1.4 空間向量的應(yīng)用（原卷版）-2024-2025學(xué)年【暑假預(yù)習(xí)】高二數(shù)學(xué)（人教A版2019選擇性必修一）

.4空間向量的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一直線的方向向量【【解題思路】直線方向向量(1)直線上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)都可構(gòu)成直線的方向向量．(2)直線的方向向量不唯一．【例1】（23-24高二上·山西·階段練習(xí)）已知直線l的一個(gè)方向向量，且直線l經(jīng)過和兩點(diǎn)，則（

）A． B． C．1 D．2【變式】1．（23-24高二上·黑龍江·期末）已知經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)的直線的方向向量為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．2．（23-24高二上·吉林長春·期末）過，兩點(diǎn)的直線的一個(gè)方向向量為，則（

）A．2 B．2 C．1 D．13．（22-23高二上·貴州黔東南·期中）一束光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)直線反射后經(jīng)過點(diǎn)，則反射光線所在直線的一個(gè)方向向量是（

）A． B． C． D．知識(shí)點(diǎn)二求平面的法向量【【解題思路】求平面法向量的方法與步驟(1)求平面ABC的法向量時(shí)，要選取平面內(nèi)兩不共線向量，如eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)設(shè)平面的法向量為n＝(x，y，z)；(3)聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AC,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，))并求解；(4)所求出向量中的三個(gè)坐標(biāo)不是具體的值而是比例關(guān)系，設(shè)定一個(gè)坐標(biāo)為常數(shù)(常數(shù)不能為0)便可得到平面的一個(gè)法向量．【例2】（2024湖南·課后作業(yè)）如圖，在長方體中，，，，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求下列平面的一個(gè)法向量：(1)平面ABCD；(2)平面；(3)平面．【變式】1．（23-24高二上·浙江嘉興·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，，，，則平面的一個(gè)法向量為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·新疆喀什·期中）（多選）在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，是棱長為1的正方體，給出下列結(jié)論中，正確的是（

）A．直線的一個(gè)方向向量為 B．直線的一個(gè)方向向量為C．平面的一個(gè)法向量為 D．平面的一個(gè)法向量為3．（2024湖北）如圖所示，已知四邊形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.（1）求平面ABCD的一個(gè)法向量；（2）求平面SAB的一個(gè)法向量；（3）求平面SCD的一個(gè)法向量.知識(shí)點(diǎn)三空間向量證明空間平行【【解題思路】1.利用向量證明線線平行的思路：證明線線平行只需證明兩條直線的方向向量共線即可．2.證明線面平行問題的方法(1)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線向量且直線不在平面內(nèi)；(2)證明直線的方向向量可以用平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量表示且直線不在平面內(nèi)；(3)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且直線不在平面內(nèi)．3.證明面面平行問題的方法(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行．(2)將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行然后用向量共線進(jìn)行證明．【例3-1】（2024高二·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，求證：直線平面.【例3-2】（23-24高二上·四川成都·期中）如圖，在長方體中，，，.(1)求證：平面平面.(2)線段上是否存在點(diǎn)P，使得平面？若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，請說明理由.【變式】1．（23-24高二上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則（

）A．B．C．或D．與的位置關(guān)系不能判斷2．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，且點(diǎn)分別為和的中點(diǎn)，求證：平面.3．（2023高三·全國·專題練習(xí)）在蘇州博物館有一類典型建筑八角亭，既美觀又利于采光，其中一角如圖所示，為多面體，，，，底面，四邊形是邊長為2的正方形且平行于底面，，，的中點(diǎn)分別為，，，．證明：//平面；

知識(shí)點(diǎn)四空間向量證明空間垂直【【解題思路】1.證明兩直線垂直的基本步驟建立空間直角坐標(biāo)系→寫出點(diǎn)的坐標(biāo)→求直線的方向向量→證明向量垂直→得到兩直線垂直．2.用坐標(biāo)法證明線面垂直的方法及步驟(1)利用線線垂直①將直線的方向向量用坐標(biāo)表示．②找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標(biāo)表示它們的方向向量．③判斷直線的方向向量與平面內(nèi)兩條直線的方向向量垂直．(2)利用平面的法向量①將直線的方向向量用坐標(biāo)表示．②求出平面的法向量．③判斷直線的方向向量與平面的法向量平行．3.證明面面垂直的兩種方法(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明．(2)法向量法：證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直．【例4-1】（2023高三·全國·專題練習(xí)）如圖，棱臺(tái)中，，底面ABCD是邊長為4的正方形，底面是邊長為2的正方形，連接，BD，.證明：.【例4-2】（2024湖北）如圖，直四棱柱的底面是邊長為2的菱形，且，E為棱AD的中點(diǎn)，．求證：平面．【例4-3】（2024江西）在正方體中，如圖、分別是，的中點(diǎn)．求證：平面平面；【變式】1．（2024河北）如圖，在三棱錐中，平面，，E，F(xiàn)，M分別為AP，AC，PB的中點(diǎn)，求證：2．（24-25高二上·全國·假期作業(yè)）如圖所示，在四棱錐中，底面是矩形，底面，，，是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，且．求證：平面；

3．（2023高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，點(diǎn)E在棱PD上，且.證明：平面平面ACE；知識(shí)點(diǎn)五空間距離【【解題思路】1.用向量法求點(diǎn)到直線的距離的一般步驟(1)求直線的方向向量．(2)計(jì)算所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影向量的長度．(3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直線間的距離與點(diǎn)到直線的距離之間的轉(zhuǎn)化．2.用向量法求點(diǎn)面距的步驟(1)建系：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．(2)求點(diǎn)坐標(biāo)：寫出(求出)相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)求向量：求出相關(guān)向量的坐標(biāo)(eq\o(AP,\s\up6(→))，α內(nèi)兩不共線向量，平面α的法向量n)．(4)求距離d＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).【例5-1】（22-23高二下·福建漳州·期中）已知點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．【例5-2】（23-24高二下·河南濮陽·階段練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為1，為棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為．【例5-3】（23-24高二下·江蘇淮安·階段練習(xí)）將邊長為2的正方形ABCD沿對角線AC折疊使得△ACD垂直于底面ABC，則異面直線AD與BC的距離為．【例5-4】（23-24高二上·湖南邵陽·階段練習(xí)）在棱長為1的正方體中，分別是的中點(diǎn)，則直線到平面的距離為（）A． B． C． D．【例5-5】（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）正方體的棱長為1，則平面與平面的距離為（

）A． B． C． D．【變式】1．（23-24高一下·安徽六安·期末）已知，則到直線的距離為（

）A． B． C．1 D．2．（22-23高一·全國·課后作業(yè)）在邊長為1的正方體中．平面與平面之間的距離為（

）A． B．1 C． D．3．（23-24高二上·陜西寶雞·期中）（多選）已知正方體的棱長為1，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，在正方體內(nèi)部且滿足，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)到直線的距離是 B．點(diǎn)到平面的距離為C．平面與平面間的距離為 D．點(diǎn)到直線的距離為知識(shí)點(diǎn)六空間角【【解題思路】1.求異面直線夾角的方法(1)傳統(tǒng)法：作出與異面直線所成角相等的平面角，進(jìn)而構(gòu)造三角形求解．(2)向量法：在兩異面直線a與b上分別取點(diǎn)A，B和C，D，則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))可分別為a，b的方向向量，則cosθ＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))||\o(CD,\s\up6(→))|).2利用平面的法向量求直線與平面夾角的基本步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系．(2)求直線的方向向量u.(3)求平面的法向量n.(4)設(shè)線面角為θ，則sinθ＝eq\f(|u·n|,|u||n|).3.求兩平面夾角的兩種方法(1)定義法：在兩個(gè)平面內(nèi)分別找出與兩平面交線垂直的直線，這兩條直線的夾角即為兩平面的夾角．也可轉(zhuǎn)化為求與兩平面交線垂直的直線的方向向量的夾角，但要注意其異同．(2)法向量法：分別求出兩平面的法向量n1，n2，代入夾角公式【例6-1】（23-24高二下·甘肅金昌·期末）如圖所示的幾何體是圓錐的一部分，其中是圓錐的高，是圓錐底面的一條直徑，，，是的中點(diǎn)．(1)求直線與所成角的余弦值；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【例6-2】（23-24高二下·上?！て谀┤鐖D所示，在三棱柱中，平面，，，是的中點(diǎn)．(1)求異面直線與所成的角的大??；(2)若為的中點(diǎn)，求二面角的正切值．【變式】1．（24-25高二上·上?！卧獪y試）如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，為等腰直角三角形，，平面平面ABC，D為AB的中點(diǎn)，則異面直線AC與PD所成角的余弦值為．2．（22-23高二下·四川成都·期末）如圖，正方體中，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求與平面所成角的正弦值．3．（23-24高二下·山東東營·期末）如圖，在三棱錐中，，，設(shè)分別為棱的中點(diǎn)，且．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面所成角的正弦值．【題組一直線的方向向量】1．（2024湖南）（選項(xiàng)）下列結(jié)論正確的是（

）A．直線的方向向量是唯一確定的.B．平面的單位法向量是唯一確定的.C．若兩平面的法向量平行，則兩平面平行.D．若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行.2．（23-24高二上·山東·階段練習(xí)）（多選）下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是（

）A．若是直線l的方向向量，則也是直線l的方向向量B．空間任意直線由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量唯一確定C．空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底D．在空間直角坐標(biāo)系中，空間中的點(diǎn)和向量都可以用三個(gè)有序?qū)崝?shù)表示3．（23-24高二·全國·課后作業(yè)）[多選題]下列命題中真命題有（

）．A．直線l的方向向量有無窮多個(gè)B．若兩條直線平行，則它們的方向向量的方向相同或相反C．若向量是直線l的一個(gè)方向向量，則向量也是直線l的一個(gè)方向向量D．兩直線的方向向量平行，則兩直線平行；兩直線的方向向量垂直，則兩直線垂直4．（22-23高二上·陜西西安·期末）已知，若直線的一個(gè)方向向量為，則.【題組二求平面的法向量】1．（22-23高二下·江西贛州·階段練習(xí)）已如點(diǎn)，，者在平面內(nèi)，則平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)可以是（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）（多選）平面α經(jīng)過三點(diǎn)，則平面α的法向量可以是（

）A． B．C． D．3．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1為正方體，

①直線DD1的一個(gè)方向向量為；②直線BC1的一個(gè)方向向量為；③平面ABB1A1的一個(gè)法向量為；④平面B1CD的一個(gè)法向量為；則上述結(jié)論正確的是（填序號）4．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面⊥平面，是邊長為1的正三角形，是菱形，，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面的一個(gè)法向量.

5．（2024云南）如圖所示，在四棱錐中，底面是直角梯形，，⊥底面，且，，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，分別求平面與平面的一個(gè)法向量．

【題組三空間向量證明空間平行】1．（23-24高三上·福建·階段練習(xí)）（多選）如圖，點(diǎn)A，，，，為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則直線平面的是（

）A． B．

C．

D．

2．（23-24高二上·江西宜春·階段練習(xí)）如圖所示，在正方體中，E是棱DD1的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），點(diǎn)F在棱C1D1上，且，若∥平面，則.3．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）如圖所示，在直角梯形中，，，，是的中點(diǎn)，分別為的中點(diǎn)，將沿折起，使得平面，試用向量方法證明平面.4．（2023高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，.求證：PB平面AEC；【題組四空間向量證明空間垂直】1．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，D為棱上的動(dòng)點(diǎn)..證明：；2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．證明：．

3．（2024新疆）如圖，四棱錐中，底面為菱形，底面，，，是上的一點(diǎn)，．證明平面.4．（24-25高二上·全國·假期作業(yè)）如圖，在長方體中，，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，求證：平面；5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，已知四棱錐PABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，側(cè)面PBC⊥底面ABCD.求證：(1)PA⊥BD；(2)平面PAD⊥平面PAB.6．（2024河北）如圖，在底面是矩形的四棱錐中，平面，，，是PD的中點(diǎn).求證：平面平面.7．（2023高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，，，，.為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且.求證：平面平面.【題組五空間距離】1．（23-24高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則點(diǎn)A到直線的距離為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·廣東茂名·期末）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值.在棱長為1的正方體中，直線AC與之間的距離是（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·江蘇常州·期中）四棱錐中，，，，則頂點(diǎn)到底面的距離為（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（23-24山東德州·期末）（多選）在棱長為1的正方體中，下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)到的距離為 B．面與面的距離為C．直線與平面所成的角為 D．點(diǎn)到平面的距離為5．（22-2