c中必有一個(gè)偶數(shù)2，令b=2，則2+2+c+4c=99，∴c=19，∴===17故答案為：1717．（2223七年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）若x+2+x?1+x?2=6【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了絕對(duì)值和數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離．根據(jù)絕對(duì)值的意義及數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離即可求解．【解題過程】解：|x+2|表示數(shù)軸上數(shù)x表示的數(shù)到?2的距離，|x?1|表示數(shù)軸上數(shù)x表示的數(shù)到1的距離，|x?2|表示數(shù)軸上數(shù)x表示的數(shù)到2的距離，∵|x+2|+|x?1|+|x?2|=6，∴①當(dāng)x<?2時(shí)：x+2<0，x?1<0，x?2<0，∴?x?2+(?x+1)+(?x+2)=6，化簡(jiǎn)得：x=?5②當(dāng)x=?2時(shí)，x+2=0，x?1<0，x?2<0，∴0+(?x+1)+(?x+2)=6，解得：x=?3③當(dāng)?2<x<1時(shí)，x+2>0，x?1<0，x?2<0，∴x+2+(?x+1)+(?x+2)=6，解得：x=?1（符合題意）；④當(dāng)x=1時(shí)，x+2>0，x?1=0，x?2<0，∴x+2+0+(?x+2)=6，解得：4=6（不符合題意，舍去）；⑤當(dāng)1<x<2時(shí)，x+2>0，x?1>0，x?2<0，∴x+2+x?1+(?x+2)=6，解得：x=3（不符合題意，舍去）；⑥當(dāng)x=2時(shí)，x+2>0，x?1>0，x?2=0，∴x+2+x?1+0=6，解得：x=5⑦當(dāng)x>2時(shí)，x+2>0，x?1>0，x?2>0，∴x+2+x?1+x?2=6，解得：x=7∴x=?1或73故答案為：?1或7318．（2324七年級(jí)上·四川達(dá)州·期中）若a、b、c是整數(shù)，且a+b+b+c=1，則【思路點(diǎn)撥】本題考查了絕對(duì)值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對(duì)值的非負(fù)性，以及采用分類討論的思想，根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性以及題意，可知當(dāng)a+b=0時(shí)，則b+c=1，當(dāng)a+b=1【解題過程】解：∵a、b、c是整數(shù)，∴a+b，b+c是整數(shù)，∵a+b又∵a+b∴a+b=0時(shí)，則b+c=1或a+b=1∴當(dāng)a+b=0，則a=?b，∴a?c∴當(dāng)a+b=0，則a=?b，∴a?c∴當(dāng)a+b=1，則a=1?b，∴∴當(dāng)a+b=?1，則a=?1?b，∴a?c綜上可得：a?c=1故答案為：1．19．（2223七年級(jí)上·浙江麗水·期中）已知：m=a+bc+2b+ca+3c+ab，且abc>0，a+b+c=0，則m【思路點(diǎn)撥】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)求出x、y的值，然后代入x?y即可解答．【解題過程】解：∵abc>0，a+b+c=0，∴a+b=?c，b+c=?a，c+a=?b，∴a，b，c三個(gè)數(shù)中有兩負(fù)一正，當(dāng)a，b為負(fù)，c為正數(shù)時(shí)，m====1?2?3=?4；當(dāng)a，c為負(fù)，b為正數(shù)時(shí)，m====?1+=0；當(dāng)b，c為負(fù)，a為正數(shù)時(shí)，m====?1+2?3=?2；∵m共有x個(gè)不同的值，若在這些不同的m值中，最小的值為y，∴x=3，y=?4，∴x+y=3??4故答案為：7．20．（2223七年級(jí)上·浙江溫州·階段練習(xí)）式子x?1+2x?2+3【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了絕對(duì)值．熟練掌握絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，分類討論，是解決問題的關(guān)鍵．分x≤1，1≤x≤2，2≤x≤3，3≤x≤4，4≤x≤5，x≥5討論，求出各股的最小值，再比較即得．【解題過程】解：設(shè)x?1+2當(dāng)x≤1時(shí)，y=?=?x+1?2x+4?3x+9?2x+8?x+5=?9x+27，∴y≥18，最小值為：18；當(dāng)1≤x≤2時(shí)，y==x?1?2x+4?3x+9?2x+8?x+5=?7x+25，∴11≤y≤18，最小值為：11；當(dāng)2≤x≤3時(shí)，y==x?1+2x?4?3x+9?2x+8?x+5=?3x+17，∴8≤y≤11，最小值為：8；當(dāng)3≤x≤4時(shí)，y==x?1+2x?4+3x?9?2x+8?x+5=3x?1，∴8≤y≤11，最小值為：8；當(dāng)4≤x≤5時(shí)，y==x?1+2x?4+3x?9+2x?8?x+5=7x?17，∴11≤y≤18，最小值為：11；當(dāng)x≥5時(shí)，y==x?1+2x?4+3x?9+2x?8+x?5=9x?27，∴y≥18，最小值為：18．綜上，原式的最小值為：8．故答案為：8．21．（2324七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，它可以把抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形結(jié)合起來(lái)解決問題．探究：方程x?1=2方法一、當(dāng)x?1>0時(shí)，x?1=x?1=2當(dāng)x?1≤0時(shí)，x?1=___________=2方法二、x?1=2的意義是數(shù)軸上表示x上述兩種方法，都可以求得方程x?1=2應(yīng)用：根據(jù)探究中的方法，求得方程x?1+拓展：方程x?1?【思路點(diǎn)撥】本題考查了絕對(duì)值的意義，解絕對(duì)值方程，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離．熟練掌握絕對(duì)值的意義，解絕對(duì)值方程，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離是解題的關(guān)鍵．探究：根據(jù)題意化簡(jiǎn)絕對(duì)值，利用絕對(duì)值的意義進(jìn)行作答即可；應(yīng)用：由x?1+x+3=9的意義是數(shù)軸上表示x的點(diǎn)與表示1和?3兩點(diǎn)之間的距離和為9，表示1和?3兩點(diǎn)之間的距離為4，可知表示x的點(diǎn)在?3左側(cè)，或在1右側(cè)；分當(dāng)x<?3拓展：由題意知，x?1??x?3=12，整理得x?1?x+3【解題過程】探究：解：由題意知，當(dāng)x?1>0時(shí)，x?1=x?1=2解得，x=3；當(dāng)x?1≤0時(shí)，x?1=1?x=2解得，x=?1；x?1=2的意義是數(shù)軸上表示x上述兩種方法，都可以求得方程x?1=2的解是x=3或x故答案為：1?x、1、x=3或x=應(yīng)用：解：x?1+x+3=9的意義是數(shù)軸上表示x的點(diǎn)與表示1∵表示1和?3兩點(diǎn)之間的距離為4，∴表示x的點(diǎn)在?3左側(cè)，或在1右側(cè)；當(dāng)x<?3時(shí)，x?1+解得，x=?5.5；當(dāng)x>1時(shí)，x?1+解得，x=3.5；綜上所述，x=?5.5或x=3.5；拓展：解：x?1?∴x?1?當(dāng)x+3<0時(shí)，x?1?當(dāng)x?1>0時(shí)，x?1?當(dāng)0≤x+3，x?1≤0時(shí)，解得，x=?5故答案為：x=?522．（2324七年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）華羅庚先生說；“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”．【知識(shí)儲(chǔ)備】點(diǎn)M、N在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)m、n，則M、N兩點(diǎn)之間的距離可表示為|m?n|．【初步運(yùn)用】（1）數(shù)軸上表示3與?4的兩點(diǎn)之間的距離為______；（2）已知數(shù)軸上某個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)為x．①若|x?1|=2，則x=______；②若|x+3|=|x?5|，則x=______；【深入探究】（3）如圖，數(shù)軸上每相鄰兩點(diǎn)之間的距離為1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)A、B、C表示的數(shù)分別為a、b、c．①|(zhì)a?b|+|b?c|=______；②若|b?2a|=4，則點(diǎn)C表示的數(shù)為______；③若該數(shù)軸上另有