直線與橢圓的位置關(guān)系課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性

培優(yōu)課直線與橢圓的位置關(guān)系第3章圓錐曲線與方程湘教版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測促達標(biāo)重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一直線與橢圓的位置關(guān)系(1)求橢圓L的標(biāo)準方程;(2)過點Q(0,2)的直線l與橢圓L交于A,B兩點,若以AB為直徑的圓恰好過坐標(biāo)原點,求直線l的方程及|AB|的大小.(2)易知直線l的斜率存在且不為零,設(shè)直線l的方程為y=kx+2(k≠0).(4k2+1)x2+16kx+12=0,Δ=(16k)2-48(4k2+1)=16(4k2-3)>0,規(guī)律方法

直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷方法

位置關(guān)系解的個數(shù)Δ的取值相交兩解Δ>0相切一解Δ=0相離無解Δ<0變式訓(xùn)練1已知直線l:y=kx+4,橢圓C:

+y2=1.(1)若直線l過C的左焦點,求實數(shù)k的值;(2)若直線l與橢圓C有公共點,求實數(shù)k的取值范圍.解

(1)由已知可得,橢圓C的左焦點的坐標(biāo)是(-2,0),∵直線l:y=kx+4過C的左焦點,∴-2k+4=0,解得k=2.探究點二直線被橢圓截得的弦長的求法【例2】已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m.(1)當(dāng)直線和橢圓有公共點時,求實數(shù)m的取值范圍;(2)求直線y=x+m被橢圓截得的弦最長時,直線的方程.分析

聯(lián)立直線方程和橢圓方程,消元后求得判別式、兩交點的坐標(biāo)之間的關(guān)系式,利用兩點間的距離公式求出弦長關(guān)于m的關(guān)系式,求解直線方程.(2)設(shè)直線與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,所以當(dāng)m=0時,|AB|最大,即被橢圓截得的弦最長,此時直線的方程為y=x.規(guī)律方法

直線被橢圓截得的弦長的求法(1)直接利用兩點間的距離公式:當(dāng)弦的兩端點的坐標(biāo)易求時,可直接求出交點坐標(biāo),再用兩點間的距離公式求弦長.(2)弦長公式:當(dāng)弦的兩端點的坐標(biāo)不易求時,可用弦長公式.[提醒]如果直線方程涉及斜率,要注意斜率不存在的情況.變式訓(xùn)練2已知斜率為2的直線l經(jīng)過橢圓

=1的右焦點F1,與橢圓交于A,B兩點,則|AB|=

.

解析

因為直線l經(jīng)過橢圓的右焦點F1(1,0),且斜率為2,所以直線l的方程為y=2(x-1),即2x-y-2=0.探究點三中點弦問題【例3】已知橢圓

=1,過點P(2,1)引一弦,使弦在這點被平分,求此弦所在直線的方程.解

(方法1)易知所求直線的斜率存在且不為0,設(shè)所求直線方程為y-1=k(x-2),k≠0.代入橢圓方程并整理得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0.(方法2)設(shè)直線與橢圓的兩個交點分別為A(x1,y1),B(x2,y2).∵P(2,1)為線段AB的中點,∴x1+x2=4,y1+y2=2.規(guī)律方法

解決橢圓中點弦問題的兩種方法(1)根與系數(shù)的關(guān)系法:聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組,消去一個未知數(shù),利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點坐標(biāo)公式解決;(2)處理有關(guān)中點弦及對應(yīng)直線斜率(斜率存在且不為0)關(guān)系的問題時,常用“點差法”,步驟如下:設(shè)點——設(shè)出弦的兩端點坐標(biāo)

↓代入——代入圓錐曲線方程

↓作差——兩式相減,再用平方差公式把上式展開

↓整理——轉(zhuǎn)化為斜率與中點坐標(biāo)的關(guān)系式,然后求解變式訓(xùn)練3已知點P(4,2)是直線l:x+2y-8=0被焦點在x軸上的橢圓所截得的線段的中點,則該橢圓的離心率為

.

直線x+2y-8=0與橢圓交于A,B兩點,且A(x1,y1),B(x2,y2),因為P(4,2)為線段AB的中點,所以x1+x2=8,y1+y2=4.探究點四直線與橢圓相交的綜合問題(1)求橢圓C的標(biāo)準方程.(2)經(jīng)過點M(2,-1)的直線l與C相交于P,Q兩點(l不經(jīng)過點A),設(shè)直線AP,AQ的斜率分別為k1,k2,試問k1+k2是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.分析

由已知可得b,再由B點坐標(biāo)求得a,因此橢圓方程可求.依題意直線l的斜率存在且不為0,設(shè)為k(k≠0),則直線方程為y=k(x-2)-1,k≠0,聯(lián)立直線方程與橢圓方程化為關(guān)于x的一元二次方程,再表示出k1,k2,兩者求和后利用根與系數(shù)的關(guān)系代入求k1+k2的值.(2)易知直線l的斜率存在且不為0,設(shè)直線l的方程為y=k(x-2)-1,k≠0.消去y得(1+4k2)x2-8k(2k+1)x+16k2+16k=0.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),易知x1,x2≠0,則規(guī)律方法

解決直線與橢圓相交的綜合問題的思路求解直線與橢圓的交點問題,首先需要將直線方程代入橢圓的方程,消元后,結(jié)合交點的性質(zhì),利用方程根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為交點的坐標(biāo)之間的關(guān)系求解,這其中要注意利用根的判別式來確定參數(shù)的限制條件.變式訓(xùn)練4已知橢圓C:

+y2=1,動直線l:y=x+m.若l與C相交于A,B兩點,且OA⊥OB(O為坐標(biāo)原點),求l的方程.∴x1x2+(x1+m)(x2+m)=0,即2x1x2+m(x1+x2)+m2=0,學(xué)以致用·隨堂檢測促達標(biāo)123456789101112A級必備知識基礎(chǔ)練1.已知直線l過點(3,-1),且橢圓C:

=1,則直線l與橢圓C的公共點的個數(shù)為(

)A.1 B.1或2 C.2 D.0C解析

因為直線過定點(3,-1)且

<1,所以點(3,-1)在橢圓的內(nèi)部,故直線l與橢圓有2個公共點.123456789101112C123456789101112B1234567891011124.(多選題)已知直線l:y=2x+3被橢圓C:

=1(a>b>0)截得的弦長為2023,則下列直線被橢圓C截得的弦長一定為2023的有(

)A.y=2x-3 B.y=2x+1C.y=-2x-3 D.y=-2x+3ACD

解析

∵橢圓C:

=1(a>b>0)關(guān)于原點、x軸、y軸對稱,直線y=2x+3關(guān)于原點、x軸、y軸對稱的直線分別為y=2x-3,y=-2x-3,y=-2x+3,∴選項A,C,D中的直線被橢圓C:

=1(a>b>0)截得的弦長一定為2

023,故選ACD.1234567891011125.已知F1(-1,0),F2(1,0)是橢圓C的兩個焦點,過F2且垂直于x軸的直線與橢圓C交于A,B兩點,且|AB|=3,則C的標(biāo)準方程為

.

1234567891011126.若P,Q是橢圓C:

=1上的動點,則|PQ|的最大值為

.

4解析

由于橢圓中長軸是最長的弦,所以|PQ|max=4.123456789101112B級關(guān)鍵能力提升練D1234567891011128.若點O和點F分別為橢圓

+y2=1的中心和左焦點,P為橢圓上的任意一點,則|OP|2+|PF|2的最小值為(

)A.1 B.2

C.3

D.4B解析

依題意可得F(-1,0),設(shè)P(x,y),則|OP|2+|PF|2=x2+y2+(x+1)2+y2=2x2+2x+1+2y2.因為

+y2=1,所以|OP|2+|PF|2=x2+2x+3=(x+1)2+2,故當(dāng)x=-1時,|OP|2+|PF|2取最小值,最小值等于2.123456789101112解析

依題意,當(dāng)直線l經(jīng)過橢圓的右焦點(1,0)時,其方程為y-0=tan

45°(x-1),即y=x-1.12345678910111210.已知橢圓C:9x2+y2=m2(m>0),直線l不過原點O且不平行于坐標(biāo)軸,l與C有兩個交點A,B,線段AB的中點為M,則直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為

.

-9解析

易知直線l的斜率存在且不為0,設(shè)直線l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).將y=kx+b代入9x2+y2=m2,得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,則kOM·k=-9,所以