等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)-2025年高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)

第一章集合、常用邏輯用語與不等式

第3講等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測

比較兩個2022全國卷甲本講很少單獨(dú)命題，常與其他知識綜合

梳理等式的數(shù)（式）T12；2020全國卷命題，命題熱點(diǎn)有比較大小，不等式性

性質(zhì)，理解的大小IIIT12質(zhì)的應(yīng)用等，主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算

不等式的概和邏輯推理素養(yǎng).題型以選擇題和填空

不等式的2020新高考卷

念，掌握不題為主，難度中等，預(yù)計2025年高考

性質(zhì)及其IT11；2019全國卷

等式的性質(zhì).命題點(diǎn)變化不大，復(fù)習(xí)備考時要掌握等

應(yīng)用IIT6

式與不等式的性質(zhì)，并能充分運(yùn)用.

,----------------------------:一材赭;讀進(jìn)敕材電合w通---------------------------s

。學(xué)生用書P008

1.兩個實(shí)數(shù)比較大小的方法

方法

關(guān)系

作差法作商法

a>ba-b>0^>1(a,b>0)或沔V1(.a,b<0)

a—ba—b=0-b=1(bWO)

a<ba~b<0(a,6>0)或牌>1(a,6c0)

2.等式的性質(zhì)

對稱性如果q=b,那么b=q

傳遞性如果q=b,b=c,那么q=c

可加（減）性如果q=b,那么〃±c=6±c

可乘性如果q=6,那么ac=bc

可除性如果。=6,。￥0,那么巴=2

CC

3.不等式的性質(zhì)

性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容

對稱性a〉6o③

傳遞性a>b,b>c=>@a>c

可加性

可乘性a>b,c>O=>ac>bc；a>b,c<0=>?ac<bc

同向可加性a>b,c>d今⑥a+c>b+d

同向同正可乘性a>b>0,c>d>0n⑦ac>bd

同正可乘方性a>b>0,那么a">6"("eN,〃22)

常用結(jié)論

l.a>b>O=>^/a>Vb.

2.(1)a>b,ab>0=>-<-；(2)a>b>0t/>c>0=>->^.

abca9

3-,m>o=2<a/呼.

aa+mbb+m

1.已知片2a+2b,S=層+26+1,則(C)

A.f>5C"WSD/<S

解析因為t—s—(2a+26)—(層+26+l)=—(a—1)2^0,所以fWs.故選C.

2.［易錯題］設(shè)a,6e［0,+°°),A^-yJa+Vb,B=Ja+b,則4,2的大小關(guān)系是

(B)

A.AWBB.心3C.A<BD.A>B

解析由題意得，即2=2痛NO,又/NO,B20,故A2B.

3.［多選］下列說法不正確的是(AD)

A.一個不等式的兩邊同時加上或同時乘以同一個數(shù)，不等號方向不變

B.若a>b>0,c>d>0,則二>2

ac

C.若ab>0,a>b,則工

D.若x>y,則N>產(chǎn)

4.［教材改編］已知2<a<3,-2<b<-l,則2a—b的取值范圍是(5,8).

解析V2<tz<3,：,4<2a<6①.：-2<6<—1,：.l<-b<2②.①+②得，5<2a~

Z)<8.

f---------------------------明,方向----------------------------------------------

。學(xué)生用書P009

命題點(diǎn)1比較兩個數(shù)(式)的大小

例1(1)［2024湖北襄陽宜城第一中學(xué)模擬］已知0<a<3若4=1+層，5=—,則N

21—a

與3的大小關(guān)系是(A)

K.A<BB.A>BC.A=BD.不確定

2232

々刀JUAnil?1(l+a)(l—a)—1a—a—aa(a—1—a)m以八——1匕乙~

解析A—B=\+a1———=------------------=-------=----------,因為OVaV二，所以

1—a1—al-al~a2

2

l-a>0f-a+a~l=~（a—=）2—濃一：<0,所以力一8<0,即/VA故選A.

（2）e",一與ee,n31的大小關(guān)系為e71?兀e<e。?兀兀.

解析=（與Le又0<2<l,0<7T-e<l,所以（與Le<l即胃子<1,又

ee-nHnLenirnee-iiH

ee'7T,t>0,所以e-TteVee-Tl".

方法技巧

比較數(shù)（式）大小的常用方法

1.作差法：（1）作差；（2）變形；（3）定號；（4）得出結(jié)論.

2.作商法：（1）作商；（2）變形；（3）判斷商與1的大小關(guān)系；（4）得出結(jié)論.

3.構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.

訓(xùn)練1（1）若P=aeb,Q=bea,則尸，。的大小關(guān)系是（C）

A.尸>QB.P=QC.P<QD.不能確定

b也

解析P,。作商可得:=告=*-

a

令/（x）W，則/（X）=3片，

當(dāng)x>l時，/（x）>0,所以/（x）在（1,+8）上單調(diào)遞增，

因為a>6>l,所以史，

ba

心￡

->o

匕a

沸

p-

也

-

Q所以尸<Q.

ea-

a

（2）［多選/2023江蘇省南京市調(diào)研］已知q>b>0,則（AC）

AA.1-、>-1

ba

B.a-=>b--

ba

C.a3-b3>2（a2b-ab2）

D.Va+1—Vfo+l>yfa-Vb

解析對于A,因為函數(shù)歹=工在（0,+°°）上單調(diào)遞減，a>b>0,所以=>工，故A正確.

xba

對于B,解法一由。一：>人一工，得。一b+工一：>0,即（〃-6）（1—=）>0,

baabab

因為q>b>0,所以〃-6>0,ab>0,

所以1一令>0，

所以。6>1,而該式不一^定成立，

所以不等式Q—：>b一工不一^定成立，故B不正確.

解法二當(dāng)Q=工，6=工時，a—7=-b--=-則a—六<b-故B不正確.

23b2a3ba

對于C,由〃一〃>2(cfib—ab1),得(〃一b)(。2—仍+按)>0,因為Q—b>0,

所以〃+62一仍>0,即(Q—6)2+/>0,該不等式恒成立，故C正確.

對于D,由Va+\—7b+\得7a++1—VF,即?=>

'V/a+1+ya

1

VFH+VF,

所以收五+也>歷方+口，該不等式不成立，故D不正確.

綜上所述，選AC.

命題點(diǎn)2不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用

角度1不等式的性質(zhì)

例2⑴［全國卷II］若a>b,則(C)

A.ln(°-6)>0B.3"<36

C4一〃>0D.IaI>IZ>I

解析解法一由函數(shù)y=lnx的圖象(圖略)知，當(dāng)0<。一b<1時，In(a—b)<0,故

A不正確；因為函數(shù)>=3,在R上單調(diào)遞增，所以當(dāng)a>6時，3">36,故B不正確；因為

函數(shù)>=好在R上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，a3>b\即/一加〉。，故c正確；當(dāng)b<a<

0時，IaI<I6I,故D不正確.故選C.

解法二當(dāng)a=0.3,b=—0.4時，In(a—6)<0,3。>3:\a\<\b\,故排除A,B,

D.故選C.

(2)［多選/2023湖南省邵陽二中模擬］如果a,b,c滿足c<b<a,且ac<0,那么下列結(jié)

論一定正確的是(ACD)

K.ab>acB.cb2<ab2

C.c(b~a)>0D.ac(a—c)<0

解析由c<6<a,且ac<0,得a>0,c<0.對于A,由c<6,a>0得ac<a6,故A正

確.對于B,取c=—1,b=Q,a=l,顯然B不一定正確.對于C,b~a<0,c<0,故c(b

—a)>0,故C正確.對于D,ac<0,a~c>0,故ac(a—c)<0,故D正確.故選AC.D.

方法技巧

判斷不等式是否成立的常用方法

(1)利用不等式的性質(zhì)驗證，應(yīng)用時注意前提條件；

(2)利用特殊值法排除錯誤選項，進(jìn)而得出正確選項；

(3)根據(jù)式子特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.

角度2不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例3⑴已知a>6>c,2a+6+c=0,則￡的取值范圍是(A)

a

A.(—3,—1)B.(—1,--)

3

C.(—2,—1)D.(—1,--)

2

解析因為q>b>c,2Q+6+C=0,所以Q>0,C<0,6=—2Q—C.因為〃>6>C,所以

—2a~c<a,即3Q>—c,解得￡>—3,將b=—2。-c代入6>c中，得一2Q—C>C,即q

a

<-c,得￡<一1,所以一3<￡<—1.故選A.

aa

(2)[2024湖北孝感部分學(xué)校模擬]已知實(shí)數(shù)a,6滿足-3Wa+6W2,-lWa-6W4,則

3a—2b的取值范圍為[-4,11].

ZTT~~I~3,

解

{m—n=—2,

(_1

得42所以3a—2b=-(a+6)+-(a—6).又一工(a+6)W1,-(a—b)

e—5222222

lnT

W10,所以一4W3a—26W11.

方法技巧

利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的取值范圍，解決的方法是先利用待定系數(shù)法建立所求

范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，再利用不等式的性質(zhì)求解.

訓(xùn)練2(1)[2024吉林長春東北師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬]設(shè)且1是關(guān)于x的一元

二次方程。N+6x+c=0的一個實(shí)根，則工的取值范圍是(A)

a

A.[—2,—|]

B.(-2,-1)

C.(—8,—2)U(--,+8)

2

D.(—8,-2]U[-p+8)

解析因為1是一元二次方程4/+6%+o=0的一^個實(shí)根，

所以a+b+c=09則b=—a—c,

(2ct>—c,

又aNbNc,所以aN—a—c2c,貝H

1-a>2c,

又所以3a2〃+b+c=0,又aWO,所以〃>0,

則不等式組等價于4/即《1：故一3故選A.

-1>-,-1>-,a2

Ia\2a

(2)[多選/2024山東省鄴城縣第一中學(xué)模擬]已知a,b,c￡R,則下列命題為真命題的是

(ABC)

A.若bc2<ac2,則b<a

B.若京〉加且MVO,貝壯

C.若a>6>c>0,則￡>華

bb+c

D.若C>b>Q>0,則0〉》

c-ac-b

解析選項A,若於2〈四2成立，則cWO,所以。2>0,故選項A正確；

-11

選項B,由〃>63得又成<0,所以0>0>6,所以±>0>;,故選項B正確；

ab

選項C,因為Q>6>C>0,所以〃c>bc,所以。。+必>反+。6,因為---——>0,所以兩

b(b+c)

邊同乘得〉空,故選項正確；

b…(匕］+c)、bb+cc

選項D,易知a—6V0,c-a>Q,c-b>0,所以，」一」一=上0一<,即一L<

c~ac~b(c—a)(c—b)0c~a

―,故選項D不正確.

c-b

故選ABC.

1.［命題點(diǎn)1/多選/2024黑龍江哈爾濱模擬］已知偶函數(shù)/■(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，

且/(-1)=0.若0=/(2°-7),6=/(0.5-°9),c=/(logo.70.9),則(ACD)

A.62>a2B.-<-C<>￡D.h>a+c

acba

解析因為偶函數(shù)/(X)在(一8,0)上單調(diào)遞減，且/(—1)=0,所以函數(shù)/(X)在

(0,+8)上單調(diào)遞增，且/(I)=0.又10go.71=0<logo.70.9<logo.70.7=l=2°<2S7<20-9

=0.5"°-9,所以。<0VaV6.

對于A選項，因為。<0<。<6,所以從一層〉(),即扶〉

2

af故A選項正確；

對于B選項，因為c<O<a<b,所以工<0<工，故B選項不正確；

ca

對于C選項，因為c<O<a<b,所以。<工，所以；>￡,故C選項正確；

baba

對于D選項，因為c<O<a<b,所以6>a>a+c,故D選項正確.

故選ACD.

2.［命題點(diǎn)2/多選〃023長沙調(diào)研］若工<:<(),則下列不等式中正確的是(AC)

ab

A.<［■B.IaI+6>0

a+bab

C.a-->b~^-D.lna2>lnb2

ab

-ii

解析由土<±<o,可知b<a<0.

ab

A中，因為a+6<0,ab>0,所以-一<0，±>°，故有」一〈人，即A正確；

a+baba+bab

B中，因為b<a<0,所以一b>—q>0.故一b>\a\,即IaI+6<0,故B錯誤;

i-1111i

C中，因為b<a<0,-<4<0,所以一±>一￡>0,a-->b-{,故C正確；

ababab

D中，由bVqVO,>=/在(-8,0)上單調(diào)遞減，可得/?2>層>0,而y=lnx在定義域

(0,+8)上單調(diào)遞增，所以Inb2>lnq2,故D錯誤.

(-----------------------------:練習(xí)幫；練透好題精準(zhǔn)分層-----------------------------、

力學(xué)生用書?練習(xí)幫P261

n就像[識話至"]

1.[2024四川廣安模擬]已知尸=屋+3,Q=4a—1,則尸，。的大小關(guān)系是(A)

A.PNQB.P>Q

C.PWQD.P<Q

解析尸=/+3,Q=4a~l,P-Q=a2+3~4a+l=(a—2)2^0,故尸》。，故選A.

2.[2022上海高考]已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足：a>b>c>d,則下列選項中正確的是

(B)

A.a+d>b+cB.a+c>b+d

C.ad>bcD.ac>bd

解析對于選項A,如取Q=4,b=3,c=2,d=—4,此時a+dVb+c,故A錯誤；

對于選項B,a+c>b+c>b+df故B正確；

對于選項C,D,如取a=4,b=—\,c=~~2,d=-3,此時adVbc,ac<bd,故C,D

錯誤.故選B.

3.[2024陜西西安模擬]若a<bV0Vc<d,則(C)

A.ac<adB.a-c>b~d

a+c、b+d

C.->7L).—;—>------

abbc

解析對于A,因為a<0,c<d,所以故選項A錯誤;

對于B,取。=-4,b=—1,c=l,d=2,則〃一c=—5,b—d=-3,故選項B錯誤;

對于C,￡一色=如二歿>竺二絲〉0,所以￡>/故選項c正確；

abababab

對于D,取a=—2,b=~l,c=l,d=2,則牛E=l,—=1,故選項D錯誤.故選C.

bc

4.已知OVaVbVl,設(shè)加=61na,n=a\nb,n=ln(當(dāng))，則冽，n,夕的大小關(guān)系為

rIndr

(A)

A.m〈n〈pB.n<m<p

C.p<m<nD.p<n<m

解析由0<aV6<l,得b>l,且lnaVln6<0,即有呵>1,因此，In(―)>0,即

ambmb

0,由加<0,"<o,-=VT=--rr>l,得所以機(jī).故選A.

nalnbaInor

5.[2024山東煙臺模擬]已知x>y>z,x+y+z=O,則下列不等式成立的是(B)

A.xy>yzB.xy>xz

C.xz>yzD.xIyI>\y\z

解析因為x>y>z,x+y+z=O,所以x>0,z<0,y的符號無法確定.

對于A,由題意得I>2,若yVO,貝ij肛VOVyz,故A錯誤；

對于B,因為y>z,x>0,所以盯>%2,故B正確；對于C,因為z<0,所以％zV

yzf故C錯誤；

對于D,當(dāng)I>I=0時，xI>I=IyIz,故D錯誤.故選B.

6.［2024廣西柳州模擬］一般認(rèn)為，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但窗戶面積與

地板面積的比應(yīng)該不小于10%,而且這個比值越大，采光效果越好.若同時增加相同的窗戶

面積和地板面積，公寓的采光效果(B)

A.變壞了B.變好了

C.不變D.無法判斷

解析設(shè)〃和b分別表示公寓原來的窗戶面積和地板面積，m表示窗戶和地板所增加的面

積(面積單位都相同)，由題意得0<a<6,機(jī)>0,則中—？=業(yè)。3=巴士更，

b+mbb(b+m)b(b+m)

因為b>0,m>0,所以6(b+m')>0,

又因為q<b,則6—a>0,

所以也2>o,即也

b+mb'b+mb'

所以同時增加相同的窗戶面積和地板面積，公寓的采光效果變好了.

故選B.

7.［多選］若。>0>6>一a,c<d<0,則下列結(jié)論正確的是(BCD)

K.ad>bcB.-+-<0

ac

C.a—c>b—dD.a(d—c)>b(d—c)

解析因為。>0>6,c<t/<0,所以odVO,bc>0,所以adVbc,故A錯誤；因為0>

b>~a,所以Q>—b>0,因為cVdVO,所以一c>—d>0,所以a(—c)>(—6),

(-d),所以ac+6d<0,又cd>0,所以竺嬰=號+2<0,故B正確；因為c<4,所以

caac

—c>—d,因為所以a+(—c)>b+(—d),即Q—c>b—d,故C正確；因為q

>0>Z?,d—c>0,所以a(d—c)>b(d—c),故D正確.

8.［多選］若。>0,b>0,則使成立的充要條件是(ABD)

A.a2>b2B.a1b>ab2

C.2>岑D.a+^>b+-

aa+1ba

解析對于A,因為〃>0,b>0,所以。>60。2>尻，A選項符合題意；

對于B,因為Q>0,Z)>0,所以a2b>〃620必(a—b)>0<^a>bfB選項符合題意；

對于c，當(dāng)4Q0時，;鬻=號*幺=磊土<0,即衿翳C選項不符合題

意;

對于D,當(dāng)a>6>0時，^>->0,所以。+工>6+工，反之，由。>0,6>0,a+->b+-,

bababa

,1

可得上一>1,即“'a"">1,即2>1,所以a>6,D選項符合題意.故選ABD.

b+a-b(ab+l)b

9.[多選〃024安徽模擬]已知2Vx<3,-2<y<],則下列選項正確的是(CD)

A.-|<^<|B.2<xy2<12

C.l6〈盯V3D.3<2x—y<8

解析對于A,2<x<3,i<i<i當(dāng)y=0時，？=0;當(dāng)0<y<l時，0〈乙<上當(dāng)一2<y

3x2xx2

<0時，o<-y<2,0<^<l,—1<2<0.所以—1<2<工，A選項錯誤.對于B,-2<y<

xxx2

1,當(dāng)y=0時，xf=Q,B選項錯誤.對于C,當(dāng)y=0時，xy=Q;當(dāng)0<y<l時，0<孫V

3;當(dāng)一2<y<0時，0<-y<2,0<-xy<6,—6<孫<0.所以一6〈孫<3,C選項正確.

對于D,由2cx<3,得4<2x<6,由一2<y<l,得一1<一了<2,所以3<2x-y<8,D

選項正確.故選CD.

10.[2024安徽省淮南市模擬]已知lWa—6W2,2Wa+bW4,則4°-2b的取值范圍是—

[5,10].

TTT>~|~,

{n—m=—2,

解得任=1，因為iWa—6W2,2Wa+6W4,所以5W3(a—6)+(a+6)W10,所以

=3.

5W4a—2bW10.

版力像「個金關(guān)〕

11.若a=*b=苧,c=*貝lj(B)

345

A.a<b<cB.cVbVa

C.c<a<bD.b<a<c

解析解法一易知a,b,。都是正數(shù)，-=7r1=log8i64<l,所以。>b;-=^=

a41n3c41n5

log6251024>l,所以6>c,即c<6<a.故選B.

解法二構(gòu)造函數(shù)f(x)=當(dāng)，則/'(x)上詈，由廣(X)>0,得0<x<e;由

f(x)<0,得x>e,所以/(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+°°)上單調(diào)遞減，所

以/(3)>/(4)>/(5),即a>b>c.故選B.

12.[2024河南鄭州模擬]某品牌手機(jī)為了打開市場，促進(jìn)銷售，準(zhǔn)備對其特定型號的產(chǎn)品

降價，有四種降價方案：①先降價。%,再降價6%；②先降價詈％,再降價。％；③先

降價三％，再降價亨％；④一次性降價(。+6)%.其中a>b>0,則最終降價幅度最小

的方案是(C)

A.①B.②C.③D.?

解析設(shè)原價為1,對于①，降價后的價格為(1—0%)(1—6%),

對于②，降價后的價格為(1——%