選擇性必修一總結(jié)與測(cè)試（解析版）

選擇性必修一總結(jié)與測(cè)試一、單選題1．（2024·四川·期中）若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)的取值為（

）A．或 B． C． D．【答案】B【解析】由已知，若直線與直線平行，則需滿足，解得,由于當(dāng)時(shí)，兩直線重合，因此故選：B2．（2024北京西城·階段練習(xí)）在直三棱柱中，，，分別是的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，以所在的直線分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，可得，則，所以.故選：A.3．（2023新疆克拉瑪依）已知圓：與中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線的一條漸近線相切，則雙曲線的離心率為（

）A．或4 B．或2 C． D．2【答案】B【解析】圓：的圓心為，半徑為1，當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，其漸近線方程為，由題意得，即，所以，所以，當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，，則，故選：B4．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，過(guò)作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解一：設(shè)橢圓方程為，依題意，顯然有，則，即，即，解得，故選B.解二：∵為等腰直角三角形，∴，，∵，∴，∴.故選:B.5．（2023內(nèi)蒙古·階段練習(xí)）如圖，在空間四邊形中，，，，且，，則等于（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，即為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以?故選：C6．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）在平行六面體中，已知，，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的一項(xiàng)是（

）A．直線與BD所成的角為90°B．線段的長(zhǎng)度為C．直線與所成的角為90°D．直線與平面ABCD所成角的正弦值為【答案】D【解析】在平行六面體中，令，，，由，，得，，對(duì)于，顯然，，則，即，因此直線與所成的角為，A正確；對(duì)于B，，即，B正確；對(duì)于C，，即，因此直線與所成的角為，C正確；對(duì)于D，在平行六面體中，四邊形是菱形，即，又，，平面，于是平面，又平面，則平面平面，連接交于點(diǎn)，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，由平面平面，因此平面，即直線與平面所成角為，，則，即，由及選項(xiàng)C知，，則，D錯(cuò)誤.故選：D7．（2024四川宜賓）過(guò)直線上一點(diǎn)P，作圓C：的切線，切點(diǎn)分別為A、B，則當(dāng)四邊形PACB面積最小時(shí)直線AB的方程是A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，圓C：的圓心C為，半徑；點(diǎn)P為直線上一點(diǎn)，PA、PB為圓C的切線，則，，則有，則，則當(dāng)取得最小值時(shí)，四邊形PACB面積最小，此時(shí)CP與直線垂直，且，則C到AB的距離，又由，則直線AB與直線平行，且設(shè)AB的直線方程為，則有，解可得：或舍，則直線AB的方程為；故選B．8．（2024湖北）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，焦距為2c，直線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)M滿足，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】由題意，直線過(guò)左焦點(diǎn)且傾斜角為60°，∴，，∴，即∴，∴，雙曲線定義有，∴離心率.二、多選題9．（23-24高二上·廣東汕尾·期末）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，為上異于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．雙曲線的離心率為B．雙曲線的漸近線方程為C．點(diǎn)到漸近線的距離為4D．直線與直線的斜率乘積為【答案】BD【解析】由雙曲線知，，，對(duì)于A，雙曲線的離心率為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，雙曲線的漸近線方程為，即，故B正確；對(duì)于C，點(diǎn)到漸近線的距離為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，則，即，所以，即直線與直線的斜率乘積為，故D正確；故選：BD.10．（22-23高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中（

）A．與的夾角為B．平面與平面夾角的正切值為C．與平面所成角的正切值D．點(diǎn)到平面的距離為【答案】BCD【解析】如圖，以為原點(diǎn)，所在有直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，對(duì)于A，設(shè)與的夾角為，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?所以，令，則，因?yàn)槠矫?，平面的一個(gè)法向量為，所以，設(shè)平面與平面夾角為（為銳角），則，所以，所以，所以平面與平面夾角的正切值為，所以B正確，對(duì)于C，，平面的法向量為，設(shè)與平面所成角為，則因?yàn)闉殇J角，所以，所以，所以與平面所成角的正切值，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)?，平面的法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離為，所以D正確，故選：BCD11．（21-22高二上·湖南長(zhǎng)沙·期中）圓C：，直線l：，點(diǎn)P在圓C上，點(diǎn)Q在直線l上，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線l與圓C相交B．的最小值是1C．從Q點(diǎn)向圓C引切線，切線長(zhǎng)的最小值是3D．直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是【答案】BC【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為.對(duì)于A選項(xiàng)，圓心C到直線l的距離為，所以，直線l與圓C相離，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，的最小值為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，如下圖所示：從Q點(diǎn)向圓C引切線，設(shè)切點(diǎn)分別為M、N，連接CM，則，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)取得最小值，即，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由得，即，所以，曲線表示圓的上半圓，而直線表示過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線，如下圖所示：當(dāng)直線與圓相切，且切點(diǎn)在第二象限時(shí)，則，解得，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，則，解得.由圖可知，當(dāng)與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍是，D錯(cuò)故選：BC.三、填空題12．（24-25高二·上?！るS堂練習(xí)）如圖所示，某探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為左焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)為40萬(wàn)公里、短軸長(zhǎng)為4萬(wàn)公里的橢圓軌道繞月飛行，之后衛(wèi)星在點(diǎn)P第二次變軌進(jìn)入仍以F為左焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)為20萬(wàn)公里的橢圓軌道繞月飛行，則橢圓軌道的短軸長(zhǎng)為萬(wàn)公里．（近似到0.1）【答案】2.8【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，焦距為，，；設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，焦距為，，．因此，，，所以，又，所以，所以，故橢圓軌道的短軸長(zhǎng)為2.8萬(wàn)公里．故答案為：2.813．（24-25高二·上?！るS堂練習(xí)）如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為1，O是底面的中心，則O到平面的距離為，直線到平面的距離為．【答案】【解析】以D為原點(diǎn)，DA，DC，為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易得，，，，，設(shè)平面的法向量為，，令，則，，∴O到平面的距離，又因?yàn)槠矫?，所以直線到平面的距離就是點(diǎn)到平面的距離，易知平面，所以點(diǎn)到平面的距離，就是點(diǎn)到直線的距離，在正方形中，點(diǎn)到直線的距離為，所以直線到平面的距離為，故答案為：，．14．（23-24高二下·四川瀘州·期末）人臉識(shí)別在現(xiàn)今生活中應(yīng)用非常廣泛，主要是測(cè)量面部五官之間的距離，稱(chēng)為“曼哈頓距離”．其定義如下：設(shè)，，則A，B兩點(diǎn)間的曼哈頓距離.已知，若點(diǎn)滿足，點(diǎn)N在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為【答案】【解析】由題意得，圓，圓心，半徑，設(shè)點(diǎn)，則，故點(diǎn)的軌跡為如下所示的正方形，其中，，則，，則，即的最大值為.故答案為：.四、解答題15．（24-25高三上·湖北武漢·開(kāi)學(xué)考試）已知曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離小為坐標(biāo)原點(diǎn).直線過(guò)定點(diǎn).(1)直線與曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程；(2)曲線與直線交于兩點(diǎn)，試分別判斷直線的斜率之和?斜率之積是否為定值？并說(shuō)明理由.【答案】(1)或或(2)斜率之和為定值?斜率之積不是定值【解析】（1）曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離小，故曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，故曲線為以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，即有，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，若直線可能與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸平行時(shí)，則有：，若直線與拋物線相切時(shí)，易知：是其中一條直線，另一條直線與拋物線上方相切時(shí)，不妨設(shè)直線的斜率為，設(shè)為，聯(lián)立可得：，則有：，解得：，故此時(shí)的直線的方程為：，綜上，直線的方程為：或或；（2）若與交于兩點(diǎn)，分別設(shè)其坐標(biāo)為，且，由（1）可知直線要與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，則直線的斜率存在且不為0，不妨設(shè)直線的斜率為，則有：，聯(lián)立直線與拋物線可得：，可得：，即有，根據(jù)韋達(dá)定理可得：，則有：，則，故為定值；故不為定值；綜上：為定值不為定值.16．（23-24高二下·江蘇宿遷·期中）如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，為的中點(diǎn).

(1)求平面與平面所成銳二面角的余弦值；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)在線段上，是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)(3)存在；【解析】（1）取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)椋?，，，所以又因?yàn)槠矫?，平面，所?所以，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則為的中點(diǎn)，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，所以，令則，所以，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則.（2），所以點(diǎn)到平面的距離為.（3）存在，，理由如下設(shè)上存在一點(diǎn)，設(shè)，，，又因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為，由（1）知平面的一個(gè)法向量為，所以：，解得，又因?yàn)?，所以：，故存在，?17．（24-25高二下·上?！卧獪y(cè)試）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為．(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：．【答案】(1)或．(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）由已知得，l的方程為，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為或，所以，或，所以AM的方程為或；（2）當(dāng)l與x軸重合時(shí)，，當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以．當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為，、，則，，直線MA、MB的斜率之和為．由，得．將代入得．所以，，．則．從而，故MA、MB的傾斜角互補(bǔ)，所以．綜上，．

18．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）已知圓：和圓：．(1)若圓與圓相交，求r的取值范圍；(2)若直線l：與圓交于P、Q兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)k的值．【答案】(1)(2)．【解析】（1）圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心，，圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心，，所以．因?yàn)閳A與圓相交，所以，即，解得，所以r的取值范圍為．（2）已知直線l：與圓交于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)，，聯(lián)立，得，由，得，所以，所以，解得，因?yàn)椋裕?9．（23-24高二下·陜西西安·期末）如圖，在三棱錐中，底面ABC，且，，．點(diǎn)Q為棱BP上一點(diǎn)，且．(1)求CQ的長(zhǎng)；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)(2)【