遼寧省撫順市2025屆高三數(shù)學(xué)第一次模擬考試試題理（含解析）

遼寧省撫順市2025屆高三第一次模擬考試

數(shù)學(xué)(理)試題

一、選擇題(本大題共12小題，共60.0分)

1.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)意z(l+i)=l+2i(i是虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的模|z|=(

A啰R回「回

/k.--D.------D.

2244

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出z的表達(dá)式，然后依據(jù)除法的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，最終求出z的模。

【詳解】Vz(l+i)=l+2i,

.1+2i(1+2i)(l-t)3+i31.

??z=-----=------------=----=—F—i9

1+i(1+222

故|z|=+；=故本題選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)求模問(wèn)題。

2.已知集合4={叩丁=/有},F={x|(x+l)(x-2)<0],則4nB=()

A.(-1,1]B.(1,2)C.(-1,1)D.(0,2)

【答案】C

【解析】

【分析】

先分別求出集合4和B,由此能求出4CB。

【詳解】.集合4={久|丫=^^}={久[%<1},

B={x\(x+1)(%-2)<0}={x|-1<x<2},

/.4nB={x|-1<x<1]=(-1,1).故本題選C.

【點(diǎn)睛】本題考查交集的求法，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，考查運(yùn)算求解實(shí)力。

3.在等差數(shù)列{冊(cè)}中，前兀項(xiàng)和S.滿(mǎn)意$9-$2=35,則。6的值是()

A.5B.7C.9D.3

【答案】A

【解析】

【分析】

依據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)求。6的值.

【詳解】因?yàn)镾g-S2=35,所以。3++。6+。7+。8+。9=35,即7a6=35,。6=5,選

A.

【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.

4.軍訓(xùn)時(shí)，甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行射擊競(jìng)賽，共競(jìng)賽10場(chǎng)，每場(chǎng)競(jìng)賽各射擊四次，且用每場(chǎng)擊

中環(huán)數(shù)之和作為該場(chǎng)競(jìng)賽的成果.數(shù)學(xué)老師將甲、乙兩名同學(xué)的10場(chǎng)競(jìng)賽成果繪成如圖所示

的莖葉圖，并給出下列4個(gè)結(jié)論：(1)甲的平均成果比乙的平均成果高；(2)甲的成果的極差

是29；(3)乙的成果的眾數(shù)是21；(4)乙的成果的中位數(shù)是18.則這4個(gè)結(jié)論中，正確結(jié)論的

個(gè)數(shù)為()

甲乙

809

32113489

76542020113

73

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

依據(jù)莖葉圖估計(jì)平均數(shù)、極差、眾數(shù)以及中位數(shù)，即可推斷選項(xiàng).

【詳解】依據(jù)莖葉圖知甲的平均成果大約二十幾，乙的平均成果大約十幾，因此(1)對(duì);

甲的成果的極差是37-8=29,(2)對(duì)；乙的成果的眾數(shù)是21,(3)對(duì)；乙的成果的中位數(shù)是

V—=18.5.(4)錯(cuò)，選C.

【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖以及平均數(shù)、極差、眾數(shù)、中位數(shù)等概念，考查基本分析推斷與求

解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.

5.從6名高校生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人，副隊(duì)長(zhǎng)1人，一般隊(duì)員2人，組成4人學(xué)問(wèn)競(jìng)賽代表隊(duì),

則不同的選法共有（）

A.15種B.180種C.360種D.90種

【答案】B

【解析】

【分析】

先從6名高校生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人，副隊(duì)長(zhǎng)1人，再?gòu)氖Ｏ碌?人選2人，問(wèn)題得以解決.

【詳解】先從6名高校生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人,副隊(duì)長(zhǎng)1人,再?gòu)氖Ｏ碌?人選2人,故有462c4z=180

種，故本題選B.

【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，留意要先有依次選取，再進(jìn)行組合.解決此類(lèi)問(wèn)題的

關(guān)鍵是推斷問(wèn)題與依次有沒(méi)有關(guān)系。

(X+2y-240

6.實(shí)數(shù)居y滿(mǎn)意約束條件|x-y+1>0則z=2x-y的最大值是（

(x—2y—2〈0

A.-5B.—6C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解

化z=2x-y化為y=2工-z,由圖可知，當(dāng)直線y=2x-z過(guò)A時(shí)，直線在y軸上截距最小，z有

最大值為：4.故本題選C.

【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)潔的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法。

7.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】

由三視圖可知該幾何體的直觀圖，從而求出幾何體的體積.

【詳解】由三視圖可知幾何體為邊長(zhǎng)為2的正方體的一半，做出幾何體的直觀圖如圖所示,

1

故幾何體的體積為2X23=4.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求幾何體的體積，依據(jù)三視圖推斷幾何體的形態(tài)是解題的關(guān)

鍵，屬于中檔題.

8.執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出的S的值是()

［開(kāi)始］

S=0.?=1

S=S+2,

」i=i+l

/輸出S/

結(jié)束

A.126B.-126C.30D.62

【答案】D

【解析】

【分析】

由已知中的程序語(yǔ)句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量S的值，模擬程序的

運(yùn)行過(guò)程，分析循環(huán)中各變量值的改變狀況，可得答案.

【詳解】模擬程序的運(yùn)行，可得：

S=0,i=1

滿(mǎn)意條件iW5,執(zhí)行循環(huán)體，S=2,i=2

滿(mǎn)意條件iW5,執(zhí)行循環(huán)體，S=6,i=3

滿(mǎn)意條件i45,執(zhí)行循環(huán)體，S=14,i=4

滿(mǎn)意條件i<5,執(zhí)行循環(huán)體，S=30,i=5

滿(mǎn)意條件iW5,執(zhí)行循環(huán)體，S=62,1=6

此時(shí)，不滿(mǎn)意條件”5,退出循環(huán)，輸出S的值為62.故本題選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過(guò)程，以便得出正

確的結(jié)論。

9.已知函數(shù)/'(x)=sEx-cos卜+3,若在區(qū)間［0,，上a恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值是

【答案】A

【解析】

【分析】

干脆利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用恒

成立問(wèn)題的應(yīng)用求出結(jié)果

71\3,37T

【詳解】函數(shù)/(%)=sinx-cosix+—=-sinx--cosx=^3sin(^x——),

6,226

?-7T717171\l3廠.，nJ3

由于：04久4彳，故：\^/3sm(x--)<—.

36662

當(dāng)工=0時(shí)，函數(shù)的最小值為-阿

2

71

由于在區(qū)間［0目上/⑸2a恒成立，

故：a<-0,所以a的最大值為-宣故本題選A.

22

【點(diǎn)睛】本題考查的學(xué)問(wèn)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主

要考查學(xué)生的運(yùn)算實(shí)力和轉(zhuǎn)化實(shí)力。

10.在三棱錐產(chǎn)一ABC中,已知PA=4B=4C,ABAC=APAC,點(diǎn)D,E分別為棱BC,PC的中點(diǎn),

則下列結(jié)論正確的是()

A.直線DEJ.直線4。B.直線DEJ.直線P4

C.直線DEJ.直線4BD.直線DEJ.直線AC

【答案】D

【解析】

【分析】

畫(huà)出圖形，取PB中點(diǎn)G,連接AG,CG,證明PB1平面C4G,則PB14C,再由D,E分別為棱BC,

PC的中點(diǎn)，可得DE//PB,從而得到DE_LAC.

【詳解】由題意，如圖所示，因?yàn)镻4=AB=4C,ABAC=/.PAC,

：.\PAC^BAC,得PC=BC,取PB中點(diǎn)G,連接AG,CG,

貝IJPB1CG,PBLAG,

又：AGcCG=G,平面&4G,貝?。軵B_LAC,

,：D,E分別為棱BC,PC的中點(diǎn)，

：.DE//PB,貝!|DEJ_4C.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查空間中直線與直線，直線與平面位置關(guān)系的

判定與應(yīng)用，其中解答中正確駕馭空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以及熟記線面位置關(guān)系的判定定

理與性質(zhì)定理是解答額關(guān)鍵，著重考查空間想象實(shí)力與思維實(shí)力，屬于中檔題.

11.已知雙曲線-----V=1?>0)的右頂點(diǎn)為4,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若［04<2,則雙曲線C的離

a2+l

心率的取值范圍是()

A.(g,+8)B.C.D.(1,^/2)

【答案】C

【解析】

【分析】

求出右頂點(diǎn)4的坐標(biāo)，由|。4|<2,可以得到a?+l的取值范圍，求出離心率的表達(dá)式，利用不

等式的學(xué)問(wèn)，求出雙曲線C的離心率的取值范圍。

/1_______

【詳解】雙曲線-----y2=i(a>o)中，右頂點(diǎn)為做加2+1,0),

Q+1

--------C11

***\OA\=Ja(2+1<2,1<a2+1<4;?1>----->T

Q+1一

?C2=+1+1=Q.2_|_2，

j+1,即B<e<72,故本題選C.

【點(diǎn)睛】本題求雙曲線離心率的取值范圍。

12.若函數(shù)6%)=，(，_2x)-a有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.[(2-2遮)e$,(2+26中一正]B.《2-2病理,(2+2回艱)

C.((2-2隹)/,0)D.(0,(2+2正*-的)

【答案】D

【解析】

【分析】

由人乃=0,利用參數(shù)分別法，然后構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，探討函數(shù)的極大值和微小值,

利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.

【詳解】由f(x)=ex(x2-2x)-a=0得a=ex(x2-2K),

設(shè)g(x)=ex(x2-2x)>則g'(x)=ex(x2-2)>

由g1(x)>0得久2-2>0得久>也或x<-A/2,此時(shí)函數(shù)g(x)為增函數(shù)，

由g1(x)<。得久2一2<0得-四<x<隹，此時(shí)函數(shù)g(x)為減函數(shù)，

即當(dāng)久=也時(shí)，9。)取得微小值g(也)=/(2-2亞)，

當(dāng)#=-也時(shí)，g(x)取得極大值g(-必=葭隹(2+2必，

當(dāng)XT-OOJ(X)TO,且f(x)>0,函數(shù)圖象如下圖所示：

要使fO)有三個(gè)零點(diǎn)，

貝1]0<。<6砥2+2必，

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(03一機(jī)(2+2物)，故本題選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)方程的應(yīng)用，利用參數(shù)分別法，構(gòu)造函數(shù)，探討函數(shù)的極值，利

用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.學(xué)校要從5名男生和2名女生中隨機(jī)抽取2人參與社區(qū)志愿者服務(wù),若用f表示抽取的志愿

者中女生的人數(shù)，則隨機(jī)變量f的數(shù)學(xué)期望伏。的值是.(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)

【答案w4

【解析】

解：用隨機(jī)變量&表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，C可取0,1,2,

當(dāng)&=0時(shí)，表示沒(méi)有選到女生；當(dāng)&=1時(shí)，表示選到一個(gè)女生；當(dāng)g=2時(shí)，表示選到2個(gè)

女生，

C2

：.?(€=0)二="10”/21,

g

P(g=1)=C5c21,

C?

c2

P(g=2)=衛(wèi)〃1〃/21,

=0X10/21+1X10/21+2X1/21="4'/7.

故答案為：4/7

33

14.若5勿卜一'乃)=則cos2a的值是.

7

【答案】--

【解析】

【分析】

先依據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)sE(a-1元)，再依據(jù)二倍角余弦公式求結(jié)果.

【詳解】因sin(a-=cosa,所以cosa=1,

因此cos2a=2cos2a-1=2x_1=一京

【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式以及二倍角余弦公式，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.

1

15.已知點(diǎn)尸是拋物線C：/=4久的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為拋物線C上隨意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M向圓0-1)2+/=2

作切線，切點(diǎn)分別為4B,則四邊形AFBM面積的最小值為.

【答案】j

【解析】

【分析】

畫(huà)出滿(mǎn)意題意的圖象，可得M與原點(diǎn)重合時(shí)，四邊形4FBM面積最小，進(jìn)而得到答案.

【詳解】如下圖所示：

圓的圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合，若四邊形AFBM的面積最小，則MF最小，

即M距離準(zhǔn)線最近，故滿(mǎn)意條件時(shí)，”與原點(diǎn)重合，

&

此時(shí)MF=1,BF=BM=],

此時(shí)四邊形面積S=2SABMF=2X2X^X^J,故答案為：

△BMk22222

【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)。

19

16.設(shè)數(shù)列｛冊(cè)｝是遞減的等比數(shù)列，且滿(mǎn)意a2a7=3，%+%=7則…。2九的最大值為

24

【答案】64.

【解析】

【分析】

9

利用等比數(shù)列的性質(zhì)可以得出a2a7=。3a6，與。3+。6=：聯(lián)立，解出。3，。6的值，數(shù)列｛4｝是

4

遞減的等比數(shù)列，可以求出q的值，利用單調(diào)性就可求出2a2n的最大值。

19

【詳解】設(shè)遞減的等比數(shù)列｛4｝的公比為q,丁。2a7=亍%+。6=7

L4

?19

??。

Q2a7=5Z=43+4=7

1

角牟得。3=2,%=[.

。。

36]13

/.q=一=-,.'.q=a1=一=8,a2=4,a4=1.“25時(shí)，anE(0,1).

a382q2

/.a1a2a3...a2n<2a3a4=8x4x2xl=64.

%a2a3…a2n的最大值為64.

故答案為：64.

【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其單調(diào)性，考查了推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力。

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.已知a,b,c分別是AABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，若a=10,角8是最小的內(nèi)角，且

3c=AasinB+3bcosA.

(I)求sEB的值；

(II)若△ABC的面積為42,求b的值.

3

【答案】(I)sinB=--t(II)b=6也

【解析】

【分析】

(I)由正弦定理，三角形內(nèi)角和定理可得+8)=4sinAsinB+3sinBcosA,結(jié)合s出4>0,

整理可得3cosB=4sEB,又sEB>0,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求宣九8的值.

(II)由(I)及三角形的面積公式可求c的值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosB的值，依

據(jù)余弦定理可求b的值.

【詳解】(I)由3c=4as出3+3bcos4、4+8+C=兀，及正弦定理可得：

3sm(i4+B)=4sinAsinB+3sinBcosA,

由于sim4>0,整理可得:3cosB=4sinB,

又sinB>0,

3

因此得：sinB=-.

3

(II)由(I)矢口5出3=有,

又△4BC的面積為42,且。=10,

13

從而有］Xyx10c=42,解得c=14,

又角B是最小的內(nèi)角，

Ti34

所以^sinB=得cosB=1

4

由余弦定理得/=142+102-2X14X10X-=72,即6=6也.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形

的面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算實(shí)力和轉(zhuǎn)化思想。

18.“微信運(yùn)動(dòng)”是手機(jī)4PP推出的多款健康運(yùn)動(dòng)軟件中的一款，高校生M的微信好友中有400

位好友參與了“微信運(yùn)動(dòng)”.他隨機(jī)抽取了40位參與“微信運(yùn)動(dòng)”的微信好友（女20人，男

20人）在某天的走路步數(shù)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，其中女性好友走路的步數(shù)狀況可分為五個(gè)類(lèi)別：40~2000

步，（說(shuō)明：“0?2000”表示“大于或等于0,小于2000”，以下同理），B、2000?5000步，

C、5000?8000步，D、8000?10000步，E、10000?12000步，且4、B、C三種類(lèi)別的人數(shù)比

例為1:4:3,將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制如圖所示的柱形圖；男性好友走路的步數(shù)數(shù)據(jù)繪制如圖所示的頻

率分布直方圖.

參與者超越者合計(jì)

男20

女20

合計(jì)40

若某人一天的走路步數(shù)大于或等于8000,則被系統(tǒng)認(rèn)定為“超越者”，否則被系統(tǒng)認(rèn)定為“參

與者”.

(I)若以高校生M抽取的微信好友在該天行走步數(shù)的頻率分布，作為參與“微信運(yùn)動(dòng)”的全部

微信好友每天走路步數(shù)的概率分布，試估計(jì)高校生M的參與“微信運(yùn)動(dòng)”的400位微信好友

中，每天走路步數(shù)在2000?8000的人數(shù)；

(II)若在高校生M該天抽取的步數(shù)在8000~12000的微信好友中，按男女比例分層抽取9人進(jìn)

行身體狀況調(diào)查，然后再?gòu)倪@9位微信好友中隨機(jī)抽取4人進(jìn)行采訪，求其中至少有一位女

性微信好友被采訪的概率；

(III)請(qǐng)依據(jù)抽取的樣本數(shù)據(jù)完成下面的2x2列聯(lián)表，并據(jù)此推斷能否有95%的把握認(rèn)為“認(rèn)

定類(lèi)別”與“性別”有關(guān)？

37

【答案】(1)260;(II)—;(III)見(jiàn)解析.

42

【解析】

【分析】

(I)所抽取的40人中，該天行走2000?8000步的人數(shù)：男12人，女14人，400位參與“微

信運(yùn)動(dòng)”的微信好友中，每天行走2000?8000步的人數(shù)約為：400x||=260人；

(II)依據(jù)分層抽樣可得男6人，女3人，再依據(jù)古典概型的概率公式可得；

(III)依據(jù)列聯(lián)表計(jì)算出K2的觀測(cè)值，結(jié)合臨界值表可得.

【詳解】(I)所抽取的40人中，該天行走2000?8000步的人數(shù)：男12人，

女14人，400位參與“微信運(yùn)動(dòng)”的微信好友中，每天行走2000?8000步的人數(shù)

26

約為：400x—=260人；

40

(II)該天抽取的步數(shù)在8000?12000的人數(shù)：男8人，女4人，

再按男女比例分層抽取9人，則其中男6人，女3人

禺《+《心+雋*37-n或37

所求概率P=----------------------=瓦(或p=1-=

C/QCQ

(III)完成2x2列聯(lián)表

參與者超越者合計(jì)

男12820

女16420

合計(jì)281240

、,招740(12x4-8x16)2

計(jì)算代=」-------------1x1.905,

20X20x28x12

因?yàn)?.905<3.841,所以沒(méi)有理由認(rèn)為“認(rèn)定類(lèi)別”與“性別”有關(guān),

即“認(rèn)定類(lèi)別”與“性別”無(wú)關(guān)

【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)。

19如圖,在正三棱柱ABC-4小心中,AB=AA1=2,E,F分別為4B,的中點(diǎn).

(I)求證：BiE//平面4CF；

(II)求CE與平面4CF所成角的正弦值.

【答案】(I)見(jiàn)解析；(II)中.

19

【解析】

【分析】

(I)取AC的中點(diǎn)M,連結(jié)EM,FM,推導(dǎo)出四邊形EMFBi為平行四邊形，從而%E//FM,

由此能證明/E//平面4CF.

(II)取BC中點(diǎn)。，連結(jié)40、OF,以。為原點(diǎn)，分別以。8、4。、OF為支軸、y軸、z軸，建立空

間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線CE與平面4CF所成角的正弦值.

【詳解】(I)證明：取4c的中點(diǎn)“，連結(jié)EM,FM,在A4BC中,

1

因?yàn)镋、M分別為AB,AC的中點(diǎn)，所以EM//BC且EM=]BC,

又產(chǎn)為名。1的中點(diǎn)，B1G//BC,

//BC且B/=|fiC,即EM//且EM=B/,

故四邊形EMFBi為平行四邊形，

又MFu平面ACF,名爾平面ACF,

.?.%￡?//平面4CF

(II)取BC中點(diǎn)。，連結(jié)A。、OF,

貝（jAOlBC,OF_L平面ABC

以。為原點(diǎn)，分別以。氏40、OF為支軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系

1B

則有4(0,-V3,0),B(l,0,0),C(-l,0,0),E(-,-與0),F(0,0,2),

得/==(1,0,2),僅=(1,-點(diǎn),0)設(shè)平面4CF的一個(gè)法向量為G=?y,z)

則｛22:〉即匕濾二3令z=N，廝=(2圾2,-同

設(shè)CE與平面4CF所成的角為仇

Ef4、,由2^/19

貝!]s出。=cos(CE,n)=：-=---,

陽(yáng)?同19

所以直線CE與平面4CF所成角的正弦值為3”.

19

【點(diǎn)睛】本題考查線面的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面

間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，考查運(yùn)算求解實(shí)力，考查函數(shù)與方程思想。

Xy

20.已知點(diǎn)M(2,l)在橢圓C:”+-=l(a>b>0)上，A,B是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，且疝4?麻B=—3.

QND

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)已知點(diǎn)E(1,O),過(guò)點(diǎn)M(2,l)的直線2與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為N,若點(diǎn)E總在以MN為直徑的

圓內(nèi)，求直線/的斜率的取值范圍.

221

【答案】(I)上+匕=1；(II)(—2+8).

826)

【解析】

【分析】

22I2

(I)由題意可得Q2=8,又點(diǎn)M(2,l)在橢圓C上，即萬(wàn)+二=1,即可求出橢圓方程,

8b‘

(II)聯(lián)立方程組，利用根的判別式、向量的數(shù)量積，即可直線，斜率的取值范圍.

【詳解】(I)由已知可得(-Q-2,-l>(a-2,-1)=-3,解得Q2=g,

22I2

又點(diǎn)M(2,l)在橢圓C上，即萬(wàn)+二=1,解得后=2，

8/

22

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為上+匕=1;

82

(II)設(shè)N(xpy。當(dāng)直線，垂直于x軸時(shí)，點(diǎn)E在以MN為直徑的圓上，不合題意，

因此設(shè)直線，的方程為y=fc(x-2)+1,

代入橢圓方程消去y得(4/+1)%2+8(fc-2fc2)x+4(4/一軌―1)=0)

222

4(4fc-4fc-l)Q2(4k-4k-l)-4k-4k+1

則有24=八_-----L,即久1=7—.....L,y1=——------,

4k2+14k2+14fcz+1

且判別式A=16(2k+l)2>0，即kK—，又點(diǎn)E總在以MN為直徑的圓內(nèi)，

所以必有而■EN<0,即有4+為一1<0,

..小、/p14k2-8k-*3—4k^—4k+1,z1

將工I，代入得一Z-----+-----1------<0,解得k>一7,

4k2+14k2+16

【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題，解

答此類(lèi)題目，通常聯(lián)立直線方程與橢圓方程的方程組，合理利用判別式，以及向量的數(shù)量積

進(jìn)行求解，此類(lèi)問(wèn)題易錯(cuò)點(diǎn)是困難式子的變形實(shí)力不足，導(dǎo)致錯(cuò)解，能較好的考查考生的邏

輯思維實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的實(shí)力等.

21.已知函數(shù)f(久)=Inx-ax^a6R).

(I)探討函數(shù)/?(￡)的單調(diào)性；

(II)證明：ex-e2lnx>0(e為自然對(duì)數(shù)底)恒成立.

【答案】(I)見(jiàn)解析；(II)見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

(I)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)探討a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

xX

(11)取。=-,有"40,即仇》工-，求出出；Tex(當(dāng)且僅當(dāng)％=?時(shí)等號(hào)成立)，問(wèn)題轉(zhuǎn)

eee

x

化為證明/之"在(0,+8)上恒成馬上可，設(shè)9(町=e?》>0),依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

1_ax

【詳解】(I)解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+8),/,(%)~~~a=~—(x>0)

當(dāng)aV0時(shí)，/(久)>0恒成立，所以f(x)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)a>o時(shí)，令r(x)=o,得工=工，所以當(dāng)工e僅，3時(shí)ro)>o，ro)單調(diào)遞增；

當(dāng)％C(；+8)時(shí)f'(x)V0,/(%)單調(diào)遞減，

綜上所述，當(dāng)"0時(shí),/(%)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在沱)內(nèi)單調(diào)遞增，在g+8)內(nèi)單調(diào)遞減

(II)證明：由(1)可知，當(dāng)a>0時(shí)，/(%)=Inx-ax<Zn--1

a

xx

特殊地，取。=-,有仇工-―《0,即仇,

eee

所以)久W"(當(dāng)且僅當(dāng)欠=。時(shí)等號(hào)成立)，因此，要證仇第>0恒成立，

只要證明，之e%在(0,+8)上恒成馬上可

、exex(x-1)

設(shè)g(%)=—(九>。>則。'(久)=—2—，

xX

當(dāng)xe(0,l)時(shí)g,O)<0,g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)久e(l,+8)時(shí)g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

故當(dāng)x=l時(shí)，g(x)mm=9(1)=e,即皇2ex在(0,+8)上恒成立

因此，有e*之ex'e?伍無(wú)，又因?yàn)閮蓚€(gè)等號(hào)不能同時(shí)成立，

所以有ex-e21nx＞0恒成立

、e?X6X—e2

或：令g（x）=e"-e2）久（久＞