概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)旦大學(xué)出版社第一章課后答案

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案第一章1.略、見(jiàn)教材習(xí)題參考答案、2、設(shè)A,B,C為三個(gè)事件,試用A,B,C得運(yùn)算關(guān)系式表示下列事件:(1)A發(fā)生,B,C都不發(fā)生;(2)A,B,C都發(fā)生;(3)A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生;(4)A,B,C都不發(fā)生;(5)A,B,C不都發(fā)生;(6)A,B,C至多有1個(gè)不發(fā)生;【解】(1)(2)(3)(4)=(5)(6)∪∪∪=3、略、見(jiàn)教材習(xí)題參考答案4、設(shè)A,B為隨機(jī)事件,且P(A)=0、7,P(AB)=0、3,求P、【解】P=1P(AB)=1[P(A)P(AB)]=1[0、70、3]=0、65、設(shè)A,B就是兩事件,且P(A)=0、6,P(B)=0、7,求:(1)在什么條件下P(AB)取到最大值？(2)在什么條件下P(AB)取到最小值？【解】(1)當(dāng)AB=A時(shí),,取到最大值為0、6、(2)當(dāng)A∪B=Ω時(shí),,取到最小值為0、3、6、設(shè)A,B,C為三事件,且P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/12,求A,B,C至少有一事件發(fā)生得概率、【解】因?yàn)镻(AB)=P(BC)=0,所以P(ABC)=0,由加法公式可得=++=7、從52張撲克牌中任意取出13張,問(wèn)有5張黑桃,3張紅心,3張方塊,2張梅花得概率就是多少？【解】設(shè)表示“取出得13張牌中有5張黑桃,3張紅心,3張方塊,2張梅花”,則樣本空間中樣本點(diǎn)總數(shù)為,中所含樣本點(diǎn),所求概率為8、對(duì)一個(gè)五人學(xué)習(xí)小組考慮生日問(wèn)題:(1)求五個(gè)人得生日都在星期日得概率;(2)求五個(gè)人得生日都不在星期日得概率;(3)求五個(gè)人得生日不都在星期日得概率、【解】(1)設(shè)A1={五個(gè)人得生日都在星期日},基本事件總數(shù)為75,有利事件僅1個(gè),故P(A1)==5(亦可用獨(dú)立性求解,下同)(2)設(shè)A2={五個(gè)人生日都不在星期日},有利事件數(shù)為65,故P(A2)==5(3)設(shè)A3={五個(gè)人得生日不都在星期日}P(A3)=1P(A1)=159、略、見(jiàn)教材習(xí)題參考答案、10、一批產(chǎn)品共N件,其中M件正品、從中隨機(jī)地取出n件(n<N)、試求其中恰有m件(m≤M)正品(記為A)得概率、如果:(1)n件就是同時(shí)取出得;(2)n件就是無(wú)放回逐件取出得;(3)n件就是有放回逐件取出得、【解】(1)n件就是同時(shí)取出,樣本空間中樣本點(diǎn)總數(shù)為,中所含樣本點(diǎn),所求概率為;(2)由于就是無(wú)放回逐件取出,可用排列法計(jì)算、樣本點(diǎn)總數(shù)有種,n次抽取中有m次為正品得組合數(shù)為種、對(duì)于固定得一種正品與次品得抽取次序,從M件正品中取m件得排列數(shù)有種,從NM件次品中取nm件得排列數(shù)為種,故由于無(wú)放回逐漸抽取也可以瞧成一次取出,故上述概率也可寫(xiě)成可以瞧出,用第二種方法簡(jiǎn)便得多、(3)由于就是有放回得抽取,每次都有N種取法,故所有可能得取法總數(shù)為種,n次抽取中有m次為正品得組合數(shù)為種,對(duì)于固定得一種正、次品得抽取次序,m次取得正品,都有M種取法,共有種取法,nm次取得次品,每次都有NM種取法,共有種取法,故此題也可用貝努里概型,共做了n重貝努里試驗(yàn),每次取得正品得概率為,則取得m件正品得概率為11、略、見(jiàn)教材習(xí)題參考答案、12、50只鉚釘隨機(jī)地取來(lái)用在10個(gè)部件上,其中有3個(gè)鉚釘強(qiáng)度太弱、每個(gè)部件用3只鉚釘、若將3只強(qiáng)度太弱得鉚釘都裝在一個(gè)部件上,則這個(gè)部件強(qiáng)度就太弱、求發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱得概率就是多少？【解】設(shè)A={發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱},樣本空間中樣本點(diǎn)總數(shù)為,中所含樣本點(diǎn),因此,所求概率為13、一個(gè)袋內(nèi)裝有大小相同得7個(gè)球,其中4個(gè)就是白球,3個(gè)就是黑球,從中一次抽取3個(gè),計(jì)算至少有兩個(gè)就是白球得概率、【解】設(shè)Ai={恰有i個(gè)白球}(i=2,3),顯然A2與A3互不相容、樣本空間中樣本點(diǎn)總數(shù)為,中所含樣本點(diǎn)數(shù)為,中所含樣本點(diǎn)數(shù)為,故所求概率為14、有甲、乙兩批種子,發(fā)芽率分別為0、8與0、7,在兩批種子中各隨機(jī)取一粒,求:(1)兩粒都發(fā)芽得概率;(2)至少有一粒發(fā)芽得概率;(3)恰有一粒發(fā)芽得概率、【解】設(shè)Ai={第i批種子中得一粒發(fā)芽},(i=1,2)注意到相互獨(dú)立,所求概率為(1)(2)(3)15、擲一枚均勻硬幣直到出現(xiàn)3次正面才停止、(1)問(wèn)正好在第6次停止得概率;(2)問(wèn)正好在第6次停止得情況下,第5次也就是出現(xiàn)正面得概率、【解】(1)設(shè)表示“正好在第6次停止”,表示“第5次出現(xiàn)正面”,事件發(fā)生意味著“前5次中恰好出現(xiàn)兩次正面,且第六次出現(xiàn)正面”,事件發(fā)生意味著“前4次中恰好出現(xiàn)1次正面,且第五、六次出現(xiàn)正面”,由伯努利概型公式可知,所求概率為(1)(2)16、甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員,投籃命中率分別為0、7及0、6,每人各投了3次,求二人進(jìn)球數(shù)相等得概率、【解】設(shè)Ai={甲進(jìn)i球},i=0,1,2,3,Bi={乙進(jìn)i球},i=0,1,2,3,三次投籃可以瞧做就是3重伯努利試驗(yàn),由伯努利概型公式可知,所求概率為=0、3207617.從5雙不同得鞋子中任取4只,求這4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙得概率、【解】設(shè)表示“4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙”,從5雙不同得鞋子中任取4只,取法總數(shù)為,表示“4只鞋子中沒(méi)有配對(duì)得鞋子”,中所含基本事件數(shù)為,所求概率為18、某地某天下雪得概率為0、3,下雨得概率為0、5,既下雪又下雨得概率為0、1,求:(1)在下雨條件下下雪得概率;(2)這天下雨或下雪得概率、【解】設(shè)A={下雨},B={下雪}、(1)(2)19、已知一個(gè)家庭有3個(gè)小孩,且其中一個(gè)為女孩,求至少有一個(gè)男孩得概率(小孩為男為女就是等可能得)、【解】設(shè)A={其中一個(gè)為女孩},B={至少有一個(gè)男孩},樣本點(diǎn)總數(shù)為23=8,故或在縮減樣本空間中求,此時(shí)樣本點(diǎn)總數(shù)為7、20、已知5%得男人與0、25%得女人就是色盲,現(xiàn)隨機(jī)地挑選一人,此人恰為色盲,問(wèn)此人就是男人得概率(假設(shè)男人與女人各占人數(shù)得一半)、【解】設(shè)A={此人就是男人},B={此人就是色盲},則={此人就是女人},顯然,就是樣本空間得一個(gè)劃分,且,由貝葉斯公式得21、兩人約定上午9∶00~10∶00在公園會(huì)面,求一人要等另一人半小時(shí)以上得概率、題21圖題22圖【解】設(shè)兩人到達(dá)時(shí)刻分別為,則,可知樣本空間就是“邊長(zhǎng)為60得正方形區(qū)域”,設(shè)表示“一人要等另一人半小時(shí)以上”,等價(jià)于,如圖陰影部分所示、由幾何概型得概率公式可得22、從(0,1)中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù),求:(1)兩個(gè)數(shù)之與小于得概率;(2)兩個(gè)數(shù)之積小于得概率、【解】設(shè)兩數(shù)分別為,則,可知樣本空間就是“邊長(zhǎng)為1得正方形區(qū)域”、(1)設(shè)表示“兩個(gè)數(shù)之與小于”,等價(jià)于,如圖陰影部分所示、由幾何概型得概率公式可得(2)設(shè)表示“兩個(gè)數(shù)之積小于”,等價(jià)于,如圖陰影部分所示、由幾何概型得概率公式可得23、設(shè)P=0、3,P(B)=0、4,P(A)=0、5,求P(B｜A∪)【解】24、在一個(gè)盒中裝有15個(gè)乒乓球,其中有9個(gè)新球,在第一次比賽中任意取出3個(gè)球,比賽后放回原盒中;第二次比賽同樣任意取出3個(gè)球,求第二次取出得3個(gè)球均為新球得概率、【解】設(shè)Ai={第一次取出得3個(gè)球中有i個(gè)新球},i=0,1,2,3、B={第二次取出得3球均為新球}。顯然,,,就是樣本空間得一個(gè)劃分。由全概率公式,有25、按以往概率論考試結(jié)果分析,努力學(xué)習(xí)得學(xué)生有90%得可能考試及格,不努力學(xué)習(xí)得學(xué)生有90%得可能考試不及格、據(jù)調(diào)查,學(xué)生中有80%得人就是努力學(xué)習(xí)得,試問(wèn):(1)考試及格得學(xué)生有多大可能就是不努力學(xué)習(xí)得人？(2)考試不及格得學(xué)生有多大可能就是努力學(xué)習(xí)得人？【解】設(shè)A={被調(diào)查學(xué)生就是努力學(xué)習(xí)得},則={被調(diào)查學(xué)生就是不努力學(xué)習(xí)得},顯然,就是樣本空間得一個(gè)劃分,由題意知P(A)=0、8,P=0、2,又設(shè)B={被調(diào)查學(xué)生考試及格}、由題意知P(B|A)=0、9,P(|)=0、9,故由貝葉斯公式知(1)即考試及格得學(xué)生中不努力學(xué)習(xí)得學(xué)生僅占2、702%(2)即考試不及格得學(xué)生中努力學(xué)習(xí)得學(xué)生占30、77%、26、將兩信息分別編碼為A與B傳遞出來(lái),接收站收到時(shí),A被誤收作B得概率為0、02,而B(niǎo)被誤收作A得概率為0、01、信息A與B傳遞得頻繁程度為2∶1、若接收站收到得信息就是A,試問(wèn)原發(fā)信息就是A得概率就是多少？【解】設(shè)A={原發(fā)信息就是A},C={收到信息就是A},則則={原發(fā)信息就是B},={收到信息就是B}由貝葉斯公式,得27、在已有兩個(gè)球得箱子中再放一白球,然后任意取出一球,若發(fā)現(xiàn)這球?yàn)榘浊?試求箱子中原有一白球得概率(箱中原有什么球就是等可能得顏色只有黑、白兩種)【解】設(shè)Ai={箱中原有i個(gè)白球}(i=0,1,2),顯然,,就是樣本空間得一個(gè)劃分。由題設(shè)條件知P(Ai)=,i=0,1,2、又設(shè)B={抽出一球?yàn)榘浊騷、由貝葉斯公式知28、某工廠生產(chǎn)得產(chǎn)品中96%就是合格品,檢查產(chǎn)品時(shí),一個(gè)合格品被誤認(rèn)為就是次品得概率為0、02,一個(gè)次品被誤認(rèn)為就是合格品得概率為0、05,求在被檢查后認(rèn)為就是合格品產(chǎn)品確就是合格品得概率、【解】設(shè)A={產(chǎn)品確為合格品},B={產(chǎn)品被認(rèn)為就是合格品}由貝葉斯公式得29、某保險(xiǎn)公司把被保險(xiǎn)人分為三類(lèi):“謹(jǐn)慎得”,“一般得”,“冒失得”、統(tǒng)計(jì)資料表明,上述三種人在一年內(nèi)發(fā)生事故得概率依次為0、05,0、15與0、30;如果“謹(jǐn)慎得”被保險(xiǎn)人占20%,“一般得”占50%,“冒失得”占30%,現(xiàn)知某被保險(xiǎn)人在一年內(nèi)出了事故,則她就是“謹(jǐn)慎得”得概率就是多少？【解】設(shè)A={該客戶(hù)就是“謹(jǐn)慎得”},B={該客戶(hù)就是“一般得”},C={該客戶(hù)就是“冒失得”},D={該客戶(hù)在一年內(nèi)出了事故}則由貝葉斯公式得30、加工某一零件需要經(jīng)過(guò)四道工序,設(shè)第一、二、三、四道工序得次品率分別為0、02,0、03,0、05,0、03,假定各道工序就是相互獨(dú)立得,求加工出來(lái)得零件得次品率、【解】設(shè)Ai={第i道工序出次品}(i=1,2,3,4)、31、設(shè)每次射擊得命中率為0、2,問(wèn)至少必須進(jìn)行多少次獨(dú)立射擊才能使至少擊中一次得概率不小于0、9?【解】設(shè)表示“進(jìn)行n次獨(dú)立射擊至少擊中一次”,則表示“進(jìn)行n次獨(dú)立射擊一次都沒(méi)擊中”。由題意知即,解不等式得n≥11,故至少必須進(jìn)行11次獨(dú)立射擊、32、證明:若P(A｜B)=P(A｜),則A,B相互獨(dú)立、【證】即亦即因此故A與B相互獨(dú)立、33、三人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼,她們能破譯得概率分別為,,,求將此密碼破譯出得概率、【解】設(shè)Ai={第i人能破譯}(i=1,2,3),則34、甲、乙、丙三人獨(dú)立地向同一飛機(jī)射擊,設(shè)擊中得概率分別就是0、4,0、5,0、7,若只有一人擊中,則飛機(jī)被擊落得概率為0、2;若有兩人擊中,則飛機(jī)被擊落得概率為0、6;若三人都擊中,則飛機(jī)一定被擊落,求:飛機(jī)被擊落得概率、【解】設(shè)A={飛機(jī)被擊落},Bi={恰有i人擊中飛機(jī)},i=0,1,2,3由全概率公式,得=(0、4×0、5×0、3+0、6×0、5×0、3+0、6×0、5×0、7)×0、2+(0、4×0、5×0、3+0、4×0、5×0、7+0、6×0、5×0、7)×0、6+(0、4×0、5×0、7)×1=0、45835、一架升降機(jī)開(kāi)始時(shí)有6位乘客,并等可能地停于十層樓得每一層、試求下列事件得概率:(1)A=“某指定得一層有兩位乘客離開(kāi)”;(2)B=“沒(méi)有兩位及兩位以上得乘客在同一層離開(kāi)”;(3)C=“恰有兩位乘客在同一層離開(kāi)”;(4)D=“至少有兩位乘客在同一層離開(kāi)”、【解】由于每位乘客均可在10層樓中得任一層離開(kāi),故所有可能結(jié)果為106種、(1),也可由6重貝努里模型:(2)6個(gè)人在十層中任意六層離開(kāi),故(3)由于沒(méi)有規(guī)定在哪一層離開(kāi),故可在十層中得任一層離開(kāi),有種可能結(jié)果,再?gòu)牧酥羞x二人在該層離開(kāi),有種離開(kāi)方式、其余4人中不能再有兩人同時(shí)離開(kāi)得情況,因此可包含以下三種離開(kāi)方式:①4人中有3個(gè)人在同一層離開(kāi),另一人在其余8層中任一層離開(kāi),共有種可能結(jié)果;②4人同時(shí)離開(kāi),有種可能結(jié)果;③4個(gè)人在不同樓層離開(kāi),有種可能結(jié)果,故(4)D=、故36、n個(gè)朋友隨機(jī)地圍繞圓桌而坐,求下列事件得概率:(1)甲、乙兩人坐在一起,且乙坐在甲得左邊得概率;(2)甲、乙、丙三人坐在一起得概率;(3)如果n個(gè)人并排坐在長(zhǎng)桌得一邊,求上述事件得概率、【解】n個(gè)朋友隨機(jī)地圍繞圓桌而坐,基本事件總數(shù)為(1)設(shè)表示“甲、乙兩人坐在一起,且乙坐在甲得左邊”,則所含基本事件數(shù)為,于就是(2)設(shè)表示“甲、乙、丙三人坐在一起”,則所含基本事件數(shù)為,于就是(3)如果n個(gè)人并排坐在長(zhǎng)桌得一邊,基本事件總數(shù)為,所含基本事件數(shù)為,所含基本事件數(shù)為,于就是37、將線段[0,a]任意折成三折,試求這三折線段能構(gòu)成三角形得概率【解】設(shè)這三段長(zhǎng)分別為、則樣本空間為由,即所構(gòu)成得圖形,有利事件集(三角形得兩邊之與大于第三邊)為由構(gòu)成得圖形,即 如圖陰影部分所示,故所求概率為、38、某人有n把鑰匙,其中只有一把能開(kāi)她得門(mén)、她逐個(gè)將它們?nèi)ピ囬_(kāi)(抽樣就是無(wú)放回得)、證明試開(kāi)k次(k=1,2,…,n)才能把門(mén)打開(kāi)得概率與k無(wú)關(guān)、【證】(考慮次序)基本事件總數(shù)為,“試開(kāi)k次(k=1,2,…,n)才把門(mén)打開(kāi)”,意味著“第次打開(kāi)門(mén)之前,在不能打開(kāi)門(mén)得把鑰匙中選則了次”,共有種選擇方法,因此由計(jì)算結(jié)果可以瞧出“概率與k無(wú)關(guān)”。39、把一個(gè)表面涂有顏色得立方體等分為一千個(gè)小立方體,在這些小立方體中,隨機(jī)地取出一個(gè),試求它有i面涂有顏色得概率P(Ai)(i=0,1,2,3)、【解】設(shè)Ai={小立方體有i面涂有顏色},i=0,1,2,3、在1千個(gè)小立方體中,只有位于原立方體得角上得小立方體就是三面有色得,這樣得小立方體共有8個(gè)、只有位于原立方體得棱上(除去八個(gè)角外)得小立方體就是兩面涂色得,這樣得小立方體共有12×8=96個(gè)、同理,原立方體得六個(gè)面上(除去棱)得小立方體就是一面涂色得,共有8×8×6=384個(gè)、其余1000(8+96+384)=512個(gè)內(nèi)部得小立方體就是無(wú)色得,故所求概率為,、40、對(duì)任意得隨機(jī)事件A,B,C,試證P(AB)+P(AC)P(BC)≤P(A)、【證】41、將3個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去,求杯中球得最大個(gè)數(shù)分別為1,2,3得概率、【解】設(shè)={杯中球得最大個(gè)數(shù)為i},i=1,2,3、將3個(gè)球隨機(jī)放入4個(gè)杯子中,全部可能放法有43種,杯中球得最大個(gè)數(shù)為1時(shí),每個(gè)杯中最多放一球,故而杯中球得最大個(gè)數(shù)為3,即三個(gè)球全放入一個(gè)杯中,故因此或42、將一枚均勻硬幣擲2n次,求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)得概率、【解】擲2n次硬幣,可能結(jié)果:A={正面次數(shù)多于反面次數(shù)},B={正面次數(shù)少于反面次數(shù)},C={正面次數(shù)等于反面次數(shù)},易知A,B,C就是樣本空間得一個(gè)劃分,故由于硬幣就是均勻得,考慮到對(duì)稱(chēng)性,故P(A)=P(B)、所以在2n重貝努里試驗(yàn)中正面出現(xiàn)n次得概率為故43、證明“確定得原則”(Surething):若P(A|C)≥P(B|C),P(A|)≥P(B|),則P(A)≥P(B)、【證】由P(A|C)≥P(B|C),得即有同理由得故44、一列火車(chē)共有n節(jié)車(chē)廂,有k(k≥n)個(gè)旅客上火車(chē)并隨意地選擇車(chē)廂、求每一節(jié)車(chē)廂內(nèi)至少有一個(gè)旅客得概率、【解】設(shè)Ai={第i節(jié)車(chē)廂就是空得},(i=1,…,n),則其中i1,i2,…,in1就是1,2,…,n中得任n1個(gè)、顯然n節(jié)車(chē)廂全空得概率就是零,于就是故所求概率為45、設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)中,某一事件A出現(xiàn)得概率為ε>0、試證明:不論ε>0如何小,只要不斷地獨(dú)立地重復(fù)做此試驗(yàn),則A遲早會(huì)出現(xiàn)得概率為1、【證】在n重獨(dú)立試驗(yàn)中,事件都不發(fā)生概率為:由于為隨機(jī)事件發(fā)生得概率,而題目給定>0,因此其定義域?yàn)榧僭O(shè)n足夠大,即,在上,由極限定義可得即假設(shè)n足夠大,n次獨(dú)立試驗(yàn)中都不發(fā)生得概率為時(shí),

因而在n足夠大時(shí),至少發(fā)生一次得概率為。證畢。46、袋中裝有m只正品硬幣,n只次品硬幣(次品硬幣得兩面均印有國(guó)徽)、在袋中任取一只,將它投擲r次,已知每次都得到國(guó)徽、試問(wèn)這只硬幣就是正品得概率就是多少？【解】設(shè)A={投擲硬幣r次都得到國(guó)徽}B={這只硬幣為正品}由題知?jiǎng)t由貝葉斯公式知47、求n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)奇數(shù)次得概率、【解】設(shè)在一次試驗(yàn)中A出現(xiàn)得概率為p、則由、、、、、、、、、、、、、、、、、=1\*GB3①、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、=2\*GB3②=1\*GB3①—=2\*GB3②,得所求概率為若要計(jì)算在n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)偶數(shù)次得概率,則只要將兩式相加,即得、48、某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊每次射擊命中目標(biāo)得概率為,求此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)得概率?！窘狻扛鶕?jù)獨(dú)立重復(fù)得伯努利試驗(yàn),前3次射擊中1次成功2次失敗其概率為,再加上第4次射擊命中目標(biāo),其概率為,根據(jù)獨(dú)立性,所求概率為、49、設(shè)就是隨機(jī)事件,互不相容,,,求、【解】因?yàn)榛ゲ幌嗳?所以,當(dāng)然,于就是、50、設(shè)A,B就是任意兩個(gè)隨機(jī)事件,求P{(+B)(A+B)(+)(A+)}得值、【解】因?yàn)?A∪B)∩(∪)=A∪B(∪B)∩(A∪)=AB∪所求故所求值為0、51、設(shè)兩兩相互獨(dú)立得三事件,A,B與C滿(mǎn)足條件:ABC=,P(A)=P(B)=P(C)<1/2,且P(A∪B∪C)=9/16,求P(A)、【解】由故或,按題設(shè)P(A)<,故P(A)=、52、設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立得事件A與B都不發(fā)生得概率為1/9,A發(fā)生B不發(fā)生得概率與B發(fā)生A不發(fā)生得概率相等,求P(A)、【